Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken - Versionsgeschichte

Mechaniker am 20. April 2021 um 05:18 Uhr

2021-04-20T05:18:13Z

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:49 Uhr

2021-04-19T13:49:23Z

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:46 Uhr

2021-04-19T13:46:26Z

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	}}		}}

	===~~Trial-Functions~~===		===Koordinaten===
	Die Koordinaten eines Finiten Elements sind		Die Koordinaten eines Finiten Elements sind

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:45 Uhr

2021-04-19T13:45:10Z

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	<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">		<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
	<tr><th>Werte von <math>\displaystyle \int_0^1 \phi_i\cdot \psi_j \; d\xi</math></th><th><math>\phi_1</math></th><th><math>\phi_2</math></th><th><math>\phi_3</math></th><th><math>\phi_4</math></th></tr>		<tr><th>Werte von <math>\displaystyle \int_0^1 \phi_i\cdot \psi_j \; d\xi</math></th><th><math>\phi_1</math></th><th><math>\phi_2</math></th><th><math>\phi_3</math></th><th><math>\phi_4</math></th></tr>
	<tr><th><math>\psi_1</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-1.png\|rahmenlos\|100x100px]] </th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi_1</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-1.png\|rahmenlos\|100x100px]] </th><td><math>\displaystyle \frac{1}{2}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{\ell_i}{12}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{1}{2}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{\ell_i}{12}</math></td></tr>
	<tr><th><math>\psi_2</math> [[Datei:Anleitung-EBB-phi-2.png\|rahmenlos\|100x100px]] </th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi_2</math> [[Datei:Anleitung-EBB-phi-2.png\|rahmenlos\|100x100px]] </th><td><math>\displaystyle \frac{7}{20}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{\ell_i}{20}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{3}{20}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{\ell_i}{30}</math></td></tr>
	<tr><th><math>\psi_3</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-03.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi_3</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-03.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math>\displaystyle \frac{3}{20}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{\ell_i}{30}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{7}{20}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{\ell_i}{20}</math></td></tr>
	<tr><th><math>\psi_4</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi_4</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math>\displaystyle \frac{1}{3}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{\ell_i}{15}</math></td><td><math>\displaystyle \frac{1}{3}</math></td><td><math>\displaystyle -\frac{\ell_i}{15}</math></td></tr>
	</table>		</table>

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:38 Uhr

2021-04-19T13:38:23Z

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	<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">		<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
	<tr><th>Werte von <math>\displaystyle \int_0^1 \phi_i\cdot \psi_j \; d\xi</math></th><th><math>\~~phi''_1~~</math></th><th><math>\~~phi''_2~~</math></th><th><math>\~~phi''_3~~</math></th><th><math>\~~phi''_4~~</math></th></tr>		<tr><th>Werte von <math>\displaystyle \int_0^1 \phi_i\cdot \psi_j \; d\xi</math></th><th><math>\phi_1</math></th><th><math>\phi_2</math></th><th><math>\phi_3</math></th><th><math>\phi_4</math></th></tr>
	<tr><th><math>\~~psi''_1~~</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-1.png\|rahmenlos\|100x100px]] </th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi_1</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-1.png\|rahmenlos\|100x100px]] </th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>
	<tr><th><math>\~~psi''_2~~</math> [[Datei:Anleitung-EBB-phi-2.png\|rahmenlos\|100x100px]] </th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi_2</math> [[Datei:Anleitung-EBB-phi-2.png\|rahmenlos\|100x100px]] </th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>
	<tr><th><math>\~~psi''_3~~</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-03.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi_3</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-03.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>
	<tr><th><math>\~~psi''_4~~</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi_4</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>
	</table>		</table>

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:36 Uhr

2021-04-19T13:36:29Z

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	===Virtuelle Arbeiten===		===Virtuelle Arbeiten===
	====... der [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'sche Trägheitskräfte]] eines Finiten Elements====		====... der [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'sche Trägheitskräfte]] eines Finiten Elements====
	~~ist~~
	::<math>\delta W^a = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} \varrho \; A\; \ddot{w}_i \cdot \delta w_i \; dx_i</math>		::<math>\delta W^a = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} \varrho \; A\; \ddot{w}_i \cdot \delta w_i \; dx_i</math>

	ist		ist
	::<math>\delta W^a_i=-\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\cdot \displaystyle \mathit{\varrho A \ell_i} \cdot \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{13}{35} & \displaystyle\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle\frac{9}{70} & \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420}\\ \displaystyle \frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105} & \displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140}\\\displaystyle \frac{9}{70} &\displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle \frac{13}{35} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210}\\ \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\ddot{W}_{i-1}}\\ {\ddot{\Phi}_{i-1}}\\ {\ddot{W}_{i}}\\ {\ddot{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>
			::<math>\delta W^a_i=-\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\cdot \displaystyle \mathit{\varrho A \ell_i} \cdot \begin{pmatrix}

			\displaystyle\frac{13}{35} & \displaystyle\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle\frac{9}{70} & \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420}\\ \displaystyle \frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105} & \displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140}\\\displaystyle \frac{9}{70} &\displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle \frac{13}{35} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210}\\ \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\ddot{W}_{i-1}}\\ {\ddot{\Phi}_{i-1}}\\ {\ddot{W}_{i}}\\ {\ddot{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>

	====... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements====		====... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements====
	~~ist .~~

			<math>\delta\Pi_i = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} E\,I\; w_i'' \cdot \delta w_i'' dx_i</math>

			ist

			::<math>\delta \Pi_i=\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\, \displaystyle \frac{\mathit{EI}}{{{\ell}_{i}^{3}}} \, \begin{pmatrix}12 & 6\, {\ell_i} & -12 & 6\, {\ell_i}\\ 6\, {\ell_i} & 4\, {\ell_i^{2}} & -6\, {\ell_i} & 2\, {\ell_i^{2}}\\ -12 & -6\, {\ell_i} & 12 & -6\, {\ell_i}\\ 6\, {\ell_i} & 2\, {\ell_i^{2}} & -6\, {\ell_i} & 4\, {\ell_i^{2}}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}{{W}_{i-1}}\\ {{\Phi}_{i-1}}\\ {{W}_{i}}\\ {{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>.

			{{MyAttention\|title=Drehrichtung der Koordinate <math>\Phi_j</math>
			\|text=
			Die Drehung in diesem Modell ist entgegen der Rotation um die ''y''-Achse definiert.

			Ein anderer Drehsinn führt zu anderen Vorzeichen in den System-Matrizen.
			}}

	<hr/>		<hr/>

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:31 Uhr

2021-04-19T13:31:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. April 2021, 13:31 Uhr
Zeile 156:		Zeile 156:
	</table>		</table>

	# Virtuelle Arbeiten ~~<br />~~... der [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'sche Trägheitskräfte]] eines Finiten Elements		===Virtuelle Arbeiten===
	# <math>\delta W^a = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} \varrho \; A\; \ddot{w}_i \cdot \delta w_i \; dx_i</math>		====... der [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'sche Trägheitskräfte]] eines Finiten Elements====
	<math>\delta W^a_i=-\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\cdot \displaystyle \mathit{\varrho A \ell_i} \cdot \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{13}{35} & \displaystyle\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle\frac{9}{70} & \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420}\\ \displaystyle \frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105} & \displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140}\\\displaystyle \frac{9}{70} &\displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle \frac{13}{35} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210}\\ \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\ddot{W}_{i-1}}\\ {\ddot{\Phi}_{i-1}}\\ {\ddot{W}_{i}}\\ {\ddot{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>		ist
	~~# ist .~~ ... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements ist .		::<math>\delta W^a = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} \varrho \; A\; \ddot{w}_i \cdot \delta w_i \; dx_i</math>
			ist
			::<math>\delta W^a_i=-\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\cdot \displaystyle \mathit{\varrho A \ell_i} \cdot \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{13}{35} & \displaystyle\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle\frac{9}{70} & \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420}\\ \displaystyle \frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105} & \displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140}\\\displaystyle \frac{9}{70} &\displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle \frac{13}{35} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210}\\ \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\ddot{W}_{i-1}}\\ {\ddot{\Phi}_{i-1}}\\ {\ddot{W}_{i}}\\ {\ddot{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>
			====... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements====
			ist .

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:29 Uhr

2021-04-19T13:29:08Z

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Zeile 155:		Zeile 155:
	<tr><th><math>\psi''_4</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>		<tr><th><math>\psi''_4</math> [[Datei:Anleitung-EBB-psi-04.png\|rahmenlos\|100x100px]]</th><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td><td><math></math></td></tr>
	</table>		</table>

			# Virtuelle Arbeiten <br />... der [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'sche Trägheitskräfte]] eines Finiten Elements
			# <math>\delta W^a = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} \varrho \; A\; \ddot{w}_i \cdot \delta w_i \; dx_i</math>
			<math>\delta W^a_i=-\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\cdot \displaystyle \mathit{\varrho A \ell_i} \cdot \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{13}{35} & \displaystyle\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle\frac{9}{70} & \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420}\\ \displaystyle \frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105} & \displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140}\\\displaystyle \frac{9}{70} &\displaystyle \frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle \frac{13}{35} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210}\\ \displaystyle -\frac{13{\ell_i}}{420} & \displaystyle -\frac{{\ell_i^{2}}}{140} & \displaystyle -\frac{11{\ell_i}}{210} & \displaystyle \frac{{\ell_i^{2}}}{105}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\ddot{W}_{i-1}}\\ {\ddot{\Phi}_{i-1}}\\ {\ddot{W}_{i}}\\ {\ddot{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>
			# ist . ... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements ist .

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:24 Uhr

2021-04-19T13:24:12Z

@@ Zeile 138: / Zeile 138: @@
-====... für die rechte Seite des Gleichungssystems - aus äußeren, einprägten Lasten wie z.B. Streckenlasten ''q<sub>0</sub>∙ψ''.
+====... für die rechte Seite des Gleichungssystems - aus äußeren, einprägten Lasten wie z.B. Streckenlasten ''q<sub>0</sub>∙ψ''====
 Die virutelle Arbeit dieser äußeren Streckenlast ist
@@ Zeile 147: / Zeile 147: @@
 ::<math>\begin{array}{l}\psi_1 = 1\\\psi_2=1-\xi\\\psi_3=\xi\\\psi_4=4\cdot \left( \xi-{{\xi}^{2}}\right) \end{array}</math>
 <hr/>
@@ Zeile 154: / Zeile 163: @@
 '''Literature'''
 * ...

Mechaniker am 19. April 2021 um 13:19 Uhr

2021-04-19T13:19:47Z

Änderungen zeigen

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Zeile 74:		Zeile 74:
	Die einzelnen Trial-Functions sind:		Die einzelnen Trial-Functions sind:

	<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;		<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
	">
	<tr><th>linker Rand (Knoten "''i-1''")</th><th>rechter Rand (Knoten "''i''")</th></tr>		<tr><th>linker Rand (Knoten "''i-1''")</th><th>rechter Rand (Knoten "''i''")</th></tr>
	<tr><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-02.png\|mini\|Trial-Function for ''W<sub>i-1</sub>'']]</td><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-04.png\|mini\|Trial-Function for ''W<sub>i</sub>'']]</td></tr>		<tr><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-02.png\|mini\|Trial-Function for ''W<sub>i-1</sub>'']]</td><td>[[Datei:Anleitung-EBB-FEM-04.png\|mini\|Trial-Function for ''W<sub>i</sub>'']]</td></tr>
Zeile 161:		Zeile 160:
	::<math>\delta W^a = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} \varrho \; A\; \ddot{w}_i \cdot \delta w_i \; dx_i</math>		::<math>\delta W^a = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} \varrho \; A\; \ddot{w}_i \cdot \delta w_i \; dx_i</math>

	~~ist~~		sind

	::<math>\delta W^a_i=-\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\cdot \displaystyle \mathit{\varrho A \ell_i} \cdot \begin{pmatrix}		::<math>\delta W^a_i=-\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\cdot \displaystyle \mathit{\varrho A \ell_i} \cdot \begin{pmatrix}
Zeile 169:		Zeile 168:
	====... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements====		====... der Formänderungsenergie eines Finiten Elements====

	<math>\delta\Pi_i = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} E\,I\; w_i'' \cdot \delta w_i'' dx_i</math>		::<math>\delta\Pi_i = \displaystyle \int_{\displaystyle \ell_i} E\,I\; w_i'' \cdot \delta w_i'' dx_i</math>

	~~ist~~		sind

	::<math>\delta \Pi_i=\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\, \displaystyle \frac{\mathit{EI}}{{{\ell}_{i}^{3}}} \, \begin{pmatrix}12 & 6\, {\ell_i} & -12 & 6\, {\ell_i}\\ 6\, {\ell_i} & 4\, {\ell_i^{2}} & -6\, {\ell_i} & 2\, {\ell_i^{2}}\\ -12 & -6\, {\ell_i} & 12 & -6\, {\ell_i}\\ 6\, {\ell_i} & 2\, {\ell_i^{2}} & -6\, {\ell_i} & 4\, {\ell_i^{2}}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}{{W}_{i-1}}\\ {{\Phi}_{i-1}}\\ {{W}_{i}}\\ {{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>.		::<math>\delta \Pi_i=\left({{\mathit{\delta W}}_{i-1}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i-1}},{{\mathit{\delta W}}_{i}},{{\mathit{\delta \Phi}}_{i}}\right)\, \displaystyle \frac{\mathit{EI}}{{{\ell}_{i}^{3}}} \, \begin{pmatrix}12 & 6\, {\ell_i} & -12 & 6\, {\ell_i}\\ 6\, {\ell_i} & 4\, {\ell_i^{2}} & -6\, {\ell_i} & 2\, {\ell_i^{2}}\\ -12 & -6\, {\ell_i} & 12 & -6\, {\ell_i}\\ 6\, {\ell_i} & 2\, {\ell_i^{2}} & -6\, {\ell_i} & 4\, {\ell_i^{2}}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}{{W}_{i-1}}\\ {{\Phi}_{i-1}}\\ {{W}_{i}}\\ {{\Phi}_{i}}\end{pmatrix}</math>.