Gelöste Aufgaben/Kw53: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 31. März 2021, 06:38 Uhr

Aufgabenstellung

Eine Brücke ABC der Masse m_B und homogener Biegesteifigkeit EI ist in C gelenkig gelagert und in A sowie B mit einem Seil verbunden. Das undehnbare Seil wird dabei über eine kleine Rolle (Radius r ≪ ℓ) in D haftungsfrei geführt. In Punkt C ist die Brücke über eine Drehfeder der Steifigkeit K_C mit dem Lager verbunden. In A steht eine Person der Masse m_A.

Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) an - hier ohneLagrange-Multiplikator für die geometrische Zwangsbedingung.

Dies ist eine Näherungslösung zu Kw50.

Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:

{\begin{array}{ll}K_{C}=&\displaystyle 5{\frac {E\,I}{\ell _{0}}}\\m_{A}=&\displaystyle {\frac {m_{B}}{5}}\end{array}}

Lösung mit Maxima

In dieser Aufgabe berechnen wir eine Näherungslösung nach dem Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB) zu Kw50.

Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.

Header

Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren. Die geometrischen Zwangsbedingungen arbeiten wir direkt in die Trial-Functions ein.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 18.10.1                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2019-02-12                            */
/* ref: TM-C, Brigde-Problem                           */
/* description: finds the plain rayleigh-ritz solution */
/*              for lab problem #3                     */
/*******************************************************/

Declarations

Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in Kw50.

/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
declare("Δs", alphabetic);
declare( "ϕ", alphabetic); 
declare( "Π", alphabetic); /* elastic potential */
declare( "ℓ", alphabetic);

assume(ℓ[0]>0);

/* system parameters                                  */
params: [K[C]     = kappa*EI/ℓ[0],
         q[0]     = m[B]*g/ℓ[0],
         m[A]     = theta*m[B],
         theta    = 1/5,
         kappa    = 5];

geometry: [alpha[A] = 30*%pi/180,
           alpha[B] = 60*%pi/180,
           ℓ[1]     = ℓ[0]-ℓ[2],
           Δs[A]    = W[A]*cos(%pi/2-alpha[A]),
           Δs[B]    = W[B]*cos(%pi/2-alpha[B]),
           tan(alpha[B])= H/ℓ[2],
           tan(alpha[A])= H/ℓ[0],
           xi[1]    = ℓ[1]/ℓ[0],
           xi[2]    = ℓ[2]/ℓ[0],
           0        = Δs[A]+Δs[B]];
geometry: ratsimp(solve(geometry,[alpha[A],alpha[B],ℓ[1],ℓ[2],Δs[A],Δs[B],H,xi[1],xi[2], W[B]])[1]);

/* reference length selected:                         */
dimless : ℓ[Bez] = 1/3*m[B]*g*ℓ[0]^3/(EI); /*cantilevered*/

Formfunctions

Nach "Ritz" wählen wir zwei Trial-Functions über die gesamte Stablänge. Als zugehörige, gesuchte Koordinaten wählen wir die Auslenkung in A und die Verdrehung in C, also

{\underline {Q}}=\left({\begin{array}{c}W_{A}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)

.

Die Trial-Functions müssen dann diesen geoemtrischen Zwangsbedingungen genügen:

{\begin{array}{l}w(0)=W_{A}\\w(\ell _{1})=W_{B}{\mbox{ mit }}\displaystyle W_{B}=-{\frac {W_{A}}{\sqrt {3}}}\\\displaystyle {\frac {dw}{dx}}|_{x=\ell }=\Phi _{C}\end{array}}

.

Mit einem Polynom 3-ten Grades als Ansatz ist also unser Näherungsansatz für die Auslenkung dann

\displaystyle {\tilde {w}}(\xi )=\sum _{i=1}^{2}Q_{i}\cdot \phi _{i}(\xi )

mit den Trial-Functions

{\begin{array}{lll}\phi _{1}=&-&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left({{3}^{\frac {5}{2}}}+3\right)\,{{\xi }^{3}}+\left(-2\;{{3}^{\frac {5}{2}}}-8\right)\,{{\xi }^{2}}+\left({{3}^{\frac {5}{2}}}+7\right)\xi -2\right)\\\phi _{2}=&&\ell _{o}\cdot \left(3\,{{\xi }^{3}}-5\,{{\xi }^{2}}+2\,\xi \right)\end{array}}

.

