Mechaniker am 25. März 2021 um 15:22 Uhr

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	Die Dimension einer physikalischen Größe erfasst man durch		Die Dimension einer physikalischen Größe erfasst man durch

Mechaniker am 17. Februar 2021 um 11:25 Uhr

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	M		=== Schreibweise ===
			Die Dimension einer physikalischen Größe erfasst man durch

			::<math>\text{ dim}(.)</math>

			So ist

			::<math>\text{ dim}(F) = \text{Kraft}</math>

			oder, abgekürzt

			::<math>\begin{array}{lcl}\text{ dim}(F) &=& K(\text{Kraft})\\\text{ dim}(\ell) &=& L (\text{Länge})\\\text{ dim}(t) &=& T (\text{Zeit}) \\\text{ dim}(m) &=& M (\text{Masse} ) \end{array}</math>

			Basis-Einheiten nach dem SI-System sind

			# Meter (''m''),
			# Kilogramm (''kg''),
			# Sekunde (''s''),
			# Ampere (''A''),
			# Kelvin (K),
			# Mol (mol) sowie
			# Candela (cd)

			Von diesen sieben brauchen wir hier nur die ersten drei.

			Weitere Einheiten lassen sich auf diese drei zurückführen und umrechnen:

			::<math>N = \displaystyle \frac{kg \; m}{s^2}</math>,

			::<math>\text{ rad } = 1 \displaystyle \frac{m}{m} (\text{ radiant })</math>

			oder

			::<math>\text{bar} = \displaystyle 10^5 \frac{N}{m^2}</math>.

			Im Computer können wir keine Einheiten brauchen. Wir könnten alle Parameter in den SI-Basiseinheiten ausdrücken - dann müssen sich die Einheiten herauskürzen. Das geht bei realen Problemen häufig schief, weil die dann in den Systemmatrizen stehenden numerische Werte oft um mehrere Größenordnungen unterschiedliche Werte haben.

			Beispiel:

			Die numerischen Werte in der Randbedingung des [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balkens]]

			* für das Moment sind von der Größenordnung 10^6;
			* für die Verschiebung/Verdrehung sind von der Größenordnung 1.


			=== Dimensionslos-Machen von Bewegungsgleichungen ===
			Wir suchen nach Koordinaten der Bewegung, die keine Einheit mehr haben und deren Werte von der Größenordnung "1" sind. Das klappt nicht immer, aber oft.

			Vorgehensschema:

			# alle dimensionsbehafteten Parameter und Koordinaten durch dimensionslose Größen und Bezugsgrößen ersetzen;
			# die Bezugsgrößen aus den Bewegungsgleichungen herauskürzen → die Bewegungsgleichung sieht wieder wie ursprünglich aus;
			# Bezugsgrößen "passend" wählen;
			# die numerischen Werte aller dimensionslosen Parameter berechnen und in die Bewegungsgleichungen einsetzen;
			# Bewegungsgleichungen lösen.

			==== Beispiel: ====

			===== Aufgabenstellung =====
			Wir lassen eine Kugel im Erdschwerefeld aus der Höhe H und ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen.
			[[Datei:DimensionenUndEiheiten-BallBounce.png\|mini\|188x188px\|Lageplan]]
			Die Bewegungsgleichung des Systems mit der nichtlinearen Kontaktkraft ''K(h)'' in ''h(t)'' lautet:

			::<math>-m \ddot{h} - m g + K(h) = 0</math>,

			===== Dimensionslose Koordinate =====
			Eine dimensionslose Koordinate bekommen wir, wenn wir ''h'' durch eine passende Bezugslänge ''l<sub>Bez</sub>'' teilen, also

			::<math>\tilde{h} = \displaystyle \frac{h(t)}{\ell_{Bez}} \text{ bzw } h = \tilde{h} \cdot \ell_{Bez}</math>,

			Die zweite Ableitung nach der Zeit bringt uns allerdings wieder eine Dimension - hier die Zeit - hinein. Mit der neuen, dimensionslosen Zeit τ

			::<math>\tau = \displaystyle \frac{t}{t_{Bez}}</math>,

			und den dimensionslosen Parametern

			::<math>\displaystyle \tilde{m} = \frac{m}{m_{Bez}}, \tilde{K} = \frac{K}{F_{Bez}} \text{ und } \tilde{g} = \frac{g}{a_{Bez}} </math>,

			lautet die neue Bewegungsgleichung nun

			::<math>\displaystyle - \tilde{m} \frac{m_{Bez} \ell_{Bez}}{t_{Bez}^2} \frac{d^2}{d \tau^2} \tilde{h} - m_{Bez} a_{Bez} \tilde{m} \tilde{g} + F_{Bez} \tilde{K} = 0</math>,

			Das sieht sehr kompliziert aus - löst sich aber gleich in Wohlgefallen auf. Zunächst dürfen wir nur drei Beszugsgrößen unabhängig voneinander wählen, also könnten wir

			::<math>\displaystyle a_{Bez} = \frac{\ell_{Bez}}{t_{Bez}^2} \text{ und } F_{Bez} = \frac{m_{Bez} \ell_{Bez}}{t_{Bez}^2}</math>,

			ersetzen und erhalten - nach der Division durch die Bezugskraft

			::<math>-\tilde{m} \tilde{h}'' - \tilde{m} \tilde{g} + \tilde{K} = 0\text{ mit } \displaystyle (.)' := \frac{d}{d\tau}(.)</math>,

			Das ist nun wiederum die Form der Ausgangs-Bewegungsgleichung - nur, dass hier jetzt andere Zahlenwerte stehen.

			===== Wahl der Bezugsgrößen =====
			Es ist praktisch

			::<math>\displaystyle \ell_{Bez} = H \text{ , } F_{Bez} = m g \text{ und } t_{Bez} = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (\text{ die Zeit bis zum ersten Aufprall})</math>,

			zu wählen - denn dann wird der Wert von der dimensionslosen Koordinate ''h(t)/H'' zwischen 0 und 1 sein, die Dauer einer Periode des Vorgangs wird fast 2 sein (wenn die Stoßdauer sehr kurz ist).

			Mit den Systemparametern

			::<math>H = 1 \text{m}, m g = 1 \text{N}</math>,

			ist z.B. der Zahlenwert für die dimensionslose Erdbeschleunigung nun

			::<math>\begin{array}{cl} \tilde{g} &=\displaystyle 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}/\frac{\ell_{Bez}}{t_{Bez}^2}\\ &= 1.962 \end{array}</math>,

			===== Bewegungsgleichungen lösen =====
			Die Bewegungsgleichung können wir nun als ODE 1ster Ordnung schreiben als

			::<math>\displaystyle \frac{d}{d\tau}\left( \begin{array}{c} \tilde{h} \\ \tilde{v} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \tilde{v} \\-\tilde{g}+\tilde{k}(\tilde{h}) \end{array} \right)</math>,

			und im Zeitbereich mit den Anfangsbedingungen

			::<math>\left( \begin{array}{c} \tilde{h}_0 \\ \tilde{v}_0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1\\0 \end{array} \right)</math>,

			lösen. Im Zeitbereich finden wir die Lösung

			[[Datei:DimensionenUndEinheiten-Simulationsergebnis.png\|left\|mini\|Zeitverlauf der Ball-Höhe.]]

			und die entspricht - mit der Anfangs-Höhe "1" und der Periodendauer von (fast) "2" - genau unseren Vorstellungen!

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