Werkzeuge/Lösungsbausteine der Mathematik/Eigenwertprobleme - Versionsgeschichte

Mechaniker: /* Orthogonalität der Eigenvektoren */

2021-02-19T12:54:43Z

Orthogonalität der Eigenvektoren

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 12:54 Uhr
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	Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren ''q<sub>i</sub>'' untereinander orthogonal sind (also (''q<sub>j<sup>T</sup></sub>∙q''<sub>i</sub>)=0''), wenn die Matrix ''A'' symmetrisch ist, also A = A<sup>T</sup>. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".		Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren ''q<sub>i</sub>'' untereinander orthogonal sind (also (''q<sub>j<sup>T</sup></sub>∙q''<sub>i</sub>)=0''), wenn die Matrix ''A'' symmetrisch ist, also A = A<sup>T</sup>. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".

	Das das so ist, kann man zeigen, indem wir in der Formulierung des Eigenwertproblems für ''λ''<sub>i</sub> die Gleichung mit ''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>'''' multiplizieren, also		Das das so ist, kann man zeigen, indem wir in der Formulierung des Eigenwertproblems für ''λ''<sub>i</sub> die Gleichung mit ''q<sub>j<sup>T</sup></sub>'' multiplizieren, also

	::<math>\begin{array}{c}\underline{q}_j^T\cdot\underline{\underline{A}}\cdot \underline{q}_i = \lambda_i\cdot \underline{q}_j^T\cdot\underline{q}_i\\ \underline{q}_i^T\cdot\underline{\underline{A}}\cdot \underline{q}_j = \lambda_j\cdot \underline{q}_i^T\cdot\underline{q}_j\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{c}\underline{q}_j^T\cdot\underline{\underline{A}}\cdot \underline{q}_i = \lambda_i\cdot \underline{q}_j^T\cdot\underline{q}_i\\ \underline{q}_i^T\cdot\underline{\underline{A}}\cdot \underline{q}_j = \lambda_j\cdot \underline{q}_i^T\cdot\underline{q}_j\end{array}</math>

Mechaniker: /* Das klassische Eigenwertproblem */

2021-02-19T12:54:18Z

Das klassische Eigenwertproblem

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	::<math>\underline{\underline{D}}(\lambda_i)\cdot\underline{q}_i = \underline{0}</math>		::<math>\underline{\underline{D}}(\lambda_i)\cdot\underline{q}_i = \underline{0}</math>

	lösen und so die '''Eigenvektoren''' ''q''<sub>i</sub>'''' bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(D)=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir eine "Freiheit" übrig:		lösen und so die '''Eigenvektoren''' ''q<sub>i</sub>'' bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(D)=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir eine "Freiheit" übrig:

	Wenn ''q''<sub>i</sub>'''' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q''<sub>i</sub>'''' eine Lösung.		Wenn ''q<sub>i</sub>'' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q<sub>i</sub>'' eine Lösung.

	==== Orthogonalität der Eigenvektoren ====		==== Orthogonalität der Eigenvektoren ====
	Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren ''q''<sub>i</sub>'''' untereinander orthogonal sind (also (''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>''∙q''<sub>i</sub>'')=0''), wenn die Matrix ''A'' symmetrisch ist, also A = A<sup>T</sup>. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".		Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren ''q<sub>i</sub>'' untereinander orthogonal sind (also (''q<sub>j<sup>T</sup></sub>∙q''<sub>i</sub>)=0''), wenn die Matrix ''A'' symmetrisch ist, also A = A<sup>T</sup>. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".

	Das das so ist, kann man zeigen, indem wir in der Formulierung des Eigenwertproblems für ''λ''<sub>i</sub> die Gleichung mit ''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>'''' multiplizieren, also		Das das so ist, kann man zeigen, indem wir in der Formulierung des Eigenwertproblems für ''λ''<sub>i</sub> die Gleichung mit ''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>'''' multiplizieren, also
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	Für ''λ''<sub>i</sub>≠''λ''<sub>j</sub> ist das Skalarprodukt der beiden Eigenvektoren (''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>''∙q''<sub>i</sub>'')=0'' - sie sind orthogonal zu einander.		Für ''λ''<sub>i</sub>≠''λ''<sub>j</sub> ist das Skalarprodukt der beiden Eigenvektoren (''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>''∙q''<sub>i</sub>'')=0'' - sie sind orthogonal zu einander.


