Sources/Lexikon/Reibkennlinie - Versionsgeschichte

Mechaniker: /* Stetig fallende Reibkennlinie */

2021-04-21T07:45:12Z

Stetig fallende Reibkennlinie

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	Besser geht das mit einer stetig fallenden Kennlinie:		Besser geht das mit einer stetig fallenden Kennlinie:

	== Stetig fallende Reibkennlinie ==		== Verbesserter Ansatz: Stetig fallende Reibkennlinie ==
	Die gesuchte stetig differenzierbare Kennlinie ''μ(ν)'' mit stetig abnehmendem Reibkoeffizienten setzen wir aus sin- und e-Funktion zusammen.		Die gesuchte stetig differenzierbare Kennlinie ''μ(ν)'' mit stetig abnehmendem Reibkoeffizienten setzen wir aus sin- und e-Funktion zusammen.

Mechaniker am 21. April 2021 um 07:44 Uhr

2021-04-21T07:44:36Z

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	[[Datei:Reibkennlinie-02.mp4\|mini\|Erläuterungen zur Reibkennlinie]]		[[Datei:Reibkennlinie-02.mp4\|mini\|Erläuterungen zur Reibkennlinie]]

	Und so funktionierts:Steigert man die Kraft ''F'' auf den Körper, so "kriecht" der Körper - seine Geschwindigkeit ''v'' bleibt sehr klein. Wählt man also die Schaltstellen v<sub>0</sub> = +/- ε passend klein, dann sieht es so aus, als würde der Körper "haften". Überschreitet ''F'' die maximale Haftkraft, also F > ''μ''<sub>0</sub>''∙N'', dann fällt ''μ(v)'' auf den Reib-Beiwert ab, der Körper wird beschleunigt.		Und so funktionierts:Steigert man die Kraft ''F'' auf den Körper, so "kriecht" der Körper - seine Geschwindigkeit ''v'' bleibt sehr klein. Wählt man also die Schaltstellen v<sub>0</sub> = +/- ε passend klein, dann sieht es so aus, als würde der Körper "haften". Überschreitet ''F'' die maximale Haftkraft, also F > ''μ''<sub>0</sub>''∙N'', dann fällt ''μ(v)'' auf den Reib-Beiwert ab, der Körper wird beschleunigt.

	Das Problem: diese Kennlinie ist nicht stetig differenzierbar - Löser, die das zur Schrittweiten-Steuerung voraussetzen "fressen" sich an den Schaltstellen fest.		Das Problem: diese Kennlinie ist nicht stetig differenzierbar - Löser, die das zur Schrittweiten-Steuerung voraussetzen "fressen" sich an den Schaltstellen fest.
			<br clear="all"/>

	== Verbesserter Ansatz: stückweise mit einem Polynom 5ten Grades ==		== Verbesserter Ansatz: stückweise mit einem Polynom 5ten Grades ==
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	Sie muss punkt-symmetrisch sein (die Reibkraft ändert ihr Vorzeichen mit der Orientierung der Relativgeschwindigkeit). Die Sinus-Funktion verwenden wir für den Mittelteil (Haften) und die Exponential-Funktionen für die Gebiete, in denen die Körper aufeinander reiben.:[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennline mit stetig fallender Charakteristik - aus Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]]]Im Mittelteil (blau) setzen wir für die Sinus-Funktion an		Sie muss punkt-symmetrisch sein (die Reibkraft ändert ihr Vorzeichen mit der Orientierung der Relativgeschwindigkeit). Die Sinus-Funktion verwenden wir für den Mittelteil (Haften) und die Exponential-Funktionen für die Gebiete, in denen die Körper aufeinander reiben.:[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennline mit stetig fallender Charakteristik - aus Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]]]Im Mittelteil (blau) setzen wir für die Sinus-Funktion an

	<math>\displaystyle \mu = \left\{ \begin{array}{lllll}\ldots&\text{für}&\nu&<-b\\\sin(\pi\;b\;\nu)&\text{für}-b<&\nu&<+b\\\ldots&\text{für}+b<&\nu&\end{array}\right. </math>		::<math>\displaystyle \mu = \left\{ \begin{array}{lllll}\ldots&\text{für}&\nu&<-b\\\sin(\pi\;b\;\nu)&\text{für}-b<&\nu&<+b\\\ldots&\text{für}+b<&\nu&\end{array}\right. </math>

	mit		mit

	<math>\displaystyle \nu = \frac{v_r}{v_0}</math>.		::<math>\displaystyle \nu = \frac{v_r}{v_0}</math>.

