Mechaniker am 21. April 2021 um 15:39 Uhr

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	~~lölklök~~		Der Zusammenhang zwischen Verschiebungen ''u'' und Verzerrungen ''ε'' ist eine Differentialbeziehung: die Verzerrungen (Dehnungen) ergeben sich aus Ableitungen der Verschiebungen.

			In der Nomenklatur der Einstein'schen Summations-Konvention wählt man ein Koordinatensystem mit den Achen ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>'' und den Verschiebungen in diese Richtungen ''u= [u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>]''.

			Dann sind die Verschiebungen

			::<math>u_1(x_1,x_2,x_3)</math>

			Funktionen der unabhängigen Koordinaten.

			Die Dehnungen ergeben sich aus

			::<math>\begin{aligned}\varepsilon _{{ij}}& ={\frac {1}{2}}\left(u_{{i,j}}+u_{{j,i}}\right)\\ \underline{\underline{\varepsilon}} & =\left({\begin{matrix}\varepsilon _{{11}}&\varepsilon _{{12}}&\varepsilon _{{13}}\\\varepsilon _{{21}}&\varepsilon _{{22}}&\varepsilon _{{23}}\\\varepsilon _{{31}}&\varepsilon _{{32}}&\varepsilon _{{33}}\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}</math>

			zu

			::<math>\underline{\underline{\varepsilon}} =\left({\begin{matrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{matrix}}\right)</math>.

			In der gewohnten Nomenklatur mit x, y, z -Achse und den Auslenkungen u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) in diese Richtungen ist

			::<math>\underline{\underline{\varepsilon}} = =\left({\begin{matrix} {\frac {\partial u}{\partial x}}& {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)& {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)& {\frac {\partial v}{\partial y}}& {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\right)\\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)& {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)& {\frac {\partial w}{\partial z}}\\ \end{matrix}}\right)</math>.

			Die geometrische Interpretation zu den Verzerrungsgrößen finden Sie in [[wikipedia:Infinitesimal_strain_theory\|hier]].

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