Und so sehen sie aus, unsere zwei Trial-Functions:

/* coordinates                                       */
Q : [W[A],Phi[C]];
v(x) := sum(C[i]*x^i,i,0,3);
/* gemetric constraints */
const: [subst([x= 0  ],      v(x)  ) = W[A],
        subst([x=ℓ[1]],      v(x)  ) = W[B],
        subst([x=ℓ[0]], diff(v(x),x))= Phi[C],
        subst([x=ℓ[0]],      v(x)  ) =  0  ];
trials : expand(subst(solve(subst(geometry,const), makelist(C[i],i,0,3))[1],v(x)));
phi : makelist(ratsimp(coeff(trials,Q[i])),i,1,2);

trials: w(x) = sum(Q[i]*phi[i],i,1,2);
print('phi = expand(subst([x=ℓ[0]*xi],phi)))$

/* plot trial functions                               */
plot2d(ratsimp(subst([x = xi*ℓ[0]],phi)*[1,1/ℓ[0]]), [xi,0,1],
            [legend, "W[A]","Φ[C]"], [xlabel, "x/ℓ →"], [ylabel, "ϕ[i] →"]);

Potentials

Die Potentiale aus Elastischen Energien und Arbeitsfunktion der Gewichtskräfte sind

{\begin{array}{lll}U=&&\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \int _{0}^{\ell }EI\;w''^{2}\;dx+{\frac {1}{2}}\cdot K_{C}\cdot \Phi _{C}^{2}\\&-&\displaystyle \int _{0}^{\ell }q_{0}\;w\;dx-m_{A}\,g\;W_{A}\end{array}}

.

Einsetzten der Trial-Functions liefert

U=\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({W_{A}},{{\Phi }_{C}}\right)\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {\left(8{{3}^{\frac {5}{2}}}+262\right)\,{\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{3}}}&-{\frac {\left(5{{3}^{\frac {5}{2}}}+17\right)\,{\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{2}}}\\-{\frac {\left(5{{3}^{\frac {5}{2}}}+17\right)\,{\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{2}}}&{\frac {28{\mathit {EI}}+{\ell _{0}}\,{K_{C}}}{\ell _{0}}}\end{pmatrix}} _{\displaystyle :={\underline {\underline {A}}}}{\begin{pmatrix}{W_{A}}\\{{\Phi }_{C}}\end{pmatrix}}-\left({W_{A}},{{\Phi }_{C}}\right)\underbrace {\begin{pmatrix}{m_{A}}g-{\frac {{{3}^{\frac {3}{2}}}\,{q_{0}}\,{\ell _{0}}}{8}}+{\frac {5{q_{0}}\,{\ell _{0}}}{24}}\\{\frac {{q_{0}}\,{{\ell }_{0}^{2}}}{12}}\end{pmatrix}} _{\displaystyle :={\underline {b}}}

.

/******************************************************/
/* Boundary Value Problem Formulation                 */
/* elastic and gravitational potential                */

PMPE : [Π[P] = 1/2*integrate(EI*'diff(w(x),x,2)^2, x,0,ℓ[0]) + 1/2*K[C]*Phi[C]^2,
        A[P] =  integrate(q[0]*w(x), x,0,ℓ[0]) + m[A]*g*W[A]];

PMPE: subst(trials, PMPE);
PMPE: ev(PMPE,nouns);

/* Potential                                          */
U: expand(subst(PMPE,Π[P] - A[P]));

Equilibrium Conditions

Nach dem Minimum Prinzip hat das Potential U ein Minimum - das Sytem ist im Gleichgewicht, wenn

{\underline {\underline {A}}}\cdot {\underline {Q}}={\underline {b}}

.

In den System-Matrizen stehen hier

{\underline {\underline {A}}}\,=\,{\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {386.7\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{3}}}&\displaystyle -{\frac {94.9\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{2}}}\\\displaystyle -{\frac {94.9\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}^{2}}}&\displaystyle {\frac {{{\ell }_{0}}\cdot {{K}_{C}}+28\cdot {\mathit {EI}}}{{\ell }_{0}}}\end{pmatrix}}

und

{\underline {b}}\,=\,{\begin{pmatrix}{{m}_{A}}\,g-0.4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{0}}\\0.08\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell }_{0}^{2}}\end{pmatrix}}

.

/* Equilibrium Conditions                             */
A[M] : ratsimp(funmake('matrix,2*[
                    [coeff(U,Q[1],2), coeff(coeff(U,Q[1],1),Q[2],1)/2],
                    [coeff(coeff(U,Q[2],1),Q[1],1)/2, coeff(U,Q[2],2)]
                    ]));
rest : expand(U-1/2*Q.A[M].transpose(Q));
b[M] : funmake('matrix,-makelist([coeff(rest,Q[i])],i,1,2));

Solving

Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann

\displaystyle \left({\begin{array}{c}W_{A}\\\Phi _{C}\end{array}}\right)={\frac {m_{B}\,g\,\ell _{0}^{3}}{3\;EI}}\left({\begin{array}{l}-3.78{10}^{-5}\\\displaystyle 0.00747{\frac {1}{\ell }}\end{array}}\right)

.

/* Solving                                            */
sol: linsolve_by_lu(subst(params,A[M]),subst(params,b[M]))[1];
sol : expand(float(sol));
sol : makelist(Q[i]=sol[i][1],i,1,2);

Post-Processing

Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

/* Post-Processing                                    */
w : subst([x=xi*ℓ[0]],subst(geometry,subst(sol, sum(Q[j]*phi[j],j,1,2))));

fcts: [         w             ,
           diff(w,xi  )/ℓ[0]  ,
       -EI*diff(w,xi,2)/ℓ[0]^2,
       -EI*diff(w,xi,3)/ℓ[0]^3];
fcts: float(subst(geometry,expand(fcts)))$ 
facts: [1/ℓ[Bez], ℓ[0]/ℓ[Bez], 1/(m[B]*g*ℓ[0]), 1/(m[B]*g)];
 
textlabels : ["← w(x)/ℓ[Bez]", "← w'(x)/(ℓ[Bez]/ℓ[0]) →", "M(x)/(m[B]*g*ℓ) →", "Q(x)/(m[B]g →"];
for i: 1 thru 4 do(
  f : expand(subst(dimless,facts[i]*fcts[i])),
  preamble: if i<=2 then "set yrange [] reverse" else "set yrange []",
  plot2d(f, [xi,0,1], [legend, false],
                      [gnuplot_preamble, preamble],
                      [xlabel, "x/ℓ →"],
                      [ylabel, textlabels[i]]))$

Links

Aufgabe Kw50 (analytische Lösung dieser Aufgabe)
Aufgabe Kw52 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz und Lagrange-Multiplikator)
Aufgabe Kw53 (Lösung dieser Aufgabe mit dem Ansatz von Rayleigh-Ritz)

Literature

...

Gelöste Aufgaben/Kw53: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 31. März 2021, 06:38 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

Header

Declarations

Formfunctions

Potentials

Equilibrium Conditions

Solving

Post-Processing

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

Navigationsmenü

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 Ermitteln Sie die genäherten Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für diese Parameter:
-<math>\begin{array}{ll}K_C =&\displaystyle  5 \frac{E\,I}{\ell_0}\\m_A =&\displaystyle \frac{m_B}{5}  \end{array}</math>
+::<math>\begin{array}{ll}K_C =&\displaystyle  5 \frac{E\,I}{\ell_0}\\m_A =&\displaystyle \frac{m_B}{5}  \end{array}</math>
 == Lösung mit Maxima ==
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 Alle Überlegungen zur Geometrie des Systems übernehmen wir.
-==tmp==
-Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren. Die geometrischen Zwangsbedingungen arbeiten wir direkt in die Trial-Functions ein.
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Header
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+Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren. Die geometrischen Zwangsbedingungen arbeiten wir direkt in die Trial-Functions ein.
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+/*******************************************************/
+/* MAXIMA script                                       */
+/* version: wxMaxima 18.10.1                           */
+/* author: Andreas Baumgart                            */
+/* last updated: 2019-02-12                            */
+/* ref: TM-C, Brigde-Problem                           */
+/* description: finds the plain rayleigh-ritz solution */
+/*              for lab problem #3                     */
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+Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in [[Gelöste Aufgaben/Kw50|Kw50]].
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+declare("Δs", alphabetic);
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+declare( "ϕ", alphabetic);
+declare( "Π", alphabetic); /* elastic potential */
+declare( "ℓ", alphabetic);
+assume(ℓ[0]>0);
+/* system parameters                                  */
+params: [K[C]     = kappa*EI/ℓ[0],
+         q[0]     = m[B]*g/ℓ[0],
+         m[A]     = theta*m[B],
+         theta    = 1/5,
+         kappa    = 5];
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-Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in Kw50.
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+           ℓ[1]     = ℓ[0]-ℓ[2],
+           Δs[A]    = W[A]*cos(%pi/2-alpha[A]),
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+           xi[1]    = ℓ[1]/ℓ[0],
+           xi[2]    = ℓ[2]/ℓ[0],
+        = Δs[A]+Δs[B]];
+geometry: ratsimp(solve(geometry,[alpha[A],alpha[B],ℓ[1],ℓ[2],Δs[A],Δs[B],H,xi[1],xi[2], W[B]])[1]);
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 Nach "Ritz" wählen wir zwei Trial-Functions über die gesamte Stablänge. Als zugehörige, gesuchte Koordinaten wählen wir die Auslenkung in ''A'' und die Verdrehung in ''C'', also
-<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{c}W_A\\\Phi_C \end{array}\right)</math>.
+::<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{c}W_A\\\Phi_C \end{array}\right)</math>.
 Die Trial-Functions müssen dann diesen geoemtrischen Zwangsbedingungen genügen:
-<math>\begin{array}{l}w(0) = W_A\\w(\ell_1) = W_B \mbox{ mit } \displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}\\\displaystyle \frac{dw}{dx}|_{x=\ell} = \Phi_C\end{array}</math>.
+::<math>\begin{array}{l}w(0) = W_A\\w(\ell_1) = W_B \mbox{ mit } \displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}\\\displaystyle \frac{dw}{dx}|_{x=\ell} = \Phi_C\end{array}</math>.
 Mit einem Polynom 3-ten Grades als Ansatz ist also unser Näherungsansatz für die Auslenkung dann
-<math>\displaystyle \tilde{w}(\xi) = \sum_{i=1}^2 Q_i \cdot \phi_i(\xi)</math>
+::<math>\displaystyle \tilde{w}(\xi) = \sum_{i=1}^2 Q_i \cdot \phi_i(\xi)</math>
 mit den Trial-Functions
-<math>\begin{array}{lll}\phi_1 = &-&\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+3\right) \, {{\xi}^{3}}+\left( -2\; {{3}^{\frac{5}{2}}}-8\right) \, {{\xi}^{2}}+\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+7\right)  \xi-2\right)\\\phi_2 =&&\ell_o\cdot \left( 3\, {{\xi}^{3}}-5 \, {{\xi}^{2}}+2\, \xi\right)\end{array}</math>.
