Gelöste Aufgaben/Hko8

Aufgabenstellung

Lageplan

Drei Stäbe 1, 2 und 3 werden in Punkt A verbunden. Aufgrund einer Fertigungstoleranz ist Stab 3 um zu kurz. Gesucht ist die Verschiebung des Punktes A nach dem Einhängen von Stab 3 sowie die Spannungen in den Stäben. Die drei Stäbe haben die Querschnittsfächen

$A_{1};A_{2}=2A_{1},A_{3}=A_{1}$

und die Abmessungen

$h,\Delta ,\alpha =30^{\circ }$

Alle Stäbe sind aus dem gleichen Material mit E-Modul E:

Lösung mit Maxima

... nach dem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie:

• "Das System ist im Gleichgewicht, wenn die Potentielle Energie des Systems ein Minimum hat."

Header

Wir arbeiten mit wxMaxima 15.08.2.

/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-02-28                            */
/* ref: Mathe 2                                        */
/* description: Dehnstäbe verspannt eingebaut          */
/*                                                     */
/*******************************************************/

Declarations

Parameter:

$a=\tan \left(\alpha \right)\cdot h,\alpha ={\frac {\pi }{6}},{{A}_{3}}={{A}_{1}},{{A}_{2}}=2\cdot {{A}_{1}}$

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assume(a>0, h>0);
par : [a = h*tan(alpha), alpha = %pi/6, A[3]=A[1], A[2]=2*A[1]];

Kinematics

Freischnitt: Knoten A

Aus dem Satz des Pythagoras kommt:

${\begin{array}{lll}{{\left({{\Delta }_{1}}+{{l}_{1}}\right)}^{2}}={{\left(h-v\right)}^{2}}+{{\left(a-u\right)}^{2}}\\{{\left({{\Delta }_{3}}+{{l}_{3}}\right)}^{2}}={{\left(h-\Delta -v\right)}^{2}}+{{u}^{2}}\\{{\left({{\Delta }_{2}}+{{l}_{2}}\right)}^{2}}={{\left(h-v\right)}^{2}}+{{\left(a+u\right)}^{2}}\end{array}}$

/*******************************************************/
length : [(l[1]+Delta[1])^2 = (h      -v)^2+(a-u)^2,
          (l[3]+Delta[3])^2 = (h-elta-v)^2+(  u)^2,
          (l[2]+Delta[2])^2 = (h      -v)^2+(a+u)^2];
diff  : makelist(Delta[i],i,1,3);
null : append([u=0, v=0], makelist(Delta[i]=0,i,1,3));
length : subst(par,length);
L[0] : subst(par,solve(subst(null,length), makelist(l[i],i,1,3)))[5];
L[1] : expand(subst(L[0],subst([delta=0],length)));

Linearize for small deflections

Die Stab-Längung linearisieren wir bezüglich der Koordinaten u, v und erhalten

Dehnungen:

$\displaystyle {{\varepsilon }_{1}}=-{\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(u+{\sqrt {3}}\cdot v\right)}{4\cdot h}},{{\varepsilon }_{2}}={\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(u-{\sqrt {3}}\cdot v\right)}{4\cdot h}},{{\varepsilon }_{3}}={\frac {-v+\Delta +{\text{...}}}{h-\Delta }}$

Spannungen:

$\displaystyle {{\sigma }_{1}}=-{\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(u+{\sqrt {3}}\cdot v\right)\cdot E}{4\cdot h}},{{\sigma }_{2}}={\frac {{\sqrt {3}}\cdot \left(u-{\sqrt {3}}\cdot v\right)\cdot E}{4\cdot h}},{{\sigma }_{3}}={\frac {\left(-v+\Delta +{\text{...}}\right)\cdot E}{h-\Delta }}$

/*******************************************************/
/* Linearisieren */
/* entweder .... */
L[2] : trunc(taylor(solve(L[1],diff),[u,v],0,1)[2]);
/* oder .... */
small : [u,v,Delta[1],Delta[2],Delta[3], delta];
L[3] : solve(subst([nu=1],subst([nu^2=0], subst(makelist(small[i] = nu*small[i],i,1,length(small)),L[1]))),diff)[1];

Epsilon : subst(L[2],subst(L[0], makelist(epsilon[i] = Delta[i]/l[i],i,1,3)));
Sigma   : makelist(sigma[i] = subst(Epsilon,E*epsilon[i]),i,1,3);

Equilibrium Conditions

U hat ein Minimum (Extremwert), wenn

${\frac {\displaystyle dU}{\displaystyle du}}{\stackrel {!}{=}}0\;{\text{ und }}\;{\frac {\displaystyle dU}{\displaystyle dv}}{\stackrel {!}{=}}0$

wobei die Potentielle Energie im System

$\displaystyle U=\sum _{i=1}^{3}U_{i}{\text{ mit }}U_{i}=\int _{\ell _{i}}{\frac {1}{2}}\sigma _{i}\cdot \varepsilon _{i}dx$

ist und damit

$\displaystyle U={\frac {{\sqrt {3}}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{\left(u+{\sqrt {3}}\cdot v\right)}^{2}}\cdot E}{8\cdot h}}+{\frac {{\sqrt {3}}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{\left(u-{\sqrt {3}}\cdot v\right)}^{2}}\cdot E}{4\cdot h}}+{\frac {{{A}_{1}}\cdot {{\left(-v+\Delta +{\text{...}}\right)}^{2}}\cdot E}{h}}$.

/*******************************************************/
U : sum(subst(par, A[i]*subst(Epsilon,subst(Sigma, subst(L[0],sigma[i]*epsilon[i]*l[i])))),i,1,3);
U : subst([h-delta=h],U);

Solving

Auflösen des Gleichungssystems liefert:

${\begin{array}{l}\displaystyle u=-{\frac {{\sqrt {3}}-3}{6}}\cdot \Delta ,\\\displaystyle v={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}\cdot \Delta \end{array}}$

Die Stab-Kräfte erhalten wir entsprechend zu

${\begin{array}{l}\displaystyle {{S}_{1}}=-{\frac {\left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}}\cdot \Delta ,\\\displaystyle {{S}_{2}}=-{\frac {\left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}}\cdot \Delta ,\\\displaystyle {{S}_{3}}=-{\frac {\left({\sqrt {3}}-3\right)\cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}}\cdot \Delta \end{array}}$.

/*******************************************************/
sol[1] : solve([diff(U,u) = 0, diff(U,v) = 0],[u,v])[1];
sol[2] : ratsimp(subst([h-delta=h],subst(sol[1],makelist(S[i] = subst(par,subst(Sigma,A[i]*sigma[i])),i,1,3))));

Post-Processing

Potential U(u,v).

Das Potential können wir über u,v plotten - die Gleichgewichtsbeziehung ist im Minimum der Fläche.

/*******************************************************/
/* plots */

Upsilon: ratsimp(subst([gamma = 1/100], subst([u=alpha*h,v=beta*h, delta = gamma*h],U)/(E*A[1]*h)));
plot3d(Upsilon,[alpha,-1/10,1/10],[beta,-1/10,1/10])

Links

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Literature

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