Gelöste Aufgaben/Kw99: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Kw98-01.png|alternativtext=|links|mini|250x250px|Lageplan]]
[[Datei:Kw98-01.png|alternativtext=|links|mini|250x250px|Lageplan]]
Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken.
Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken. Im Vergleich zu [[Gelöste Aufgaben/Kw98|Kw98]] wird hier eine Lösung mit normierten Koordinaten verfolgt.
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[[Datei:Kw98-02.png|mini|Systemparameter]]
Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:
Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:
::<math>\begin{array}{ll}\displaystyle {{\mathit{EI}}_{2}}&=\frac{{{\mathit{EI}}_{1}}}{2},\\ {{K}_{A}}&=\displaystyle  \frac{{{\mathit{EI}}_{1}}}{{{\ell}_{1}}},\\ {{k}_{B}}&=0,\\ {{k}_{C}}&=\displaystyle \frac{{{\mathit{EI}}_{1}}}{{{\ell}_{1}^{3}}},\\ {{q}_{B}}&=4\cdot {{q}_{A}},\\ {{\ell}_{2}}&=\displaystyle  \frac{{{\ell}_{1}}}{2},\\ {{M}_{B}}&=5\cdot {{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}\end{array}</math>.


== Lösung mit Maxima ==
== Lösung mit Maxima ==
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{{MyCodeBlock|title=Header
{{MyCodeBlock|title=Header
|text=
|text=
Diese Aufgabe mit der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode|Methode der Finiten Elemente]] in [[Gelöste Aufgaben/Kw96|KW96]] gelöst.
Diese Aufgabe wird mit der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode|Methode der Finiten Elemente]] in [[Gelöste Aufgaben/Kw96|KW96]] gelöst. Und im Vergleich zu [[Gelöste Aufgaben/Kw98|KW98]] wird hier die analytische Lösung mit dimensionslosen Koordinaten angeschreiben.
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<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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/* author: Andreas Baumgart                            */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-09-06                            */
/* last updated: 2017-09-06                            */
/* ref: TM-C, Labor 1                                 */
/* ref: TM-C, Labor 1 - dimensionslos                  */
/* description                                         */
/* description: die Auslenkung w und die unabhängige  */
/*                                                     */
/*             Ortskoordinate werden dim'los gemacht  */
/*******************************************************/
/*******************************************************/
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
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{{MyCodeBlock|title=Declarations
{{MyCodeBlock|title=Declarations
|text=
|text=
Wir definieren die Parameter
Wir definieren die Formfunktionen für die Streckenlast
 
::<math>\begin{array}{l}{{\phi}_{0}}\left( \xi\right) :=1-\xi\\{{\phi}_{1}}\left( \xi\right) :=\xi\end{array} \text{ mit } \xi = \displaystyle\frac{x_1}{\ell_1}</math>.
::<math>\begin{array}{l}q_{A}=\frac{3\cdot kN}{m},\\l_{1}=\frac{7\cdot m}{10}, \\EI_{1}=33600\; N\; {{m}^{2}},\\{{l}_{2}}=\frac{21\; m}{40},\\EI_{2}=16800\; N\;{{m}^{2}},\\{{K}_{A}}=96\;kN\; m,\\{{k}_{C}}=\frac{22\;kN}{m},\\{{k}_{B}}=\frac{98\;kN}{m},\\{{q}_{B}}=\frac{12\; N}{mm},\\{{M}_{B}}=1470\; Nm\end{array}</math>.
 
und die Formfunktionen für die Streckenlast
 
::<math>\begin{array}{l}{{\phi}_{0}}\left( \xi\right) :=1-\xi\\{{\phi}_{1}}\left( \xi\right) :=\xi\end{array}</math>.
|code=
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<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/* system parameter */
/* system parameter */
units  : [mm = m/1000, cm = m/100];
params: [EI[2]=EI[1]/2,
params : [q[A]=3*N/mm, l[1]=700*mm, EI[1] = 2.1*10^11*N/m^2 * 3*cm*(4*cm)^3/12];
        K[A]=EI[1]/l[1],
simple : [l[2] = 3/4*l[1], EI[2] = EI[1]/2,
        k[B]=0,
          K[A]=2*EI[1]/l[1], k[C] = 512/229*EI[1]/l[1]^3, k[B] = EI[1]/l[1]^3,  
        k[C] = EI[1]/l[1]^3,
          q[B] = 4*q[A], M[B] = q[A]*l[1]^2];
        q[B]=4*q[A],
 
        l[2]=l[1]/2,
params : append(params,makelist(lhs(simple[i])=subst(params,rhs(simple[i])),i,1,length(simple)));
        M[B] = 5*q[A]*l[1]^2];
params : subst(units,params);


/* form - functions  */
/* form - functions  */
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</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}


<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Formfunctions
{{MyCodeBlock|title=Integration of Differential Equation to Formfunction
|text=
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In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung
In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung
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::<math>E\; I_i w_i^{IV}(x_i) = q(x_i) ,\;\; i=\{1,2\} \text{ mit } q(x_i) = q_0\cdot\phi_0(\xi) + q_1\cdot\phi_1(\xi)</math>,
::<math>E\; I_i w_i^{IV}(x_i) = q(x_i) ,\;\; i=\{1,2\} \text{ mit } q(x_i) = q_0\cdot\phi_0(\xi) + q_1\cdot\phi_1(\xi)</math>,


die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise anpassen.
die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise an Rand- und Übergangsbedingungen anpassen. Diese Aufgabe wird etwas übersichtlicher, wenn wir die Auslenkung ''w'' und die Ortskoordinate ''x'' dimensionslos machen. So wählen wir:
 
::<math>w = \ell_{Bez}\cdot \tilde{w}</math>
 
und setzten für die Bezugslänge die Auslenkung eines Kragbalkens unter konstanter Streckenlast (hier ''q<sub>A</sub>'') an. Diese Auslenkung findet man in [[Sources/Lexikon/Standard-Lösungen|Standard-Lösungen]] unter "Kragbalken mit Streckenlast" zu:


So gilt für Bereich II: ''q<sub>0</sub> = 0'' und ''q<sub>1</sub> = 0''.
::<math>{{\ell}_{\mathit{Bez}}}=\displaystyle \frac{{{q}_{A}} \cdot  {{\ell}_{1}^{4}}}{8\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}</math>


Die allgemeine Lösung ist mit
Zusätzlich wählen wir zwei unabhängige, dimensionslose Ortskoordinaten für die Bereich I und II, die ihren Ursprung jeweils in den Punkten A und B haben.


::<math>\displaystyle \phi_i(x) = \frac{dw(x)}{dx}</math>
::<math>\xi_i = \displaystyle \frac{x_i}{\ell_i}</math>
 
Mit
 
::<math>\begin{array}{lll}q_0=q_A, &q_1=q_B &\text{ für Bereich I und}\\q_0=0, &q_1=0 &\text{ für Bereich II}\end{array}</math>
 
ist die allgemeine Lösung für
 
::<math>\begin{array}{ll} \ldots\text{ die Verdrehung: }&\displaystyle \phi_i(x) = \frac{d\,w_i(x)}{d\,x_i}\\ \ldots\text{ das Biege-Moment: }&\displaystyle M_i(x) = - EI_i \frac{d^2\,w_i(x)}{d\,x_i^2}\\ \ldots\text{ die Querkraft: }&\displaystyle Q_i(x) = - EI_i \frac{d^3\,w_i(x)}{d\,x_i^3} \end{array}</math>


... für Bereich I:
... für Bereich I:


::<math>\begin{array}{l} {{w}_{1}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,0}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{3}}+5\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{4}}\cdot {{q}_{A}}+{{x}^{5}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ {{\phi}_{1}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{3}}\cdot {{q}_{A}}+5\cdot {{x}^{4}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ {{M}_{1}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}\cdot x+60\cdot {{l}_{1}}\cdot {{x}^{2}}\cdot {{q}_{A}}+20\cdot {{x}^{3}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}}\\ {{Q}_{1}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+120\cdot {{l}_{1}}\cdot x\cdot {{q}_{A}}+60\cdot {{x}^{2}}\cdot \left( {{q}_{B}}-{{q}_{A}}\right) }{120\cdot {{l}_{1}}} \end{array}</math>
::<math>\begin{array}{ll} {{w}_{1}}\left( \xi\right) :=&\frac{120\cdot {{C}_{1,0}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}+120\cdot {{C}_{1,1}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot \xi+60\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{2}}+20\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{3}}+\left( 5\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{4}}-{{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{5}}\right) \cdot {{q}_{A}}+{{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{5}}\cdot {{q}_{B}}}{15\cdot {{q}_{A}}}\\ {{\phi}_{1}}\left( \xi\right) :=&\frac{120\cdot {{C}_{1,1}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}+120\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot \xi+60\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{2}}+\left( 20\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{3}}-5\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{4}}\right) \cdot {{q}_{A}}+5\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{4}}\cdot {{q}_{B}}}{15\cdot {{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{A}}}\\ {{M}_{1}}\left( \xi\right) :=&-\frac{{{\mathit{EI}}_{1}}\cdot \left( 120\cdot {{C}_{1,2}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}+120\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot \xi+\left( 60\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{2}}-20\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{3}}\right) \cdot {{q}_{A}}+20\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{3}}\cdot {{q}_{B}}\right) }{15\cdot {{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}\\ {{Q}_{1}}\left( \xi\right) :=&-\frac{{{\mathit{EI}}_{1}}\cdot \left( 120\cdot {{C}_{1,3}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}+\left( 120\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot \xi-60\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{2}}\right) \cdot {{q}_{A}}+60\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{2}}\cdot {{q}_{B}}\right) }{15\cdot {{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{A}}} \end{array}</math>


... für Bereich II:
... für Bereich II:


