Gelöste Aufgaben/Kit4

Aufgabenstellung

Lageplan

Gesucht ist für den Euler-Bernoulli-Balken die dimensionslose Form der Bewegungs-Differentialgleichung.

Die dimensionsbehaftete Form der Bewegungsgleichung lautet

$\displaystyle E\cdot I{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}w(x)=q,{\text{ mit }}\left\{{\begin{array}{l}q=q_{0}{\text{ für }}0\leq x<\ell _{1}\\q=0{\text{ sonst }}\end{array}}\right.$

Um die dimensionslose Form der Bewegungsgleichung zu bekommen, ersetzten wir

$\displaystyle E={\tilde {E}}\cdot {\frac {F_{Bez}}{\ell _{Bez}^{2}}};\;\;I={\tilde {I}}\cdot \ell _{Bez}^{4};\;\;q_{0}={\tilde {q}}_{0}\cdot {\frac {F_{Bez}}{\ell _{Bez}}}$.

Dimensionsbehaftet ist jetzt noch w(x) und seine Ableitungen. Mit der Koordinaten-Transformation

$\displaystyle w={\tilde {w}}\cdot \ell _{Bez}{\text{ und }}x={\tilde {x}}\cdot \ell _{1}$

erhalten wir

$\displaystyle {\frac {d^{4}}{dx^{4}}}w(x)=\ell _{Bez}\cdot {\frac {d^{4}}{d{\tilde {x}}^{4}}}\left({\tilde {w}}({\tilde {x}})\right)\cdot \underbrace {\left(\;\;{\frac {d{\tilde {x}}}{dx}}\;\;\right)^{4}} _{\displaystyle ={\frac {1}{\ell _{1}^{4}}}}$.

Einsetzen liefert

$\displaystyle {\tilde {E}}{\frac {F_{Bez}}{\ell _{Bez}^{2}}}\cdot {\tilde {I}}\ell _{Bez}^{4}\cdot \ell _{Bez}{\frac {d^{4}}{d{\tilde {x}}^{4}}}{\tilde {w}}({\tilde {x}}){\frac {1}{\ell _{1}^{4}}}={\tilde {q}}{\frac {F_{Bez}}{\ell _{Bez}}}$

Die Bezugsgrößen dürfen wir frei wählen - aber wie? Für ℓ_Bez = h drücken wir die Auslenkung w als Vielfaches von h aus - das ist praktisch! Denn damit die Annahmen zur Linearisierung beim Euler-Bernoulli-Balken eingehalten werden, sollte w ≤ h, also

${\tilde {w}}\leq 1$

Für die Bezugskaft bietet sich F_Bez = G an, wobei G die Gewichtskraft des Balkens ist. Dann ist ${\tilde {q}}$ das Vielfache der Gewichts-Streckenlast.

Umschreiben und Auflösen liefert mit I = h⁴/12

$\displaystyle {\frac {d^{4}{\tilde {w}}}{d{\tilde {x}}^{4}}}={\frac {12\cdot {\tilde {q}}_{0}}{\tilde {E}}}\left({\frac {\ell _{1}}{h}}\right)^{4}$

oder abgekürzt:

$\displaystyle {\frac {d^{4}{\tilde {w}}}{d{\tilde {x}}^{4}}}=\mu$

Die dimensionslose Ortskoordinate brauchen wir für den Rest der Aufgaben - man wählt deshalb oft

$\displaystyle \xi :={\tilde {x}}{\text{ und }}{\frac {d}{d\xi }}(.)=:(.)'$

und erhält als neue Bewegungsgleichung

${\tilde {w}}''''=\mu$.

Koordinaten

Mit den neuen dimensionslosen Koordinaten und Parametern vereinfacht sich die Lösung des Problems:

So ist die analytische Lösung der Bewegungsgleichung für den Bereich i:

$\displaystyle {{\tilde {w}}_{i}}\left(\xi \right):={\frac {\mu \cdot {{\xi }^{4}}}{24}}+{\frac {{{C}_{i,3}}\cdot {{\xi }^{3}}}{6}}+{\frac {{{C}_{i,2}}\cdot {{\xi }^{2}}}{2}}+{{C}_{i,1}}\cdot \xi +{{C}_{i,0}}$

wobei der Bereich i=1 zwischen A-B sowie i=2 zwischen B-C liegt.

Die Rand- und Übergangsbedingungen lauten dann mit ℓ₂ = ℓ₁/2

${\begin{array}{ccl}{\tilde {w}}_{1}(0)&=&0\\{\tilde {w}}''_{1}(0)&=&0\end{array}}$, ${\begin{array}{ccl}{\tilde {w}}_{1}(1)&=&{\tilde {w}}_{2}(0)\\{\tilde {w}}'_{1}(1)&=&{\tilde {w}}'_{2}(0)\\{\tilde {w}}''_{1}(1)&=&{\tilde {w}}''_{2}(0)\\{\tilde {w}}'''_{1}(1)&=&{\tilde {w}}'''_{2}(0)\end{array}}$, ${\begin{array}{ccl}{\tilde {w}}_{1}(1/2)&=&0\\{\tilde {w}}''_{2}(1/2)&=&0\end{array}}$.

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