Sources/Anleitungen/Die Prinzipien der Mechanik - Versionsgeschichte

Mechaniker am 27. Oktober 2025 um 11:58 Uhr

2025-10-27T11:58:45Z

Mechaniker am 27. Oktober 2025 um 11:13 Uhr

2025-10-27T11:13:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Oktober 2025, 11:13 Uhr
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	woraus für <math>\varphi = 0</math> schließlich <math>v = 0</math>, also <math>h=a\sqrt{3}</math> folgt.		woraus für <math>\varphi = 0</math> schließlich <math>v = 0</math>, also <math>h=a\sqrt{3}</math> folgt.

	[[Datei:1.14.png\|mini\|right\|~~180px~~\|Standsicherheitsmoment.]]		[[Datei:1.14.png\|mini\|right\|160px\|Standsicherheitsmoment.]]
	'''Eine Bemerkung:''' Als Maß für den Grad der Stabilität dient das sog. Standsicherheitemoment; das ist diejenige Arbeit, die aufgebracht werden muß, um einen starren Körper aus dem stabilen Gleichgewicht in diejenige Lage zu bringen, aus der er von selbst nicht mehr in die stabile Gleichgewichtslage zurückkehrt. Für das gezeichnete Parallelepiped vom Gewicht '''G''' wäre das Standsicherheitsmoment		'''Eine Bemerkung:''' Als Maß für den Grad der Stabilität dient das sog. Standsicherheitemoment; das ist diejenige Arbeit, die aufgebracht werden muß, um einen starren Körper aus dem stabilen Gleichgewicht in diejenige Lage zu bringen, aus der er von selbst nicht mehr in die stabile Gleichgewichtslage zurückkehrt. Für das gezeichnete Parallelepiped vom Gewicht '''G''' wäre das Standsicherheitsmoment

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	'''Beispiel'''		'''Beispiel'''
	[[Datei:Fachwerk-2.png\|mini\|~~right~~\|~~250px~~\|Stäbe ~~im Fachwerk.]]~~		[[Datei:Fachwerk-2.png\|mini\|left\|200px\|Stäbe im Fachwerk.]]
	~~[[Datei:Fachwerk-3.png\|mini\|right\|250px\|Stabkraft <math>S_j</math>~~im Fachwerk.]]
	In dem aus 5 symmetrisch angeordneten Stäben bestehenden Fachwerk sollen die Stabquerschnitte bei gleichem Elastizititsmodul und gegebenen <math>A_0</math> und <math>Q</math> so gewählt werden, daß in allen Stäben die gleichen Zugkräfte auftreten.		In dem aus 5 symmetrisch angeordneten Stäben bestehenden Fachwerk sollen die Stabquerschnitte bei gleichem Elastizititsmodul und gegebenen <math>A_0</math> und <math>Q</math> so gewählt werden, daß in allen Stäben die gleichen Zugkräfte auftreten.

			[[Datei:Fachwerk-3.png\|mini\|right\|200px\|Stabkraft <math>S_j</math>im Fachwerk.]]
	Wie groß ist die lotrechte Verschiebung <math>s</math> des Kraftangriffspunktes?		Wie groß ist die lotrechte Verschiebung <math>s</math> des Kraftangriffspunktes?

Mechaniker am 26. Oktober 2025 um 16:35 Uhr

2025-10-26T16:35:28Z

@@ Zeile 716: / Zeile 716: @@
 ::<math>b_1 = g \frac{r_1}{\ell} </math> und <math>b_2 = g \frac{r_2}{\ell} </math>
-denn nur der Schwingungsmittelpunkt erfährt in der waagerechten Ausgangslage die volle Erdbeschleunigung. Mit obiger Gleichung erhält man aus schießlich
+denn nur der Schwingungsmittelpunkt erfährt in der waagerechten Ausgangslage die volle Erdbeschleunigung. Mit obiger Gleichung erhält man aus der Gleichung für das Hebelgesetz schießlich
 ::<math>\ell = \frac{m_1 \; r_1^2 + m_2 \; r_2^2}{m_1 \; r_1 + m_2 \; r_2}</math>.
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 ''Bei der Bewegung halten sich am mechanischen System die verlorenen Kräfte''
-::<math>dB = dK^edm \; b</math>
+::<math>d\vec{B} = d\vec{K}^e - dm \; \vec{b}</math>
-''das Gleichgewicht.''
+''das Gleichgewicht.'' Die verlorenen Käfte kommen also zu rein statischer Verspannung. Benutzt man für die verlorenen Kräfte, die uns in Wirklichkeit nicht interessieren, die rechte Seite von obiger Gleichung, so können wir auch kurz sagen:
-[[Datei:Prinzipien-3.5.PNG|200px|left|mini|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
+Dementsprechend hat man folgendes "Rezept" zur Lösung von dynamischen Problemen: Man füge zu den eingeprägten Kräften
-[[Datei:Prinzipien-3.6.PNG|400px|left|mini|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
+<math>d\vec{K}^e</math>
 ==Beispiele==
 - nicht inkludiert -

Mechaniker am 24. Oktober 2025 um 18:29 Uhr

2025-10-24T18:29:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Oktober 2025, 18:29 Uhr
Zeile 700:		Zeile 700:

	==JAKOB BERNOULLIS Problem==		==JAKOB BERNOULLIS Problem==
	... ist das eines aus zwei Einzelmassen <math>m_1</math> und <math>m_2</math> und aus einer gewichtslosen Stange bestehenden Pendels. Die Abstände dieser Massen vom Aufhängepunkt seien mit <math>r_1</math> und <math>r_2</math> bezeichnet. Die Bewegung beginnt aus der horizontalen Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit; <math>b_1</math> und <math>b_2</math> seien die Beschleunigungen von <math>m_1</math> und <math>m_2</math>. Nun überlegt <span style="text-transform: uppercase;">Bernoulli</span> folgendermaßen: Es leuchtet sofort ein, daß <math>m_2</math> eine größere Geschwindigkeit bzw, Beschleunigung erfährt als <math>m_1</math>. Unter der Annahme der Gleichheit der Massen ist dann zwar beiden dieselbe Kraft <math>K_1 = K_2 = m_1 g = m_2 g</math> "eingeprägt", aber wegen der starren Stabverbindung kann die an <math>m_1</math> angreifende (eingeprägte) Kraft <math>K_1 = m_1 g</math> nicht zur vollen Beschleunigungswirkung kommen, vielmehr geht der Anteil <math>K_1 - m_1 b_1 = m_1 (g-b_1)</math> "verloren", während <math>m_2</math> an beschleunigender Kraft		... ist das eines aus zwei Einzelmassen <math>m_1</math> und <math>m_2</math> und aus einer gewichtslosen Stange bestehenden Pendels. Die Abstände dieser Massen vom Aufhängepunkt seien mit <math>r_1</math> und <math>r_2</math> bezeichnet.
			[[Datei:Prinzipien-3.3.PNG\|85px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
			Die Bewegung beginnt aus der horizontalen Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit; <math>b_1</math> und <math>b_2</math> seien die Beschleunigungen von <math>m_1</math> und <math>m_2</math>. Nun überlegt <span style="text-transform: uppercase;">Bernoulli</span> folgendermaßen: Es leuchtet sofort ein, daß <math>m_2</math> eine größere Geschwindigkeit bzw, Beschleunigung erfährt als <math>m_1</math>. Unter der Annahme der Gleichheit der Massen ist dann zwar beiden dieselbe Kraft <math>K_1 = K_2 = m_1 g = m_2 g</math> "eingeprägt", aber wegen der starren Stabverbindung kann die an <math>m_1</math> angreifende (eingeprägte) Kraft <math>K_1 = m_1 g</math> nicht zur vollen Beschleunigungswirkung kommen, vielmehr geht der Anteil <math>K_1 - m_1 b_1 = m_1 (g-b_1)</math> "verloren", während <math>m_2</math> an beschleunigender Kraft
	<math>m_2 (g - b_2)</math> "gewinnt". Man nennt		<math>m_2 (g - b_2)</math> "gewinnt". Man nennt

