Mechaniker am 4. Dezember 2024 um 08:19 Uhr

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	Die Funktionen		Die Funktionen

	::<math>\begin{array}{ccc} \phi_1(\xi) &=& 1-3\,\xi^2+2\,\xi^3\\ \phi_2(\xi) &=& \ell \left(\xi-2\,\xi^2+\xi^3\right)\\ \phi_3(\xi) &=& 3\,\xi^2-2\,\xi^3\\ \phi_4(\xi) &=& \ell \left(\xi^3-~~\ell\,~~\xi^2\right)\\ \end{array}</math>		::<math>\begin{array}{ccc} \phi_1(\xi) &=& 1-3\,\xi^2+2\,\xi^3\\ \phi_2(\xi) &=& \ell \left(\xi-2\,\xi^2+\xi^3\right)\\ \phi_3(\xi) &=& 3\,\xi^2-2\,\xi^3\\ \phi_4(\xi) &=& \ell \left(\xi^3-\xi^2\right)\\ \end{array}</math>

	heißen Hermite-Polynome.		heißen Hermite-Polynome.

Mechaniker am 21. April 2021 um 06:41 Uhr

2021-04-21T06:41:14Z

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	~~nmn~~		In der Methode der Finiten Elemente verwenden wir Trial-Functions, die eindeutig den kinematischen Koordinaten an den Element-Knoten zugeordnet werden. Diese besonderen Trial-Functions heißen Hermite-Polynome.

			So können wir als Formfunktion für ein Finites Element ein Polynom dritten Grades

			::<math>\displaystyle w(x) = \sum_{i=0}^3 a_{i}\cdot x^{i}</math>

			wählen, die gesuchten generalisierten Koordinaten des Systems sind dann

			::<math>a_0, a_1, a_2, a_3</math>.

			Äquivalent - aber viel praktischer - ist die Darstellung durch die neuen Koordinaten

			::<math>\begin{array}{ll}W_0 &=w(0)\\ \Phi_0 &=w'(0)\\W_1 &=w(\ell)\\ \Phi_1 &=w'(\ell) \end{array}</math>

			Die resultierende Formfunktion ist wiederum ein Polynom dritten Grades:

			::<math>\displaystyle w(x)= \underbrace{\left( 1-\frac{3\cdot {{x}^{2}}}{{{\ell}^{2}}}+\frac{2\cdot {{x}^{3}}}{{{\ell}^{3}}}\right)}_{\displaystyle =: \phi_1(\frac{x}{\ell})} \cdot {{W}_{0}} + \underbrace{\left( x-\frac{2\cdot {{x}^{2}}}{\ell}+\frac{{{x}^{3}}}{{{\ell}^{2}}}\right)}_{\displaystyle =: \phi_2(\frac{x}{\ell})} \cdot {{\Phi}_{0}} + \underbrace{\left( \frac{3\cdot {{x}^{2}}}{{{\ell}^{2}}}-\frac{2\cdot {{x}^{3}}}{{{\ell}^{3}}}\right)}_{\displaystyle =: \phi_3(\frac{x}{\ell})} \cdot {{W}_{1}} + \underbrace{\left( \frac{{{x}^{3}}}{{{\ell}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\ell}\right)}_{\displaystyle =: \phi_4(\frac{x}{\ell})} \cdot {{\Phi}_{1}}</math>

			{{MyCodeBlock\|title=Maxima Source-Code
			\|text=Für kubische Polynome finden Sie hier die Herleitung.
			\|code=
			/* Maxima */

			C : [[a[0], a [1],a[2], a [3]],
			[W[0],Phi[0],W[1],Phi[1]]];

			ansatz: [w[1] = sum(a[i]*x^(i),i,0,3)];

			bc : [subst([x=0], subst(ansatz,w[1]) )= W [0],
			subst([x=0],diff(subst(ansatz,w[1]),x))=Phi[0],
			subst([x=l], subst(ansatz,w[1]) )= W [1],
			subst([x=l],diff(subst(ansatz,w[1]),x))=Phi[1]];

			sol[1] : solve(bc,C[1]);

			ansatz: append(ansatz, [w[2] = sum(coeff(expand(subst(sol[1],subst(ansatz,w[1]))),C[2][i])*C[2][i],i,1,4)]);
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

			</syntaxhighlight>
			}}
			Die Funktionen

			::<math>\begin{array}{ccc} \phi_1(\xi) &=& 1-3\,\xi^2+2\,\xi^3\\ \phi_2(\xi) &=& \ell \left(\xi-2\,\xi^2+\xi^3\right)\\ \phi_3(\xi) &=& 3\,\xi^2-2\,\xi^3\\ \phi_4(\xi) &=& \ell \left(\xi^3-\ell\,\xi^2\right)\\ \end{array}</math>

			heißen Hermite-Polynome.

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