Werkzeuge/Lösungsverfahren für Bewegungsgleichungen - Versionsgeschichte

Mechaniker am 19. Februar 2021 um 14:20 Uhr

2021-02-19T14:20:21Z

Mechaniker: /* Randwert- und Anfangswertprobleme */

2021-02-19T14:14:41Z

Randwert- und Anfangswertprobleme

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:14 Uhr
Zeile 128:		Zeile 128:
	[xlabel, "x/l →"], [ylabel, "M/(l^2arho) →"]);		[xlabel, "x/l →"], [ylabel, "M/(l^2arho) →"]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	\|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"\| <syntaxhighlight lang="~~nlisp~~" line='line' style="border:1px solid blue">		\|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"\| <syntaxhighlight lang="lisp" line='line' style="border:1px solid blue">
	/* Maxima */		/* Maxima */
	units: [cm=1/100m, km = 1000m, h=6060s];		units: [cm=1/100m, km = 1000m, h=6060s];

Mechaniker: /* Randwert- und Anfangswertprobleme */

2021-02-19T14:13:52Z

Randwert- und Anfangswertprobleme

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:13 Uhr
Zeile 90:		Zeile 90:
	\|+		\|+
	\|style="width:50%; vertical-align:top"\|Für den links und rechts gelenkig gelagerten Balken (Biegesteigifkeit ''EI'', Dichte ρ, Querschnittsfläche ''A'', Länge ''ℓ'') ist		\|style="width:50%; vertical-align:top"\|Für den links und rechts gelenkig gelagerten Balken (Biegesteigifkeit ''EI'', Dichte ρ, Querschnittsfläche ''A'', Länge ''ℓ'') ist
	<math>M''(x) = -q(x)</math>		::<math>M''(x) = -q(x)</math>

	Die Bedingungen an den Rändern (''x=0'') und (''x=ℓ'') sind~~<blockquote><blockquote><math>M(0) = 0</math>~~		Die Bedingungen an den Rändern (''x=0'') und (''x=ℓ'') sind

	::<math>M(~~\ell~~) = 0</math><~~/blockquote~~></~~blockquote~~>		::<math>M( 0 ) = 0</math>
			::<math>M(\ell) = 0</math>

	[[Datei:Lösungsverfahren-BVP.png\|left]]		[[Datei:Lösungsverfahren-BVP.png\|left]]

Mechaniker am 19. Februar 2021 um 14:12 Uhr

2021-02-19T14:12:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:12 Uhr
Zeile 94:		Zeile 94:
	Die Bedingungen an den Rändern (''x=0'') und (''x=ℓ'') sind<blockquote><blockquote><math>M(0) = 0</math>		Die Bedingungen an den Rändern (''x=0'') und (''x=ℓ'') sind<blockquote><blockquote><math>M(0) = 0</math>

	<math>M(\ell) = 0</math></blockquote></blockquote>		::<math>M(\ell) = 0</math></blockquote></blockquote>

	[[Datei:Lösungsverfahren-BVP.png\|left]]		[[Datei:Lösungsverfahren-BVP.png\|left]]

Mechaniker: /* Randwert- und Anfangswertprobleme */

2021-02-19T14:11:55Z

Randwert- und Anfangswertprobleme

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:11 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+		\|+
	\|style="width:50%; vertical-align=top"\|Für den links und rechts gelenkig gelagerten Balken (Biegesteigifkeit ''EI'', Dichte ρ, Querschnittsfläche ''A'', Länge ''ℓ'') ist		\|style="width:50%; vertical-align:top"\|Für den links und rechts gelenkig gelagerten Balken (Biegesteigifkeit ''EI'', Dichte ρ, Querschnittsfläche ''A'', Länge ''ℓ'') ist
	<math>M''(x) = -q(x)</math>		<math>M''(x) = -q(x)</math>