::<math>\begin{array}{l} {{w}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,0}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{x}^{2}}+20\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{3}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{\phi}_{2}}\left( x\right) :=\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot x+60\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{x}^{2}}}{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ {{M}_{2}}\left( x\right) :=-\frac{120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}+120\cdot {{l}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot x}{120\cdot {{l}_{2}}}\\ {{Q}_{2}}\left( x\right) :=-{{C}_{2,3}} \end{array}</math>.
::<math>\begin{array}{ll} {{w}_{2}}\left( \xi\right) :=&\frac{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,0}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}+24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot \xi+12\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{2}}+4\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{3}}}{3\cdot {{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}\cdot {{q}_{A}}}\\ {{\phi}_{2}}\left( \xi\right) :=&\frac{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}+24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot \xi+12\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot {{\xi}^{2}}}{3\cdot {{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{\ell}_{2}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}\cdot {{q}_{A}}}\\ {{M}_{2}}\left( \xi\right) :=&-\frac{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}+24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}\cdot \xi}{3\cdot {{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}\\ {{Q}_{2}}\left( \xi\right) :=&-\frac{8\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{\ell}_{\mathit{Bez}}}}{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{A}}} \end{array}</math>.
|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/* solve ....*/
/* solve ....*/
dgl : EI[i]*diff(w(x),x,4) = q[0]*phi[0](x/l[i]) + q[1]*phi[1](x/l[i]);
dimless : l[Bez] = q[A]*l[1]^4/(8*EI[1]);
dgl : EI[i]*l[Bez]*diff(w(xi),xi,4)/l[i]^4 = q[0]*phi[0](xi) + q[1]*phi[1](xi);
dgl: subst(dimless,dgl);
 
/* generic solution */
/* generic solution */
displ : solve(integrate(integrate(integrate(integrate(dgl,x),x),x),x),w(x));
displ : solve(integrate(integrate(integrate(integrate(dgl,xi),xi),xi),xi),w(xi));
sections: [[i=1, %c4=C[1,0], %c3=C[1,1], %c2=C[1,2], %c1=C[1,3], q[0]=q[A], q[1]=q[B]],
sections: [[i=1, %c4=C[1,0], %c3=C[1,1], %c2=C[1,2], %c1=C[1,3], q[0]=q[A], q[1]=q[B]],
           [i=2, %c4=C[2,0], %c3=C[2,1], %c2=C[2,2], %c1=C[2,3], q[0]= 0  , q[1]= 0  ]];
           [i=2, %c4=C[2,0], %c3=C[2,1], %c2=C[2,2], %c1=C[2,3], q[0]= 0  , q[1]= 0  ]];


/* section I */
/* section I */
define(  w[1](x),  subst(sections[1],subst(displ,w(x))));
define(  w[1](xi),  ratsimp(subst(sections[1],subst(displ,l[Bez]*w(xi)))));
define(Phi[1](x), diff(w[1](x),x ));
define(Phi[1](xi),       diff(w[1](xi),xi )/l[1]^1);
define(  M[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,2));
define(  M[1](xi), -EI[1]*diff(w[1](xi),xi,2)/l[1]^2);
define(  Q[1](x), -EI[1]*diff(w[1](x),x,3));
define(  Q[1](xi), -EI[1]*diff(w[1](xi),xi,3)/l[1]^3);


/* section II */
/* section II */
define(  w[2](x),  subst(sections[2],subst(displ,w(x))));
define(  w[2](xi),  ratsimp(subst(sections[2],subst(displ,l[Bez]*w(xi)))));
define(Phi[2](x), diff(w[2](x),x ));
define(Phi[2](xi),       diff(w[2](xi),xi )/l[2]^1);
define(  M[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,2));
define(  M[2](xi), -EI[2]*diff(w[2](xi),xi,2)/l[2]^2);
define(  Q[2](x), -EI[2]*diff(w[2](x),x,3));
define(  Q[2](xi), -EI[2]*diff(w[2](xi),xi,3)/l[2]^3);
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}
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Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen
Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen


::<math>\begin{pmatrix}\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=0\\ \frac{{{C}_{1,1}}\cdot {{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}-{{C}_{1,2}}=0\\ \frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{B}}}{120\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{A}}}{30\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{C}_{1,3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,0}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=\frac{{{C}_{2,0}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{B}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{A}}}{8\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{C}_{1,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,2}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}+\frac{{{C}_{1,1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}=\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}\\ \frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{B}}}{2}-\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{2}-{{C}_{2,3}}+{{C}_{1,3}}=0\\ -{{M}_{B}}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{B}}}{6}+\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{3}-{{C}_{2,2}}+{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}=0\\ \frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,3}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{C}_{2,1}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}=0\\ -\frac{{{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{k}_{C}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{k}_{C}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}}+{{C}_{2,3}}=0\end{pmatrix}
::<math>\begin{array}{ccc}{{C}_{1,0}}&=&0\\  \frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{C}_{1,1}}\cdot {{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}}-{{C}_{1,2}}&=&0\\ \frac{{{q}_{B}}}{120}+\frac{{{q}_{A}}}{30}+\frac{{{C}_{1,3}}}{6}+\frac{{{C}_{1,2}}}{2}+{{C}_{1,1}}+{{C}_{1,0}}&=&\frac{{{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,0}}}{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\  \frac{{{q}_{B}}}{24}+\frac{{{q}_{A}}}{8}+\frac{{{C}_{1,3}}}{2}+{{C}_{1,2}}+{{C}_{1,1}}&=&\frac{{{\mathit{EI}}_{1}}\cdot {{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\  \frac{{{q}_{B}}}{2}-\frac{{{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{B}}}{{{\ell}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{q}_{A}}}{2}-\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}}{{{\ell}_{1}}}+{{C}_{1,3}}&=&0\\ -\frac{{{M}_{B}}}{{{\ell}_{1}^{2}}}+\frac{{{q}_{B}}}{6}+\frac{{{q}_{A}}}{3}-\frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{C}_{2,2}}}{{{\ell}_{1}^{2}}}+{{C}_{1,3}}+{{C}_{1,2}}&=&0\\ \frac{{{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,3}}}{2\cdot {{\ell}_{1}^{3}}}+\frac{{{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,2}}}{{{\ell}_{1}^{3}}}+\frac{{{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{C}_{2,1}}}{{{\ell}_{1}^{3}}}&=&0\\ -\frac{{{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,3}}\cdot {{k}_{C}}}{6\cdot {{\ell}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,2}}\cdot {{k}_{C}}}{2\cdot {{\ell}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,1}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\ell}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}-\frac{{{\ell}_{2}^{4}}\cdot {{C}_{2,0}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\ell}_{1}}\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}+\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{C}_{2,3}}}{{{\ell}_{1}}}&=&0\end{array}
</math>
</math>


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|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
1+1
/* boundary conditions */
node[A]: [ w[1](0) = 0,
          K[A]*Phi[1](0)+M[1](0) = 0];
node[B]: [ w[1](1) = w[2](0),
          Phi[1](1) = Phi[2](0),
          -Q[1](1) -k[B]*w[2](0) +Q[2](0) = 0,
          -M[1](1) -M[B]+M[2](0) = 0];
node[C]: [ Phi[2](1) = 0,
          -Q[2](1) - k[C]*w[2](1) = 0];
BCs : expand(subst(dimless,append(node[A],node[B],node[C])));       
scale: [EI[1]/l[1]^4, 1/l[1]^2, EI[1]/l[1]^4, EI[1]/l[1]^3,1/l[1], 1/l[1]^2, EI[2]/l[1]^3, 1/l[1]];
BCs : expand(scale*BCs);
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}


<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Prepare for Solver
|text=
Das Gleichungssystem wollen wir als


::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}</math>


schreiben, also
{{MyCodeBlock|title=Prepare for Solver
 
::<math>\begin{pmatrix}\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{{{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{{MyCodeBlock|title=Prepare for Solver
|text=
|text=
Das Gleichungssystem wollen wir als
Das Gleichungssystem wollen wir als


::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}</math>
::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{x}= \underline{b}
</math>


