Sources/Lexikon/Dehnstab - Versionsgeschichte

Mechaniker am 20. April 2021 um 08:52 Uhr

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	g		Der Dehnstab ist ein Stabmodell für den einachsigen Spannungszustand. Die einzige auftretenden Spannung ist ''σ<sub>xx</sub>'', also

			<math>\displaystyle \underline{\sigma}=\left(\begin{array}{c}\sigma_{xx}\\0\\0\\0\\0\\0\end{array}\right)</math>

			Die Schnittlast ''N'' am Querschnitt mit dem Flächeninhalt ''A'' ist also

			<math>N(x) = A\cdot\sigma_{xx}(x)</math>

			Aus den [[Sources/Lexikon/Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation)\|Spannungs-Dehnungs-Beziehung]] lesen wir außerdem

			<math>\sigma_{xx} = E\cdot\varepsilon_{xx}</math>

			ab, also

			<math>N = E\,A \cdot \varepsilon</math>

			Die Spannungen über den Querschnitt sind konstant, wir brauchen also nur eine einzige Ortskoordinate ''x'', um die Spannungen - und damit die Dehnungen und Verschiebungen - eindeutig zu beschreiben. Mit der [[Sources/Lexikon/Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung (Strain-Displacement-Relation)\|Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung]] ''ε = u''' ist dann

			<math>N = E\,A \cdot u'</math>
			[[Datei:Dehnstab-01.png\|mini\|Koordinaten]]
			Die Bedingung für das Kräfte-Gleichgewicht am Dehnstab lesen wir aus dem verformten System an, dabei ist ''n'' eine eingeprägte Streckenlast.

			<math>N(x+\Delta x, t) - N(x) = n(x)\cdot \Delta x</math>

			Nach Dividion durch ''Δx'' und dem Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten ist

			<math>N' = -n</math>

			Und somit - falls ''E, A'' nicht von ''x'' abhängen

			<math>E\,A\, u'' = -n</math>

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	Der Dehnstab ist ein Stabmodell für den einachsigen Spannungszustand. Die einzige auftretenden Spannung ist ''σ<sub>xx</sub>'', also		Der Dehnstab ist ein Stabmodell für den einachsigen Spannungszustand. Die einzige auftretenden Spannung ist ''σ<sub>xx</sub>'', also

	<math>\displaystyle \underline{\sigma}=\left(\begin{array}{c}\sigma_{xx}\\0\\0\\0\\0\\0\end{array}\right)</math>		::<math>\displaystyle \underline{\sigma}=\left(\begin{array}{c}\sigma_{xx}\\0\\0\\0\\0\\0\end{array}\right)</math>

	Die Schnittlast ''N'' am Querschnitt mit dem Flächeninhalt ''A'' ist also		Die Schnittlast ''N'' am Querschnitt mit dem Flächeninhalt ''A'' ist also

	<math>N(x) = A\cdot\sigma_{xx}(x)</math>		::<math>N(x) = A\cdot\sigma_{xx}(x)</math>

	Aus den [[Sources/Lexikon/Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation)\|Spannungs-Dehnungs-Beziehung]] lesen wir außerdem		Aus den [[Sources/Lexikon/Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation)\|Spannungs-Dehnungs-Beziehung]] lesen wir außerdem

	<math>\sigma_{xx} = E\cdot\varepsilon_{xx}</math>		::<math>\sigma_{xx} = E\cdot\varepsilon_{xx}</math>

	ab, also		ab, also

	<math>N = E\,A \cdot \varepsilon</math>		::<math>N = E\,A \cdot \varepsilon</math>

	Die Spannungen über den Querschnitt sind konstant, wir brauchen also nur eine einzige Ortskoordinate ''x'', um die Spannungen - und damit die Dehnungen und Verschiebungen - eindeutig zu beschreiben. Mit der [[Sources/Lexikon/Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung (Strain-Displacement-Relation)\|Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung]] ''ε = u''' ist dann		Die Spannungen über den Querschnitt sind konstant, wir brauchen also nur eine einzige Ortskoordinate ''x'', um die Spannungen - und damit die Dehnungen und Verschiebungen - eindeutig zu beschreiben. Mit der [[Sources/Lexikon/Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung (Strain-Displacement-Relation)\|Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung]] ''ε = u''' ist dann

	<math>N = E\,A \cdot u'</math>		::<math>N = E\,A \cdot u'</math>

	[[Datei:Dehnstab-01.png\|mini\|Koordinaten]]		[[Datei:Dehnstab-01.png\|mini\|Koordinaten]]
	Die Bedingung für das Kräfte-Gleichgewicht am Dehnstab lesen wir aus dem verformten System an, dabei ist ''n'' eine eingeprägte Streckenlast.		Die Bedingung für das Kräfte-Gleichgewicht am Dehnstab lesen wir aus dem verformten System an, dabei ist ''n'' eine eingeprägte Streckenlast.

	<math>N(x+\Delta x, t) - N(x) = n(x)\cdot \Delta x</math>		::<math>N(x+\Delta x, t) - N(x) = n(x)\cdot \Delta x</math>

	Nach Dividion durch ''Δx'' und dem Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten ist		Nach Dividion durch ''Δx'' und dem Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten ist

	<math>N' = -n</math>		::<math>N' = -n</math>

	Und somit - falls ''E, A'' nicht von ''x'' abhängen		Und somit - falls ''E, A'' nicht von ''x'' abhängen

	<math>E\,A\, u'' = -n</math>		::<math>E\,A\, u'' = -n</math>