Gelöste Aufgaben/W8Zu - Versionsgeschichte

Mechaniker am 19. April 2021 um 11:09 Uhr

2021-04-19T11:09:15Z

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	[[Datei:W8Zt-31.png\|ohne\|mini\|Auslenkung ''w(x)'' am Kraftangriffspunkt]]		[[Datei:W8Zt-31.png\|ohne\|mini\|Auslenkung ''w(x)'' am Kraftangriffspunkt]]

	{{MyAttention\|title=Wissen Sie ...\|text=... warum A hier eine Diagonalmatrix ist? Schauen Sie sich die Formel zur Berechnung der Koeffizienten ''a<sub>ij</sub'' an - was erkennen Sie?}}		{{MyAttention\|title=Wissen Sie ...\|text=... warum A hier eine Diagonalmatrix ist? Schauen Sie sich die Formel zur Berechnung der Koeffizienten ''a<sub>ij</sub>'' an - was erkennen Sie?}}
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 19. April 2021 um 11:08 Uhr

2021-04-19T11:08:44Z

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	[[Datei:W8Zt-31.png\|ohne\|mini\|Auslenkung ''w(x)'' am Kraftangriffspunkt]]		[[Datei:W8Zt-31.png\|ohne\|mini\|Auslenkung ''w(x)'' am Kraftangriffspunkt]]

	{{MyAttention\|title=Wissen Sie ...\|text=... warum A hier eine Diagonalmatrix ist? Schauen Sie sich die Koeffizienten ~~bzgl. von~~ ''α'' an - was erkennen Sie?}}		{{MyAttention\|title=Wissen Sie ...\|text=... warum A hier eine Diagonalmatrix ist? Schauen Sie sich die Formel zur Berechnung der Koeffizienten ''a<sub>ij</sub'' an - was erkennen Sie?}}
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 19. April 2021 um 11:05 Uhr

2021-04-19T11:05:21Z

Mechaniker am 19. April 2021 um 10:58 Uhr

2021-04-19T10:58:36Z

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Mechaniker am 19. April 2021 um 10:47 Uhr

2021-04-19T10:47:53Z

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Mechaniker am 19. April 2021 um 10:15 Uhr

2021-04-19T10:15:14Z

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	g		[[Category:Gelöste Aufgaben]]
			[[Category:Numerische Lösung]]
			[[Category:Randwertproblem]]
			[[Category:Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]]
			[[Category:Biege-Belastung]][[Category:Euler-Bernoulli-Balken]]
			[[Category:Rayleigh-Ritz-Prinzip]]
			[[Category:Maxima‎]]

			==Aufgabenstellung==
			Zu den tabellierten [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken/Standard-Lösungen#Einzellast, doppeltgelenkige Lagerung\|Standardlösungen für den Euler-Bernoulli-Blaken]] berechnen wir eine Näherungslösung für einen beidseitig gelenkig gelagerten Euler-Bernoulli-Balken:

			<onlyinclude>
			[[Datei:W8Zt-01.png\|250px\|left\|mini\|Caption]]
			Gesucht ist eine Lösung in Anlehnung an das Verfahren von Ryleigh-Ritz.
			</onlyinclude>

			Die Lösung nach einer Variante zu diesem Standardverfahren finden Sie hier in [[Gelöste Aufgaben/W8Zt\|W8Zt]].

			== Lösung mit Maxima ==
			Mit dem [[Sources/Lexikon/Föppl-Symbol\|Föppl-Symbol "<>"]], sowie

			::<math>\alpha = a/\ell</math>, <math>\beta = 1-\alpha</math> und <math>\xi = x/\ell</math>

			ist die analytische Lösung:

			::<math>EI w(x) = \frac{\displaystyle F \ell^3}{\displaystyle 6}\left[ \beta \xi ( 1-\beta^2-\xi^2)+<\xi-\alpha>^3 \right]</math>.

			Bei dieser Lösung hat die [[Sources/Lexikon/unabhängige Koordinaten\|unabhängige Koordinate]] ''x'' ihren Ursprung in ''A'' - wir verwenden unten einen anderen Ursprung!