	Dieses Mittelteil stückeln wir stetig differenzierbar jeweils an eine Exponentialfunktion mit den Parametern ''E'' und ''κ'' an, hier		Dieses Mittelteil stückeln wir stetig differenzierbar jeweils an eine Exponentialfunktion mit den Parametern ''E'' und ''κ'' an, hier

	<math>E\cdot e^{\displaystyle \kappa\cdot (b+\nu)} -a</math>		::<math>E\cdot e^{\displaystyle \kappa\cdot (b+\nu)} -a</math>

	mit		mit

	<math>\displaystyle E=a-\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) ,\kappa=-\frac{\pi \cdot b\cdot \mathrm{cos}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) }{\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}</math>.		::<math>\displaystyle E=a-\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) ,\kappa=-\frac{\pi \cdot b\cdot \mathrm{cos}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) }{\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}</math>.

	Damit ist		Damit ist

	<math>\displaystyle \mu = \left\{ \begin{array}{lllll}\left( a-\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \right) \cdot {{e}^{\displaystyle -\frac{\pi \cdot b\cdot \mathrm{cos}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \cdot \left( b+\nu\right) }{\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}}}-a&\text{für}&\nu&<-b\\\sin(\pi\;b\;\nu)&\text{für}-b<&\nu&<+b\\a-\left( a-\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \right) \cdot {{e}^{\displaystyle -\frac{\pi \cdot b\cdot \cos\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \cdot \left( b-\nu\right) }{\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}}}&\text{für}+b<&\nu&\end{array}\right. </math>		::<math>\displaystyle \mu = \left\{ \begin{array}{lllll}\left( a-\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \right) \cdot {{e}^{\displaystyle -\frac{\pi \cdot b\cdot \mathrm{cos}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \cdot \left( b+\nu\right) }{\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}}}-a&\text{für}&\nu&<-b\\\sin(\pi\;b\;\nu)&\text{für}-b<&\nu&<+b\\a-\left( a-\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \right) \cdot {{e}^{\displaystyle -\frac{\pi \cdot b\cdot \cos\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \cdot \left( b-\nu\right) }{\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}}}&\text{für}+b<&\nu&\end{array}\right. </math>


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	}}		}}

			<hr/>
	'''Links'''		'''Links'''
	* [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]		* [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]

Mechaniker: /* Stetig fallende Reibkennlinie */

2021-04-21T07:43:42Z

Stetig fallende Reibkennlinie

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2021, 07:43 Uhr
Zeile 143:		Zeile 143:

	Sie muss punkt-symmetrisch sein (die Reibkraft ändert ihr Vorzeichen mit der Orientierung der Relativgeschwindigkeit). Die Sinus-Funktion verwenden wir für den Mittelteil (Haften) und die Exponential-Funktionen für die Gebiete, in denen die Körper aufeinander reiben.:[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennline mit stetig fallender Charakteristik - aus Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]]]Im Mittelteil (blau) setzen wir für die Sinus-Funktion an		Sie muss punkt-symmetrisch sein (die Reibkraft ändert ihr Vorzeichen mit der Orientierung der Relativgeschwindigkeit). Die Sinus-Funktion verwenden wir für den Mittelteil (Haften) und die Exponential-Funktionen für die Gebiete, in denen die Körper aufeinander reiben.:[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennline mit stetig fallender Charakteristik - aus Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]]]Im Mittelteil (blau) setzen wir für die Sinus-Funktion an

			<math>\displaystyle \mu = \left\{ \begin{array}{lllll}\ldots&\text{für}&\nu&<-b\\\sin(\pi\;b\;\nu)&\text{für}-b<&\nu&<+b\\\ldots&\text{für}+b<&\nu&\end{array}\right. </math>

	mit		mit

	.		<math>\displaystyle \nu = \frac{v_r}{v_0}</math>.

