Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Differenzen Verfahren (EBB) - Versionsgeschichte

Mechaniker am 20. Februar 2021 um 18:49 Uhr

2021-02-20T18:49:02Z

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	== Macht das Verfahren Sinn? ==		== Macht das Verfahren Sinn? ==
	Das Finite-Differenzen-Verfahren erscheint also auf den ersten Blick anschaulich und intuitiv, ist aber numerisch ineffizient und basiert auf fragwürdigen mathematischen Ansätzen.		Das Finite-Differenzen-Verfahren erscheint also auf den ersten Blick anschaulich und intuitiv, ist aber numerisch ineffizient und basiert auf fragwürdigen mathematischen Ansätzen.
	* Es setzt als Näherungslösung für die Differentialbeziehung einer kontinuierlichen Funktion ''w'' im Feld des Euler-Bernoulli-Balkens ein gewöhnliches Gleichungssystem mit einigen 100 Stützstellen (= Unbekannten) an. Für die analytische Lösung brauchen wir gerade mal 4 Unbekannte (= Integrationskonstanten) je Feld!		* Es setzt als Näherungslösung für die Differentialbeziehung einer kontinuierlichen Funktion ''w'' im Feld des [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balkens]] ein gewöhnliches Gleichungssystem mit einigen 100 Stützstellen (= Unbekannten) an. Für die analytische Lösung brauchen wir gerade mal 4 Unbekannte (= Integrationskonstanten) je Feld!
	* Für Randwertprobleme mit linearen, partiellen Differentialgleichungen - z.B. für Schalen, bei denen man üblicherweise keine analytische Lösung findet - kann man das Verfahren sinnvoller einsetzen. Heute gibt es jedoch mit der Methode der Finiten Elemente deutlich effizientere Lösungsverfahren.		* Für Randwertprobleme mit linearen, partiellen Differentialgleichungen - z.B. für Schalen, bei denen man üblicherweise keine analytische Lösung findet - kann man das Verfahren sinnvoller einsetzen. Heute gibt es jedoch mit der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]] deutlich effizientere Lösungsverfahren.
	* Der zentrale Ansatz des Verfahrens - das Ersetzen der Differentialbeziehung durch eine Differenzenbeziehung - nutzt kein mathematisch begründetes Näherungsverfahren.		* Der zentrale Ansatz des Verfahrens - das Ersetzen der Differentialbeziehung durch eine Differenzenbeziehung - nutzt kein mathematisch begründetes Näherungsverfahren.

Mechaniker: /* ... im Feld */

2021-02-20T18:46:28Z

... im Feld

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Zeile 132:		Zeile 132:
	<table>		<table>
	<tr><td style="vertical-align:top; width:50%;">[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Lasten.png\|ohne\|mini\|Streckenlast und äußere Lasten im kontinuierlichen Fall um den Knoten ''I'' herum.]]</td>		<tr><td style="vertical-align:top; width:50%;">[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Lasten.png\|ohne\|mini\|Streckenlast und äußere Lasten im kontinuierlichen Fall um den Knoten ''I'' herum.]]</td>
	<td style="vertical-align:top">[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Ersatzsystem.png\|ohne\|mini\|Streckenlast und äußere Lasten im Fall von endlichen Differenzen um den Knoten ''I'' herum.]]</td>		<td style="vertical-align:top">[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Ersatzsystem.png\|ohne\|mini\|Streckenlast und äußere Lasten im Fall von endlichen Differenzen um den Knoten ''I'' herum.\|alternativtext=\|rand]]</td>
	</tr>		</tr>
	</table>Dazu müssen die Stützstellen mit den Last-Einleitungsstellen zusammenfallen!		</table>Dazu müssen die Stützstellen mit den Last-Einleitungsstellen zusammenfallen!