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	Bedeutet <math>\ell</math> die gesuchte reduzierte Pendellänge, so ist offenbar		Bedeutet <math>\ell</math> die gesuchte reduzierte Pendellänge, so ist offenbar

	::<math>b_1 = g </math>		::<math>b_1 = g \frac{r_1}{\ell} </math> und <math>b_2 = g \frac{r_2}{\ell} </math>

			denn nur der Schwingungsmittelpunkt erfährt in der waagerechten Ausgangslage die volle Erdbeschleunigung. Mit obiger Gleichung erhält man aus schießlich

			::<math>\ell = \frac{m_1 \; r_1^2 + m_2 \; r_2^2}{m_1 \; r_1 + m_2 \; r_2}</math>.

			woraus durch Verallgemeinerung wieder die oben genannte Gleichung hervorgeht. In diesen eben geschilderten- "statischen"- Gedanken vom Gleichgewicht der verlorenen Kräfte des <span style="text-transform: uppercase;">Jakob Bernoulli</span> liegt der Kern des Prinzips von <span style="text-transform: uppercase;">D'Alembert</span>, dem wir uns jetzt zuwenden wollen.

			==Das Prinzip vonD'ALEMBERT==
			... führt die Probleme der Dynamik (Kinetik) formal auf solche der Statik zurück; es benötigt also einen prinzipienmäßigen Aufbau der Statik. Dieser ist schon vorangehend geleistet worden, so daß einer Formulierung dieses Prinzips nichts im Wege steht.

			Das Prinzip von <span style="text-transform: uppercase;">D'Alembert</span> ist eine Verallgemeinerung des Jakob Bernoullischen Gedankens, dessen Kern es ist, daß bei
			der beschleunigten Bewegung eines Körpersystems infolge der Verbindungen der Massen untereinander die den Massen eingeprägten Kräfte nicht zur vollen Beschleunigungswirkung kommen.
			[[Datei:Prinzipien-3.4.PNG\|200px\|right\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
			Ist <math>b</math> die wirkliche Beschleunigung des Massenelementes <math>dm</math>, so zerlege man die eingeprägte Kraft <math>d K^e</math> nach dem Parallelogrammgesetz in die Komponenten
			<math>dK = dm \; b</math> und <math>dB = dK^e - dm \;b</math>. Nun sagt das Prinzip
			von <span style="text-transform: uppercase;">D'Alembert</span> aus:

			''Bei der Bewegung halten sich am mechanischen System die verlorenen Kräfte''

	~~denn nur der Schwingungsmittelpunkt erfahrt in der waagerechten Aus~~		::<math>dB = dK^edm \; b</math>
	~~gangslage die volle Erdbeschleunigung. Mit (3.4) erhii.lt man aus (3.3)~~
	~~l- fnt'f+rn2 'i- rn1~~
	~~'1 +rn2' 2'~~
	~~woraus durch Verallgemeinerung wieder (3.1) hervorgeht.~~
	~~In diesen eben geschilderten- "statischen"- Gedanken vom~~
	~~Gleichgewicht der verlorenen Kraite des JAKOB BERNOULLI liegt der Kern~~
	~~des Prinzips von D'ALEMBERT, dem wir uns jetzt zuwenden wollen.~~

	~~[[Datei:Prinzipien-3~~.~~3.PNG\|85px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]~~		''das Gleichgewicht.''

	~~==Das Prinzip vonD'ALEMBERT==~~

	~~[[Datei:Prinzipien-3.4.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]~~
	[[Datei:Prinzipien-3.5.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]		[[Datei:Prinzipien-3.5.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
	[[Datei:Prinzipien-3.6.PNG\|400px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]		[[Datei:Prinzipien-3.6.PNG\|400px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]

Mechaniker am 24. Oktober 2025 um 17:54 Uhr

2025-10-24T17:54:36Z

@@ Zeile 685: / Zeile 685: @@
 [[Datei:Prinzipien-3.2.PNG|150px|left|mini|Mathematisches Pendel.]]
-Da man den Zusammenhang zwischen Pendelänge <math>\ell</math> und Schwingungsdauer des sog. mathematischen Pendels für kleine Ausschläge schon seit <span style="text-transform: uppercase;">Galilei</span> (1564-1642) kannte, lief die Lösung auf die Ermittlung der sog. reduzierten Pendellänge  oder des Sehwingungsmittelpunktes hinaus. <span style="text-transform: uppercase;">Huygens</span> (1629 bis 1695), selbst ein Schüler von <span style="text-transform: uppercase;">Mersenne</span>, löste das Problem durch Überlegungen, die wir heute zusammenfassend mit dem Namen Energiesatz im Schwerefeld charakterisieren. Dieser liefert, wenn wir das Pendel in der durch den Winkel <math>\varphi</math> bestimmten Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit loslassen, in der Tiefstlage für die Geschwindigkeit <math>v</math> bzw. Winkelgeschwindigkeit <math>\omega</math>.
+Da man den Zusammenhang zwischen Pendelänge <math>\ell</math> und Schwingungsdauer des sog. mathematischen Pendels für kleine Ausschläge schon seit <span style="text-transform: uppercase;">Galilei</span> (1564-1642) kannte, lief die Lösung auf die Ermittlung der sog. reduzierten Pendellänge  oder des Schwingungsmittelpunktes hinaus. <span style="text-transform: uppercase;">Huygens</span> (1629 bis 1695), selbst ein Schüler von <span style="text-transform: uppercase;">Mersenne</span>, löste das Problem durch Überlegungen, die wir heute zusammenfassend mit dem Namen Energiesatz im Schwerefeld charakterisieren. Dieser liefert, wenn wir das Pendel in der durch den Winkel <math>\varphi</math> bestimmten Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit loslassen, in der Tiefstlage für die Geschwindigkeit <math>v</math> bzw. Winkelgeschwindigkeit <math>\omega</math>.
-::<math></math>
+::<math>m \; g \; \ell (1 - \cos(\varphi)) = \frac{1}{2} m \; v^2 = \frac{1}{2} m \; \ell^2 \omega^2</math>
 ==JAKOB BERNOULLIS Problem==
 [[Datei:Prinzipien-3.3.PNG|85px|left|mini|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]

