Gelöste Aufgaben/Hko8: Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufgabenstellung==
==Aufgabenstellung==
<onlyinclude>
[[Datei:Hko8-01.png|mini|left|Lageplan|alternativtext=|200x200px]]
Drei Stäbe 1, 2 und 3 werden in Punkt A verbunden. Aufgrund einer Fertigungstoleranz ist Stab 3 um zu kurz.
Gesucht ist die Verschiebung des Punktes ''A'' nach dem Einhängen von Stab 3 sowie die Spannungen in den Stäben.</onlyinclude>
Die drei Stäbe haben die Querschnittsfächen
Die drei Stäbe haben die Querschnittsfächen


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Alle Stäbe sind aus dem gleichen Material mit E-Modul ''E'':
Alle Stäbe sind aus dem gleichen Material mit E-Modul ''E'':


<onlyinclude>
== Lösung mit Maxima ==
[[Datei:Hko8-01.png|mini|left|Lageplan|alternativtext=|200x200px]]
... nach dem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie:
Drei Stäbe 1, 2 und 3 werden in Punkt A verbunden. Aufgrund einer Fertigungstoleranz ist Stab 3 um zu kurz.
 
Gesucht ist die Verschiebung des Punktes ''A'' nach dem Einhängen von Stab 3 sowie die Spannungen in den Stäben.</onlyinclude>
* "Das System ist im Gleichgewicht, wenn die Potentielle Energie des Systems ein Minimum hat."
 
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Header
|text=Wir arbeiten mit wxMaxima 15.08.2.
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                      */
/* version: wxMaxima 15.08.2                          */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-02-28                            */
/* ref: Mathe 2                                        */
/* description: Dehnstäbe verspannt eingebaut          */
/*                                                    */
/*******************************************************/
</syntaxhighlight>
}}
 
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Declarations
|text=Parameter:
 
::<math>a=\tan\left( \alpha\right) \cdot h,\alpha=\frac{\pi }{6},{{A}_{3}}={{A}_{1}},{{A}_{2}}=2\cdot {{A}_{1}}</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
 
/*******************************************************/
assume(a>0, h>0);
par : [a = h*tan(alpha), alpha = %pi/6, A[3]=A[1], A[2]=2*A[1]];
</syntaxhighlight>
}}
 
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Kinematics
|text=
[[Datei:Hk08-11.png|mini|Freischnitt: Knoten A|alternativtext=|205x205px]]
 
Aus dem Satz des Pythagoras kommt:
 
::<math>\begin{array}{lll}{{\left( {{\Delta}_{1}}+{{l}_{1}}\right) }^{2}}={{\left( h-v\right) }^{2}}+{{\left( a-u\right) }^{2}}\\ {{\left( {{\Delta}_{3}}+{{l}_{3}}\right) }^{2}}={{\left(h -\Delta-v\right) }^{2}}+{{u}^{2}}\\ {{\left( {{\Delta}_{2}}+{{l}_{2}}\right) }^{2}}={{\left( h-v\right) }^{2}}+{{\left( a+u\right) }^{2}}\end{array}</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*******************************************************/
length : [(l[1]+Delta[1])^2 = (h      -v)^2+(a-u)^2,
          (l[3]+Delta[3])^2 = (h-elta-v)^2+(  u)^2,
          (l[2]+Delta[2])^2 = (h      -v)^2+(a+u)^2];
diff  : makelist(Delta[i],i,1,3);
null : append([u=0, v=0], makelist(Delta[i]=0,i,1,3));
length : subst(par,length);
L[0] : subst(par,solve(subst(null,length), makelist(l[i],i,1,3)))[5];
L[1] : expand(subst(L[0],subst([delta=0],length)));
</syntaxhighlight>
}}
 
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Linearize for small deflections
|text=
Die Stab-Längung linearisieren wir bezüglich der Koordinaten ''u, v'' und erhalten
 
'''Dehnungen:'''
 
::<math>\displaystyle  {{\varepsilon}_{1}}=-\frac{\sqrt{3}\cdot \left( u+\sqrt{3}\cdot v\right) }{4\cdot h},{{\varepsilon}_{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \left( u-\sqrt{3}\cdot v\right) }{4\cdot h},{{\varepsilon}_{3}}=\frac{-v+\Delta+\text{...}}{h-\Delta}</math>
 
'''Spannungen''':
 
::<math>\displaystyle {{\sigma}_{1}}=-\frac{\sqrt{3}\cdot \left( u+\sqrt{3}\cdot v\right) \cdot E}{4\cdot h},{{\sigma}_{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \left( u-\sqrt{3}\cdot v\right) \cdot E}{4\cdot h},{{\sigma}_{3}}=\frac{\left( -v+\Delta+\text{...}\right) \cdot E}{h-\Delta}</math>
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*******************************************************/
/* Linearisieren */
/* entweder .... */
L[2] : trunc(taylor(solve(L[1],diff),[u,v],0,1)[2]);
/* oder .... */
small : [u,v,Delta[1],Delta[2],Delta[3], delta];
L[3] : solve(subst([nu=1],subst([nu^2=0], subst(makelist(small[i] = nu*small[i],i,1,length(small)),L[1]))),diff)[1];
 
Epsilon : subst(L[2],subst(L[0], makelist(epsilon[i] = Delta[i]/l[i],i,1,3)));
Sigma  : makelist(sigma[i] = subst(Epsilon,E*epsilon[i]),i,1,3);
</syntaxhighlight>
}}
 
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Equilibrium Conditions
|text=
''U'' hat ein Minimum (Extremwert), wenn
 
::<math>\frac{\displaystyle dU}{\displaystyle  du} \stackrel{!}{=} 0 \;\text{ und } \; \frac{\displaystyle dU}{\displaystyle dv} \stackrel{!}{=} 0</math>
 
wobei die Potentielle Energie im System
 
::<math>\displaystyle U = \sum_{i=1}^3 U_i \text{ mit } U_i = \int_{\ell_i} \frac{1}{2} \sigma_i \cdot \varepsilon_i dx</math>
 
ist und damit
 
::<math>\displaystyle U=\frac{\sqrt{3}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{\left( u+\sqrt{3}\cdot v\right) }^{2}}\cdot E}{8\cdot h}+\frac{\sqrt{3}\cdot {{A}_{1}}\cdot {{\left( u-\sqrt{3}\cdot v\right) }^{2}}\cdot E}{4\cdot h}+\frac{{{A}_{1}}\cdot {{\left( -v+\Delta+\text{...}\right) }^{2}}\cdot E}{h}</math>.
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*******************************************************/
U : sum(subst(par, A[i]*subst(Epsilon,subst(Sigma, subst(L[0],sigma[i]*epsilon[i]*l[i])))),i,1,3);
U : subst([h-delta=h],U);
</syntaxhighlight>
}}
 
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Solving
|text=
Auflösen des Gleichungssystems liefert:
 
::<math>\begin{array}{l}\displaystyle u=-\frac{\sqrt{3}-3}{6}\cdot \Delta,\\ \displaystyle v=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\cdot \Delta\end{array}</math>
 
Die Stab-Kräfte erhalten wir entsprechend zu


== Lösung mit Maxima ==
::<math>\begin{array}{l}\displaystyle {{S}_{1}}=-\frac{\left( \sqrt{3}-1\right) \cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}\cdot \Delta,\\\displaystyle {{S}_{2}}=-\frac{\left( \sqrt{3}-1\right) \cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}\cdot \Delta,\\\displaystyle {{S}_{3}}=-\frac{\left( \sqrt{3}-3\right) \cdot {{A}_{1}}\cdot E}{2\cdot h}\cdot \Delta\end{array}</math>.
Lorem Ipsum ....
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
/*******************************************************/
sol[1] : solve([diff(U,u) = 0, diff(U,v) = 0],[u,v])[1];
sol[2] : ratsimp(subst([h-delta=h],subst(sol[1],makelist(S[i] = subst(par,subst(Sigma,A[i]*sigma[i])),i,1,3))));
</syntaxhighlight>
}}


<!-------------------------------------------------------------------------------->
<!-------------------------------------------------------------------------------->
{{MyCodeBlock|title=Title
{{MyCodeBlock|title=Post-Processing
|text=Text
|text=[[Datei:Hk08-12.png|mini|Potential '''''U'''(u,v).'']]
Das Potential können wir über ''u,v'' plotten - die Gleichgewichtsbeziehung ist im Minimum der Fläche.
|code=
|code=
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
1+1
 
/*******************************************************/
/* plots */
 
Upsilon: ratsimp(subst([gamma = 1/100], subst([u=alpha*h,v=beta*h, delta = gamma*h],U)/(E*A[1]*h)));
plot3d(Upsilon,[alpha,-1/10,1/10],[beta,-1/10,1/10])
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
}}
}}