+::<math>\begin{array}{lll}\phi_1 = &-&\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+3\right) \, {{\xi}^{3}}+\left( -2\; {{3}^{\frac{5}{2}}}-8\right) \, {{\xi}^{2}}+\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+7\right)  \xi-2\right)\\\phi_2 =&&\ell_o\cdot \left( 3\, {{\xi}^{3}}-5 \, {{\xi}^{2}}+2\, \xi\right)\end{array}</math>.
-Und so sehen sie aus, unsere zwei Trial-Functions:[[Datei:Kw53-11.png|mini|Trial Functions]]
+[[Datei:Kw53-11.png|mini|Trial Functions]]Und so sehen sie aus, unsere zwei [[Sources/Lexikon/Trial-Function|Trial-Functions]]:
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+<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
+/* coordinates                                       */
+Q : [W[A],Phi[C]];
+v(x) := sum(C[i]*x^i,i,0,3);
+/* gemetric constraints */
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+        subst([x=ℓ[1]],      v(x)  ) = W[B],
+        subst([x=ℓ[0]], diff(v(x),x))= Phi[C],
+        subst([x=ℓ[0]],      v(x)  ) =  0  ];
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+trials: w(x) = sum(Q[i]*phi[i],i,1,2);
+print('phi = expand(subst([x=ℓ[0]*xi],phi)))$
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+/* plot trial functions                               */
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+plot2d(ratsimp(subst([x = xi*ℓ[0]],phi)*[1,1/ℓ[0]]), [xi,0,1],
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 }}
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+<!-------------------------------------------------------------------------------->
+{{MyCodeBlock|title=Potentials
+|text=
 Die Potentiale aus Elastischen Energien und Arbeitsfunktion der Gewichtskräfte sind
-<math>\begin{array}{lll} U  =& &\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \int_0^\ell E I\; w''^2 \; dx + \frac{1}{2}\cdot K_C \cdot \Phi_C^2\\     &-&\displaystyle \int_0^\ell q_0 \; w \; dx - m_A\,g\; W_A \end{array}</math>.
+::<math>\begin{array}{lll} U  =& &\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \int_0^\ell E I\; w''^2 \; dx + \frac{1}{2}\cdot K_C \cdot \Phi_C^2\\     &-&\displaystyle \int_0^\ell q_0 \; w \; dx - m_A\,g\; W_A \end{array}</math>.
 Einsetzten der Trial-Functions liefert
-<math>U= \displaystyle \frac{1}{2} \left({W_A},{{\Phi}_C}\right) \underbrace{\begin{pmatrix}\frac{\left( 8 {{3}^{\frac{5}{2}}}+262\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{3}}} & -\frac{\left( 5 {{3}^{\frac{5}{2}}}+17\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}}\\ -\frac{\left( 5 {{3}^{\frac{5}{2}}}+17\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}} & \frac{28 \mathit{EI}+{\ell_0}\, {K_C}}{{\ell_0}}\end{pmatrix}}_{\displaystyle :=\underline{\underline{A}}} \begin{pmatrix}{W_A}\\ {{\Phi}_C}\end{pmatrix} - \left({W_A},{{\Phi}_C}\right) \underbrace{\begin{pmatrix}{m_A} g-\frac{{{3}^{\frac{3}{2}}}\, {q_0}\, {\ell_0}}{8}+\frac{5 {q_0}\, {\ell_0}}{24}\\ \frac{{q_0}\, {{\ell}_{0}^{2}}}{12}\end{pmatrix}}_{\displaystyle :=\underline{b}}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->
+::<math>U= \displaystyle \frac{1}{2} \left({W_A},{{\Phi}_C}\right) \underbrace{\begin{pmatrix}\frac{\left( 8 {{3}^{\frac{5}{2}}}+262\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{3}}} & -\frac{\left( 5 {{3}^{\frac{5}{2}}}+17\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}}\\ -\frac{\left( 5 {{3}^{\frac{5}{2}}}+17\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}} & \frac{28 \mathit{EI}+{\ell_0}\, {K_C}}{{\ell_0}}\end{pmatrix}}_{\displaystyle :=\underline{\underline{A}}} \begin{pmatrix}{W_A}\\ {{\Phi}_C}\end{pmatrix} - \left({W_A},{{\Phi}_C}\right) \underbrace{\begin{pmatrix}{m_A} g-\frac{{{3}^{\frac{3}{2}}}\, {q_0}\, {\ell_0}}{8}+\frac{5 {q_0}\, {\ell_0}}{24}\\ \frac{{q_0}\, {{\ell}_{0}^{2}}}{12}\end{pmatrix}}_{\displaystyle :=\underline{b}}</math>.
-{{MyCodeBlock|title=Potentials
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+/******************************************************/
+/* Boundary Value Problem Formulation                 */
+/* elastic and gravitational potential                */
+PMPE : [Π[P] = 1/2*integrate(EI*'diff(w(x),x,2)^2, x,0,ℓ[0]) + 1/2*K[C]*Phi[C]^2,
+        A[P] =  integrate(q[0]*w(x), x,0,ℓ[0]) + m[A]*g*W[A]];
+PMPE: subst(trials, PMPE);
+PMPE: ev(PMPE,nouns);
+/* Potential                                          */
+U: expand(subst(PMPE,Π[P] - A[P]));
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
+<!-------------------------------------------------------------------------------->
-Nach dem Minimum Prinzip hat das Potential ''U'' ein Minimum - das Sytem ist im Gleichgewicht, wenn
+{{MyCodeBlock|title=Equilibrium Conditions
+|text=
+Nach dem [[Sources/Lexikon/Minimum Prinzipe|Minimum Prinzip]] hat das Potential ''U'' ein Minimum - das Sytem ist im Gleichgewicht, wenn
-<math>\underline{\underline{A}} \cdot \underline{Q} = \underline{b}</math>.
+::<math>\underline{\underline{A}} \cdot \underline{Q} = \underline{b}</math>.
 In den System-Matrizen stehen hier
-<math>\underline{\underline{A}}\,=\,\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{386.7\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{3}}} & \displaystyle -\frac{94.9\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}}\\ \displaystyle -\frac{94.9\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}} & \displaystyle \frac{{{\ell}_{0}}\cdot {{K}_{C}}+28\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}}}\end{pmatrix}
+::<math>\underline{\underline{A}}\,=\,\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{386.7\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{3}}} & \displaystyle -\frac{94.9\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}}\\ \displaystyle -\frac{94.9\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}} & \displaystyle \frac{{{\ell}_{0}}\cdot {{K}_{C}}+28\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}}}\end{pmatrix}
 </math> und
-<math>\underline{b}\,=\,\begin{pmatrix}{{m}_{A}}\,g-0.4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}}\\ 0.08\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}^{2}}\end{pmatrix}</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->
+::<math>\underline{b}\,=\,\begin{pmatrix}{{m}_{A}}\,g-0.4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}}\\ 0.08\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}^{2}}\end{pmatrix}</math>.
-{{MyCodeBlock|title=Equilibrium Conditions
-|text=text
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
+/* Equilibrium Conditions                             */
+A[M] : ratsimp(funmake('matrix,2*[
+                    [coeff(U,Q[1],2), coeff(coeff(U,Q[1],1),Q[2],1)/2],
+                    [coeff(coeff(U,Q[2],1),Q[1],1)/2, coeff(U,Q[2],2)]
+                    ]));
+rest : expand(U-1/2*Q.A[M].transpose(Q));
+b[M] : funmake('matrix,-makelist([coeff(rest,Q[i])],i,1,2));
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
+<!-------------------------------------------------------------------------------->
+{{MyCodeBlock|title=Solving
+|text=
 Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann
-<math>\displaystyle \left(\begin{array}{c} W_A\\\Phi_C\end{array}\right) = \frac{m_B\, g\, \ell_0^3}{3 \; E I}  \left(\begin{array}{l} -3.78 {10}^{-5}\\\displaystyle 0.00747 \frac{1}{\ell} \end{array} \right)</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->
+::<math>\displaystyle \left(\begin{array}{c} W_A\\\Phi_C\end{array}\right) = \frac{m_B\, g\, \ell_0^3}{3 \; E I}  \left(\begin{array}{l} -3.78 {10}^{-5}\\\displaystyle 0.00747 \frac{1}{\ell} \end{array} \right)</math>.
-{{MyCodeBlock|title=Solving
-|text=text
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
+/* Solving                                            */
+sol: linsolve_by_lu(subst(params,A[M]),subst(params,b[M]))[1];
+sol : expand(float(sol));
+sol : makelist(Q[i]=sol[i][1],i,1,2);
 </syntaxhighlight>
 }}
-==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Post-Processing
 |text=
@@ Zeile 158: / Zeile 207: @@
 ==== ... für M(x): ====
-[[Datei:Kw53-13.png|mini|Biegemoment ''M(x)''|alternativtext=|ohne]]
+[[Datei:Kw51-13.png|mini|Biegemoment ''M(x)''|alternativtext=|ohne]]
 ==== ... für Q(x): ====
@@ Zeile 165: / Zeile 214: @@
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
 /* Post-Processing                                    */
-w : subst([x=xi*ℓ[0]],subst(geometry,subst(sol, sum(Q[j]*phi[j],j,1,3))));
+w : subst([x=xi*ℓ[0]],subst(geometry,subst(sol, sum(Q[j]*phi[j],j,1,2))));
 fcts: [         w             ,

Gelöste Aufgaben/Kw53: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 31. März 2021, 06:38 Uhr

Aufgabenstellung

Lösung mit Maxima

Header

Declarations

Formfunctions

Potentials

Equilibrium Conditions

Solving

Post-Processing

... für w(x):

... für Φ(x):

... für M(x):

... für Q(x):

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