	Dieses Mittelteil stückeln wir stetig differenzierbar jeweils an eine Exponentialfunktion mit den Parametern ''E'' und ''κ'' an, hier		Dieses Mittelteil stückeln wir stetig differenzierbar jeweils an eine Exponentialfunktion mit den Parametern ''E'' und ''κ'' an, hier

			<math>E\cdot e^{\displaystyle \kappa\cdot (b+\nu)} -a</math>

	mit		mit

	.		<math>\displaystyle E=a-\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) ,\kappa=-\frac{\pi \cdot b\cdot \mathrm{cos}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) }{\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}</math>.

	Damit ist		Damit ist

			<math>\displaystyle \mu = \left\{ \begin{array}{lllll}\left( a-\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \right) \cdot {{e}^{\displaystyle -\frac{\pi \cdot b\cdot \mathrm{cos}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \cdot \left( b+\nu\right) }{\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}}}-a&\text{für}&\nu&<-b\\\sin(\pi\;b\;\nu)&\text{für}-b<&\nu&<+b\\a-\left( a-\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \right) \cdot {{e}^{\displaystyle -\frac{\pi \cdot b\cdot \cos\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \cdot \left( b-\nu\right) }{\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}}}&\text{für}+b<&\nu&\end{array}\right. </math>



	die gesuchte Kennlinie.<hr/>		die gesuchte Kennlinie.<hr/>

Mechaniker am 21. April 2021 um 07:40 Uhr

2021-04-21T07:40:58Z

@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 Wir arbeiten weiter mit
-<math>\displaystyle \nu = \frac{v}{v_0}</math>
+::<math>\displaystyle \nu = \frac{v}{v_0}</math>
 und setzen für den mittleren Teil ''-v<sub>0</sub> < v < v<sub>0</sub>'' nun zwei Polynome
-<math>\begin{array}{lllllll} \mu_I   &=&                       &a_{I,2}\cdot\nu^2 &+ a_{I,1} \cdot\nu &\\ \mu_{II}&=& a_{II,3}\cdot \nu^3 + &a_{II,2}\cdot\nu^2&+ a_{II,1}\cdot\nu&+ a_{II,0} \end{array}</math>
+::<math>\begin{array}{lllllll} \mu_I   &=&                       &a_{I,2}\cdot\nu^2 &+ a_{I,1} \cdot\nu &\\ \mu_{II}&=& a_{II,3}\cdot \nu^3 + &a_{II,2}\cdot\nu^2&+ a_{II,1}\cdot\nu&+ a_{II,0} \end{array}</math>
 an.
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 Dann ist
-<math>K = N \cdot \left\{  \begin{array}{ll}   +\mu				                  &\text{ für } +1<\nu\\  16\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu^3 -36\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu^2 +24\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu + 5\cdot \mu_1 -4\cdot \mu_0 &\text{ für } +\frac{1}{2}<\nu<=+1\\ 4\cdot \mu_{0}\cdot (\nu-\nu^{2})  &\text{ für } \;\;\;\;\;0<\nu<=+\frac{1}{2} \\ \text{und punktsymmetrisch}    &\text{ sonst}              \end{array}\right.</math>[[Datei:Reibkennlinie-14.png|mini|Ein Ausschnitt der Kennlinie mit den Abschnitten ''I, II'' und ''III'']]
+::<math>K = N \cdot \left\{  \begin{array}{ll}   +\mu				                  &\text{ für } +1<\nu\\  16\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu^3 -36\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu^2 +24\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu + 5\cdot \mu_1 -4\cdot \mu_0 &\text{ für } +\frac{1}{2}<\nu<=+1\\ 4\cdot \mu_{0}\cdot (\nu-\nu^{2})  &\text{ für } \;\;\;\;\;0<\nu<=+\frac{1}{2} \\ \text{und punktsymmetrisch}    &\text{ sonst}              \end{array}\right.</math>[[Datei:Reibkennlinie-14.png|mini|Ein Ausschnitt der Kennlinie mit den Abschnitten ''I, II'' und ''III'']]
 Hier ist die tangentiale Kontaktkraft konstant, wenn der Körper eine relevante Relativgeschwindigkeit gegenüber seiner Unterlage hat. Diese Vorstellung passt oft nicht mit Messungenüberein - außerdem gibt es einen weiteren Nachteil: Die Kennlinie fällt nur in einem ganz kleinen Bereich und es wird schwer, damit im Modell eine Selbsterregung zu erzeugen.
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 die gesuchte Kennlinie.<hr/>
 '''Links'''
 * [[Gelöste Aufgaben/Kw25|Kw25]]

Mechaniker am 21. April 2021 um 07:36 Uhr

2021-04-21T07:36:54Z

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	}}		}}

			Die Gleichung für die Kennlinie können wir nicht analytisch explizit angeben - Sie können die Kennlinie also nicht ohne Maxima in ein anderes Programm übertragen.

			Abhilfe schafft dieser Ansatz:

			== Verbesserter Ansatz: stückweise mit Polynomen 2ten und 3ten Grades ==
			[[Datei:Reibkennlinie-13.png\|mini\|Skizze: Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit angestückelten Polynomen.\|alternativtext=\|200x200px]]Wir bleiben bei der stetig differenzierbaren Reibkennlinie, suchen nun aber nach einfacheren Polynomen, deren Koeffizienten wir auch explizit in ''μ''<sub>0</sub> und ''μ'' angeben können. Alles hat seinen Preis: wir brauchen nun zwei Polynome (I und II)für den ersten Teil!

			Wir arbeiten weiter mit

			<math>\displaystyle \nu = \frac{v}{v_0}</math>

			und setzen für den mittleren Teil ''-v<sub>0</sub> < v < v<sub>0</sub>'' nun zwei Polynome

			<math>\begin{array}{lllllll} \mu_I &=& &a_{I,2}\cdot\nu^2 &+ a_{I,1} \cdot\nu &\\ \mu_{II}&=& a_{II,3}\cdot \nu^3 + &a_{II,2}\cdot\nu^2&+ a_{II,1}\cdot\nu&+ a_{II,0} \end{array}</math>

	~~Die Gleichung~~ für die Kennlinie ~~können~~ wir ~~nicht analytisch explizit angeben~~ - Sie ~~können~~ die ~~Kennlinie also nicht ohne Maxima~~ in ~~ein anderes Programm übertragen~~.		an.

			Dann ist

			<math>K = N \cdot \left\{ \begin{array}{ll} +\mu &\text{ für } +1<\nu\\ 16\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu^3 -36\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu^2 +24\cdot \mu_0 \left( 1-\frac{\mu_1}{\mu_0} \right) \cdot \nu + 5\cdot \mu_1 -4\cdot \mu_0 &\text{ für } +\frac{1}{2}<\nu<=+1\\ 4\cdot \mu_{0}\cdot (\nu-\nu^{2}) &\text{ für } \;\;\;\;\;0<\nu<=+\frac{1}{2} \\ \text{und punktsymmetrisch} &\text{ sonst} \end{array}\right.</math>[[Datei:Reibkennlinie-14.png\|mini\|Ein Ausschnitt der Kennlinie mit den Abschnitten ''I, II'' und ''III'']]

			Hier ist die tangentiale Kontaktkraft konstant, wenn der Körper eine relevante Relativgeschwindigkeit gegenüber seiner Unterlage hat. Diese Vorstellung passt oft nicht mit Messungenüberein - außerdem gibt es einen weiteren Nachteil: Die Kennlinie fällt nur in einem ganz kleinen Bereich und es wird schwer, damit im Modell eine Selbsterregung zu erzeugen.

			Besser geht das mit einer stetig fallenden Kennlinie:

			== Stetig fallende Reibkennlinie ==
			Die gesuchte stetig differenzierbare Kennlinie ''μ(ν)'' mit stetig abnehmendem Reibkoeffizienten setzen wir aus sin- und e-Funktion zusammen.

			Sie muss punkt-symmetrisch sein (die Reibkraft ändert ihr Vorzeichen mit der Orientierung der Relativgeschwindigkeit). Die Sinus-Funktion verwenden wir für den Mittelteil (Haften) und die Exponential-Funktionen für die Gebiete, in denen die Körper aufeinander reiben.:[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennline mit stetig fallender Charakteristik - aus Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]]]Im Mittelteil (blau) setzen wir für die Sinus-Funktion an

	~~Abhilfe schafft dieser Ansatz:~~		mit

	~~hghgh~~		.
	~~[[Datei:Kw25-03~~.~~png\|mini\|Reibkennline - aus Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]]]~~
	~~[[Datei:Reibkennlinie-14.png\|mini\|Ein Ausschnitt der Kennlinie mit den Abschnitten ''I, II'' und ''III'']]~~
	~~[[Datei:Reibkennlinie-13.png\|mini\|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit angestückelten Polynomen.]]~~

			Dieses Mittelteil stückeln wir stetig differenzierbar jeweils an eine Exponentialfunktion mit den Parametern ''E'' und ''κ'' an, hier

			mit

			.

			Damit ist

	<hr/>		die gesuchte Kennlinie.<hr/>
	'''Links'''		'''Links'''
	* [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]		* [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]

Mechaniker am 21. April 2021 um 07:31 Uhr

2021-04-21T07:31:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2021, 07:31 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	[[Datei:Reibkennlinie-01.png\|mini\|Koordinanten und Schnittkräfte\|alternativtext=\|200x200px]]Reiben oder haften Körper aneinander, so wird ihre geschwindigkeitsabhängige Kontaktkraft ''K(v)'' in der Tangentialebene oft durch den Reib- und Haftbeiwert ''μ'' bzw. ''μ<sub>0</sub>'' beschreiben:		[[Datei:Reibkennlinie-01.png\|mini\|Koordinanten und Schnittkräfte\|alternativtext=\|200x200px]]Reiben oder haften Körper aneinander, so wird ihre geschwindigkeitsabhängige Kontaktkraft ''K(v)'' in der Tangentialebene oft durch den Reib- und Haftbeiwert ''μ'' bzw. ''μ<sub>0</sub>'' beschreiben:

	<math>\begin{array}{ccrl}\|K\|&<&\mu_0 \cdot N&\text{ für } v=0\\K&=&\mu\cdot N &\text{ für } v>0\\K&=&-\mu\cdot N &\text{ für } v<0\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{ccrl}\|K\|&<&\mu_0 \cdot N&\text{ für } v=0\\K&=&\mu\cdot N &\text{ für } v>0\\K&=&-\mu\cdot N &\text{ für } v<0\end{array}</math>

	mit		mit

	<math>v = \dot{u}</math>		::<math>v = \dot{u}</math>

	== Erster Ansatz mit Geradenstücken ==		== Erster Ansatz mit Geradenstücken ==
Zeile 12:		Zeile 12:
	Die stückweise definierte Funktion ist:		Die stückweise definierte Funktion ist:

	<math>K = N \cdot \left\{ \begin{array}{ll} -\mu &\text{ für } v<=-2\,\epsilon \\ +\mu &\text{ für } v>=+2\,\epsilon \\ -((2\,\mu_0-\mu)\,\epsilon+(\mu_0-\mu)\,v)/\epsilon &\text{ für } v<= -\epsilon \\ -((\mu-2\,\mu_0)\,\epsilon+(\mu_0-\mu)\,v)/\epsilon &\text{ für } v>= +\epsilon \\ \mu_0\,(v/\epsilon); &\text{ sonst} \end{array}\right.</math><!-------------------------------------------------------------------------------->		::<math>K = N \cdot \left\{ \begin{array}{ll} -\mu &\text{ für } v<=-2\,\epsilon \\ +\mu &\text{ für } v>=+2\,\epsilon \\ -((2\,\mu_0-\mu)\,\epsilon+(\mu_0-\mu)\,v)/\epsilon &\text{ für } v<= -\epsilon \\ -((\mu-2\,\mu_0)\,\epsilon+(\mu_0-\mu)\,v)/\epsilon &\text{ für } v>= +\epsilon \\ \mu_0\,(v/\epsilon); &\text{ sonst} \end{array}\right.</math>
			<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Maxima Code		{{MyCodeBlock\|title=Maxima Code
	\|text=Zum Einbauen in Ihr Programm: der Quellcode zur Kennlinie.		\|text=Zum Einbauen in Ihr Programm: der Quellcode zur Kennlinie.
Zeile 29:		Zeile 30:
	plot2d(mu(0.5,1,0.01,v),[v,-0.1,0.1], [ylabel,"v/V->"], [xlabel,"μ/1->"], [legend, "friction coefficient"]);		plot2d(mu(0.5,1,0.01,v),[v,-0.1,0.1], [ylabel,"v/V->"], [xlabel,"μ/1->"], [legend, "friction coefficient"]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}[[Datei:Reibkennlinie-02.mp4\|mini\|Erläuterungen zur Reibkennlinie]]		}}
			[[Datei:Reibkennlinie-02.mp4\|mini\|Erläuterungen zur Reibkennlinie]]

