Sources/Lexikon/Minimum Prinzipe - Versionsgeschichte

Mechaniker am 21. April 2021 um 11:18 Uhr

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	Dann ist ''U(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'' ein elliptisches Paraboloid:		Dann ist ''U(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'' ein elliptisches Paraboloid:

	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<!--syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	plot3d(((x-1)^2+(y-2)^2)-2,[x,-1,3],[y,0,4],[z,-2,2],[legend,""], [xlabel,"u[1]→"], [ylabel,"u[2]→"], [zlabel,"U↑"]);		plot3d(((x-1)^2+(y-2)^2)-2,[x,-1,3],[y,0,4],[z,-2,2],[legend,""], [xlabel,"u[1]→"], [ylabel,"u[2]→"], [zlabel,"U↑"]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight-->

	[[Datei:Minimum Prinzipe-02.png\|mini\|Berechnetes Potential '''''U'''(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'']]		[[Datei:Minimum Prinzipe-02.png\|mini\|Berechnetes Potential '''''U'''(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'']]

Mechaniker am 21. April 2021 um 11:17 Uhr

2021-04-21T11:17:53Z

Mechaniker am 21. April 2021 um 11:16 Uhr

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	~~lkjlkjl~~		Bei Aufgaben der Mechanik, bei denen Kräfte und Spannungen linear von den gesuchten Koordinaten abhängen, ist das Potential der Energie eines System immer eine quadratische Form in den generalisierten Koordinaten ''q'':

			<math>\displaystyle U(\underline{q}) = \frac{1}{2} \; \underline{q}^T\cdot \underline{\underline{A}}\cdot \underline{q} - \underline{q}^T \cdot \underline{b}</math>.
			[[Datei:Minimum Prinzipe-01.png\|mini\|Elliptisches Paraboloid für '''''U'''''.]]
			So ist das elastische Potential einer Feder

			<math>\Pi_F = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \Delta u ^2 \text{ mit der Federlängung } \Delta u</math>

			oder das elastische Potential eines Euler-Bernoulli-Balkens

			<math>\Pi_{EBB} = \displaystyle \frac{1}{2} \int_0^\ell EI (w'')^2 dx</math>.

			mit der Krümmung des Euler-Bernoulli-Balkens ''w<nowiki>''</nowiki>''. Für den Sonderfall von zwei Koordinaten ''q<sub>1</sub>'' und ''q<sub>2</sub>'' kann man diese Funktion grafisch auftragen:

			Dann ist ''U(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'' ein elliptisches Paraboloid:
			[[Datei:Minimum Prinzipe-02.png\|mini\|Berechnetes Potential '''''U'''(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'']]
			Das Minimum von ''U'' bestimmen wir durch

			<math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{dU}{d\underline{q}} & = \underline{\underline{A}}\cdot \underline{q} - \underline{b}\\ & \stackrel{!}{=} \underline{0}\end{array}</math>,

			also tritt das Minimum auf, wenn

			<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{q}=\underline{b}</math>

			erfüllt ist. Wie das praktisch geht, zeigt Beispiel [[Gelöste Aufgaben/FEAA\|FEAA]].


			Links

			* [[wikipedia:Quadratic_form\|Wikipedia: Quadratic Forms]]

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lkjlkjl

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	Bei Aufgaben der Mechanik, bei denen Kräfte und Spannungen linear von den gesuchten Koordinaten abhängen, ist das Potential der Energie eines System immer eine quadratische Form in den generalisierten Koordinaten ''q'':		Bei Aufgaben der Mechanik, bei denen Kräfte und Spannungen linear von den gesuchten Koordinaten abhängen, ist das Potential der Energie eines System immer eine quadratische Form in den generalisierten Koordinaten ''q'':

	<math>\displaystyle U(\underline{q}) = \frac{1}{2} \; \underline{q}^T\cdot \underline{\underline{A}}\cdot \underline{q} - \underline{q}^T \cdot \underline{b}</math>.		::<math>\displaystyle U(\underline{q}) = \frac{1}{2} \; \underline{q}^T\cdot \underline{\underline{A}}\cdot \underline{q} - \underline{q}^T \cdot \underline{b}</math>.

	[[Datei:Minimum Prinzipe-01.png\|mini\|Elliptisches Paraboloid für '''''U'''''.]]		[[Datei:Minimum Prinzipe-01.png\|mini\|Elliptisches Paraboloid für '''''U'''''.]]
	So ist das elastische Potential einer Feder		So ist das elastische Potential einer Feder

	<math>\Pi_F = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \Delta u ^2 \text{ mit der Federlängung } \Delta u</math>		::<math>\Pi_F = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \Delta u ^2 \text{ mit der Federlängung } \Delta u</math>

	oder das elastische Potential eines Euler-Bernoulli-Balkens		oder das elastische Potential eines Euler-Bernoulli-Balkens

	<math>\Pi_{EBB} = \displaystyle \frac{1}{2} \int_0^\ell EI (w'')^2 dx</math>.		::<math>\Pi_{EBB} = \displaystyle \frac{1}{2} \int_0^\ell EI (w'')^2 dx</math>.

	mit der Krümmung des Euler-Bernoulli-Balkens ''w<nowiki>''</nowiki>''. Für den Sonderfall von zwei Koordinaten ''q<sub>1</sub>'' und ''q<sub>2</sub>'' kann man diese Funktion grafisch auftragen:		mit der Krümmung des Euler-Bernoulli-Balkens ''w<nowiki>''</nowiki>''. Für den Sonderfall von zwei Koordinaten ''q<sub>1</sub>'' und ''q<sub>2</sub>'' kann man diese Funktion grafisch auftragen:

	Dann ist ''U(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'' ein elliptisches Paraboloid:		Dann ist ''U(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'' ein elliptisches Paraboloid:

			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			plot3d(((x-1)^2+(y-2)^2)-2,[x,-1,3],[y,0,4],[z,-2,2],[legend,""], [xlabel,"u[1]→"], [ylabel,"u[2]→"], [zlabel,"U↑"]);
			</syntaxhighlight>

	[[Datei:Minimum Prinzipe-02.png\|mini\|Berechnetes Potential '''''U'''(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'']]		[[Datei:Minimum Prinzipe-02.png\|mini\|Berechnetes Potential '''''U'''(q<sub>1</sub>,q<sub>2</sub>)'']]
	Das Minimum von ''U'' bestimmen wir durch		Das Minimum von ''U'' bestimmen wir durch

	<math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{dU}{d\underline{q}} & = \underline{\underline{A}}\cdot \underline{q} - \underline{b}\\ & \stackrel{!}{=} \underline{0}\end{array}</math>,		::<math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{dU}{d\underline{q}} & = \underline{\underline{A}}\cdot \underline{q} - \underline{b}\\ & \stackrel{!}{=} \underline{0}\end{array}</math>,

	also tritt das Minimum auf, wenn		also tritt das Minimum auf, wenn

	<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{q}=\underline{b}</math>		::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\underline{q}=\underline{b}</math>

	erfüllt ist. Wie das praktisch geht, zeigt Beispiel [[Gelöste Aufgaben/FEAA\|FEAA]].		erfüllt ist. Wie das praktisch geht, zeigt Beispiel [[Gelöste Aufgaben/FEAA\|FEAA]].


	Links		'''Links'''

	* [[wikipedia:Quadratic_form\|Wikipedia: Quadratic Forms]]		* [[wikipedia:Quadratic_form\|Wikipedia: Quadratic Forms]]