Werkzeuge/Lösungsbausteine der Mathematik/Gewöhnliche lineare Gleichungssysteme - Versionsgeschichte

Mechaniker am 18. Februar 2021 um 15:37 Uhr

2021-02-18T15:37:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 15:37 Uhr
Zeile 91:		Zeile 91:
	<li>die Einheitsmatrix:<br/>		<li>die Einheitsmatrix:<br/>
	<math> \underline{\underline{1}} := \left(\begin{array}{cccc} 1& 0& \ldots & 0\\ 0& 1& \ldots & 0\\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ 0& 0& \ldots & 1 \end{array}\right)</math>.<br/>		<math> \underline{\underline{1}} := \left(\begin{array}{cccc} 1& 0& \ldots & 0\\ 0& 1& \ldots & 0\\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ 0& 0& \ldots & 1 \end{array}\right)</math>.<br/>
	Hier sind alle Diagonalelemente 1 und die restlichen Elemente 0. Oft wird E für diese Matrix verwendet, das kollidiert dann in der Mechanik mit der Matrix für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen eines isotropischen Materials (Hooks Gesetz / Spannungs-Dehnungs-Beziehung).</li>		Hier sind alle Diagonalelemente 1 und die restlichen Elemente 0. Oft wird E für diese Matrix verwendet, das kollidiert dann in der Mechanik mit der Matrix für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen eines isotropischen Materials ([[wikipedia:Hooke's_law\|Hooks Gesetz]] / [[Sources/Lexikon/Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation)\|Spannungs-Dehnungs-Beziehung]]).</li>
	<li>die Nullmatrix ''0'':<br/>		<li>die Nullmatrix ''0'':<br/>
	<math>\underline{\underline{ 0 }}</math><br/>		<math>\underline{\underline{ 0 }}</math><br/>
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	Ein Gleichungssystem heißt inhomogen, wenn die rechte Seite des Gleichungssystems ''b'' keine Null-Spaltenmatrix - kurz: nicht Null - ist.		Ein Gleichungssystem heißt inhomogen, wenn die rechte Seite des Gleichungssystems ''b'' keine Null-Spaltenmatrix - kurz: nicht Null - ist.

	Ein inhomogenes Gleichungssystem hat nur dann Lösungen, wenn die Spalten und Zeilen der Systemmatrix ''A'' linear unabhängig sind. Das prüft man mit über die Determinante		Ein inhomogenes Gleichungssystem hat nur dann Lösungen, wenn die Spalten und Zeilen der Systemmatrix ''A'' linear unabhängig sind. Das prüft man mit über die [[Sources/Lexikon/Determinante\|Determinante]].

	Lösungsbeispiele sind:		Lösungsbeispiele sind:

Mechaniker: /* Bezeichnungen */

2021-02-18T15:34:34Z

Bezeichnungen

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Zeile 100:		Zeile 100:
	</ul>		</ul>

	{{Vorlage:MyWarning\|title=Achtung\|text=In der Mathematik und Mechanik werden hier unterschiedliche Begriffe verwendet. Die Mathematik bezeichnet eine Matrix mit nur einer Spalte oder Zeile als Vektor. Auch in Matlab heißt eine solche Matrix "Vektor". Für Ingenieure ist das keine gute Wahl: bei uns sind Vektoren gerichtete und orientierte Größen im Raum, keine Tabelle mit Objekten.		{{Vorlage:MyWarning\|title=Achtung\|text=In der Mathematik und Mechanik werden hier unterschiedliche Begriffe verwendet. Die Mathematik bezeichnet eine Matrix mit nur einer Spalte oder Zeile als Vektor. Auch in Matlab heißt eine solche Matrix "[[Sources/Lexikon/Vektor\|Vektor]]". Für Ingenieure ist das keine gute Wahl: bei uns sind Vektoren gerichtete und orientierte Größen im Raum, keine Tabelle mit Objekten.
	Achtung}}		Achtung}}

Mechaniker: /* Bezeichnungen */

2021-02-18T15:34:00Z

Bezeichnungen

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Zeile 93:		Zeile 93:
	Hier sind alle Diagonalelemente 1 und die restlichen Elemente 0. Oft wird E für diese Matrix verwendet, das kollidiert dann in der Mechanik mit der Matrix für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen eines isotropischen Materials (Hooks Gesetz / Spannungs-Dehnungs-Beziehung).</li>		Hier sind alle Diagonalelemente 1 und die restlichen Elemente 0. Oft wird E für diese Matrix verwendet, das kollidiert dann in der Mechanik mit der Matrix für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen eines isotropischen Materials (Hooks Gesetz / Spannungs-Dehnungs-Beziehung).</li>
	<li>die Nullmatrix ''0'':<br/>		<li>die Nullmatrix ''0'':<br/>
	<math>\underline{\underline{ 0 }}</math>alle Elemente der Matrix sind 0.</li>		<math>\underline{\underline{ 0 }}</math><br/>
			alle Elemente der Matrix sind 0.</li>
	<li>Die Dreiecksmatrix:<br/>Hier sind alle Elemente ober- oder unterhalb der Haupt-Diagonalen 0.</li>		<li>Die Dreiecksmatrix:<br/>Hier sind alle Elemente ober- oder unterhalb der Haupt-Diagonalen 0.</li>
	<li>symmetrische Matrizen:<br/> Hier ist<br/><math>a_{i,j} = a_{j,i}</math>.</li>		<li>symmetrische Matrizen:<br/> Hier ist<br/><math>a_{i,j} = a_{j,i}</math>.</li>

Mechaniker: /* Bezeichnungen */

2021-02-18T15:33:31Z

Bezeichnungen

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 15:33 Uhr
Zeile 88:		Zeile 88:
	Matrizen mit besondern Eigenschaften sind		Matrizen mit besondern Eigenschaften sind

	* die Einheitsmatrix:<br/>		<ul>
	<math> \underline{\underline{1}} := \left(\begin{array}{cccc} 1& 0& \ldots & 0\\ 0& 1& \ldots & 0\\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ 0& 0& \ldots & 1 \end{array}\right)</math>. Hier sind alle Diagonalelemente 1 und die restlichen Elemente 0. Oft wird E für diese Matrix verwendet, das kollidiert dann in der Mechanik mit der Matrix für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen eines isotropischen Materials (Hooks Gesetz / Spannungs-Dehnungs-Beziehung).		<li>die Einheitsmatrix:<br/>
	* die Nullmatrix ''0'':<br/> <math>\underline{\underline{ 0 }}</math>alle Elemente der Matrix sind 0.		<math> \underline{\underline{1}} := \left(\begin{array}{cccc} 1& 0& \ldots & 0\\ 0& 1& \ldots & 0\\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ 0& 0& \ldots & 1 \end{array}\right)</math>.<br/>
	* Die Dreiecksmatrix: Hier sind alle Elemente ober- oder unterhalb der Haupt-Diagonalen 0.		Hier sind alle Diagonalelemente 1 und die restlichen Elemente 0. Oft wird E für diese Matrix verwendet, das kollidiert dann in der Mechanik mit der Matrix für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen eines isotropischen Materials (Hooks Gesetz / Spannungs-Dehnungs-Beziehung).</li>
	* symmetrische Matrizen:<br/> Hier ist <math>a_{i,j} = a_{j,i}</math>.		<li>die Nullmatrix ''0'':<br/>
	* Zeilenmatrix, Spaltenmatrix: Dies sind Matrizen, die nur eine Zeile oder nur eine Spalte besitzen.		<math>\underline{\underline{ 0 }}</math>alle Elemente der Matrix sind 0.</li>
			<li>Die Dreiecksmatrix:<br/>Hier sind alle Elemente ober- oder unterhalb der Haupt-Diagonalen 0.</li>
			<li>symmetrische Matrizen:<br/> Hier ist<br/><math>a_{i,j} = a_{j,i}</math>.</li>
			<li>Zeilenmatrix, Spaltenmatrix: Dies sind Matrizen, die nur eine Zeile oder nur eine Spalte besitzen.</li>
			</ul>

	{{Vorlage:MyWarning\|title=Achtung\|text=In der Mathematik und Mechanik werden hier unterschiedliche Begriffe verwendet. Die Mathematik bezeichnet eine Matrix mit nur einer Spalte oder Zeile als Vektor. Auch in Matlab heißt eine solche Matrix "Vektor". Für Ingenieure ist das keine gute Wahl: bei uns sind Vektoren gerichtete und orientierte Größen im Raum, keine Tabelle mit Objekten.		{{Vorlage:MyWarning\|title=Achtung\|text=In der Mathematik und Mechanik werden hier unterschiedliche Begriffe verwendet. Die Mathematik bezeichnet eine Matrix mit nur einer Spalte oder Zeile als Vektor. Auch in Matlab heißt eine solche Matrix "Vektor". Für Ingenieure ist das keine gute Wahl: bei uns sind Vektoren gerichtete und orientierte Größen im Raum, keine Tabelle mit Objekten.

Mechaniker: /* Inverse Matrix */

2021-02-18T15:31:22Z

Inverse Matrix

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 15:31 Uhr
Zeile 128:		Zeile 128:
	Die inverse einer Matrix ''A<sup>-1</sup>'' erfüllt		Die inverse einer Matrix ''A<sup>-1</sup>'' erfüllt

	:<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{\underline{A}}^{-1} = \underline{\underline{1}}</math>.		::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{\underline{A}}^{-1} = \underline{\underline{1}}</math>.

	Für Anwendungen der Mechanik brauchen wir sie nicht.		Für Anwendungen der Mechanik brauchen wir sie nicht.

Mechaniker am 18. Februar 2021 um 15:29 Uhr

2021-02-18T15:29:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 15:29 Uhr
Zeile 134:		Zeile 134:
	Insbesondere ist		Insbesondere ist

	::[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-invM.png\|left]]<br clear=all"/>		::[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-invM.png\|left]]
			<br clear="all"/>

	im numerischen Kontext verboten. Denn Matrizen zu invertieren ist		im numerischen Kontext verboten. Denn Matrizen zu invertieren ist

Mechaniker: /* Inverse Matrix */

2021-02-18T15:28:28Z

Inverse Matrix

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 15:28 Uhr
Zeile 127:		Zeile 127:
	= Inverse Matrix =		= Inverse Matrix =
	Die inverse einer Matrix ''A<sup>-1</sup>'' erfüllt		Die inverse einer Matrix ''A<sup>-1</sup>'' erfüllt

			:<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{\underline{A}}^{-1} = \underline{\underline{1}}</math>.

	Für Anwendungen der Mechanik brauchen wir sie nicht.		Für Anwendungen der Mechanik brauchen wir sie nicht.
Zeile 132:		Zeile 134:
	Insbesondere ist		Insbesondere ist

	[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-invM.png\|left]]<br clear=all">		::[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-invM.png\|left]]<br clear=all"/>

	im numerischen Kontext verboten. Denn Matrizen zu invertieren ist		im numerischen Kontext verboten. Denn Matrizen zu invertieren ist

Mechaniker: /* Inverse Matrix */

2021-02-18T15:27:14Z

Inverse Matrix

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 15:27 Uhr
Zeile 132:		Zeile 132:
	Insbesondere ist		Insbesondere ist

	[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-invM.png\|left]]		[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-invM.png\|left]]<br clear=all">

	im numerischen Kontext verboten. Denn Matrizen zu invertieren ist		im numerischen Kontext verboten. Denn Matrizen zu invertieren ist

Mechaniker: /* Lösung von inhomogenen Gleichungssystemen */

2021-02-18T15:26:14Z

Lösung von inhomogenen Gleichungssystemen

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 15:26 Uhr
Zeile 109:		Zeile 109:
	!'''Maxima'''		!'''Maxima'''
	\|-		\|-
	\|style="vertical-align:top"\|[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-Matlab.png\|left\|~~200px\|mini~~\|<code>x = linsovle(A,b)</code>]]		\|style="vertical-align:top"\|[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-Matlab.png\|left\|129px\|<code>x = linsovle(A,b)</code>]]
	\|style="vertical-align:top"\|[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-linsolve by lu.png\|left\|mini\|x : linsolve_by_lu(A,b);]]		\|style="vertical-align:top"\|[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-linsolve by lu.png\|left\|mini\|x : linsolve_by_lu(A,b);]]
	\|-		\|-

Mechaniker: /* Lösung von inhomogenen Gleichungssystemen */

2021-02-18T15:25:17Z

Lösung von inhomogenen Gleichungssystemen

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 15:25 Uhr
Zeile 109:		Zeile 109:
	!'''Maxima'''		!'''Maxima'''
	\|-		\|-
	\|style="vertical-align:top"\|[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-Matlab.png\|left\|mini\|<code>x = linsovle(A,b)</code>]]		\|style="vertical-align:top"\|[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-Matlab.png\|left\|200px\|mini\|<code>x = linsovle(A,b)</code>]]
	\|style="vertical-align:top"\|[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-linsolve by lu.png\|left\|mini\|x : linsolve_by_lu(A,b);]]		\|style="vertical-align:top"\|[[Datei:GewöhnlicheLineareGleichungssysteme-linsolve by lu.png\|left\|mini\|x : linsolve_by_lu(A,b);]]
	\|-		\|-