Mechaniker am 24. Oktober 2025 um 16:59 Uhr

2025-10-24T16:59:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Oktober 2025, 16:59 Uhr
Zeile 677:		Zeile 677:
	=Das Prinzip von D'ALEMBERT=		=Das Prinzip von D'ALEMBERT=

	- ~~nicht inkludiert~~ -		==Einleitende Bemerkungen. Das Problem des Schwingungsmittelpunktes und seine Lösung durch HUYGENS==

			Es ist schon einleitend zu diesem Kapitel darauf hingewiesen worden, daß die Newtonsche Dynamik, entsprechend den Bedürfnissen der Himmelsmechanik, aus dem Studium der Bewegung "freier Massenpunkte" hervorgegangen ist und es aus diesem Grunde mit ihrer Hilfe nicht moglich ist, die Bewegung gebundener Körpersysteme in voller Allgemeinheit zu behandeln. Dabei ist es interessant, daß solche Fragen der sog. "Verbunddynamik" schon vor dem Erscheinen der "Principia" (1687) zur Diskussion standen.

			[[Datei:Prinzipien-3.1.PNG\|85px\|right\|mini\|Pendel aus mehreren Einzelmassen.]]
			Das berühmteste Problem dieser Art ist von <span style="text-transform: uppercase;">Mersenne</span> (1588-1648) im Jahre 1646 gestellt worden: Die Schwingungsdauer eines aus mehreren Einzelmassen bestehenden Pendels zu ermitteln.

	=~~=Einleitende Bemerkungen~~. ~~Das Problem~~ des ~~Schwingungsmittelpunktes und seine Lösung durch HUYGENS~~==		[[Datei:Prinzipien-3.2.PNG\|150px\|left\|mini\|Mathematisches Pendel.]]
			Da man den Zusammenhang zwischen Pendelänge <math>\ell</math> und Schwingungsdauer des sog. mathematischen Pendels für kleine Ausschläge schon seit <span style="text-transform: uppercase;">Galilei</span> (1564-1642) kannte, lief die Lösung auf die Ermittlung der sog. reduzierten Pendellänge oder des Sehwingungsmittelpunktes hinaus. <span style="text-transform: uppercase;">Huygens</span> (1629 bis 1695), selbst ein Schüler von <span style="text-transform: uppercase;">Mersenne</span>, löste das Problem durch Überlegungen, die wir heute zusammenfassend mit dem Namen Energiesatz im Schwerefeld charakterisieren. Dieser liefert, wenn wir das Pendel in der durch den Winkel <math>\varphi</math> bestimmten Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit loslassen, in der Tiefstlage für die Geschwindigkeit <math>v</math> bzw. Winkelgeschwindigkeit <math>\omega</math>.

	~~- nicht inkludiert -~~		::<math></math>

	==JAKOB BERNOULLIS Problem==		==JAKOB BERNOULLIS Problem==

	- nicht inkludiert -		- nicht inkludiert -
			[[Datei:Prinzipien-3.3.PNG\|85px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]

	==Das Prinzip vonD'ALEMBERT==		==Das Prinzip vonD'ALEMBERT==

	~~[[Datei:Prinzipien-3.1.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]~~
	~~[[Datei:Prinzipien-3.2.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]~~
	~~[[Datei:Prinzipien-3.3.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]~~
	[[Datei:Prinzipien-3.4.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]		[[Datei:Prinzipien-3.4.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
	[[Datei:Prinzipien-3.5.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]		[[Datei:Prinzipien-3.5.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
	[[Datei:Prinzipien-3.6.PNG\|~~200px~~\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]		[[Datei:Prinzipien-3.6.PNG\|400px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]

Mechaniker am 24. Oktober 2025 um 16:29 Uhr

2025-10-24T16:29:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Oktober 2025, 16:29 Uhr
Zeile 689:		Zeile 689:
	==Das Prinzip vonD'ALEMBERT==		==Das Prinzip vonD'ALEMBERT==

	- ~~nicht inkludiert~~ -		[[Datei:Prinzipien-3.1.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
			[[Datei:Prinzipien-3.2.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
			[[Datei:Prinzipien-3.3.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
			[[Datei:Prinzipien-3.4.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
			[[Datei:Prinzipien-3.5.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
			[[Datei:Prinzipien-3.6.PNG\|200px\|left\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]


	==Beispiele==		==Beispiele==

	- nicht inkludiert -		- nicht inkludiert -

Mechaniker am 23. Oktober 2025 um 10:41 Uhr

2025-10-23T10:41:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2025, 10:41 Uhr
Zeile 329:		Zeile 329:
	::<math>\underline{v}_j = \left(u_j;v_j;w_j\right)</math>,		::<math>\underline{v}_j = \left(u_j;v_j;w_j\right)</math>,

	so gehört zu diesen ~~Kraften~~ das Potential		so gehört zu diesen Kräften das Potential

	::<math>U_a = -\sum_j \left(X_j u_j + Y_j v_j + Z_j w_j \right)</math>		::<math>U_a = -\sum_j \left(X_j u_j + Y_j v_j + Z_j w_j \right)</math>
Zeile 357:		Zeile 357:
	::<math>U = U_a + U_e = -\sum_j \left(X_j u_j + Y_j v_j + Z_j w_j \right) + \sum_{ij} \frac{E_{ij} A_{ij}}{\ell_{ij}} (\Delta\ell_{ij})^2</math>,		::<math>U = U_a + U_e = -\sum_j \left(X_j u_j + Y_j v_j + Z_j w_j \right) + \sum_{ij} \frac{E_{ij} A_{ij}}{\ell_{ij}} (\Delta\ell_{ij})^2</math>,

	ein Minimum ist, also <math>\delta U = 0</math> und <math>\delta^2 U > 0</math> erfüllt sind, wobei die zwischen <math>\delta \ell_{ij}</math> <math>u_j, v_j, w_j</math> bestehenden ~~Zusammenhange~~ beachtet werden müssen.		ein Minimum ist, also <math>\delta U = 0</math> und <math>\delta^2 U > 0</math> erfüllt sind, wobei die zwischen <math>\delta \ell_{ij}</math> <math>u_j, v_j, w_j</math> bestehenden Zusammenhänge beachtet werden müssen.

	'''Beispiel'''		'''Beispiel'''
Zeile 366:		Zeile 366:
	Wie groß ist die lotrechte Verschiebung <math>s</math> des Kraftangriffspunktes?		Wie groß ist die lotrechte Verschiebung <math>s</math> des Kraftangriffspunktes?

	Das Gesamtpotential ~~ist~~ gemäß obiger Gleichung ist		Das Gesamtpotential gemäß obiger Gleichung ist

	::<math>U = U_a + U_e = -Q \cdot s + \frac{E}{2} \sum_{j=0}^4 \frac{A_{j}}{\ell_{j}}\cdot (\Delta\ell_{j})^2</math>.		::<math>U = U_a + U_e = -Q \cdot s + \frac{E}{2} \sum_{j=0}^4 \frac{A_{j}}{\ell_{j}}\cdot (\Delta\ell_{j})^2</math>.
Zeile 374:		Zeile 374:
	::<math>\delta U = -Q \cdot \delta s + E \sum_{j=0}^4 \frac{A_{j}}{\ell_{j}}\cdot\Delta\ell_{j} \delta (\Delta\ell_{j})</math>		::<math>\delta U = -Q \cdot \delta s + E \sum_{j=0}^4 \frac{A_{j}}{\ell_{j}}\cdot\Delta\ell_{j} \delta (\Delta\ell_{j})</math>

	Nun gilt, wenn wir von einer ~~Anderung~~ des Winkels <math>\alpha_j</math> absehen		Nun gilt, wenn wir von einer Änderung des Winkels <math>\alpha_j</math> absehen

	::<math>\Delta\ell_{j} = s \cdot \cos(\alpha_j)</math>		::<math>\Delta\ell_{j} = s \cdot \cos(\alpha_j)</math>
Zeile 380:		Zeile 380:
	und somit		und somit

	::<math>\delta (\Delta\ell_{j}) = \delta s \cdot \cos(\alpha_j)</math>		::<math>\delta (\Delta\ell_{j}) = \delta s \cdot \cos(\alpha_j)</math>.

	Damit geht aus <math>\delta U = 0</math>		Damit geht aus <math>\delta U = 0</math>
Zeile 411:		Zeile 411:
	===Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für linear elastische Systeme===		===Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für linear elastische Systeme===

	Bei der allgemeinen Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeiten auf Probleme der Elastizitatstheorie spielt die Formanderungsarbeit ''W'', wie in den Formeln von §1.2 dargelegt, eine zentrale Rolle. Hierfür beschreiben wir, wie in der "Einführung" dargelegt, den Deformationszustand eines (linear) elastischen ~~Korpers~~ durch die Dehnungen		Bei der allgemeinen Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeiten auf Probleme der Elastizitatstheorie spielt die Formanderungsarbeit ''W'', wie in den Formeln von §1.2 dargelegt, eine zentrale Rolle. Hierfür beschreiben wir, wie in der "Einführung" dargelegt, den Deformationszustand eines (linear) elastischen Körpers durch die Dehnungen

	[[Datei:Dehnungen.png\|mini\|right\|250px\|Schnittlasten an einem kleinen Volumenelement.]]		[[Datei:Dehnungen.png\|mini\|right\|250px\|Schnittlasten an einem kleinen Volumenelement.]]
Zeile 566:		Zeile 566:

	Durch diese Gleichung wird die mit den virtuellen Verrückungen verbundene Arbeit der eingeprägten Kräfte ausgedrückt durch die Änderung der von den Spannungen längs der entsprechenden Elementenverzerrungen geleisteten inneren Arbeit, die wir bereits oben als die		Durch diese Gleichung wird die mit den virtuellen Verrückungen verbundene Arbeit der eingeprägten Kräfte ausgedrückt durch die Änderung der von den Spannungen längs der entsprechenden Elementenverzerrungen geleisteten inneren Arbeit, die wir bereits oben als die
	Formanderungsarbeit ''W'' bezeichnet haben. Die gilt allgemein für elastische Systeme, und zwar für beliebige ~~Elastizitatsgesetze~~ (d.h. Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrungen), und sie läßt sich in der Form		Formanderungsarbeit ''W'' bezeichnet haben. Die gilt allgemein für elastische Systeme, und zwar für beliebige Elastizitätsgesetze (d.h. Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrungen), und sie läßt sich in der Form

	::<math>\delta \left(W-A\right) = \delta_V \left(W-A\right)</math>		::<math>\delta \left(W-A\right) = \delta_V \left(W-A\right)</math>

	als ein sog. "Variationsprinzip" schreiben. Der Index ''V'' bei dem Variationszeichen soll andeuten, daß bei diesem Prinzip die (stetig differenzierbaren) und mit den Randbedingungen verträglichen Verschiebungen (bzw. die in §10.3 näher erläuterten kompatiblen Verzerrungen) variiert werden; in diesem Sinne wollen wir vom Prinzip der virtuellen Verschiebungen sprechen. Das Prinzip beinhaltet auch, daß der in technisch wichtigen Fällen der Gleichgewichtslage eintretende ~~Verzerrunqszustand~~ derjenige ist, bei dem die Differenz <math>W- A</math> ein Extremum (Minimum) wird. Auf eine entsprechende praktische Anwendung des Prinzips kommen wir in Ziffer 7 (Ritzsches Verfahren) zurück.		als ein sog. "Variationsprinzip" schreiben. Der Index ''V'' bei dem Variationszeichen soll andeuten, daß bei diesem Prinzip die (stetig differenzierbaren) und mit den Randbedingungen verträglichen Verschiebungen (bzw. die in §10.3 näher erläuterten kompatiblen Verzerrungen) variiert werden; in diesem Sinne wollen wir vom Prinzip der virtuellen Verschiebungen sprechen. Das Prinzip beinhaltet auch, daß der in technisch wichtigen Fällen der Gleichgewichtslage eintretende Verzerrungszustand derjenige ist, bei dem die Differenz <math>W- A</math> ein Extremum (Minimum) wird. Auf eine entsprechende praktische Anwendung des Prinzips kommen wir in Ziffer 7 (Ritzsches Verfahren) zurück.

	===Elastische Systeme aus Hookeschem Material===		===Elastische Systeme aus Hookeschem Material===
Zeile 607:		Zeile 607:
	Definiert man, wie oben angedeutet, die (volumen-)spezifische Formänderurtgsenergie (-arbeit) ''W'' durch		Definiert man, wie oben angedeutet, die (volumen-)spezifische Formänderurtgsenergie (-arbeit) ''W'' durch

	:<math>W = \int_V W_S dV</math> bzw. <math>W_ = \frac{W_S}{dV}</math>		:<math>W = \int_V W_S dV</math> bzw. <math>W_ = \frac{W_S}\;{dV}</math>

	so bringt ein Einsetzen der Hookschen Gesetzes		so bringt ein Einsetzen der Hookschen Gesetzes
Zeile 616:		Zeile 616:
	+\left(\varepsilon_{yy} + \frac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon\right)\delta\varepsilon_{yy}		+\left(\varepsilon_{yy} + \frac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon\right)\delta\varepsilon_{yy}
	+\left(\varepsilon_{zz} + \frac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon\right)\delta\varepsilon_{zz}\right.\\		+\left(\varepsilon_{zz} + \frac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon\right)\delta\varepsilon_{zz}\right.\\
	&&\left.+\frac{1}{2}\left(\gamma_{xy}\;\delta\gamma_{xy}+\gamma_{xz}\;\delta\gamma_{xz}+\gamma_{xz}\;\delta\gamma_{xz}\right)		&&\left.+\frac{1}{2}\left(\gamma_{xy}\;\delta\gamma_{xy}+\gamma_{xz}\;\delta\gamma_{xz}+\gamma_{yz}\;\delta\gamma_{yz}\right)
	\right]		\right]
	\end{array}</math>		\end{array}</math>
Zeile 634:		Zeile 634:

	::<math>\frac{\partial W_S}{\partial \varepsilon_{xx}} = \frac{E}{1+\nu}\left[\varepsilon_{xx}+\frac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon\right] = \sigma_{xx},		::<math>\frac{\partial W_S}{\partial \varepsilon_{xx}} = \frac{E}{1+\nu}\left[\varepsilon_{xx}+\frac{\nu}{1-2\nu}\varepsilon\right] = \sigma_{xx},
	\frac{\partial W_S}{\partial \gamma_{xy}} = \frac{E}{2 (1+\nu)}\gamma_{xy} = \~~tau_~~{xy}		\frac{\partial W_S}{\partial \gamma_{xy}} = \frac{E}{2 (1+\nu)}\gamma_{xy} = \sigma_{xy}
	</math> usw.		</math> usw.

Zeile 644:		Zeile 644:
	\left(1+\nu\right)\left(\sigma_{xx}^2 + \sigma_{yy}^2 + \sigma_{zz}^2\right)		\left(1+\nu\right)\left(\sigma_{xx}^2 + \sigma_{yy}^2 + \sigma_{zz}^2\right)
	- \nu \left(\sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz}\right)^2		- \nu \left(\sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz}\right)^2
	+ 2 (1+\nu) \left(\~~tau_~~{xy}^2 + \~~tau_~~{yz}^2 + \~~tau_~~{xz}^2\right)		+ 2 (1+\nu) \left(\sigma_{xy}^2 + \sigma_{yz}^2 + \sigma_{xz}^2\right)
	\right]\\		\right]\\
	&=& \frac{1}{2} \left(\sigma_{xx}\varepsilon_{xx}+\sigma_{yy}\varepsilon_{yy}+\sigma_{zz}\varepsilon_{zz}		&=& \frac{1}{2} \left(\sigma_{xx}\varepsilon_{xx}+\sigma_{yy}\varepsilon_{yy}+\sigma_{zz}\varepsilon_{zz}
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	die man anschaulich deuten kann als die Arbeit der Spannungen längs der von ihnen linear abhängigen Dehnungen bzw. Gleitungen.		die man anschaulich deuten kann als die Arbeit der Spannungen längs der von ihnen linear abhängigen Dehnungen bzw. Gleitungen.
	[[Datei:Arbeit.png\|mini\|right\|250px\|Arbeit der Spannungen längs der von ihnen linear abhängigen Dehnungen]]		[[Datei:Arbeit.png\|mini\|right\|250px\|Arbeit der Spannungen längs der von ihnen linear abhängigen Dehnungen]]
	Dieses charakteristische Bild wird uns überall dort begegnen, wo "langsam anwachsende Lasten" von ihnen linear ~~abhangige~~ Deformationen hervorrufen! Die oben zum Ausdruck gebrachte Superponierbarkeit der einzelnen Arbeitsbeiträge wird auch der Satz von <span style="text-transform: uppercase;">CLAPEYRON</span> (1799- 1864) genannt. Es sei noch einmal betont, daß der Satz von <span style="text-transform: uppercase;">CLAPEYRON</span> bzw. die obigen Gleichungen nach denen die spezifische Formänderungsarbeit eine homogen-quadratische Funktion der Spannungen bzw. der Spannungen und Deformationen		Dieses charakteristische Bild wird uns überall dort begegnen, wo "langsam anwachsende Lasten" von ihnen linear abhängige Deformationen hervorrufen! Die oben zum Ausdruck gebrachte Superponierbarkeit der einzelnen Arbeitsbeiträge wird auch der Satz von <span style="text-transform: uppercase;">CLAPEYRON</span> (1799- 1864) genannt. Es sei noch einmal betont, daß der Satz von <span style="text-transform: uppercase;">CLAPEYRON</span> bzw. die obigen Gleichungen nach denen die spezifische Formänderungsarbeit eine homogen-quadratische Funktion der Spannungen bzw. der Spannungen und Deformationen ist - nur für lineare (Hookesche) Elastizitätsgesetze gelten.
	ist - nur für lineare (Hookesche) Elastizitätsgesetze gelten.

	Schließlich sei noch bemerkt, daß nach diesen Gleichungen die partiellen Ableitungen der spezifischen Formänderungsarbeit nach den Spannungen die entsprechenden Deformationsgrößen liefern:		Schließlich sei noch bemerkt, daß nach diesen Gleichungen die partiellen Ableitungen der spezifischen Formänderungsarbeit nach den Spannungen die entsprechenden Deformationsgrößen liefern:

	::<math>\frac{\partial W_S}{\partial \sigma_{xx}} = \frac{1}{E}\left[\sigma_{xx}+\nu\left(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}\right)\right] = \varepsilon_{xx},		::<math>\frac{\partial W_S}{\partial \sigma_{xx}} = \frac{1}{E}\left[\sigma_{xx}+\nu\left(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}\right)\right] = \varepsilon_{xx},
	\frac{\partial W_S}{\partial \~~tau_~~{xy}} = \frac{\~~tau_~~{xy}}{G}=\gamma_{xy}		\frac{\partial W_S}{\partial \sigma_{xy}} = \frac{\sigma_{xy}}{G}=\gamma_{xy}
	</math> usw.		</math> usw.

Mechaniker am 21. Oktober 2025 um 13:16 Uhr

2025-10-21T13:16:03Z

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	'''Beispiel'''		'''Beispiel'''
	[[Datei:Fachwerk-2.png\|mini\|right\|250px\|~~Stabkraft~~ im ~~Fachwerks~~.]]		[[Datei:Fachwerk-2.png\|mini\|right\|250px\|Stäbe im Fachwerk.]]
	[[Datei:Fachwerk-3.png\|mini\|right\|250px\|Stabkraft im ~~Fachwerks~~.]]		[[Datei:Fachwerk-3.png\|mini\|right\|250px\|Stabkraft <math>S_j</math>im Fachwerk.]]
	In dem aus 5 symmetrisch angeordneten Stäben bestehenden Fachwerk sollen die Stabquerschnitte bei gleichem Elastizititsmodul und gegebenen <math>A_0</math> und <math>Q</math> so gewählt werden, daß in allen Stäben die gleichen Zugkräfte auftreten.		In dem aus 5 symmetrisch angeordneten Stäben bestehenden Fachwerk sollen die Stabquerschnitte bei gleichem Elastizititsmodul und gegebenen <math>A_0</math> und <math>Q</math> so gewählt werden, daß in allen Stäben die gleichen Zugkräfte auftreten.

Mechaniker am 21. Oktober 2025 um 13:05 Uhr

2025-10-21T13:05:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Oktober 2025, 11:58 Uhr
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	[[Datei:Prinzipien-3.4.PNG\|200px\|right\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]		[[Datei:Prinzipien-3.4.PNG\|200px\|right\|mini\|Vorderradgabel mit Scheibenbremse.]]
	Ist <math>b</math> die wirkliche Beschleunigung des Massenelementes <math>dm</math>, so zerlege man die eingeprägte Kraft <math>d K^e</math> nach dem Parallelogrammgesetz in die Komponenten		Ist <math>b</math> die wirkliche Beschleunigung des Massenelementes <math>dm</math>, so zerlege man die eingeprägte Kraft <math>d K^e</math> nach dem Parallelogrammgesetz in die Komponenten
	<math>dK = dm \; b</math> und <math>dB = dK^e - dm \;b</math>. Nun sagt das Prinzip		<math>d\vec{K} = dm \; \vec{b}</math> und <math>d\vec{B} = d\vec{K}^e - dm \;\vec{b}</math>. Nun sagt das Prinzip
	von <span style="text-transform: uppercase;">D'Alembert</span> aus:		von <span style="text-transform: uppercase;">D'Alembert</span> aus:

Zeile 738:		Zeile 738:
	''das Gleichgewicht.'' Die verlorenen Käfte kommen also zu rein statischer Verspannung. Benutzt man für die verlorenen Kräfte, die uns in Wirklichkeit nicht interessieren, die rechte Seite von obiger Gleichung, so können wir auch kurz sagen:		''das Gleichgewicht.'' Die verlorenen Käfte kommen also zu rein statischer Verspannung. Benutzt man für die verlorenen Kräfte, die uns in Wirklichkeit nicht interessieren, die rechte Seite von obiger Gleichung, so können wir auch kurz sagen:

	* Bei der Bewegung halten sich die eingepägten Kräfte und die negativen Massenbeschleunigungen am System das Gleichgewicht.		Bei der Bewegung halten sich die eingepägten Kräfte und die negativen Massenbeschleunigungen am System das Gleichgewicht.

	Dementsprechend hat man folgendes "Rezept" zur Lösung von dynamischen Problemen: Man füge zu den eingeprägten Kräften		Dementsprechend hat man folgendes "Rezept" zur Lösung von dynamischen Problemen: Man füge zu den eingeprägten Kräften
	<math>d\vec{K}^e</math>		<math>d\vec{K}^e</math>
	die negativen Massenbeschleunigungen <math>dm \vec{b}</math> (als Scheinkräfte) hinzu und behandle dann das System nach den statischen Gesetzen. Mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeiten erhalten wir das D'Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung:		die negativen Massenbeschleunigungen <math>dm \; \vec{b}</math> (als Scheinkräfte) hinzu und behandle dann das System nach den statischen Gesetzen. Mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeiten erhalten wir das D'Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung:

	::<math>\int_V d\vec{B} \cdot \delta \vec{r} \; dV = 0</math>		::<math>\int_V d\vec{B} \cdot \delta \vec{r} \; dV = 0</math>
Zeile 750:		Zeile 750:
	::<math>\int_V (d\vec{K}^e - dm \; \vec{b}) \cdot \delta \vec{r} \; dV = 0</math>.		::<math>\int_V (d\vec{K}^e - dm \; \vec{b}) \cdot \delta \vec{r} \; dV = 0</math>.

	Hierbei hat die virtuelle Verschiebung <math>\delta \vec{r}</math>mit dem Verlauf der wirklichen Bewegung nichts zu tun: Sie kann jede mit den Bindungen des Systems vereinbare Lageänderung sein!		Hierbei hat die virtuelle Verschiebung <math>\delta \vec{r}</math>mit dem Verlauf der wirklichen Bewegung nichts zu tun: Sie kann jede mit den Bindungen des Systems vereinbare Lageänderung sein!
	Zu den virtuellen Verschiebungen <math>\delta \vec{r}</math> noch eine grundsätzliche Bemerkung: Zwischen den virtuellen Verschiebungen der einzelnen Systempunkte können gewisse Beziehungen bestehen. Oft sind sie Gleichungen zwischen den Koordinaten des Systems; man nennt ein solches System ein holonomes ("ganz gesetzliches") System. Im Gegensatz hierzu wird ein		Zu den virtuellen Verschiebungen <math>\delta \vec{r}</math> noch eine grundsätzliche Bemerkung: Zwischen den virtuellen Verschiebungen der einzelnen Systempunkte können gewisse Beziehungen bestehen. Oft sind sie Gleichungen zwischen den Koordinaten des Systems; man nennt ein solches System ein holonomes ("ganz gesetzliches") System. Im Gegensatz hierzu wird ein
	System nicht- holonom genannt, wenn Bedingungsgleichungen nur in differentieller Form bestehen.		System nicht- holonom genannt, wenn Bedingungsgleichungen nur in differentieller Form bestehen.
Zeile 764:		Zeile 764:
	und <math>\alpha</math> offenbar beliebige Werte annehmen können, d. h. unabhängig voneinander sind.		und <math>\alpha</math> offenbar beliebige Werte annehmen können, d. h. unabhängig voneinander sind.

	Auch ein auf einer Ebene abrollendes und schief gestelltes Rad ist ein ~~nichtholonomes~~ System. Es sei bemerkt, daß in der Kontinuumsmechanik die Untersuchung nicht-holonomer Systeme entfällt.		Auch ein auf einer Ebene abrollendes und schief gestelltes Rad ist ein nicht-holonomes System. Es sei bemerkt, daß in der Kontinuumsmechanik die Untersuchung nicht-holonomer Systeme entfällt.

	In obiger Gleichung des d'Alembertschen Prinzips erscheinen die Reaktionskräfte nicht, wohl ~~mussen~~ aber bei einem elastischen System die Arbeit verrichtenden inneren elastischen		In obiger Gleichung des d'Alembertschen Prinzips erscheinen die Reaktionskräfte nicht, wohl müssen aber bei einem elastischen System die Arbeit verrichtenden inneren elastischen
	Kräfte und gegebenenfalls innere Gleitreibungen ~~berileksichtigt~~ werden!		Kräfte und gegebenenfalls innere Gleitreibungen berücksichtigt werden!
	Für starre Systeme, für die das Prinzip vorwiegend zur Anwendung gelangt, fallen diese Kräfte freilich fort.		Für starre Systeme, für die das Prinzip vorwiegend zur Anwendung gelangt, fallen diese Kräfte freilich fort.

Zeile 801:		Zeile 801:

	::<math>\int d\vec{B} =		::<math>\int d\vec{B} =
	\int (d\vec{K}^a - dm \;\vec{b}) = 0		\int (d\vec{K}^a - dm \;\vec{b}) = \vec{0}
	</math>, <math>		</math>, <math>
	\int_V \vec{r} \times d\vec{B} =		\int_V \vec{r} \times d\vec{B} =
	\int_V (\vec{r} \times (d\vec{K}^a - dm \;\vec{b})) = 0		\int_V (\vec{r} \times (d\vec{K}^a - dm \;\vec{b})) = \vec{0}
	</math>,		</math>,

	woraus mit <math>\vec{b} = \ddot{r} = \dot{v}</math> und wegen der Unveränderlichkeit der Masse		woraus mit <math>\vec{b} = \ddot{r} = \dot{v}</math> und wegen der Unveränderlichkeit der Masse

	::<math>\int d\vec{K}^a = \vec{K}^a = \int dm \; \; \ddot{\vec{r}}^a = \frac{d^2}{dt^2}(m \vec{r}_S) = m \ddot{\vec{r}}_S = m \vec{b}_S</math>		::<math>\int d\vec{K}^a = \vec{K}^a = \int dm \; \; \ddot{\vec{r}}^a = \frac{d^2}{dt^2}(m \; \vec{r}_S) = m \ddot{\vec{r}}_S = m \vec{b}_S</math>

	bzw.		bzw.
Zeile 818:		Zeile 818:

	Selbstverständlich kann das D'Alembertsche Prinzip auch zur Ermittlung von inneren Kräften (z.B. Seilkräften) dienen, indem man diese durch Führung eines geeigneten Schnittes freilegt, d.h. sie zu äußeren Kräften macht. In solchen Fällen verwendet man anstatt oder neben der		Selbstverständlich kann das D'Alembertsche Prinzip auch zur Ermittlung von inneren Kräften (z.B. Seilkräften) dienen, indem man diese durch Führung eines geeigneten Schnittes freilegt, d.h. sie zu äußeren Kräften macht. In solchen Fällen verwendet man anstatt oder neben der
	urspünglichen Fassung des D'~~alembertschen~~ Prinzips auch die Gleichgewichtsbedingungen der (verlorenen) Kräfte und Momente, wobei bei den letzteren die Momente der (eingeprägten) Kräfte im Sinne der obigen Gleichungen durch die Produkte <math>\Theta \dot{omega}</math>		urspünglichen Fassung des D'Alembertschen Prinzips auch die Gleichgewichtsbedingungen der (verlorenen) Kräfte und Momente, wobei bei den letzteren die Momente der (eingeprägten) Kräfte im Sinne der obigen Gleichungen durch die Produkte <math>\Theta \dot{\omega}</math>
	der sich drehenden Massen zu ergänzen sind.		der sich drehenden Massen zu ergänzen sind.

Zeile 825:		Zeile 825:

	[[Datei:Prinzipien-3.6.PNG\|300px\|left\|mini\|Zur falschen Interpretation des d'Almebertschen Prinzips: System mit Seilkräften freigeschnitten.]]		[[Datei:Prinzipien-3.6.PNG\|300px\|left\|mini\|Zur falschen Interpretation des d'Almebertschen Prinzips: System mit Seilkräften freigeschnitten.]]
	Oft wird auch das Prinzip zu weit gefaßt, wenn behauptet wird, daß jede statische Gleichung auch ~~fur~~ die Bewegung durch Hinzunahme der negativen Massenbeschleunigungen richtig wird. Daß diese Ansicht falsch ist, zeigt die Betrachtung des in dargestellten Systems:		Oft wird auch das Prinzip zu weit gefaßt, wenn behauptet wird, daß jede statische Gleichung auch für die Bewegung durch Hinzunahme der negativen Massenbeschleunigungen richtig wird. Daß diese Ansicht falsch ist, zeigt die Betrachtung des in dargestellten Systems:
	Die statische Gleichgewichtsbedingung - ohne Berücksichtigung des Seilgewichtes -		Die statische Gleichgewichtsbedingung - ohne Berücksichtigung des Seilgewichtes -

← Nächstältere Version		Version vom 21. Oktober 2025, 13:05 Uhr
Zeile 167:		Zeile 167:
	</math>		</math>

	und, da ~~das~~ über den Rollenradius liegende Seillänge als konstant anzusehen ist,		und, da die über den Rollenradius liegende Seillänge als konstant anzusehen ist,

	::<math>\underline{r}_1 = \ell_1 \cdot \left(\begin{array}{c}-\cos(\alpha)\\-\sin(\alpha)\\0 \end{array}\right), \underline{r}_2 = \ell_2 \cdot \left(\begin{array}{c}+\cos(\beta)\\-\sin(\beta)\\0 \end{array}\right)</math>		::<math>\underline{r}_1 = \ell_1 \cdot \left(\begin{array}{c}-\cos(\alpha)\\-\sin(\alpha)\\0 \end{array}\right), \underline{r}_2 = \ell_2 \cdot \left(\begin{array}{c}+\cos(\beta)\\-\sin(\beta)\\0 \end{array}\right)</math>
Zeile 215:		Zeile 215:
	::<math>\underline{G}^T = \left(0; -m g; 0\right)</math>		::<math>\underline{G}^T = \left(0; -m g; 0\right)</math>

	sie kann nach ~~Einfiihrung~~ der potentiellen Energie - auch Potential genannt -		sie kann nach Einführung der potentiellen Energie - auch Potential genannt -

	::<math>U=m g y + U_0; U_0=const</math>		::<math>U=m g y + U_0; U_0=const</math>
Zeile 223:		Zeile 223:
	::<math>\underline{G}^T= - \text{grad}( U ) = \left(\frac{\partial U}{\partial x}; \frac{\partial U}{\partial y}; \frac{\partial U}{\partial z} \right)</math>		::<math>\underline{G}^T= - \text{grad}( U ) = \left(\frac{\partial U}{\partial x}; \frac{\partial U}{\partial y}; \frac{\partial U}{\partial z} \right)</math>

	geschrieben werden. Nun ~~konnen~~ die oben dargestellten Gleichgewichtslagen dadurch charakterisiert werden, daß zum stabilen, labilen bzw. indifferenten Gleichgewicht ein Minimum (<math>U''(x_1) > 0</math>), Maximum (<math>U''(~~x_1~~) < 0</math>) bzw. "stationarer Wert" (U'' (x_3) = 0) der potentiellen Energie <math>U= m g y +U_0 = m g y(x) + U_0 = U(x)</math> gehört.		geschrieben werden. Nun können die oben dargestellten Gleichgewichtslagen dadurch charakterisiert werden, daß zum stabilen, labilen bzw. indifferenten Gleichgewicht ein Minimum (<math>U''(x_1) > 0</math>), Maximum (<math>U''(x_2) < 0</math>) bzw. "stationarer Wert" (<math>U'' (x_3) = 0</math>) der potentiellen Energie <math>U= m g y +U_0 = m g y(x) + U_0 = U(x)</math> gehört.

	Wir ersehen weiter aus obiger Abbildung, daß in der stabilen Gleichgewichtslage (<math>U= Minimum</math>) die Kugel bei einer kleinen Störung (d.h. Entfernung aus dieser Lage) um den im Vergleich zu ~~den~~ benachbarten tiefsten Punkt (kleine) Schwingungen ausführt. In Verallgemeinerung dieser Sachlage nennt man nach <span style="text-transform: uppercase;">Klein, Felix</span> (1849-1925) eine Gleichgewichtslage stabil, wenn für hinreichend klein gewählte Anfangsstörungen auch die Lageänderungen klein bleiben.		Wir ersehen weiter aus obiger Abbildung, daß in der stabilen Gleichgewichtslage (<math>U= Minimum</math>) die Kugel bei einer kleinen Störung (d.h. Entfernung aus dieser Lage) um den im Vergleich zu dem benachbarten tiefsten Punkt (kleine) Schwingungen ausführt. In Verallgemeinerung dieser Sachlage nennt man nach <span style="text-transform: uppercase;">Klein, Felix</span> (1849-1925) eine Gleichgewichtslage stabil, wenn für hinreichend klein gewählte Anfangsstörungen auch die Lageänderungen klein bleiben.
	Die allgemeine Gültigkeit des an einem Spezialfall gewonnenen Zusammenhanges zwischen potentieller Energie <math>U= U(x, y, z)</math> und Gleichgewichtsart läßt sich wie folgt plausibel machen: Besitzen die (eingeprägten) Kräfte ein Potential, so gilt		Die allgemeine Gültigkeit des an einem Spezialfall gewonnenen Zusammenhanges zwischen potentieller Energie <math>U= U(x, y, z)</math> und Gleichgewichtsart läßt sich wie folgt plausibel machen: Besitzen die (eingeprägten) Kräfte ein Potential, so gilt

Zeile 236:		Zeile 236:
	ist. Dann gilt für dämpfungsfreie Systeme der Energiesatz		ist. Dann gilt für dämpfungsfreie Systeme der Energiesatz

	::<math>E + U = const</math>, d.h. <math>\delta\left(E + U\right) = 0</math> (E ... kinetische Energie),		::<math>E + U = const</math>, d.h. <math>\delta\left(E + U\right) = 0</math> (''E'' ... kinetische Energie),

	woraus mit dem Prinzip der virtuellen Vernickungen		woraus mit dem Prinzip der virtuellen Vernickungen
Zeile 243:		Zeile 243:

	folgt. Nun bedeutet dies, daß sowohl <math>E</math> wie <math>U</math> einen Extremwert besitzen: Entweder ''E'' = Maximum, ''U''= Minimum oder umgekehrt.		folgt. Nun bedeutet dies, daß sowohl <math>E</math> wie <math>U</math> einen Extremwert besitzen: Entweder ''E'' = Maximum, ''U''= Minimum oder umgekehrt.
	Passiert das System die durch <math>\delta A^e = 0</math> allgemein, durch ''E'' = Maximum, ''U''= Minimum im besonderen charakterisierte Gleichgewichtslage, so hat E (als Maximum) die Tendenz zum Abnehmen, d. h. das System die Tendenz zur ~~Ruckkehr~~ in diese Lage, und das ist die Stabilität. Ist dagegen ''E'' = Minimum, ''U'' = Maximum, so hat ''E'' (als Minimum) die Tendenz zum Anwachsen, also das System die Neigung, sich mit wachsender Geschwindigkeit aus dieser Lage weiter zu entfernen: Instabilität.		Passiert das System die durch <math>\delta A^e = 0</math> allgemein, durch ''E'' = Maximum, ''U''= Minimum im besonderen charakterisierte Gleichgewichtslage, so hat E (als Maximum) die Tendenz zum Abnehmen, d. h. das System die Tendenz zur Rückkehr in diese Lage, und das ist die Stabilität. Ist dagegen ''E'' = Minimum, ''U'' = Maximum, so hat ''E'' (als Minimum) die Tendenz zum Anwachsen, also das System die Neigung, sich mit wachsender Geschwindigkeit aus dieser Lage weiter zu entfernen: Instabilität.

	In der Sprache der Differentialrechnung lassen sich die Gleichgewichtslagen, soweit eine Taylor-Entwicklung bis auf Glieder zweiter Ordnung zu diesem Zweck ~~ausreivht~~", wie folgt festlegen:		In der Sprache der Differentialrechnung lassen sich die Gleichgewichtslagen, soweit eine Taylor-Entwicklung bis auf Glieder zweiter Ordnung zu diesem Zweck ausreicht", wie folgt festlegen:

	::<math>\delta U = -\delta A^e = 0</math>,		::<math>\delta U = -\delta A^e = 0</math>,
Zeile 258:		Zeile 258:
	</math>.		</math>.

	Wegen <math>\delta U = 0</math> (notwendige Bedingung des Extremums) folgt hieraus z.B. für ''U''= Minimum (Stabilität		Wegen <math>\delta U = 0</math> (notwendige Bedingung des Extremums) folgt hieraus z.B. für ''U''= Minimum (Stabilität)

	::<math>U(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z) - U(x,y,z) = \frac{1}{2!} \delta^2 U + \ldots > 0</math>.		::<math>U(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z) - U(x,y,z) = \frac{1}{2!} \delta^2 U + \ldots > 0</math>.
Zeile 268:		Zeile 268:
	'''Beispiel:''' Homogene Halbkugel vom Radius ''a'' mit aufgesetztem Kreiskegel aus gleichem Material.		'''Beispiel:''' Homogene Halbkugel vom Radius ''a'' mit aufgesetztem Kreiskegel aus gleichem Material.

	Wie ~~groB~~ ist ''h'' zu wählen, damit die skizzierte Gleichgewichtslage indifferent ist?		Wie groß ist ''h'' zu wählen, damit die skizzierte Gleichgewichtslage indifferent ist?

	Da die Schwerpunkthöhen der Halbkugel bzw. des Kreiskegels		Da die Schwerpunkthöhen der Halbkugel bzw. des Kreiskegels
Zeile 287:		Zeile 287:
	hat. Die Gleichgewichtsbedingung (''G'' = Gesamtgewicht)		hat. Die Gleichgewichtsbedingung (''G'' = Gesamtgewicht)

	::<math>\delta A^e = - G \delta y_S = -G \frac{\partial y_S}{\partial \varphi} \delta \varphi = 0</math>		::<math>\delta A^e = - G \;\delta y_S = -G \frac{\partial y_S}{\partial \varphi} \delta \varphi = 0</math>

	liefert - da <math>\delta\varphi</math> beliebig ist - die Beziehung		liefert - da <math>\delta\varphi</math> beliebig ist - die Beziehung

	::<math>\frac{\partial y_S}{\partial \varphi} = v \sin(\varphi) = 0</math>		::<math>\frac{\partial y_S}{\partial \varphi} = v \;\sin(\varphi) = 0</math>

	die für die skizzierte Lage <math>\varphi=0</math> erfüllt ist. Die Bedingung des indifferenten Gleichgewichtes gemäß obiger Gleichung verlangt		die für die skizzierte Lage <math>\varphi=0</math> erfüllt ist. Die Bedingung des indifferenten Gleichgewichtes gemäß obiger Gleichung verlangt
Zeile 301:		Zeile 301:
	::<math>\frac{\partial^2 y_S}{\partial \varphi^2} = v \cos(\varphi) = 0</math>		::<math>\frac{\partial^2 y_S}{\partial \varphi^2} = v \cos(\varphi) = 0</math>

	woraus für <math>\varphi = 0</math> schließlich <math>v = 0</math>, also <math>\~~varphi = 0~~</math> folgt.		woraus für <math>\varphi = 0</math> schließlich <math>v = 0</math>, also <math>h=a\sqrt{3}</math> folgt.

	[[Datei:1.14.png\|mini\|right\|180px\|Standsicherheitsmoment.]]		[[Datei:1.14.png\|mini\|right\|180px\|Standsicherheitsmoment.]]