	Und so funktionierts:Steigert man die Kraft ''F'' auf den Körper, so "kriecht" der Körper - seine Geschwindigkeit ''v'' bleibt sehr klein. Wählt man also die Schaltstellen v<sub>0</sub> = +/- ε passend klein, dann sieht es so aus, als würde der Körper "haften". Überschreitet ''F'' die maximale Haftkraft, also F > ''μ''<sub>0</sub>''∙N'', dann fällt ''μ(v)'' auf den Reib-Beiwert ab, der Körper wird beschleunigt.		Und so funktionierts:Steigert man die Kraft ''F'' auf den Körper, so "kriecht" der Körper - seine Geschwindigkeit ''v'' bleibt sehr klein. Wählt man also die Schaltstellen v<sub>0</sub> = +/- ε passend klein, dann sieht es so aus, als würde der Körper "haften". Überschreitet ''F'' die maximale Haftkraft, also F > ''μ''<sub>0</sub>''∙N'', dann fällt ''μ(v)'' auf den Reib-Beiwert ab, der Körper wird beschleunigt.


	Das Problem: diese Kennlinie ist nicht stetig differenzierbar - Löser, die das zur Schrittweiten-Steuerung voraussetzen "fressen" sich an den Schaltstellen fest.		Das Problem: diese Kennlinie ist nicht stetig differenzierbar - Löser, die das zur Schrittweiten-Steuerung voraussetzen "fressen" sich an den Schaltstellen fest.
Zeile 41:		Zeile 42:
	Hier arbeiten wir mit der dimensionslosen Geschwindigkeit		Hier arbeiten wir mit der dimensionslosen Geschwindigkeit

	<math>\displaystyle \nu = \frac{v}{v_0}</math>		::<math>\displaystyle \nu = \frac{v}{v_0}</math>

	und setzen für den mittleren Teil ''-v<sub>0</sub> < v < v<sub>0</sub>'' das Polynom		und setzen für den mittleren Teil ''-v<sub>0</sub> < v < v<sub>0</sub>'' das Polynom

	<math>\mu = a_1\cdot \nu^1 + a_3\cdot \nu^3 + a_5\cdot \nu^5</math>.		::<math>\mu = a_1\cdot \nu^1 + a_3\cdot \nu^3 + a_5\cdot \nu^5</math>.

	an.		an.
Zeile 51:		Zeile 52:
	Dann ist - hier für ''μ''<sub>0</sub>=1/2 und ''μ=''1/4:		Dann ist - hier für ''μ''<sub>0</sub>=1/2 und ''μ=''1/4:

	<math>K = N \cdot \left\{ \begin{array}{ll} -\mu &\text{ für } \nu<=-1\\ +\mu &\text{ für } \nu>=+1\\1.2 \nu^5-2.5 \nu^3+1.5 \nu &\text{ sonst} \end{array}\right.</math>		::<math>K = N \cdot \left\{ \begin{array}{ll} -\mu &\text{ für } \nu<=-1\\ +\mu &\text{ für } \nu>=+1\\1.2 \nu^5-2.5 \nu^3+1.5 \nu &\text{ sonst} \end{array}\right.</math>
			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Maxima Code
			\|text=Zum Einbauen in Ihr Programm: der Quellcode zur Kennlinie.
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			/* parameter */
			params: [mu[0] = 1/2,
			mu[1] = 1/4]$

