Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten - Versionsgeschichte

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:38 Uhr

2022-04-04T13:38:42Z

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	Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den [[Sources/Lexikon/Eulersche_Winkel\|Euler-Winkeln]] -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen.		Die Kugelkoordinaten kann man - ähnlich wie bei den [[Sources/Lexikon/Eulersche_Winkel\|Euler-Winkeln]] -zur Definition eines neuen, lokalen Koordinatensystems nutzen.
	~~Neben~~ dem Flächen-Normalenvektor <math>\vec{e}_r</math> ~~spannen dabei die~~ Tangentialvektoren <math>\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}</math> zu ''φ<sub>1</sub>'' und ''φ<sub>2</sub>'' eine neue Basis <math>\vec{\underline{e}}_K</math> ~~auf~~.		Mit dem Flächen-Normalenvektor <math>\vec{e}_r</math> und den Tangentialvektoren <math>\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}</math> zu ''φ<sub>1</sub>'' und ''φ<sub>2</sub>'' wird dabei eine neue Basis <math>\vec{\underline{e}}_K</math> aufgespannt.
	[[Datei:Kugelkoordinaten-02.png\|210px\|right\|mini\|Einheitsvektoren der Orthogonalbasis <math>\vec{\underline{e}}_K = \left[\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}, \vec{e}_r\right]</math>, die in Punkt ''P'' der Kugel mit <math>\vec{e}_r</math> die Flächennormale definieren und mit <math>\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}</math> die Tangentialebene aufspannen.]]		[[Datei:Kugelkoordinaten-02.png\|210px\|right\|mini\|Einheitsvektoren der Orthogonalbasis <math>\vec{\underline{e}}_K = \left[\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}, \vec{e}_r\right]</math>, die in Punkt ''P'' der Kugel mit <math>\vec{e}_r</math> die Flächennormale definieren und mit <math>\vec{e}_{\varphi,1}, \vec{e}_{\varphi,2}</math> die Tangentialebene aufspannen.]]
	Die Koordinatentransformation erfolgt über		Die Koordinatentransformation erfolgt über

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:36 Uhr

2022-04-04T13:36:51Z

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	\sin{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\displaystyle -\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\		\sin{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\displaystyle -\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\
	\cos{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\displaystyle \frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\		\cos{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\displaystyle \frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\
	\sin{\left( {{\theta }_1}\right) }&=\displaystyle &\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\		\sin{\left( {{\theta }_1}\right) }&=&\displaystyle \frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\
	\cos{\left( {{\theta }_1}\right) }&=\displaystyle &\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\		\cos{\left( {{\theta }_1}\right) }&=\displaystyle &\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\
	\end{array}		\end{array}

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:36 Uhr

2022-04-04T13:36:02Z

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Zeile 45:		Zeile 45:
	gelten. Diese Beziehungen kann man sukzessive nach den sin- und cos-Koeffizienten auflösen. Sie liefern		gelten. Diese Beziehungen kann man sukzessive nach den sin- und cos-Koeffizienten auflösen. Sie liefern
	::<math>		::<math>
	\begin{array}{lcl}\~~cos~~{\left( {{\theta }_3}\right) }&=&\displaystyle \frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \~~cos~~{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\~~sin~~{\left( {{\varphi }_1}\right) } \~~cos~~{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}~~^{2~~}}-\~~sin~~{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\~~sin~~{\left( {{\~~theta~~ }_3}\right) }}^{2}}}{\~~sin~~{\left( {{\varphi }_2}\right) } \~~sin~~{\left( {{\~~theta~~ }_3}\right) }}\\		\begin{array}{lcl}
	\~~sin~~{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&-\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \~~sin~~{\left( {{\~~theta~~ }_3~~}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2~~}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\		{{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^2}&=&\displaystyle \frac{{{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}+2 \sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\left( 1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}}\right) {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}}{1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}}}\\
	~~\cos~~{~~\left( {{\theta~~ }_2}\~~right) }&=&\frac{\cos~~{\left( {{\varphi }_1}\right) } \~~sin~~{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\~~varphi~~ }_3}\right) }+\sin{\left( {{\~~varphi~~ }_1}\right) } \~~cos{~~\~~left( {~~{\~~varphi }_2}\right) } \cos~~{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\		\cos{\left( {{\theta }_3}\right) }&=&\displaystyle \frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}-\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\
	\sin{\left( {{\theta }_1}\right) }~~&=&\frac~~{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi ~~}_3}\right) }}{\sin{\left( {{\theta~~ }_3}\right) }}\\		\sin{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\displaystyle -\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\
	\cos{\left( {{\theta }_1}\right) }&=&\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \~~cos~~{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\		\cos{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\displaystyle \frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\
	{{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}~~^{2}}&=&\frac{{~~{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }~~}^{2}} {{~~\sin{\left( {{\varphi }_3}\right) ~~}}^{2}~~}+2 \sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \~~sin~~{\left( {{\varphi }_2}\right) } \~~cos~~{\left( {{\~~varphi~~ }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\left( 1-{{\~~cos~~{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}}\right) {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) ~~}}^{2~~}} {{\~~cos~~{\left( {{\~~varphi~~ }_3}\right) }}^{2}}}~~{1-{{~~\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }~~}^{2}} {{~~\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }~~}^{2}}}~~\end{array}		\sin{\left( {{\theta }_1}\right) }&=\displaystyle &\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\
			\cos{\left( {{\theta }_1}\right) }&=\displaystyle &\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\
			\end{array}
	</math>		</math>
	\|code=		\|code=