	=== Das generalisierte Eigenwertproblem ===		=== Das generalisierte Eigenwertproblem ===

Mechaniker: /* Das generalisierte Eigenwertproblem */

2021-02-19T12:52:25Z

Das generalisierte Eigenwertproblem

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	::<math>\underline{\underline{D}}(\lambda_i)\cdot\underline{q}_i = \underline{0}</math>		::<math>\underline{\underline{D}}(\lambda_i)\cdot\underline{q}_i = \underline{0}</math>

	lösen und so die Eigenwerte ''q''<sub>i</sub>'''' - die Modalformen - bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(''D'')=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir auch hier eine "Freiheit" übrig:		lösen und so die Eigenwerte ''q<sub>i</sub>'' - die Modalformen - bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(''D'')=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir auch hier eine "Freiheit" übrig:

	Wenn ''q<sub>i</sub>'' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q<sub>i</sub>'' eine Lösung.		Wenn ''q<sub>i</sub>'' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q<sub>i</sub>'' eine Lösung.

Mechaniker: /* Das generalisierte Eigenwertproblem */

2021-02-19T12:51:40Z

Das generalisierte Eigenwertproblem

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 12:51 Uhr
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	lösen und so die Eigenwerte ''q''<sub>i</sub>'''' - die Modalformen - bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(''D'')=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir auch hier eine "Freiheit" übrig:		lösen und so die Eigenwerte ''q''<sub>i</sub>'''' - die Modalformen - bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(''D'')=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir auch hier eine "Freiheit" übrig:

	Wenn ''q''<sub>i</sub>'''' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q''<sub>i</sub>'''' eine Lösung.		Wenn ''q<sub>i</sub>'' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q<sub>i</sub>'' eine Lösung.

	==== Orthogonalität der Eigenvektoren ====		==== Orthogonalität der Eigenvektoren ====

Mechaniker am 19. Februar 2021 um 12:49 Uhr

2021-02-19T12:49:48Z

Mechaniker am 19. Februar 2021 um 12:46 Uhr

2021-02-19T12:46:41Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 19. Februar 2021 um 12:40 Uhr

2021-02-19T12:40:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2021, 12:40 Uhr
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	</ul>		</ul>
	Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}		Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}

			= Das klassische Eigenwertproblem =
			Allgemein ist ein Eigenwertproblem beschreiben durch die Gleichung

			::<math></math>

			mit der ''n × n''-Matrix ''A''.

			Gesucht sind also Lösungen ''q'', die ein Vielfaches λ der Abbildung A''∙''q sind.

			Die Umformung der Gleichung auf

			::<math></math>

			zeigt, dass wir ein homogene Gleichungssystem lösen müssen. Das hat nur dann nicht-triviale (von Null verschiedene) Lösungen, wenn D einen Rangabfall von mindestes 1 hat: die Gleichungen linear abhängig sind.

			Dafür müssen wir fordern, dass

			::<math></math>.

			Der Wert dieser Determinante heißt "charakteristisches Polynom".Die Nullstellen ''λ<sub>i</sub>'' des charakteristischen Polynoms heißen '''Eigenwerte'''.

			Für jeden Wert ''λ<sub>i</sub>'' können wir das Gleichungssystem

			::<math></math>

			lösen und so die '''Eigenvektoren''' ''q''<sub>i</sub>'''' bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(D)=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir eine "Freiheit" übrig:

			Wenn ''q''<sub>i</sub>'''' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q''<sub>i</sub>'''' eine Lösung.

			== Orthogonalität der Eigenvektoren ==
			Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren ''q''<sub>i</sub>'''' untereinander orthogonal sind (also (''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>''∙q''<sub>i</sub>'')=0''), wenn die Matrix ''A'' symmetrisch ist, also A = A<sup>T</sup>. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".

			Das das so ist, kann man zeigen, indem wir in der Formulierung des Eigenwertproblems für ''λ''<sub>i</sub> die Gleichung mit ''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>'''' multiplizieren, also

			::<math></math>

			Wir subtrahieren die beiden Gleichungen voneinander und erhalten

			::<math></math>.

			Die letzte Zeile der Gleichung können wir nun so interpretieren:

			Für ''λ''<sub>i</sub>≠''λ''<sub>j</sub> ist das Skalarprodukt der beiden Eigenvektoren (''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>''∙q''<sub>i</sub>'')=0'' - sie sind orthogonal zu einander.


			= Das generalisierte Eigenwertproblem =
			Bei einem generalisierten Eigenwertproblem ist

			::<math></math>

			mit den quadratischen ''n×n'' Matrizen ''K'' und ''M''. In technischen Systemen sind diese beiden Matrizen außerdem meist symmetrisch - hier gilt also:

			::<math></math>.

			So steht bei Modalanalysen von schwingungsfähigen Systemen

			* das K für die Steifigkeitsmatrix,
			* das M für die Massenmatrix und
			* ''λ'' für das Quadrat der Eigenkreisfrequenz ''ω<sub>0</sub><sup>2</sup>''.

			Analog zum Vorgehen oben schreiben wir

			::<math></math>

			und fordern, dass

			::<math></math>.

			Für jeden Eigenwert ''λ<sub>i</sub>'' = ''ω<sub>0,i</sub><sup>2</sup>'' können wir das Gleichungssystem

			::<math></math>

			lösen und so die Eigenwerte ''q''<sub>i</sub>'''' - die Modalformen - bestimmen. Da das Gleichungssystem durch det(''D'')=0 mindestens eine linear abhängige Gleichung enthält, behalten wir auch hier eine "Freiheit" übrig:

			Wenn ''q''<sub>i</sub>'''' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q''<sub>i</sub>'''' eine Lösung.

			== Orthogonalität der Eigenvektoren ==
			Auch für das generalisierte Eigenwertproblem finden wir Orthogonalitätsbeziehungen. Analog zu unserem Vorgehen oben schreiben wir

			::<math></math>

			und erhalten aus ''K = K<sup>T</sup>'' die Beziehung

			::<math></math>.

			Die Eigenvektoren ''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>'', q''<sub>i</sub> zu verschiedenen Eigenwerten, also ''λ''<sub>i</sub>≠''λ''<sub>j</sub> , sind im Sinne des Skalarprodukts

			::<math></math>

			orthogonal zueinander.

			== Die Modal-Matrix ==
			In der Schwingungslehre fasst man die ''n'' Spaltenmatrizen der Eigenvektoren ''q<sub>i</sub>'' zur Modalmatrix zusammen:

			::<math></math>

			Analog verfährt ,am mit den Eigenwerten, die man zur Diagonalmatrix ''Λ'' zusammenfasst:

			::<math></math>

			Das Eigenwertproblem können wir jetzt umschreiben zu

			::<math></math>

			mit der modalen Massenmatrix und modalen Steifigkeitsmatrix

			::<math></math>.

			Diese beiden Matrizen sind Diagonalmatrizen - aufgrund der Orthogonalität der Eigenvektoren (Spaltenmatrizen der ~) - ebenfalls Diagonalmatrizen. Also ist

			::<math></math> und <math></math>.

			Jeden einzelnen der Eigenvektoren ''q''<sub>i</sub> dürfen wir mit einer Konstanten multiplizieren, die modalen Massen und Steifigkeiten sind deshalb nicht für das Ausgangssystem spezifisch. Aus dem Eigenwertproblem folgt jedoch nun

			::<math></math> sowie <math></math>.

			Durch die Modalkoordinaten können wir die Bewegungsgleichungen also entkoppeln.

			Für ein schwingungsfähiges System folgt für die Eigenkreisfrequenz nun

			::<math></math>.

Mechaniker am 18. Februar 2021 um 16:32 Uhr

2021-02-18T16:32:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 16:32 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	{{Vorlage:MyTip\|title=Eigenwertprobleme im Einsatz\|text=		{{Vorlage:MyTip\|title=Eigenwertprobleme im Einsatz\|text=
			<ul>
	* Hauptspannungen sind Eigenwerte des Spannungstensors. Hauptspannungsrichtungen sind Eigenvektoren des Spannungstensonrs.		<li>Hauptspannungen sind Eigenwerte des Spannungstensors. Hauptspannungsrichtungen sind Eigenvektoren des Spannungstensonrs.</li>
	* Eigenfrequenzen sind Eigenwerte der Bewegungsgleichung von schwingungsfähigen Systemen. Und die Eigenvektoren sind die Modalformen der Schwingung.		<li>Eigenfrequenzen sind Eigenwerte der Bewegungsgleichung von schwingungsfähigen Systemen. Und die Eigenvektoren sind die Modalformen der Schwingung.</li>
			</ul>
	Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}		Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}