			/** define nonlinear friction characteristic */
			/* choose generic polynom */
			p : lsum(a[i]*nu^i,i,[1,3,5]);
			mu(nu,charc) := if abs(nu)<1 then subst(charc, lsum(a[i]nu^i,i,[1,3,5])) else subst(charc, mu[1])signum(nu);
			/* ... and adapt to these conditions */
			bcs : [subst([nu= 1 ], p ) = mu[1],
			subst([nu= 1 ], diff(p,nu)) = 0 ,
			subst([nu=gamma], diff(p,nu)) = 0 ,
			subst([nu=gamma], p ) = mu[0]];
			coe : [a[1],a[3],a[5],gamma];
			sol: solve(subst(params,bcs),coe)$

			charc : append(params,sol[1]);
			plot2d(mu(nu,charc),[nu,-2,2], [xlabel,"ν →"], [xlabel,"μ →"])$
			</syntaxhighlight>
			}}

Mechaniker am 21. April 2021 um 07:27 Uhr

2021-04-21T07:27:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2021, 07:27 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	Die stückweise definierte Funktion ist:		Die stückweise definierte Funktion ist:

	<math>K = N \cdot \left\{ \begin{array}{ll} -\mu &\text{ für } v<=-2\,\epsilon \\ +\mu &\text{ für } v>=+2\,\epsilon \\ -((2\,\mu_0-\mu)\,\epsilon+(\mu_0-\mu)\,v)/\epsilon &\text{ für } v<= -\epsilon \\ -((\mu-2\,\mu_0)\,\epsilon+(\mu_0-\mu)\,v)/\epsilon &\text{ für } v>= +\epsilon \\ \mu_0\,(v/\epsilon); &\text{ sonst} \end{array}\right.</math>~~[[Datei:Reibkennlinie-02.mp4\|mini\|Erläuterungen zur Reibkennlinie]]~~		<math>K = N \cdot \left\{ \begin{array}{ll} -\mu &\text{ für } v<=-2\,\epsilon \\ +\mu &\text{ für } v>=+2\,\epsilon \\ -((2\,\mu_0-\mu)\,\epsilon+(\mu_0-\mu)\,v)/\epsilon &\text{ für } v<= -\epsilon \\ -((\mu-2\,\mu_0)\,\epsilon+(\mu_0-\mu)\,v)/\epsilon &\text{ für } v>= +\epsilon \\ \mu_0\,(v/\epsilon); &\text{ sonst} \end{array}\right.</math><!-------------------------------------------------------------------------------->
	<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Maxima Code		{{MyCodeBlock\|title=Maxima Code
	\|text=Zum Einbauen in Ihr Programm: der Quellcode zur Kennlinie.		\|text=Zum Einbauen in Ihr Programm: der Quellcode zur Kennlinie.
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	plot2d(mu(0.5,1,0.01,v),[v,-0.1,0.1], [ylabel,"v/V->"], [xlabel,"μ/1->"], [legend, "friction coefficient"]);		plot2d(mu(0.5,1,0.01,v),[v,-0.1,0.1], [ylabel,"v/V->"], [xlabel,"μ/1->"], [legend, "friction coefficient"]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}[[Datei:Reibkennlinie-02.mp4\|mini\|Erläuterungen zur Reibkennlinie]]

			Und so funktionierts:Steigert man die Kraft ''F'' auf den Körper, so "kriecht" der Körper - seine Geschwindigkeit ''v'' bleibt sehr klein. Wählt man also die Schaltstellen v<sub>0</sub> = +/- ε passend klein, dann sieht es so aus, als würde der Körper "haften". Überschreitet ''F'' die maximale Haftkraft, also F > ''μ''<sub>0</sub>''∙N'', dann fällt ''μ(v)'' auf den Reib-Beiwert ab, der Körper wird beschleunigt.


			Das Problem: diese Kennlinie ist nicht stetig differenzierbar - Löser, die das zur Schrittweiten-Steuerung voraussetzen "fressen" sich an den Schaltstellen fest.