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:32 Uhr

2022-04-04T13:32:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2022, 13:32 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	::<math>\underline{\underline{D}}^K_{[1/2,3]}(\theta_1,\theta_2,\theta_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\theta_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{12}(\theta_1,\theta_2)		::<math>\underline{\underline{D}}^K_{[1/2,3]}(\theta_1,\theta_2,\theta_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\theta_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{12}(\theta_1,\theta_2)
	</math>		</math>
	mit den Winkeln ''θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>, θ<sub>3</sub>''		mit den Winkeln ''θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>, θ<sub>3</sub>''.

	~~,θ,θ,~~




			Damit ein beliebiger Punkt nach beiden Transformationen gleich ist, muss
			::<math>
			\left(a_x, a_y, a_z\right)\cdot\underline{\underline{D}}^E_{[2,1,3]}(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) =
			\left(a_x, a_y, a_z\right)\cdot\underline{\underline{D}}^K_{[1/2,3]}(\theta_1,\theta_2,\theta_3)
			</math>
			gelten. Diese Beziehungen kann man sukzessive nach den sin- und cos-Koeffizienten auflösen. Sie liefern
	::<math>		::<math>
	\begin{array}{lcl}\cos{\left( {{\theta }_3}\right) }&=&\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}-\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\		\begin{array}{lcl}\cos{\left( {{\theta }_3}\right) }&=&\displaystyle \frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}-\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\
	\sin{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&-\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\		\sin{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&-\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\
	\cos{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\		\cos{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\
Zeile 51:		Zeile 52:
	{{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}&=&\frac{{{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}+2 \sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\left( 1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}}\right) {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}}{1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}}}\end{array}		{{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}&=&\frac{{{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}+2 \sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\left( 1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}}\right) {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}}{1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}}}\end{array}
	</math>		</math>
	~~::<math></math>~~

	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:29 Uhr

2022-04-04T13:29:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2022, 13:29 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts ''P'' mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden.		Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts ''P'' mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden.
	Wir wählen hier für die Euler-Transformation		Wir wählen hier für die Euler-Transformation
	::<math>\underline{\underline{D}}^E_{[2,1,3]}(\~~varphi_2~~,\~~varphi_3~~,\varphi_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\varphi_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{1}(\varphi_1)\cdot\underline{\underline{D}}_{2}(\varphi_2)		::<math>\underline{\underline{D}}^E_{[2,1,3]}(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\varphi_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{1}(\varphi_1)\cdot\underline{\underline{D}}_{2}(\varphi_2)
	</math>		</math>
	mit den Winkeln ''φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, φ<sub>3</sub>'' sowie die Polarkoordinaten mit einer anschließenden Drehung um die <math>\vec{e}_r</math>-Achse		mit den Winkeln ''φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, φ<sub>3</sub>'' sowie die Polarkoordinaten mit einer anschließenden Drehung um die <math>\vec{e}_r</math>-Achse
	::<math>\underline{\underline{D}}^K_{[1/2,3]}(\~~vartheta_2~~,\~~vartheta_3~~,\~~vartheta_3~~) = \underline{\underline{D}}_{3}(\~~vartheta_3~~)\cdot\underline{\underline{D}}_{12}(\~~vartheta_1~~,\~~vartheta_2~~)		::<math>\underline{\underline{D}}^K_{[1/2,3]}(\theta_1,\theta_2,\theta_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\theta_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{12}(\theta_1,\theta_2)
	</math>		</math>
			mit den Winkeln ''θ<sub>1</sub>, θ<sub>2</sub>, θ<sub>3</sub>''

			,θ,θ,

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:26 Uhr

2022-04-04T13:26:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2022, 13:26 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts ''P'' mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden.		Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts ''P'' mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden.
	Wir wählen hier für die Euler-Transformation		Wir wählen hier für die Euler-Transformation
	::<math>\underline{\underline{D}}_{[2,1,3]}(\varphi_2,\varphi_3,\varphi_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\varphi_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{1}(\varphi_1)\cdot\underline{\underline{D}}_{2}(\varphi_2)		::<math>\underline{\underline{D}}^E_{[2,1,3]}(\varphi_2,\varphi_3,\varphi_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\varphi_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{1}(\varphi_1)\cdot\underline{\underline{D}}_{2}(\varphi_2)
			</math>
			mit den Winkeln ''φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, φ<sub>3</sub>'' sowie die Polarkoordinaten mit einer anschließenden Drehung um die <math>\vec{e}_r</math>-Achse
			::<math>\underline{\underline{D}}^K_{[1/2,3]}(\vartheta_2,\vartheta_3,\vartheta_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\vartheta_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{12}(\vartheta_1,\vartheta_2)
	</math>		</math>


	~~die Winkel ''φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, φ<sub>3</sub>'' und für die~~

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:23 Uhr

2022-04-04T13:23:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2022, 13:23 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts ''P'' mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden.		Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts ''P'' mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden.
	Wir wählen hier für die Euler-Transformation		Wir wählen hier für die Euler-Transformation
	::<math>\underline{\underline{D}}_[2,1,3](\varphi_2,\varphi_3,\varphi_3) =		::<math>\underline{\underline{D}}_{[2,1,3]}(\varphi_2,\varphi_3,\varphi_3) = \underline{\underline{D}}_{3}(\varphi_3)\cdot\underline{\underline{D}}_{1}(\varphi_1)\cdot\underline{\underline{D}}_{2}(\varphi_2)
	</math>		</math>

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:21 Uhr

2022-04-04T13:21:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2022, 13:21 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Umrechnen von Euler-Winkel in Kugel-Koordinaten		{{MyCodeBlock\|title=Umrechnen von Euler-Winkel in Kugel-Koordinaten
	\|text=Oft kann man räumliche Polarkoordinaten ~~besser~~ interpretieren als Euler-Winkel. Wir schreiben deshalb ~~hier~~ eine Transformationsvorschrift an, mit der Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten ~~kann~~.		\|text=Oft kann man räumliche Polarkoordinaten anschaulicher interpretieren als Euler-Winkel. Polarkoordinaten können allerdings zu Singularitäten führen wie in [[Gelöste Aufgaben/GYRQ\|GYRQ]]. Wir schreiben hier deshalb eine Transformationsvorschrift an, mit der wir Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten können.

			Dazu geben wir die räumlichen Koordinaten eines Punkts ''P'' mit einer Koordinatentransformation einerseits durch Euler-Drehmatrizen und andererseits durch Polarkoordinaten an. Dazu müssen wir auch die Drehung um eine dritte Achse verwenden.
			Wir wählen hier für die Euler-Transformation
			::<math>\underline{\underline{D}}_[2,1,3](\varphi_2,\varphi_3,\varphi_3) =
			</math>


			die Winkel ''φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, φ<sub>3</sub>'' und für die





	~~Dabei geben wir von einem Punkt ''P'' in Euler-Koordinaten mit~~
	::<math>		::<math>
	\begin{array}{l}\cos{\left( {{\theta }_3}\right) }=\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}-\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\		\begin{array}{lcl}\cos{\left( {{\theta }_3}\right) }&=&\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}-\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } {{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\
	\sin{\left( {{\theta }_2}\right) }=-\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\		\sin{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&-\frac{\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\
	\cos{\left( {{\theta }_2}\right) }=\frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\		\cos{\left( {{\theta }_2}\right) }&=&\frac{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}\\
	\sin{\left( {{\theta }_1}\right) }=\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\		\sin{\left( {{\theta }_1}\right) }&=&\frac{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}\\
	\cos{\left( {{\theta }_1}\right) }=\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\		\cos{\left( {{\theta }_1}\right) }&=&\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\
	{{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}=\frac{{{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}+2 \sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\left( 1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}}\right) {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}}{1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}}}\end{array}		{{\sin{\left( {{\theta }_3}\right) }}^{2}}&=&\frac{{{\sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}+2 \sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_3}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_3}\right) }+\left( 1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}}\right) {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_3}\right) }}^{2}}}{1-{{\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) }}^{2}} {{\cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }}^{2}}}\end{array}
	</math>		</math>
	::<math></math>		::<math></math>

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:07 Uhr

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	~~=Definition=~~
	In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt ''P'' im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.		In Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt ''P'' im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben.
	[[Datei:Kugelkoordinaten-01.png\|210px\|left\|mini\|Kugelkoordinaten r, ''φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>'' eines Punktes ''P'' und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>''.]]		[[Datei:Kugelkoordinaten-01.png\|210px\|left\|mini\|Kugelkoordinaten r, ''φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>'' eines Punktes ''P'' und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>''.]]
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	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=~~Title~~		{{MyCodeBlock\|title=Umrechnen von Euler-Winkel in Kugel-Koordinaten
	\|text=Oft kann man räumliche Polarkoordinaten besser interpretieren als Euler-Winkel. Wir schreiben deshalb hier eine Transformationsvorschrift an, mit der Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten kann.		\|text=Oft kann man räumliche Polarkoordinaten besser interpretieren als Euler-Winkel. Wir schreiben deshalb hier eine Transformationsvorschrift an, mit der Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten kann.

Mechaniker am 4. April 2022 um 13:06 Uhr

2022-04-04T13:06:40Z

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 </math>
-=Transformation von Euler-Winkeln=
+<!-------------------------------------------------------------------------------->
-Oft kann man räumliche Polarkoordinaten besser interpretieren als Euler-Winkel. Wir schreiben deshalb hier eine Transformationsvorschrift an, mit der Euler-Winkel in Polarkoordinaten übersetzten kann.
+{{MyCodeBlock|title=Title
 Dabei geben wir von einem Punkt ''P'' in Euler-Koordinaten mit
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 ::<math></math>
 '''Links'''