Mechaniker: /* Randwert- und Anfangswertprobleme */

2021-02-19T14:11:19Z

Randwert- und Anfangswertprobleme

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:11 Uhr
Zeile 113:		Zeile 113:
	\|Die Lösung des IVP mit Maxima liefert		\|Die Lösung des IVP mit Maxima liefert
	\|-		\|-
	\|style="vertical-align:top" \| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" \| <syntaxhighlight lang="~~Emacs Lisp~~" line='line' style="border:1px solid blue">		\|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" \| <syntaxhighlight lang="lisp" line='line' style="border:1px solid blue">
	/* Maxima */		/* Maxima */
	dgl: 'diff(M(x),x,2)+rho*A = 0;		dgl: 'diff(M(x),x,2)+rho*A = 0;
Zeile 127:		Zeile 127:
	[xlabel, "x/l →"], [ylabel, "M/(l^2arho) →"]);		[xlabel, "x/l →"], [ylabel, "M/(l^2arho) →"]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	\|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"\| <syntaxhighlight lang="~~notmuch~~" line='line' style="border:1px solid blue">		\|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"\| <syntaxhighlight lang="nlisp" line='line' style="border:1px solid blue">
	/* Maxima */		/* Maxima */
	units: [cm=1/100m, km = 1000m, h=6060s];		units: [cm=1/100m, km = 1000m, h=6060s];
Zeile 150:		Zeile 150:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	\|-		\|-
	\|style="width:50%; vertical-align=top"\|den Schnittmomentenverlauf		\|style="width:50%; vertical-align:top"\|den Schnittmomentenverlauf

	::<math>\displaystyle M(x) =\frac{\ell^2 \cdot \rho\cdot A}{2} \cdot \xi \cdot \left(1 - \xi \right)</math>,		::<math>\displaystyle M(x) =\frac{\ell^2 \cdot \rho\cdot A}{2} \cdot \xi \cdot \left(1 - \xi \right)</math>,
Zeile 158:		Zeile 158:
	[[Datei:Lösungsverfahren-BVP-plot.png\|left\|mini\|Schnittmomentenverlauf]]<br clear="all"/>		[[Datei:Lösungsverfahren-BVP-plot.png\|left\|mini\|Schnittmomentenverlauf]]<br clear="all"/>

	\|style="width:50%; vertical-align=top"\|den Verlauf der Koordinaten u, v		\|style="width:50%; vertical-align:top"\|den Verlauf der Koordinaten u, v

	::<math>\begin{array}{cc} u\left( t\right) =&\displaystyle \frac{200\cdot \mathit{km}\cdot t}{h}\\\mathrm{v}\left( t\right) =&\displaystyle -\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}+\frac{100\cdot \mathit{km}\cdot t}{h}+200\cdot \mathit{cm}\end{array}</math>,		::<math>\begin{array}{cc} u\left( t\right) =&\displaystyle \frac{200\cdot \mathit{km}\cdot t}{h}\\\mathrm{v}\left( t\right) =&\displaystyle -\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}+\frac{100\cdot \mathit{km}\cdot t}{h}+200\cdot \mathit{cm}\end{array}</math>,

Mechaniker: /* Randwert- und Anfangswertprobleme */

2021-02-19T14:07:44Z

Randwert- und Anfangswertprobleme

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:07 Uhr
Zeile 97:		Zeile 97:

	[[Datei:Lösungsverfahren-BVP.png\|left]]		[[Datei:Lösungsverfahren-BVP.png\|left]]
	\|style="width:50%; vertical-align=top"\|		\|style="width:50%; vertical-align:top"\|
	Für einen Golfball (Punktmasse) ist die Bewegungsgleichung in ''u(t)'' und ''v(t)''		Für einen Golfball (Punktmasse) ist die Bewegungsgleichung in ''u(t)'' und ''v(t)''

Zeile 113:		Zeile 113:
	\|Die Lösung des IVP mit Maxima liefert		\|Die Lösung des IVP mit Maxima liefert
	\|-		\|-
	\|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" <syntaxhighlight lang="Emacs Lisp" line='line' style="border:1px solid blue">		\|style="vertical-align:top" \| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" \| <syntaxhighlight lang="Emacs Lisp" line='line' style="border:1px solid blue">
	/* Maxima */		/* Maxima */
	dgl: 'diff(M(x),x,2)+rho*A = 0;		dgl: 'diff(M(x),x,2)+rho*A = 0;

Mechaniker am 19. Februar 2021 um 14:06 Uhr

2021-02-19T14:06:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:06 Uhr
Zeile 113:		Zeile 113:
	\|Die Lösung des IVP mit Maxima liefert		\|Die Lösung des IVP mit Maxima liefert
	\|-		\|-
	\|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"\| <syntaxhighlight lang="~~notmuch~~" line='line' style="border:1px solid blue">		\|style="vertical-align:top" class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" <syntaxhighlight lang="Emacs Lisp" line='line' style="border:1px solid blue">
	/* Maxima */		/* Maxima */
	dgl: 'diff(M(x),x,2)+rho*A = 0;		dgl: 'diff(M(x),x,2)+rho*A = 0;

Mechaniker: /* Randwert- und Anfangswertprobleme */

2021-02-19T14:03:41Z

Randwert- und Anfangswertprobleme

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:03 Uhr
Zeile 97:		Zeile 97:

	[[Datei:Lösungsverfahren-BVP.png\|left]]		[[Datei:Lösungsverfahren-BVP.png\|left]]
	\|; vertical-align=top\|		\|style="width:50%; vertical-align=top"\|
	Für einen Golfball (Punktmasse) ist die Bewegungsgleichung in ''u(t)'' und ''v(t)''		Für einen Golfball (Punktmasse) ist die Bewegungsgleichung in ''u(t)'' und ''v(t)''

Zeile 150:		Zeile 150:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	\|-		\|-
	\|den Schnittmomentenverlauf		\|style="width:50%; vertical-align=top"\|den Schnittmomentenverlauf

	::<math>\displaystyle M(x) =\frac{\ell^2 \cdot \rho\cdot A}{2} \cdot \xi \cdot \left(1 - \xi \right)</math>,		::<math>\displaystyle M(x) =\frac{\ell^2 \cdot \rho\cdot A}{2} \cdot \xi \cdot \left(1 - \xi \right)</math>,
Zeile 158:		Zeile 158:
	[[Datei:Lösungsverfahren-BVP-plot.png\|left\|mini\|Schnittmomentenverlauf]]<br clear="all"/>		[[Datei:Lösungsverfahren-BVP-plot.png\|left\|mini\|Schnittmomentenverlauf]]<br clear="all"/>

	\|den Verlauf der Koordinaten u, v		\|style="width:50%; vertical-align=top"\|den Verlauf der Koordinaten u, v

	::<math>\begin{array}{cc} u\left( t\right) =&\displaystyle \frac{200\cdot \mathit{km}\cdot t}{h}\\\mathrm{v}\left( t\right) =&\displaystyle -\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}+\frac{100\cdot \mathit{km}\cdot t}{h}+200\cdot \mathit{cm}\end{array}</math>,		::<math>\begin{array}{cc} u\left( t\right) =&\displaystyle \frac{200\cdot \mathit{km}\cdot t}{h}\\\mathrm{v}\left( t\right) =&\displaystyle -\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}+\frac{100\cdot \mathit{km}\cdot t}{h}+200\cdot \mathit{cm}\end{array}</math>,

Mechaniker: /* Randwert- und Anfangswertprobleme */

2021-02-19T14:01:16Z

Randwert- und Anfangswertprobleme

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:01 Uhr
Zeile 168:		Zeile 168:
	die grafische Auftragung in der Wurfparabel:		die grafische Auftragung in der Wurfparabel:

	[[Datei:Lösungsverfahren-IVP-plot.png\|mini\|Wurfparabel]]<be clear="all"/>		[[Datei:Lösungsverfahren-IVP-plot.png\|mini\|Wurfparabel]]<br clear="all"/>

	Und das geht auch, wenn es keine analytische Lösung mehr gibt!		Und das geht auch, wenn es keine analytische Lösung mehr gibt!

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 14:20 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen für physikalische Systeme. Sie sind in der Technischen Mechanik meist Gleichgewichtsbeziehungen zwischen abhängigen Variablen, bei denen auch Ableitungen dieser Variablen vorkommen.		Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen für physikalische Systeme. Sie sind in der Technischen Mechanik meist Gleichgewichtsbeziehungen zwischen abhängigen Variablen, bei denen auch Ableitungen dieser Variablen vorkommen.

	Für einen Euler-Bernoulli-Balken ist die gesuchte Variable z.B. der Verlauf des Schnittmoments ''M(x)'' in der Statik starrer Körper oder der Auslenkung ''w(x)'' in der Elastizitätstheorie. Die Bewegungsgleichungen lauten dann in ''x'' für		Für einen [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] ist die gesuchte Variable z.B. der Verlauf des [[Sources/Lexikon/Schnittmoment\|Schnittmoments]] ''M(x)'' in der Statik starrer Körper oder der Auslenkung ''w(x)'' in der [[Sources/Lexikon/Elastizitätstheorie\|Elastizitätstheorie]]. Die Bewegungsgleichungen lauten dann in ''x'' für

	* <math>M(x): M''(x) = -q(x)</math>		* <math>M(x): M''(x) = -q(x)</math>
Zeile 20:		Zeile 20:
	Wir unterscheiden zwischen Randwert- und Anfangswertproblemen.		Wir unterscheiden zwischen Randwert- und Anfangswertproblemen.

	Randwertprobleme geben Bedingungen für die gesuchten abhängigen Variablen an den Rändern des Gebiets vor. Bei Stäben heißt das: an "beiden" Seiten des Gebiets (two-point-boundary value problem).		Randwertprobleme geben Bedingungen für die gesuchten abhängigen Variablen an den Rändern des Gebiets vor. Bei [[Sources/Lexikon/Stab\|Stäben]] heißt das: an "beiden" Seiten des Gebiets (two-point-boundary value problem).

	Anfangswertprobleme geben nur an einem Rand - am Anfang - Bedingungen für die gesuchten abhängigen Variablen vor.		Anfangswertprobleme geben nur an einem Rand - am Anfang - Bedingungen für die gesuchten abhängigen Variablen vor.
Zeile 26:		Zeile 26:
	Alle Probleme der Strukturmechanik sind Randwertprobleme. Viele Probleme der nichtlinearen Dynamik werden als Anfangswertprobleme gelöst. Und bei Schwingungen von Kontinua sind Randwertproblem und Anfangswertproblem gemischt.		Alle Probleme der Strukturmechanik sind Randwertprobleme. Viele Probleme der nichtlinearen Dynamik werden als Anfangswertprobleme gelöst. Und bei Schwingungen von Kontinua sind Randwertproblem und Anfangswertproblem gemischt.

	Alle Gleichgewichtsbedingungen der Stukturmechanik für Kontinua sind über Differentialgleichungen formuliert. Für uns Ingenieure sind sie deshalb die zentralen Bausteine für die Modellbildung und Simulation. Dabei sind praktisch alle relevanten Bewegungsgleichungen der Stukturmechanik Modelle, denen zum Teil gravierende Vereinfachungen zu Grunde liegen. So gelten die Bewegungsgleichungen für den Euler-Bernoulli-Balken oben nur, wenn		Alle Gleichgewichtsbedingungen der Stukturmechanik für Kontinua sind über Differentialgleichungen formuliert. Für uns Ingenieure sind sie deshalb die zentralen Bausteine für die Modellbildung und Simulation. Dabei sind praktisch alle relevanten Bewegungsgleichungen der Stukturmechanik Modelle, denen zum Teil gravierende Vereinfachungen zu Grunde liegen. So gelten die Bewegungsgleichungen für den [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] oben nur, wenn

	* der Balken in seiner unausgelenkten Lage gerade ist,		* der Balken in seiner unausgelenkten Lage gerade ist,
Zeile 40:		Zeile 40:
	so:		so:

	* Die Änderung des Schnittmoments ''M(x)'' entlang der Koordinate ''x'' ist gleich der Querkraft im Balken.		* Die Änderung des Schnittmoments ''M(x)'' entlang der Koordinate ''x'' ist gleich der [[Sources/Lexikon/Querkraftverlauf\|Querkraft]] im Balken.
	* Die Änderung der Querkraft ''Q(x)'' entlang der Koordinate ''x'' ist gleich der negativen äußeren Streckenlast im Balken.		* Die Änderung der Querkraft ''Q(x)'' entlang der Koordinate ''x'' ist gleich der negativen äußeren [[Sources/Lexikon/Streckenlast\|Streckenlast]] im Balken.

	Für eine Reihe von einfachen Bewegungsgleichungen von eindimensionalen Kontinua (Euler-Bernoulli-Balken, Dehnstab, Torsionsstab) finden wir analytische Lösungen. Das sind die absoluten Ausnahmen. In der Regel muss man mit numerischen Näherungsverfahen arbeiten.		Für eine Reihe von einfachen Bewegungsgleichungen von eindimensionalen Kontinua ([[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]], [[Sources/Lexikon/Dehnstab\|Dehnstab]], [[Sources/Lexikon/Torsionsstab\|Torsionsstab]]) finden wir analytische Lösungen. Das sind die absoluten Ausnahmen. In der Regel muss man mit numerischen Näherungsverfahen arbeiten.


Zeile 73:		Zeile 73:
	Lösungstypen:		Lösungstypen:

	* analytisch: Integration in ''x'' und Anpassung der Integrationskonstanten an die Randbedingungen		* [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Integration der Differentialbeziehung (EBB)\|analytisch: Integration in ''x'' und Anpassung der Integrationskonstanten an die Randbedingungen]]
	* analytisch: durch e<sup>κx</sup>-Ansatz		* analytisch: durch e<sup>κx</sup>-Ansatz
	* [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Differenzen Verfahren (EBB)\|Finite Differenzen Verfahren]]		* [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Differenzen Verfahren (EBB)\|Finite Differenzen Verfahren]]