'''Links'''
'''Links'''
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'''Literature'''
'''Literature'''
* ...
* ...
h
[[Datei:Hk08-12.png|mini|Potential '''''U'''(u,v).'']]
[[Datei:Hk08-11.png|mini|Freischnitt: Knoten A]]

Aktuelle Version vom 9. März 2021, 11:53 Uhr


Aufgabenstellung

Lageplan

Drei Stäbe 1, 2 und 3 werden in Punkt A verbunden. Aufgrund einer Fertigungstoleranz ist Stab 3 um zu kurz. Gesucht ist die Verschiebung des Punktes A nach dem Einhängen von Stab 3 sowie die Spannungen in den Stäben. Die drei Stäbe haben die Querschnittsfächen

und die Abmessungen

Alle Stäbe sind aus dem gleichen Material mit E-Modul E:

Lösung mit Maxima

... nach dem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie:

  • "Das System ist im Gleichgewicht, wenn die Potentielle Energie des Systems ein Minimum hat."

Header

Wir arbeiten mit wxMaxima 15.08.2.


/*******************************************************/
/* MAXIMA script                                       */
/* version: wxMaxima 15.08.2                           */
/* author: Andreas Baumgart                            */
/* last updated: 2017-02-28                            */
/* ref: Mathe 2                                        */
/* description: Dehnstäbe verspannt eingebaut          */
/*                                                     */
/*******************************************************/




Declarations

Parameter:


/*******************************************************/
assume(a>0, h>0);
par : [a = h*tan(alpha), alpha = %pi/6, A[3]=A[1], A[2]=2*A[1]];




Kinematics

Freischnitt: Knoten A

Aus dem Satz des Pythagoras kommt:


/*******************************************************/
length : [(l[1]+Delta[1])^2 = (h      -v)^2+(a-u)^2,
          (l[3]+Delta[3])^2 = (h-elta-v)^2+(  u)^2,
          (l[2]+Delta[2])^2 = (h      -v)^2+(a+u)^2];
diff  : makelist(Delta[i],i,1,3);
null : append([u=0, v=0], makelist(Delta[i]=0,i,1,3));
length : subst(par,length);
L[0] : subst(par,solve(subst(null,length), makelist(l[i],i,1,3)))[5];
L[1] : expand(subst(L[0],subst([delta=0],length)));




Linearize for small deflections

Die Stab-Längung linearisieren wir bezüglich der Koordinaten u, v und erhalten

Dehnungen:

Spannungen:


/*******************************************************/
/* Linearisieren */
/* entweder .... */
L[2] : trunc(taylor(solve(L[1],diff),[u,v],0,1)[2]);
/* oder .... */
small : [u,v,Delta[1],Delta[2],Delta[3], delta];
L[3] : solve(subst([nu=1],subst([nu^2=0], subst(makelist(small[i] = nu*small[i],i,1,length(small)),L[1]))),diff)[1];

Epsilon : subst(L[2],subst(L[0], makelist(epsilon[i] = Delta[i]/l[i],i,1,3)));
Sigma   : makelist(sigma[i] = subst(Epsilon,E*epsilon[i]),i,1,3);




Equilibrium Conditions

U hat ein Minimum (Extremwert), wenn

wobei die Potentielle Energie im System

ist und damit

.

/*******************************************************/
U : sum(subst(par, A[i]*subst(Epsilon,subst(Sigma, subst(L[0],sigma[i]*epsilon[i]*l[i])))),i,1,3);
U : subst([h-delta=h],U);




Solving

Auflösen des Gleichungssystems liefert:

Die Stab-Kräfte erhalten wir entsprechend zu

.

/*******************************************************/
sol[1] : solve([diff(U,u) = 0, diff(U,v) = 0],[u,v])[1];
sol[2] : ratsimp(subst([h-delta=h],subst(sol[1],makelist(S[i] = subst(par,subst(Sigma,A[i]*sigma[i])),i,1,3))));




Post-Processing

Potential U(u,v).

Das Potential können wir über u,v plotten - die Gleichgewichtsbeziehung ist im Minimum der Fläche.


/*******************************************************/
/* plots */

Upsilon: ratsimp(subst([gamma = 1/100], subst([u=alpha*h,v=beta*h, delta = gamma*h],U)/(E*A[1]*h)));
plot3d(Upsilon,[alpha,-1/10,1/10],[beta,-1/10,1/10])





Links

  • ...

Literature

  • ...