			== Verbesserter Ansatz: stückweise mit einem Polynom 5ten Grades ==
			[[Datei:Reibkennlinie-12.png\|mini\|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit einem Polynom 5ter Ordnung (aus [[Gelöste Aufgaben/Kv53\|Kv53]])]]Um eine stetig differenzierbare Reibkennlinie zu erhalten, setzten wir stückweise ein Polynom an. Es soll Punkt-symmetrisch sowie an den Übergangsstellen stetig und stetig differenzierbar sein!

			Hier arbeiten wir mit der dimensionslosen Geschwindigkeit

			<math>\displaystyle \nu = \frac{v}{v_0}</math>

			und setzen für den mittleren Teil ''-v<sub>0</sub> < v < v<sub>0</sub>'' das Polynom

			<math>\mu = a_1\cdot \nu^1 + a_3\cdot \nu^3 + a_5\cdot \nu^5</math>.

			an.

			Dann ist - hier für ''μ''<sub>0</sub>=1/2 und ''μ=''1/4:

			<math>K = N \cdot \left\{ \begin{array}{ll} -\mu &\text{ für } \nu<=-1\\ +\mu &\text{ für } \nu>=+1\\1.2 \nu^5-2.5 \nu^3+1.5 \nu &\text{ sonst} \end{array}\right.</math>





			Die Gleichung für die Kennlinie können wir nicht analytisch explizit angeben - Sie können die Kennlinie also nicht ohne Maxima in ein anderes Programm übertragen.

			Abhilfe schafft dieser Ansatz:

	hghgh		hghgh
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	[[Datei:Reibkennlinie-14.png\|mini\|Ein Ausschnitt der Kennlinie mit den Abschnitten ''I, II'' und ''III'']]		[[Datei:Reibkennlinie-14.png\|mini\|Ein Ausschnitt der Kennlinie mit den Abschnitten ''I, II'' und ''III'']]
	[[Datei:Reibkennlinie-13.png\|mini\|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit angestückelten Polynomen.]]		[[Datei:Reibkennlinie-13.png\|mini\|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit angestückelten Polynomen.]]
	~~[[Datei:Reibkennlinie-12.png\|mini\|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit einem Polynom 5ter Ordnung]]~~

Mechaniker am 21. April 2021 um 07:23 Uhr

2021-04-21T07:23:13Z

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 hghgh
 [[Datei:Kw25-03.png|mini|Reibkennline - aus Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/Kw25|Kw25]]]]
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 [[Datei:Reibkennlinie-13.png|mini|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit angestückelten Polynomen.]]
 [[Datei:Reibkennlinie-12.png|mini|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit einem Polynom 5ter Ordnung]]
-[[Datei:Reibkennlinie-01.png|mini|Koordinanten und Schnittkräfte|alternativtext=|200x200px]]

Mechaniker am 21. April 2021 um 07:19 Uhr

2021-04-21T07:19:09Z

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			[[Datei:Reibkennlinie-02.mp4\|mini\|Erläuterungen zur Reibkennlinie]]
	hghgh		hghgh
			[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennline - aus Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]]]
			[[Datei:Reibkennlinie-14.png\|mini\|Ein Ausschnitt der Kennlinie mit den Abschnitten ''I, II'' und ''III'']]
			[[Datei:Reibkennlinie-13.png\|mini\|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit angestückelten Polynomen.]]
			[[Datei:Reibkennlinie-12.png\|mini\|Stetig differenzierbare Reibkennlinie mit einem Polynom 5ter Ordnung]]
			[[Datei:Reibkennlinie-11.png\|mini\|Kennlinie (erster Anlauf)]]


			[[Datei:Reibkennlinie-01.png\|mini\|Koordinanten und Schnittkräfte\|alternativtext=\|200x200px]]


	[[~~Datei:Reibkennlinie-01.png~~\|~~mini\|Koordinanten und Schnittkräfte~~]]		<hr/>
			'''Links'''
			* [[Gelöste Aufgaben/Kw25\|Kw25]]

Mechaniker am 21. April 2021 um 07:05 Uhr

2021-04-21T07:05:33Z

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	hghgh		hghgh


			[[Datei:Reibkennlinie-01.png\|mini\|Koordinanten und Schnittkräfte]]