Mechaniker am 21. April 2021 um 13:15 Uhr

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	~~</math>~~<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Eindimensionaler Spannungszustand		{{MyCodeBlock\|title=Eindimensionaler Spannungszustand
	\|text=		\|text=
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	bzw.		bzw.

	::<math>\displaystyle {{\sigma}_{\mathit{xx}}}=E\,{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}=-\nu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{zz}}}=-\nu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{yz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xy}}}=0		::<math>\displaystyle {{\sigma}_{\mathit{xx}}}=E\,{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}=-\nu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{zz}}}=-\nu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{yz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xy}}}=0</math>
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 21. April 2021 um 13:14 Uhr

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Mechaniker am 21. April 2021 um 13:12 Uhr

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	~~äöl~~
			Der Zusammenhang zwischen Dehnung un Spannung für isotropes, linear-elastisches Werkstoffverhalten wird durch

			<math>\underline{\sigma} = \underline{\underline{E}}\cdot \underline{\varepsilon}</math>

			beschrieben. In Komponenten-Schreibweise ist dies

			<math>\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&2\mu &0&0\\0&0&0&0&2\mu &0\\0&0&0&0&0&2\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}</math>,

			wobei ''λ'' und ''μ'' die Lamé'schen Konstanten sind und zum Elastizitäts-Modul ''E'' und der Querkontraktion ''ν'' folgende Beziehung haben:

			<math>\begin{array}{l}\displaystyle \lambda=\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}\\\displaystyle \mu = \frac {E }{2(1+\nu )}\end{array}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->

			{{MyCodeBlock\|title=Allgemeines Werkstoffgesetzt (3D)
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}



			Alle anderen Werkstoff-Gesetze lassen sich daraus ableiten, z.B. für den ebenen Spannungszustand mit

			<math>\sigma_{zz}=0, \sigma_{xz}=0, \sigma_{yz}=0</math>

			erhalten wir

			<math>\displaystyle {{\sigma}_{\mathit{xx}}}=\frac{2\lambda\mu{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}+\left( 4{{\mu}^{2}}+4\lambda\mu\right) \,{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+\lambda},{{\sigma}_{\mathit{yy}}}=\frac{\left( 4{{\mu}^{2}}+4\lambda\mu\right) \,{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}+2\lambda\mu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+\lambda},{{\sigma}_{\mathit{xy}}}=2\mu{{\epsilon}_{\mathit{xy}}},{{\epsilon}_{\mathit{zz}}}=-\frac{\lambda{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}+\lambda{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+\lambda},{{\epsilon}_{\mathit{yz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xz}}}=0</math>

			In Matrixschreibweise erhalten wir

			<math>\left(\begin{array}{c}\sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{xy} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \frac{4{{\mu}^{2}}+4\lambda\mu}{2\mu+\lambda} & \frac{2\lambda\mu}{2\mu+\lambda}& 0\\ \frac{2\lambda\mu}{2\mu+\lambda}&\frac{4{{\mu}^{2}}+4\lambda\mu}{2\mu+\lambda}&0\\ 0 & 0 & 2 \mu \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}\varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{xy} \end{array}\right) </math>

			bzw mit ''E'' und ''ν''

			<math>\left(\begin{array}{c}\sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{xy} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \frac{E}{1-{{\nu}^{2}}} & \frac{E\;\nu}{1-{{\nu}^{2}}} & 0\\ \frac{E\;\nu}{1-{{\nu}^{2}}} & \frac{E}{1-{{\nu}^{2}}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{E}{\nu+1} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}\varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{xy} \end{array}\right) </math>.
			<!-------------------------------------------------------------------------------->


			{{MyCodeBlock\|title=Ebener Spannugnszustand
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}



			Ganz entsprechend erhalten wir für

			<math>\sigma_{yy}=0, \sigma_{zz}=0, \sigma_{xz}=0, \sigma_{yz}=0, \sigma_{xy}=0</math>

			die Ergebnisse

			<math>\displaystyle {{\sigma}_{\mathit{xx}}}=\frac{\left( 2{{\mu}^{2}}+3\lambda\mu\right) \,{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{\mu+\lambda},{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}=-\frac{\lambda{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+2\lambda},{{\epsilon}_{\mathit{zz}}}=-\frac{\lambda{{\epsilon}_{\mathit{xx}}}}{2\mu+2\lambda},{{\epsilon}_{\mathit{yz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xy}}}=0</math>

			bzw.

			<math>\displaystyle {{\sigma}_{\mathit{xx}}}=E\,{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{yy}}}=-\nu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{zz}}}=-\nu{{\epsilon}_{\mathit{xx}}},{{\epsilon}_{\mathit{yz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xz}}}=0,{{\epsilon}_{\mathit{xy}}}=0</math><!-------------------------------------------------------------------------------->

			{{MyCodeBlock\|title=Eindimensionaler Spannungszustand
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

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