schreiben, also
schreiben, also - hier nach Einsetzen der System-Parameter


::<math>\begin{pmatrix}\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{{{K}_{A}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{3}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}}}{{{\mathit{EI}}_{1}}} & \frac{{{\ell}_{1}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}} & 0 & -\frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{{{k}_{B}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & {{\ell}_{1}} & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & \frac{{{\ell}_{2}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & \frac{{{\ell}_{2}^{2}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{{{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}}\cdot {{k}_{C}}}{{{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}^{2}}\cdot {{k}_{C}}}{2\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}} & -\frac{{{\ell}_{2}^{3}}\cdot {{k}_{C}}-6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}{6\cdot {{\mathit{EI}}_{2}}}\end{pmatrix}\cdot\underline{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -\frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{B}}}{120\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}-\frac{{{\ell}_{1}^{4}}\cdot {{q}_{A}}}{30\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ -\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{B}}}{24\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}-\frac{{{\ell}_{1}^{3}}\cdot {{q}_{A}}}{8\cdot {{\mathit{EI}}_{1}}}\\ -\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{B}}}{2}-\frac{{{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{2}\\ {{M}_{B}}-\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{B}}}{6}-\frac{{{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{3}\\ 0\\ 0\end{pmatrix}
::<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{8} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{4} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & -\frac{1}{16} & \frac{23}{48}\end{pmatrix}\cdot \underline{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -\frac{{{q}_{A}}}{15}\\ -\frac{7\cdot {{q}_{A}}}{24}\\ -\frac{5\cdot {{q}_{A}}}{2}\\ 4\cdot {{q}_{A}}\\ 0\\ 0\end{pmatrix}
</math>
</math>
Die Matrix-Elemente sind für die Koeffizientenmatrix
::<math>\begin{array}{l} a_{1,1} = 1/EI_{1}\\ a_{2,2} = K_{A}/EI_{1}\\ a_{2,3} = -1\\ a_{3,1} = 1/EI_{1}\\ a_{3,2} = \ell_{1}/EI_{1}\\ a_{3,3} = \ell_{1}^2/(2\cdot EI_{1})\\ a_{3,4} = \ell_{1}^3/(6\cdot EI_{1})\\ a_{3,5} = -1/EI_{2}\\ a_{4,2} = 1/EI_{1}\\ a_{4,3} = \ell_{1}/EI_{1}\\ a_{4,4} = \ell_{1}^2/(2\cdot EI_{1})\\ a_{4,6} = -1/EI_{2}\\ a_{5,4} = 1\\ a_{5,5} = -k_{B}/EI_{2}\\ a_{5,8} = -1\\ a_{6,3} = 1\\ a_{6,4} = \ell_{1}\\ a_{6,7} = -1\\ a_{7,6} = 1/EI_{2}\\ a_{7,7} = \ell_{2}/EI_{2}\\ a_{7,8} = \ell_{2}^2/(2\cdot EI_{2})\\ a_{8,5} = -k_{C}/EI_{2}\\ a_{8,6} = -(\ell_{2}\cdot k_{C})/EI_{2}\\ a_{8,7} = -(\ell_{2}^2\cdot k_{C})/(2\cdot EI_{2})\\ a_{8,8} = -(\ell_{2}^3\cdot k_{C}-6\cdot EI_{2})/(6\cdot EI_{2})\\ \end{array}</math>
und für die rechte Seite
::<math>\begin{array}{l} b_{1} = 0\\ b_{2} = 0\\ b_{3} = (-(\ell_{1}^4\cdot q_{B})/(120\cdot EI_{1}))-(\ell_{1}^4\cdot q_{A})/(30\cdot EI_{1})\\ b_{4} = (-(\ell_{1}^3\cdot q_{B})/(24\cdot EI_{1}))-(\ell_{1}^3\cdot q_{A})/(8\cdot EI_{1})\\ b_{5} = (-(\ell_{1}\cdot q_{B})/2)-(\ell_{1}\cdot q_{A})/2\\ b_{6} = M_{B}-(\ell_{1}^2\cdot q_{B})/6-(\ell_{1}^2\cdot q_{A})/3\\ b_{7} = 0\\ b_{8} = 0 \end{array}</math>.
|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/* augmented coeff matrix */
/* integration constants = unknowns */
ICs : [C[1,0],C[1,1],C[1,2],C[1,3],C[2,0],C[2,1],C[2,2],C[2,3]];
ACM: augcoefmatrix(BCs,ICs);
ACM: augcoefmatrix(BCs,ICs);
/* system matrix and rhs */
AA :  submatrix(ACM,9);
AA :  submatrix(ACM,9);
bb : - col(ACM,9);
bb : - col(ACM,9);
 
/* print OLE */
for i: 1 thru 8 do
print(subst(params,AA),"*",x,"=",subst(params,bb));
  print(simplode(["b[",i,"] = ", string(bb[i][1])]))$
for i: 1 thru 8 do
  for j: 1 thru 8 do
      if not AA[i][j] = 0 then
          print(simplode(["A[",i,",",j,"] = ", string(AA[i][j])]))$
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}
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Das Lösen des Gleichungssystems liefert
Das Lösen des Gleichungssystems liefert


::<math>\begin{array}{l} {{C}_{1,0}}=0,\\{{C}_{1,1}}=246.1 \; N {{m}^{2}},\\{{C}_{1,2}}=703.2\; N m,\\{{C}_{1,3}}=-2404.3\; N,\\{{C}_{2,0}}=127.6 \;  N m^3,\\{{C}_{2,1}}=224.7\;  N m^2,\\{{C}_{2,2}}=-979.8 \;  N m,\\{{C}_{2,3}}=2101.8 N \end{array}</math>.
::<math>\begin{array}{l} {{C}_{1,0}}=0,\\{{C}_{1,1}}=\frac{1331\cdot {{q}_{A}}}{1170},\\{{C}_{1,2}}=\frac{1331\cdot {{q}_{A}}}{1170},\\{{C}_{1,3}}=-\frac{257\cdot {{q}_{A}}}{1365},\\{{C}_{2,0}}=\frac{57058\cdot {{q}_{A}}}{4095},\\{{C}_{2,1}}=\frac{81007\cdot {{q}_{A}}}{8190},\\{{C}_{2,2}}=-\frac{9994\cdot {{q}_{A}}}{819},\\{{C}_{2,3}}=\frac{6311\cdot {{q}_{A}}}{1365} \end{array}
</math>
|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
1+1
/* solving */
D : ratsimp(determinant(AA))$
[ P, L, U] : ratsimp(get_lu_factors(lu_factor(AA)))$
cc : ratsimp(linsolve_by_lu(AA,bb)[1])$
sol : makelist(ICs[i] = cc[i][1],i,1,8)$
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}


[[Datei:Kw99-21.png|rahmenlos]][[Datei:Kw99-22.png|rahmenlos]][[Datei:Kw99-23.png|rahmenlos]][[Datei:Kw99-24.png|rahmenlos]]<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
 
 
 
{{MyCodeBlock|title=Post-Processing
{{MyCodeBlock|title=Post-Processing
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|text=
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==== ... für w(x): ====
==== ... für w(x): ====
[[Datei:Kw98-21.png|mini|Biegelinie ''w(x)''|alternativtext=|ohne]]
[[Datei:Kw99-21.png|mini|Biegelinie ''w(x)''|alternativtext=|ohne]]


==== ... für ''Φ(x)'': ====
==== ... für ''Φ(x)'': ====
[[Datei:Kw98-22.png|mini|Kippung ''w'(x)''|alternativtext=|ohne]]
[[Datei:Kw99-22.png|mini|Kippung ''w'(x)''|alternativtext=|ohne]]


==== ... für M(x): ====
==== ... für M(x): ====
[[Datei:Kw98-23.png|mini|Biegemoment M(x)|alternativtext=|ohne]]
[[Datei:Kw99-23.png|mini|Biegemoment M(x)|alternativtext=|ohne]]


==== ... für Q(x): ====
==== ... für Q(x): ====
[[Datei:Kw98-24.png|mini|Querkraft ''Q(x)''|alternativtext=|ohne]]
[[Datei:Kw99-24.png|mini|Querkraft ''Q(x)''|alternativtext=|ohne]]


====... für die Lager-Reaktionskräfte:====
====... für die Lager-Reaktionskräfte:====
::<math>\begin{array}{l} {{A}_{z}}=2404.3 N,\\{{M}_{A}}=703.2 Nm,\\{{B}_{z}}=743.9 N,\\{{C}_{z}}=2101.8 N,\\{{M}_{C}}=-123.7 Nm\end{array}</math>
::<math>\begin{array}{ll} {{A}_{z}}&=\frac{257\cdot {{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{1365},\\{{M}_{A}}&=\frac{1331\cdot {{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{1170},\\{{B}_{z}}&=0,\\{{C}_{z}}&=\frac{6311\cdot {{\ell}_{1}}\cdot {{q}_{A}}}{2730},\\{{M}_{C}}&=\frac{31037\cdot {{\ell}_{1}^{2}}\cdot {{q}_{A}}}{16380} \end{array}</math>


|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/* bearing forces and moments */
/* bearing forces and moments */
reactForces: [A[z]=Q[1](0),
reactForces: [A[z] = Q[1](0),
               M[A] = K[A]*Phi[1](0),
               M[A] = K[A]*Phi[1](0),
               B[z] = k[B]*w[2](0),
               B[z] = k[B]*w[2](0),
               C[z] = k[C]*w[2](l[2]),
               C[z] = k[C]*w[2](1),
               M[C] = M[2](l[2])];
               M[C] = M[2](1)];


expand(subst(params,subst(sol, reactForces)));
expand(subst(dimless,subst(params,subst(sol, reactForces))));


/* plot displacements */
/* plot displacements */


fcts: [[ w [1](x), w [2](x-l[1])],
fcts: [[ w [1](xi), w [2](xi)],
       [Phi[1](x),Phi[2](x-l[1])],
       [Phi[1](xi),Phi[2](xi)],
       [ M [1](x), M [2](x-l[1])],
       [ M [1](xi), M [2](xi)],
       [ Q [1](x), Q [2](x-l[1])]];
       [ Q [1](xi), Q [2](xi)]];
facts: [EI[1]/(l[1]^4*q[A]),EI[1]/(l[1]^3*q[A]),1/(l[1]^2*q[A]),1/(l[1]^1*q[A])];
facts: [1/l[Bez], l[1]/l[Bez], 1/(q[A]*l[1]^2), 1/(q[A]*l[1])];
subst(M[B]/l[1]^2,q[A],facts);
 
textlabels : ["w(x)/(M[B]*l^2/EI[1])→", "w'(x)/(M[B]*l/EI[1])→", "M(x)/M[B]→", "Q(x)/(M[B]/l[1]→"];
textlabels : ["w(x)/(M[B]*l^2/EI[1])→", "w'(x)/(M[B]*l/EI[1])→", "M(x)/M[B]→", "Q(x)/(M[B]/l[1]→"];
for i: 1 thru 4 do(
for i: 1 thru 4 do(
   f : expand(subst(simple,subst(xi*l[1],x,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
   f : expand(subst(dimless,subst(params,facts[i]*[subst(sol, fcts[i][1]),
                                                    subst(sol, fcts[i][2])]))),
                                                  subst(sol, fcts[i][2])]))),
   f1 : f[1],  f2 : f[2],
   r : subst(params,l[2]/l[1]),                                        
   toplot : [if xi<=1 then f1 else 0,
   preamble: if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
            if xi < 1 then 0 else f2],
   plot2d([[parametric,    t, subst(t,xi,f[1]), [t,0,1]],
   plot2d(toplot,[xi,0,1+subst(simple,l[2]/l[1])], [legend, "sec. I", "sec. II"],
          [parametric, 1+r*t, subst(t,xi,f[2]), [t,0,1]]],
                             [gnuplot_preamble, "set yrange [] reverse"] ,
                            [legend, "sec. I", "sec. II"],
                             [gnuplot_preamble, preamble],
                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
                             [xlabel, "x/l[1] ->"],
                             [ylabel, textlabels[i]]))$
                             [ylabel, textlabels[i]]))$

Aktuelle Version vom 31. März 2021, 13:47 Uhr


Aufgabenstellung

Ein Stab ABC ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast q mit den Eckwerten qA in A und qB in B sowie dem Moment MB in B belastet. Der Stab (E-Modul: E) besteht aus zwei Sektionen mit den Längen l1 bzw. l2 sowie den Flächenmomenten I1 bzw. I2. Der Stab ist in A durch ein gelenkiges Festlager, in C durch eine Schiebehülse gelagert, in B sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in A ist eine Drehfester mit Steifigkeit KA, die Federn in B und C sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten kB, kC.


Lageplan

Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken. Im Vergleich zu Kw98 wird hier eine Lösung mit normierten Koordinaten verfolgt.

Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

EI2=EI12,KA=EI1ℓ1,kB=0,kC=EI1ℓ13,qB=4⋅qA,ℓ2=ℓ12,MB=5⋅ℓ12⋅qA.

Lösung mit Maxima

Die Aufgabe ist ein klassisches Randwertproblem:

  1. zwei Gebiete, in denen ein Euler-Bernoulli-Balken in AB und BC durch eine Streckenlast q belastet ist (in Bereich II ist die Streckenlast allerdings Null) und somit durch die Differentialbeziehung
    EIiwiIV(xi)=q(xi),i={1,2}
    berschrieben wird.
  2. Rand- und Übergangsbedingungen in den Punkten A, B, C

Wir verwenden xi und ξi als Koordinaten je Bereich, in der Übersicht sieht das Randwertproblem so aus:

Rand
A		Bereich IÜbergang
B		Bereich IIRand
C


Header

Diese Aufgabe wird mit der Methode der Finiten Elemente in KW96 gelöst. Und im Vergleich zu KW98 wird hier die analytische Lösung mit dimensionslosen Koordinaten angeschreiben.




Declarations

Wir definieren die Formfunktionen für die Streckenlast

ϕ0(ξ):=1−ξϕ1(ξ):=ξ mit ξ=x1ℓ1.




Integration of Differential Equation to Formfunction

In Bereich I und II gilt dieselbe Bewegungs-Differentialgleichung

EIiwiIV(xi)=q(xi),i={1,2} mit q(xi)=q0⋅ϕ0(ξ)+q1⋅ϕ1(ξ),

die wir durch Integration lösen und dann bereichsweise an Rand- und Übergangsbedingungen anpassen. Diese Aufgabe wird etwas übersichtlicher, wenn wir die Auslenkung w und die Ortskoordinate x dimensionslos machen. So wählen wir:

w=ℓBez⋅w~

und setzten für die Bezugslänge die Auslenkung eines Kragbalkens unter konstanter Streckenlast (hier qA) an. Diese Auslenkung findet man in Standard-Lösungen unter "Kragbalken mit Streckenlast" zu:

ℓBez=qA⋅ℓ148⋅EI1

Zusätzlich wählen wir zwei unabhängige, dimensionslose Ortskoordinaten für die Bereich I und II, die ihren Ursprung jeweils in den Punkten A und B haben.

ξi=xiℓi

Mit

q0=qA,q1=qB für Bereich I undq0=0,q1=0 für Bereich II

ist die allgemeine Lösung für

… die Verdrehung: ϕi(x)=dwi(x)dxi… das Biege-Moment: Mi(x)=−EIid2wi(x)dxi2… die Querkraft: Qi(x)=−EIid3wi(x)dxi3

... für Bereich I:

w1(ξ):=120⋅C1,0⋅ℓBez+120⋅C1,1⋅ℓBez⋅ξ+60⋅C1,2⋅ℓBez⋅ξ2+20⋅C1,3⋅ℓBez⋅ξ3+(5⋅ℓBez⋅ξ4−ℓBez⋅ξ5)⋅qA+ℓBez⋅ξ5⋅qB15⋅qAϕ1(ξ):=120⋅C1,1⋅ℓBez+120⋅C1,2⋅ℓBez⋅ξ+60⋅C1,3⋅ℓBez⋅ξ2+(20⋅ℓBez⋅ξ3−5⋅ℓBez⋅ξ4)⋅qA+5⋅ℓBez⋅ξ4⋅qB15⋅ℓ1⋅qAM1(ξ):=−EI1⋅(120⋅C1,2⋅ℓBez+120⋅C1,3⋅ℓBez⋅ξ+(60⋅ℓBez⋅ξ2−20⋅ℓBez⋅ξ3)⋅qA+20⋅ℓBez⋅ξ3⋅qB)15⋅ℓ12⋅qAQ1(ξ):=−EI1⋅(120⋅C1,3⋅ℓBez+(120⋅ℓBez⋅ξ−60⋅ℓBez⋅ξ2)⋅qA+60⋅ℓBez⋅ξ2⋅qB)15⋅ℓ13⋅qA

... für Bereich II:

w2(ξ):=24⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,0⋅ℓBez+24⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,1⋅ℓBez⋅ξ+12⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,2⋅ℓBez⋅ξ2+4⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,3⋅ℓBez⋅ξ33⋅ℓ14⋅EI2⋅qAϕ2(ξ):=24⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,1⋅ℓBez+24⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,2⋅ℓBez⋅ξ+12⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,3⋅ℓBez⋅ξ23⋅ℓ14⋅ℓ2⋅EI2⋅qAM2(ξ):=−24⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,2⋅ℓBez+24⋅EI1⋅ℓ24⋅C2,3⋅ℓBez⋅ξ3⋅ℓ14⋅ℓ22⋅qAQ2(ξ):=−8⋅EI1⋅ℓ2⋅C2,3⋅ℓBezℓ14⋅qA.




Boundary Conditions

Für die 2*4 = 8 Integrationskonstanten

[C1,0,C1,1,C1,2,C1,3,C2,0,C2,1,C2,2,C2,3]

suchen wir jetzt die passenden Gleichungen aus Rand- und Übergangsbedingungen.

Zur besseren Übersicht nennen wir die Schnitt-Momente und -Kräfte nach den jeweiligen Knotenpunkten A, B, C und fügen als Index ein + / - hinzu, um die Seite (+: rechts vom Knoten, -: links vom Knoten) zu kennzeichnen.

Aus Rand "A"

Geometrische Randbedingungen
  1. w1(0)=0

Kraft- und Momenten-Randbedingungen

  1. KA⋅ϕA+MA,+=0 mit MA,+=−EI1⋅w″(x)|x=0

Aus Übergang "B"

Geometrische Randbedingungen
  1. w1(ℓ1)=w2(ℓ1)
  2. ϕ1(ℓ1)=ϕ2(ℓ1)

Kraft- und Momenten-Randbedingungen

  1. −MB,−−MB+MB,+=0
  2. −QB,−−kB⋅wB+−QB,+=0

Aus Rand "C"

Geometrische Randbedingungen
  1. ϕ2(ℓ2)=0

Kraft- und Momenten-Randbedingungen

  1. −QC,−−kC⋅wC=0

Und das liefert das Gleichungssystem aus 8 Gleichungen

C1,0=0ℓ1⋅C1,1⋅KAEI1−C1,2=0qB120+qA30+C1,36+C1,22+C1,1+C1,0=EI1⋅ℓ24⋅C2,0ℓ14⋅EI2qB24+qA8+C1,32+C1,2+C1,1=EI1⋅ℓ23⋅C2,1ℓ13⋅EI2qB2−ℓ24⋅C2,0⋅kBℓ1⋅EI2+qA2−ℓ2⋅C2,3ℓ1+C1,3=0−MBℓ12+qB6+qA3−ℓ22⋅C2,2ℓ12+C1,3+C1,2=0ℓ23⋅C2,32⋅ℓ13+ℓ23⋅C2,2ℓ13+ℓ23⋅C2,1ℓ13=0−ℓ24⋅C2,3⋅kC6⋅ℓ1⋅EI2−ℓ24⋅C2,2⋅kC2⋅ℓ1⋅EI2−ℓ24⋅C2,1⋅kCℓ1⋅EI2−ℓ24⋅C2,0⋅kCℓ1⋅EI2+ℓ2⋅C2,3ℓ1=0

für die Integrationskonstanten.





Prepare for Solver

Das Gleichungssystem wollen wir als

A__⋅x_=b_

schreiben, also - hier nach Einsetzen der System-Parameter

(1000000001−100000111216−18000011120−14000001000−12001100−1400000018181160000−18−18−1162348)⋅x_=(00−qA15−7⋅qA24−5⋅qA24⋅qA00)




Solving

Das Lösen des Gleichungssystems liefert

C1,0=0,C1,1=1331⋅qA1170,C1,2=1331⋅qA1170,C1,3=−257⋅qA1365,C2,0=57058⋅qA4095,C2,1=81007⋅qA8190,C2,2=−9994⋅qA819,C2,3=6311⋅qA1365




Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

Biegelinie w(x)

... für Φ(x):

Kippung w'(x)

... für M(x):

Biegemoment M(x)

... für Q(x):

Querkraft Q(x)

... für die Lager-Reaktionskräfte:

Az=257⋅ℓ1⋅qA1365,MA=1331⋅ℓ12⋅qA1170,Bz=0,Cz=6311⋅ℓ1⋅qA2730,MC=31037⋅ℓ12⋅qA16380




Links

  • ...

Literature

  • ...
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