Mechaniker am 18. Februar 2021 um 16:31 Uhr

2021-02-18T16:31:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 16:31 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	{{Vorlage:MyTip\|title=Eigenwertprobleme im Einsatz\|text=		{{Vorlage:MyTip\|title=Eigenwertprobleme im Einsatz\|text=

	* Hauptspannungen sind Eigenwerte des Spannungstensors. Hauptspannungsrichtungen sind Eigenvektoren des Spannungstensonrs.		* Hauptspannungen sind Eigenwerte des Spannungstensors. Hauptspannungsrichtungen sind Eigenvektoren des Spannungstensonrs.
	* Eigenfrequenzen sind Eigenwerte der Bewegungsgleichung von schwingungsfähigen Systemen. Und die Eigenvektoren sind die Modalformen der Schwingung.		* Eigenfrequenzen sind Eigenwerte der Bewegungsgleichung von schwingungsfähigen Systemen. Und die Eigenvektoren sind die Modalformen der Schwingung.

	Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}		Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}

Mechaniker am 18. Februar 2021 um 16:31 Uhr

2021-02-18T16:31:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2021, 16:31 Uhr
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	~~lkjlk~~
			{{Vorlage:MyTip\|title=Eigenwertprobleme im Einsatz\|text=
			* Hauptspannungen sind Eigenwerte des Spannungstensors. Hauptspannungsrichtungen sind Eigenvektoren des Spannungstensonrs.
			* Eigenfrequenzen sind Eigenwerte der Bewegungsgleichung von schwingungsfähigen Systemen. Und die Eigenvektoren sind die Modalformen der Schwingung.

			Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}

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	Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}		Eigenwerte und ihre Eigenvektoren spielen also eine große Rolle in technischen Anwendungen.}}

	= Das klassische Eigenwertproblem =		=== Das klassische Eigenwertproblem ===
	Allgemein ist ein Eigenwertproblem beschreiben durch die Gleichung		Allgemein ist ein Eigenwertproblem beschreiben durch die Gleichung

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	Wenn ''q''<sub>i</sub>'''' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q''<sub>i</sub>'''' eine Lösung.		Wenn ''q''<sub>i</sub>'''' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q''<sub>i</sub>'''' eine Lösung.

	== Orthogonalität der Eigenvektoren ==		==== Orthogonalität der Eigenvektoren ====
	Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren ''q''<sub>i</sub>'''' untereinander orthogonal sind (also (''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>''∙q''<sub>i</sub>'')=0''), wenn die Matrix ''A'' symmetrisch ist, also A = A<sup>T</sup>. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".		Zum Wesen der Eigenvektoren in vielen technischen Systemen gehört es, dass die Eigenverktoren ''q''<sub>i</sub>'''' untereinander orthogonal sind (also (''q''<sub>j<sup>T</sup></sub>''∙q''<sub>i</sub>'')=0''), wenn die Matrix ''A'' symmetrisch ist, also A = A<sup>T</sup>. So stehen die Hauptspannungsrichtungen, die zu den einzelnen Hauptspannungen gehören - senkrecht zueinander. Das kennen Sie bereits vom "Mohr'schen Spannungskreis".

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	= Das generalisierte Eigenwertproblem =		=== Das generalisierte Eigenwertproblem ===
	Bei einem generalisierten Eigenwertproblem ist		Bei einem generalisierten Eigenwertproblem ist

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	Wenn ''q''<sub>i</sub>'''' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q''<sub>i</sub>'''' eine Lösung.		Wenn ''q''<sub>i</sub>'''' ein Eigenvektor des Eigenwertproblems ist, so ist auch ''c∙q''<sub>i</sub>'''' eine Lösung.

	== Orthogonalität der Eigenvektoren ==		==== Orthogonalität der Eigenvektoren ====
	Auch für das generalisierte Eigenwertproblem finden wir Orthogonalitätsbeziehungen. Analog zu unserem Vorgehen oben schreiben wir		Auch für das generalisierte Eigenwertproblem finden wir Orthogonalitätsbeziehungen. Analog zu unserem Vorgehen oben schreiben wir

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	orthogonal zueinander.		orthogonal zueinander.

	== Die Modal-Matrix ==		==== Die Modal-Matrix ====
	In der Schwingungslehre fasst man die ''n'' Spaltenmatrizen der Eigenvektoren ''q<sub>i</sub>'' zur Modalmatrix zusammen:		In der Schwingungslehre fasst man die ''n'' Spaltenmatrizen der Eigenvektoren ''q<sub>i</sub>'' zur Modalmatrix zusammen: