Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode - Versionsgeschichte

Mechaniker: /* A. Das Prozess-Schema */

2021-02-24T12:34:57Z

A. Das Prozess-Schema

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 12:34 Uhr
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	Das Gesamt-Gleichungssystem komponieren wir, indem die Element-Steifigkeitsmatrizen je Bauteil nach einem festen Schema in ''K'' hineinkopiert werden:		Das Gesamt-Gleichungssystem komponieren wir, indem die Element-Steifigkeitsmatrizen je Bauteil nach einem festen Schema in ''K'' hineinkopiert werden:

	[[File:BVP-FEM.mp4~~\|Video: Prozessschema FEM]]~~		[[File:BVP-FEM.mp4\|Video: Prozessschema FEM]]<br clear="all"/>

	~~[[File:FiniteElementeMethode-PreviewVideo.png\|verweis=Datei:BVP-FEM.mp4\|links\|mini\|250x250px~~\|Video: Prozessschema FEM]]<br clear="all"/>

	Es bleibt noch, die Randbedingungen in das System einzuarbeiten: das machen wir durch Streichen der Zeilen und Spalten des Gleichungssystems, die zu Koordinaten gehören, die aufgrund der Lagerung des Systems behindert sind:		Es bleibt noch, die Randbedingungen in das System einzuarbeiten: das machen wir durch Streichen der Zeilen und Spalten des Gleichungssystems, die zu Koordinaten gehören, die aufgrund der Lagerung des Systems behindert sind:

Mechaniker: /* A. Das Prozess-Schema */

2021-02-24T12:34:14Z

A. Das Prozess-Schema

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 12:34 Uhr
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	== A. Das Prozess-Schema ==		== A. Das Prozess-Schema ==
	Das Gesamt-Gleichungssystem komponieren wir, indem die Element-Steifigkeitsmatrizen je Bauteil nach einem festen Schema in ''K'' hineinkopiert werden:		Das Gesamt-Gleichungssystem komponieren wir, indem die Element-Steifigkeitsmatrizen je Bauteil nach einem festen Schema in ''K'' hineinkopiert werden:

			[[File:BVP-FEM.mp4\|Video: Prozessschema FEM]]

	[[File:FiniteElementeMethode-PreviewVideo.png\|verweis=Datei:BVP-FEM.mp4\|links\|mini\|250x250px\|Video: Prozessschema FEM]]<br clear="all"/>		[[File:FiniteElementeMethode-PreviewVideo.png\|verweis=Datei:BVP-FEM.mp4\|links\|mini\|250x250px\|Video: Prozessschema FEM]]<br clear="all"/>

Mechaniker: /* Literatur */

2021-02-24T07:49:42Z

Literatur

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	== Literatur ==		== Literatur ==

	* Strang 2008		* [[Sources/Literatur#Strang2008\|Strang 2008]]

	'''Untergeordnete Seiten'''		'''Untergeordnete Seiten'''

Mechaniker: /* Literatur */

2021-02-24T07:47:10Z

Literatur

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Zeile 432:		Zeile 432:

	* [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente\|Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente]]		* [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente\|Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente]]
			* {{Kategorie:Finite-Elemente-Methode}}
	{{Kategorie:Finite-Elemente-Methode}}		* [https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesches_Polynom Hermite-Polynome]

Mechaniker: /* A. Das Prozess-Schema */

2021-02-22T12:22:28Z

A. Das Prozess-Schema

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 12:22 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	Das Gesamt-Gleichungssystem komponieren wir, indem die Element-Steifigkeitsmatrizen je Bauteil nach einem festen Schema in ''K'' hineinkopiert werden:		Das Gesamt-Gleichungssystem komponieren wir, indem die Element-Steifigkeitsmatrizen je Bauteil nach einem festen Schema in ''K'' hineinkopiert werden:

	[[File:FiniteElementeMethode-PreviewVideo.png\|verweis=Datei:BVP-FEM.mp4\|links\|mini\|250x250px\|Prozessschema FEM]]<br clear="all"/>		[[File:FiniteElementeMethode-PreviewVideo.png\|verweis=Datei:BVP-FEM.mp4\|links\|mini\|250x250px\|Video: Prozessschema FEM]]<br clear="all"/>

	Es bleibt noch, die Randbedingungen in das System einzuarbeiten: das machen wir durch Streichen der Zeilen und Spalten des Gleichungssystems, die zu Koordinaten gehören, die aufgrund der Lagerung des Systems behindert sind:		Es bleibt noch, die Randbedingungen in das System einzuarbeiten: das machen wir durch Streichen der Zeilen und Spalten des Gleichungssystems, die zu Koordinaten gehören, die aufgrund der Lagerung des Systems behindert sind:

Mechaniker: /* A. Das Prozess-Schema */

2021-02-22T08:08:07Z

A. Das Prozess-Schema

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 08:08 Uhr
Zeile 279:		Zeile 279:
	In FEM-Programmen werden Spannungen (hier die Normalkräfte) und Verformungen gern in ein Bild eingetragen, die Größe der Spannung wird dabei farblich kodiert:		In FEM-Programmen werden Spannungen (hier die Normalkräfte) und Verformungen gern in ein Bild eingetragen, die Größe der Spannung wird dabei farblich kodiert:

	[[Datei:FiniteElementeMethode-Ergebnis.png\|left\|mini\|Verformung des Stabwerks.]]		[[Datei:FiniteElementeMethode-Ergebnis.png\|150px\|left\|mini\|Verformung des Stabwerks.]]

	\|code=		\|code=

Mechaniker am 22. Februar 2021 um 08:05 Uhr

2021-02-22T08:05:10Z

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Zeile 332:		Zeile 332:
	Für einen geraden Stab sieht eine Diskretisierung - hier mit gleich langen - Finiten Elementen so aus:		Für einen geraden Stab sieht eine Diskretisierung - hier mit gleich langen - Finiten Elementen so aus:

	[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabmodelle.png\|left\|mini\|Knoten und Elemente für Stabmodelle.]]<br clear="all"/>		[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabmodelle.png\|left\|mini\|Knoten und Elemente für Stabmodelle.\|alternativtext=\|400x400px]]<br clear="all"/>

	Der Ansatz - hier für einen [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] - ist wieder allgemein		Der Ansatz - hier für einen [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] - ist wieder allgemein

Mechaniker: /* Einführungsbeispiel */

2021-02-22T08:00:55Z

Einführungsbeispiel

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 08:00 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	Wie das geht, zeige ich Ihnen - zuerst ohne Theorie - für ein Beispiel:		Wie das geht, zeige ich Ihnen - zuerst ohne Theorie - für ein Beispiel:

	[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabwerk.png\|left\|120px\|mini\|Stabwerk]]		[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabwerk.png\|left\|120px\|mini\|Stabwerk]]<br clear="all"/>

	Ein Stabwerk aus drei elastischen Stäben und einer Feder wird durch eine Einzelkraft ''F'' belastet. Alle Stäbe haben die Dehnsteifigkeit ''EA'', die Federsteifigkeit ist ''k''.		Ein Stabwerk aus drei elastischen Stäben und einer Feder wird durch eine Einzelkraft ''F'' belastet. Alle Stäbe haben die Dehnsteifigkeit ''EA'', die Federsteifigkeit ist ''k''.
Zeile 34:		Zeile 34:
	::<math>\underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q} = \underline{P}</math>		::<math>\underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q} = \underline{P}</math>

	[[Datei:FiniteElementeMethode-StabwerkMitBezeichnugen.png\|left\|120px\|mini\|Benennung von Stäben und Knoten.]]		[[Datei:FiniteElementeMethode-StabwerkMitBezeichnugen.png\|left\|120px\|mini\|Benennung von Stäben und Knoten.]]<br clear="all"/>

	Wir benennen Stäbe und Knoten, ein Koordinatensystem brauchen wir auch:		Wir benennen Stäbe und Knoten, ein Koordinatensystem brauchen wir auch:

Mechaniker: /* Einführungsbeispiel */

2021-02-22T08:00:23Z

Einführungsbeispiel

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 08:00 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	Wie das geht, zeige ich Ihnen - zuerst ohne Theorie - für ein Beispiel:		Wie das geht, zeige ich Ihnen - zuerst ohne Theorie - für ein Beispiel:

	[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabwerk.png\|~~150px~~\|mini\|Stabwerk]]		[[Datei:FiniteElementeMethode-Stabwerk.png\|left\|120px\|mini\|Stabwerk]]

	Ein Stabwerk aus drei elastischen Stäben und einer Feder wird durch eine Einzelkraft ''F'' belastet. Alle Stäbe haben die Dehnsteifigkeit ''EA'', die Federsteifigkeit ist ''k''.		Ein Stabwerk aus drei elastischen Stäben und einer Feder wird durch eine Einzelkraft ''F'' belastet. Alle Stäbe haben die Dehnsteifigkeit ''EA'', die Federsteifigkeit ist ''k''.
Zeile 34:		Zeile 34:
	::<math>\underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q} = \underline{P}</math>		::<math>\underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q} = \underline{P}</math>

	[[Datei:FiniteElementeMethode-StabwerkMitBezeichnugen.png\|~~150px~~\|mini\|Benennung von Stäben und Knoten.]]		[[Datei:FiniteElementeMethode-StabwerkMitBezeichnugen.png\|left\|120px\|mini\|Benennung von Stäben und Knoten.]]
	Wir benennen Stäbe und Knoten, ein Koordinatensystem brauchen wir auch:		Wir benennen Stäbe und Knoten, ein Koordinatensystem brauchen wir auch:

Mechaniker: /* A. Das Prozess-Schema */

2021-02-22T07:59:36Z

A. Das Prozess-Schema

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2021, 07:59 Uhr
Zeile 224:		Zeile 224:
	Nun lautet das Gleichungssystem		Nun lautet das Gleichungssystem

	::<math>\displaystyle \frac{EA}{\sqrt{2}\cdot a} \begin{pmatrix} \sqrt{2}+\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\cr \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\cr -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \kappa+\sqrt{2}+\frac{1}{2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{{u}_{I}}\cr {{v}_{I}}\cr {{v}_{II}} \end{pmatrix}\,=\, \begin{pmatrix}0\cr -F\cr 0 \end{pmatrix}</math>		::<math>\displaystyle \frac{EA}{\sqrt{2}\cdot a} \begin{pmatrix}
			\sqrt{2}+\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
			\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
			-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \kappa+\sqrt{2}+\frac{1}{2}
			\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
			{{u}_{I}}\\
			{{v}_{I}}\\
			{{v}_{II}}
			\end{pmatrix}\,=\, \begin{pmatrix}
			0\\
			-F\\
			0 \end{pmatrix}</math>

	\|code=		\|code=