Mechaniker: /* ... im Feld */

2021-02-20T18:44:53Z

... im Feld

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2021, 18:44 Uhr
Zeile 131:		Zeile 131:

	<table>		<table>
	<tr><td style="vertical-align:top">[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Lasten.png\|ohne\|mini\|Streckenlast und äußere Lasten im kontinuierlichen Fall um den Knoten ''I'' herum.]]</td>		<tr><td style="vertical-align:top; width:50%;">[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Lasten.png\|ohne\|mini\|Streckenlast und äußere Lasten im kontinuierlichen Fall um den Knoten ''I'' herum.]]</td>
	<td style="vertical-align:top">[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Ersatzsystem.png\|ohne\|mini\|Streckenlast und äußere Lasten im Fall von endlichen Differenzen um den Knoten ''I'' herum.]]</td>		<td style="vertical-align:top">[[Datei:FiniteDifferenzenVerfahren-Ersatzsystem.png\|ohne\|mini\|Streckenlast und äußere Lasten im Fall von endlichen Differenzen um den Knoten ''I'' herum.]]</td>
	</tr>		</tr>
	</table>Dazu müssen die Stützstellen mit den Last-Einleitungsstellen zusammenfallen!		</table>Dazu müssen die Stützstellen mit den Last-Einleitungsstellen zusammenfallen!

	==== ... am Rand ====		==== ... am Rand ====
	<ul>		<ul>

Mechaniker: /* Äußere Kräfte- und Momente */

2021-02-20T18:43:56Z

Äußere Kräfte- und Momente

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2021, 18:43 Uhr
Zeile 122:		Zeile 122:

	Um äußere, diskrete Lasten auf unser Finite-Differenzen-Modell im Feld einzubeziehen, interpretieren wir		Um äußere, diskrete Lasten auf unser Finite-Differenzen-Modell im Feld einzubeziehen, interpretieren wir
	::<math></math>,		::<math>q_i \cdot \Delta\, x =: Q_i</math>,

	als diskrete Kraft auf unser System an den Stützstellen. Denen können wir auch äußere Lasten hinzufügen, nämlich		als diskrete Kraft auf unser System an den Stützstellen. Denen können wir auch äußere Lasten hinzufügen, nämlich
Zeile 128:		Zeile 128:
	* das eingeprägte, äußere Moment ''M<sub>i</sub>'' durch das Kräftepaar		* das eingeprägte, äußere Moment ''M<sub>i</sub>'' durch das Kräftepaar

	::<math>\~~begin{array}{ll} w(x_i) &= W_i~~\\ ~~w'(x_i) &= \displaystyle~~ \frac{ ~~-W_{i-1} + W_{i+1}~~ }{2\~~cdot~~\Delta ~~x }\\ w''(x_i) &= \displaystyle \frac{ + W_{i-1} - 2~~\,~~W_{i} + W_{i+1} }{ \Delta~~ x~~^2}\\ w'''(x_i) &= \displaystyle \frac{-W_{i-2~~} ~~+ 2\~~,~~W_{i-1} - 2\,W_{i+1} + W_{i+2}}{~~2\cdot\Delta x~~^3}\\ w''''(x_i)&= \displaystyle~~ \frac{~~+W_~~{i-2~~} - 4~~\,~~W_{i-1} + 6~~\~~,W_{i} - 4~~\,~~W_{i+1} + W_{i+2}}{ \Delta~~ x^4}\\ ~~\end{array~~}</math>.		::<math>\displaystyle \left\{\frac{M_i}{2\,\Delta\,x}, 2\cdot\Delta\,x ,\frac{M_i}{2\, \Delta\,x}\right\}</math>.

	<table>		<table>

Mechaniker: /* ... am Rand */

2021-02-20T18:42:52Z

... am Rand

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2021, 18:42 Uhr
Zeile 144:		Zeile 144:
	:<math>\begin{array}{ll} w(x_i) &= W_i\\ w'(x_i) &= \displaystyle \frac{ -W_{i-1} + W_{i+1} }{2\cdot\Delta x }\\ w''(x_i) &= \displaystyle \frac{ + W_{i-1} - 2\,W_{i} + W_{i+1} }{ \Delta x^2}\\ w'''(x_i) &= \displaystyle \frac{-W_{i-2} + 2\,W_{i-1} - 2\,W_{i+1} + W_{i+2}}{2\cdot\Delta x^3}\\ w''''(x_i)&= \displaystyle \frac{+W_{i-2} - 4\,W_{i-1} + 6\,W_{i} - 4\,W_{i+1} + W_{i+2}}{ \Delta x^4}\\ \end{array}</math>		:<math>\begin{array}{ll} w(x_i) &= W_i\\ w'(x_i) &= \displaystyle \frac{ -W_{i-1} + W_{i+1} }{2\cdot\Delta x }\\ w''(x_i) &= \displaystyle \frac{ + W_{i-1} - 2\,W_{i} + W_{i+1} }{ \Delta x^2}\\ w'''(x_i) &= \displaystyle \frac{-W_{i-2} + 2\,W_{i-1} - 2\,W_{i+1} + W_{i+2}}{2\cdot\Delta x^3}\\ w''''(x_i)&= \displaystyle \frac{+W_{i-2} - 4\,W_{i-1} + 6\,W_{i} - 4\,W_{i+1} + W_{i+2}}{ \Delta x^4}\\ \end{array}</math>
	(vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kit6\|Kit6]]).		(vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kit6\|Kit6]]).


	Da wir für jeden Rand des Euler-Bernoulli-Balkens genau zwei Randbedingungen erhalten, verbrauchen wir dafür genau 4 Gleichungen. Wir ersetzen also vier Gleichungen der Biegedifferentialgleichung durch vier Gleichungen der Randbedingungen.		Da wir für jeden Rand des Euler-Bernoulli-Balkens genau zwei Randbedingungen erhalten, verbrauchen wir dafür genau 4 Gleichungen. Wir ersetzen also vier Gleichungen der Biegedifferentialgleichung durch vier Gleichungen der Randbedingungen.

Mechaniker: /* ... am Rand */

2021-02-20T18:40:57Z

... am Rand

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2021, 18:40 Uhr
Zeile 135:		Zeile 135:
	</tr>		</tr>
	</table>Dazu müssen die Stützstellen mit den Last-Einleitungsstellen zusammenfallen!		</table>Dazu müssen die Stützstellen mit den Last-Einleitungsstellen zusammenfallen!
			==== ... am Rand ====
	== ... am Rand ==		<ul>
	Wir müssen unserer Stützstellen-Liste		<li>Wir müssen unserer Stützstellen-Liste
	* eine Anfangs- bzw. End-Krümmung (2te Ableitung) für ein dort angreifendes Moment ''M = -EI w<nowiki>''</nowiki>'' oder / und		* eine Anfangs- bzw. End-Krümmung (2te Ableitung) für ein dort angreifendes Moment ''M = -EI w<nowiki>''</nowiki>'' oder / und
	* eine vordefinierte 3te Ableitung für eine dort angreifende Querkraft ''Q = -EI w<nowiki>'''</nowiki>'' mitgeben.		* eine vordefinierte 3te Ableitung für eine dort angreifende Querkraft ''Q = -EI w<nowiki>'''</nowiki>'' mitgeben.

	Die erforderlichen weiteren Beziehungen zwischen den Ableitungen von ''w'' und deren Erfassung durch die Stützstellen ''W<sub>i</sub>'' sind		Die erforderlichen weiteren Beziehungen zwischen den Ableitungen von ''w'' und deren Erfassung durch die Stützstellen ''W<sub>i</sub>'' sind

	:<math>\begin{array}{ll} w(x_i) &= W_i\\ w'(x_i) &= \displaystyle \frac{ -W_{i-1} + W_{i+1} }{2\cdot\Delta x }\\ w''(x_i) &= \displaystyle \frac{ + W_{i-1} - 2\,W_{i} + W_{i+1} }{ \Delta x^2}\\ w'''(x_i) &= \displaystyle \frac{-W_{i-2} + 2\,W_{i-1} - 2\,W_{i+1} + W_{i+2}}{2\cdot\Delta x^3}\\ w''''(x_i)&= \displaystyle \frac{+W_{i-2} - 4\,W_{i-1} + 6\,W_{i} - 4\,W_{i+1} + W_{i+2}}{ \Delta x^4}\\ \end{array}</math>		:<math>\begin{array}{ll} w(x_i) &= W_i\\ w'(x_i) &= \displaystyle \frac{ -W_{i-1} + W_{i+1} }{2\cdot\Delta x }\\ w''(x_i) &= \displaystyle \frac{ + W_{i-1} - 2\,W_{i} + W_{i+1} }{ \Delta x^2}\\ w'''(x_i) &= \displaystyle \frac{-W_{i-2} + 2\,W_{i-1} - 2\,W_{i+1} + W_{i+2}}{2\cdot\Delta x^3}\\ w''''(x_i)&= \displaystyle \frac{+W_{i-2} - 4\,W_{i-1} + 6\,W_{i} - 4\,W_{i+1} + W_{i+2}}{ \Delta x^4}\\ \end{array}</math>
	(vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kit6\|Kit6]]).		(vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kit6\|Kit6]]).

Mechaniker: /* ... am Rand */

2021-02-20T18:40:05Z

... am Rand

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2021, 18:40 Uhr
Zeile 142:		Zeile 142:

	Die erforderlichen weiteren Beziehungen zwischen den Ableitungen von ''w'' und deren Erfassung durch die Stützstellen ''W<sub>i</sub>'' sind		Die erforderlichen weiteren Beziehungen zwischen den Ableitungen von ''w'' und deren Erfassung durch die Stützstellen ''W<sub>i</sub>'' sind
	(vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kit6\|Kit6]])
			:<math>\begin{array}{ll} w(x_i) &= W_i\\ w'(x_i) &= \displaystyle \frac{ -W_{i-1} + W_{i+1} }{2\cdot\Delta x }\\ w''(x_i) &= \displaystyle \frac{ + W_{i-1} - 2\,W_{i} + W_{i+1} }{ \Delta x^2}\\ w'''(x_i) &= \displaystyle \frac{-W_{i-2} + 2\,W_{i-1} - 2\,W_{i+1} + W_{i+2}}{2\cdot\Delta x^3}\\ w''''(x_i)&= \displaystyle \frac{+W_{i-2} - 4\,W_{i-1} + 6\,W_{i} - 4\,W_{i+1} + W_{i+2}}{ \Delta x^4}\\ \end{array}</math>
			(vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kit6\|Kit6]]).

	Da wir für jeden Rand des Euler-Bernoulli-Balkens genau zwei Randbedingungen erhalten, verbrauchen wir dafür genau 4 Gleichungen. Wir ersetzen also vier Gleichungen der Biegedifferentialgleichung durch vier Gleichungen der Randbedingungen.		Da wir für jeden Rand des Euler-Bernoulli-Balkens genau zwei Randbedingungen erhalten, verbrauchen wir dafür genau 4 Gleichungen. Wir ersetzen also vier Gleichungen der Biegedifferentialgleichung durch vier Gleichungen der Randbedingungen.

Mechaniker: /* Äußere Kräfte- und Momente */

2021-02-20T18:38:39Z

Äußere Kräfte- und Momente

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2021, 18:38 Uhr
Zeile 119:		Zeile 119:
	::<math>\left( \begin{array}{rrrrr} \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \\ ...&-1&0&1&...\\ \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l} \vdots\\ W_{i-1}\\ W_{i}\\ W_{i+1}\\ \vdots \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \vdots\\ 0\\ \vdots \end{array} \right)</math>.		::<math>\left( \begin{array}{rrrrr} \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \\ ...&-1&0&1&...\\ \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l} \vdots\\ W_{i-1}\\ W_{i}\\ W_{i+1}\\ \vdots \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \vdots\\ 0\\ \vdots \end{array} \right)</math>.
	===Äußere Kräfte- und Momente===		===Äußere Kräfte- und Momente===
	~~<ul>~~		====... im Feld====
	~~<li>~~
	~~<ul>~~
	~~<li>~~
	~~<ul>~~
	~~<li>~~... im Feld
	Um äußere, diskrete Lasten auf unser Finite-Differenzen-Modell im Feld einzubeziehen, interpretieren wir		Um äußere, diskrete Lasten auf unser Finite-Differenzen-Modell im Feld einzubeziehen, interpretieren wir
	::<math></math>,		::<math></math>,
Zeile 131:		Zeile 127:
	* die eingeprägte, äußere Kraft ''F<sub>i</sub>'' und		* die eingeprägte, äußere Kraft ''F<sub>i</sub>'' und
	* das eingeprägte, äußere Moment ''M<sub>i</sub>'' durch das Kräftepaar		* das eingeprägte, äußere Moment ''M<sub>i</sub>'' durch das Kräftepaar
	::<math></math>.
			::<math>\begin{array}{ll} w(x_i) &= W_i\\ w'(x_i) &= \displaystyle \frac{ -W_{i-1} + W_{i+1} }{2\cdot\Delta x }\\ w''(x_i) &= \displaystyle \frac{ + W_{i-1} - 2\,W_{i} + W_{i+1} }{ \Delta x^2}\\ w'''(x_i) &= \displaystyle \frac{-W_{i-2} + 2\,W_{i-1} - 2\,W_{i+1} + W_{i+2}}{2\cdot\Delta x^3}\\ w''''(x_i)&= \displaystyle \frac{+W_{i-2} - 4\,W_{i-1} + 6\,W_{i} - 4\,W_{i+1} + W_{i+2}}{ \Delta x^4}\\ \end{array}</math>.

	<table>		<table>

Mechaniker am 20. Februar 2021 um 18:37 Uhr

2021-02-20T18:37:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2021, 18:37 Uhr
Zeile 118:		Zeile 118:

	::<math>\left( \begin{array}{rrrrr} \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \\ ...&-1&0&1&...\\ \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l} \vdots\\ W_{i-1}\\ W_{i}\\ W_{i+1}\\ \vdots \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \vdots\\ 0\\ \vdots \end{array} \right)</math>.		::<math>\left( \begin{array}{rrrrr} \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \\ ...&-1&0&1&...\\ \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l} \vdots\\ W_{i-1}\\ W_{i}\\ W_{i+1}\\ \vdots \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \vdots\\ 0\\ \vdots \end{array} \right)</math>.
			===Äußere Kräfte- und Momente===
	==Äußere Kräfte- und Momente==		<ul>
			<li>
	<ul>		<ul>
	<li>		<li>
Zeile 140:		Zeile 141:
	== ... am Rand ==		== ... am Rand ==
	Wir müssen unserer Stützstellen-Liste		Wir müssen unserer Stützstellen-Liste

	* eine Anfangs- bzw. End-Krümmung (2te Ableitung) für ein dort angreifendes Moment ''M = -EI w<nowiki>''</nowiki>'' oder / und		* eine Anfangs- bzw. End-Krümmung (2te Ableitung) für ein dort angreifendes Moment ''M = -EI w<nowiki>''</nowiki>'' oder / und
	* eine vordefinierte 3te Ableitung für eine dort angreifende Querkraft ''Q = -EI w<nowiki>'''</nowiki>'' mitgeben.		* eine vordefinierte 3te Ableitung für eine dort angreifende Querkraft ''Q = -EI w<nowiki>'''</nowiki>'' mitgeben.
Zeile 151:		Zeile 151:
	== Macht das Verfahren Sinn? ==		== Macht das Verfahren Sinn? ==
	Das Finite-Differenzen-Verfahren erscheint also auf den ersten Blick anschaulich und intuitiv, ist aber numerisch ineffizient und basiert auf fragwürdigen mathematischen Ansätzen.		Das Finite-Differenzen-Verfahren erscheint also auf den ersten Blick anschaulich und intuitiv, ist aber numerisch ineffizient und basiert auf fragwürdigen mathematischen Ansätzen.

	* Es setzt als Näherungslösung für die Differentialbeziehung einer kontinuierlichen Funktion ''w'' im Feld des Euler-Bernoulli-Balkens ein gewöhnliches Gleichungssystem mit einigen 100 Stützstellen (= Unbekannten) an. Für die analytische Lösung brauchen wir gerade mal 4 Unbekannte (= Integrationskonstanten) je Feld!		* Es setzt als Näherungslösung für die Differentialbeziehung einer kontinuierlichen Funktion ''w'' im Feld des Euler-Bernoulli-Balkens ein gewöhnliches Gleichungssystem mit einigen 100 Stützstellen (= Unbekannten) an. Für die analytische Lösung brauchen wir gerade mal 4 Unbekannte (= Integrationskonstanten) je Feld!
	* Für Randwertprobleme mit linearen, partiellen Differentialgleichungen - z.B. für Schalen, bei denen man üblicherweise keine analytische Lösung findet - kann man das Verfahren sinnvoller einsetzen. Heute gibt es jedoch mit der Methode der Finiten Elemente deutlich effizientere Lösungsverfahren.		* Für Randwertprobleme mit linearen, partiellen Differentialgleichungen - z.B. für Schalen, bei denen man üblicherweise keine analytische Lösung findet - kann man das Verfahren sinnvoller einsetzen. Heute gibt es jedoch mit der Methode der Finiten Elemente deutlich effizientere Lösungsverfahren.
	* Der zentrale Ansatz des Verfahrens - das Ersetzen der Differentialbeziehung durch eine Differenzenbeziehung - nutzt kein mathematisch begründetes Näherungsverfahren.		* Der zentrale Ansatz des Verfahrens - das Ersetzen der Differentialbeziehung durch eine Differenzenbeziehung - nutzt kein mathematisch begründetes Näherungsverfahren.

Mechaniker: /* Rand- und Übergangs-Bedingungen für behinderte Freiheitsgrade */

2021-02-20T18:36:22Z

Rand- und Übergangs-Bedingungen für behinderte Freiheitsgrade

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2021, 18:36 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:
	==Rand- und Übergangs-Bedingungen für behinderte Freiheitsgrade==		==Rand- und Übergangs-Bedingungen für behinderte Freiheitsgrade==

	Für Lager, die einzelne Freiheitsgrade behindern (hier w oder w') ersetzen wir einzelne Zeilen der Systemmatrix A durch die geometrische Zwangsbedingung:		Für Lager, die einzelne Freiheitsgrade behindern (hier ''w'' oder ''w''') ersetzen wir einzelne Zeilen der Systemmatrix ''A'' durch die geometrische Zwangsbedingung:

	Z.B. für		Z.B. für
Zeile 102:		Zeile 102:
	An dieser Stützstelle ist der Wert		An dieser Stützstelle ist der Wert

	::<math></math>,		::<math>W_{i} = 0</math>,

	die Zeile des Gleichungssystems lautet:		die Zeile des Gleichungssystems lautet:

	::<math></math>.		::<math>\left( \begin{array}{rrrrr} \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ ...&0&1&0&...\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l} \vdots\\ W_{i}\\ \vdots \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \vdots\\ 0\\ \vdots \end{array} \right)</math>.
	</li>		</li>
	<li>		<li>
Zeile 113:		Zeile 113:
	An dieser Stelle stellen wir die horizontale Tangente der Biegelinie durch		An dieser Stelle stellen wir die horizontale Tangente der Biegelinie durch

	::<math></math>,		::<math>\displaystyle \frac{W_{i+1}-W_{i-1}}{2\cdot\Delta x} = 0</math>,

	die Zeile des Gleichungssystems lautet:		die Zeile des Gleichungssystems lautet:

	::<math></math>.		::<math>\left( \begin{array}{rrrrr} \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \\ ...&-1&0&1&...\\ \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l} \vdots\\ W_{i-1}\\ W_{i}\\ W_{i+1}\\ \vdots \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \vdots\\ 0\\ \vdots \end{array} \right)</math>.

	==Äußere Kräfte- und Momente==		==Äußere Kräfte- und Momente==
	<ul>		<ul>