			Mit den passenden Ansatzfunktionen nach Ritz berechnen Sie eine Näherungslösung des Problems nach dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie\|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]].


			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Header
			\|text=Wir lösen das Problem mit [[Werkzeuge/Software/Maxima\|Maxima]].
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}


			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Declarations
			\|text=
			In Maxima treffen wir die Annahme ℓ>0, damit einige Integrale richtig gelöst werden.
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Formfunctions
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Solve
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Post-Process
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Title
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Post-Process: Compare with Analytic Solution
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}


			<hr/>
			'''Links'''
			* ...

			'''Literature'''
			* ...

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	Wir entscheiden uns zunächst für zwei abhängige Koordinaten des Systems		Wir entscheiden uns zunächst für zwei abhängige Koordinaten des Systems

	>><math>\underline{q} = \left(\begin{array}{c}V\\\Psi \end{array}\right)</math>		::<math>\underline{q} = \left(\begin{array}{c}V\\\Psi \end{array}\right)</math>

	[[Datei:W8Zt-11.png\|mini\|200x200px\|Trial-Functions]]		[[Datei:W8Zt-11.png\|mini\|200x200px\|Trial-Functions]]
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	mit der Lösung		mit der Lösung

	>><math>\begin{array}{l}		::<math>\begin{array}{l}
	{{c}_{1,0}}=V,\\		{{c}_{1,0}}=V,\\
	{{c}_{1,2}}=-\frac{\displaystyle 4\cdot V}{{{\displaystyle \ell}^{2}}},\\		{{c}_{1,2}}=-\frac{\displaystyle 4\cdot V}{{{\displaystyle \ell}^{2}}},\\
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	Anstatt der exakten, bekannten Lösung, verwenden wir in diesem Näherungsansatz also nun die Funktion		Anstatt der exakten, bekannten Lösung, verwenden wir in diesem Näherungsansatz also nun die Funktion

	>><math>w\left( x\right) =-\frac{\displaystyle 4\cdot {{x}^{2}}\cdot V}{{\displaystyle {\ell}^{2}}}+V-\frac{\displaystyle 4\cdot \Psi\cdot {{x}^{3}}}{{\displaystyle {\ell}^{2}}}+\Psi\cdot x</math>,		::<math>w\left( x\right) =-\frac{\displaystyle 4\cdot {{x}^{2}}\cdot V}{{\displaystyle {\ell}^{2}}}+V-\frac{\displaystyle 4\cdot \Psi\cdot {{x}^{3}}}{{\displaystyle {\ell}^{2}}}+\Psi\cdot x</math>,

	mit den beiden Koordinaten ''V'' und ''ψ''. die wir nun bestimmen müssen. Anschaulich können wir nun		mit den beiden Koordinaten ''V'' und ''ψ''. die wir nun bestimmen müssen. Anschaulich können wir nun

	>><math>w(\xi) = V\cdot \phi_1(\xi) + \Phi\cdot \phi_2(\xi)</math>		::<math>w(\xi) = V\cdot \phi_1(\xi) + \Phi\cdot \phi_2(\xi)</math>

	mit		mit

	>><math>\begin{array}{ll}\phi_1(\xi) &= 1-4\cdot {{\xi}^{2}}\\\phi_2(\xi) &= \ell\cdot \xi-4\cdot \ell\cdot {{\xi}^{3}}\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{ll}\phi_1(\xi) &= 1-4\cdot {{\xi}^{2}}\\\phi_2(\xi) &= \ell\cdot \xi-4\cdot \ell\cdot {{\xi}^{3}}\end{array}</math>
	[[Datei:W8Zt-12.png\|mini\|Trial-Functions ''ϕ<sub>1</sub>'', ''ϕ<sub>2</sub>'']]		[[Datei:W8Zt-12.png\|mini\|Trial-Functions ''ϕ<sub>1</sub>'', ''ϕ<sub>2</sub>'']]
	schreiben. So sehen die beiden Trial-Funktionen aus:		schreiben. So sehen die beiden Trial-Funktionen aus: