Gelöste Aufgaben/UEBH - Versionsgeschichte

Mechaniker am 16. April 2021 um 12:21 Uhr

2021-04-16T12:21:10Z

Mechaniker am 16. April 2021 um 12:09 Uhr

2021-04-16T12:09:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. April 2021, 12:09 Uhr
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	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Diese Gleichung erfüllt die Gleichgewichtsbedingungen

			<math>\displaystyle \frac{dU}{dW} \stackrel{!}{=} 0 \text{ und } \displaystyle \frac{dU}{d\Phi} \stackrel{!}{=} 0</math>,

			wenn

			<math>\begin{array}{ll} \left( -12\cdot {{\alpha}^{5}}+30\cdot {{\alpha}^{4}}-32\cdot {{\alpha}^{3}}+18\cdot {{\alpha}^{2}}-4\cdot \alpha\right) \cdot \ell \cdot EI \Phi+\left( 36\cdot {{\alpha}^{4}}-72\cdot {{\alpha}^{3}}+60\cdot {{\alpha}^{2}}-24\cdot \alpha+4\right) \cdot EI \cdot W &= 0\\ \left( -4\cdot {{\alpha}^{4}}+8\cdot {{\alpha}^{3}}-8\cdot {{\alpha}^{2}}+4\cdot \alpha\right) \cdot \ell\cdot \Phi + \left( 12\cdot {{\alpha}^{3}}-18\cdot {{\alpha}^{2}}+14\cdot \alpha-4\right) \cdot EI\cdot W &=-\left( {{\alpha}^{6}}-3\cdot {{\alpha}^{5}}+3\cdot {{\alpha}^{4}}-{{\alpha}^{3}}\right) \cdot {{\ell}^{2}}\cdot M\end{array}</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->


	{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions		{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=Text		\|text=Text
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	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Auflösen der Gleichungen nach den unbekannten Koordinaten ''W'' und ''Φ'' liefert

			<math>\begin{array}{ll}W &\displaystyle =\frac{\left( 2\cdot \alpha-9\cdot {{\alpha}^{2}}+16\cdot {{\alpha}^{3}}-15\cdot {{\alpha}^{4}}+6\cdot {{\alpha}^{5}}\right) \cdot {{\ell}^{2}}\cdot M}{6\cdot EI},\\\Phi&\displaystyle =\frac{\left( 1-6\cdot \alpha+15\cdot {{\alpha}^{2}}-18\cdot {{\alpha}^{3}}+9\cdot {{\alpha}^{4}}\right) \cdot \ell\cdot M}{3\cdot EI} \end{array}</math>.

			Noch einfacher wird das Ergebnis mit den dimensionslosen Koordinaten

			<math>\begin{array}{l}\displaystyle q_W = \frac{W}{\hat{W}}\\\displaystyle q_\Phi = \frac{\Phi}{\hat{\Phi}}\end{array}</math>

			zu

			<math>\begin{array}{ll} {{q}_{W}}&=8\cdot {{3}^{\frac{5}{2}}}\cdot {{\alpha}^{5}}-20\cdot {{3}^{\frac{5}{2}}}\cdot {{\alpha}^{4}}+64\cdot {{3}^{\frac{3}{2}}}\cdot {{\alpha}^{3}}-4\cdot {{3}^{\frac{7}{2}}}\cdot {{\alpha}^{2}}+8\cdot {{3}^{\frac{3}{2}}}\cdot \alpha,\\ {{q}_{\Phi}}&=36\cdot {{\alpha}^{4}}-72\cdot {{\alpha}^{3}}+60\cdot {{\alpha}^{2}}-24\cdot \alpha+4 \end{array}</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Solving		{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=Text		\|text=Text
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	}}		}}
	==tmp==		==tmp==
			[[Datei:UEBH-21.png\|mini\|Parameterstudie: ''q<sub>W</sub>'' und ''q<sub>ϕ</sub>'' über ''α'']]Die gesuchten Koordinaten ''q<sub>W</sub>'' und ''q<sub>Φ</sub>'' sind dimensionslos. Wir können sie direkt für verschiedene Werte von ''α'' auftragen.

			Dies ist nicht die Biegelinie des Balkens! Man sieht aber - mit etwas Übung - direkt aus dieser Darstellung die Charakteristika der Lösung:

			* die Punkt-Symmetrie der Lösung für ''α=1/2,''
			* die schlechte Approximation der Lösung für ''α=1/2'': ''q<sub>Φ</sub>'' sollte dort nahe "1" sein, um die analytische Lösung gut abzubilden.

			Und so sieht die normierte Biegelinie des Balkens im vergleich von Ritz-Näherung zu analytischer Lösung für verschiedene Werte von ''a'' aus:[[Datei:UEBH-15.png\|mini\|Parameterstudie Biegelinie\|alternativtext=\|ohne]]Die dicken Linien gehören zu Näherung nach dem Ritz-Ansatz, die dünnen zur analytischen Lösung. Besonders für ''α=1/2'' liefert der Ritz-Ansatz kein überzeugendes Ergebnis. Hier müssten wir mehr Trial-Functions "spendieren".
			{{MyTip\|title=Schnittmomenten-Verlauf\|text=Probieren Sie aus, wie gut der Ritz-Ansatz den Verlauf des Schnittmoments approximiert!}}<!-------------------------------------------------------------------------------->


	~~<!-------------------------------------------------------------------------------->~~
	{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=Text		\|text=Text
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	1+1		1+1
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}~~[[Datei:UEBH-21.png\|mini\|Parameterstudie: ''q<sub>W</sub>'' und ''q<sub>ϕ</sub>'' über ''α'']]~~		}}<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
	<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
	">		">
	<tr><th></th><th></th></tr>		<tr><th></th><th></th></tr>
	<tr><td></td><td></td></tr>		<tr><td></td><td></td></tr>
	</table>		</table>
	~~[[Datei:UEBH-15.png\|mini\|Parameterstudie Biegelinie]]~~

Mechaniker am 16. April 2021 um 12:05 Uhr

2021-04-16T12:05:49Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 16. April 2021 um 11:42 Uhr

2021-04-16T11:42:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. April 2021, 11:42 Uhr
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	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	~~SOME TEXT~~		Dies ist eine Näherungslösung für einen [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken/Standard-Lösungen#Einzelmoment, doppeltgelenkige Lagerung\|Standard-Lastfall]] des Euler-Bernoulli-Balkens.

	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	Der [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] AB wird durch ein ~~Moment M zwischen~~ den beiden gelenkigen Lagern belastet.		Der [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] ''AB'' wird durch ein Moment ''M'' zwischen den beiden gelenkigen Lagern belastet.
	[[Datei:EBB-load-case-05.png\|200px\|left\|mini\|Lageplan]]		[[Datei:EBB-load-case-05.png\|200px\|left\|mini\|Lageplan]]
	Gesucht ist ~~"SOME EXPLANATION"~~		Gesucht ist die Biegelinie mit dem Ansatz von Ritz und zwei Trial-Funktionen.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

Mechaniker am 16. April 2021 um 11:40 Uhr

2021-04-16T11:40:01Z

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 <onlyinclude>
-[[Datei:EBB-load-case-05.png|100px|left|mini|Caption]]
+Der [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken|Euler-Bernoulli-Balken]] AB wird durch ein Moment M zwischen den beiden gelenkigen Lagern belastet.
 Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
 </onlyinclude>
@@ Zeile 22: / Zeile 23: @@
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
-{{MyCodeBlock|title=Title
+{{MyCodeBlock|title=Header
 |text=Text
 |code=
@@ Zeile 30: / Zeile 91: @@
 }}
 <table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
 ">
@@ Zeile 35: / Zeile 98: @@
 <tr><td></td><td></td></tr>
 </table>

Mechaniker am 16. April 2021 um 11:32 Uhr

2021-04-16T11:32:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. April 2021, 11:32 Uhr
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	j		[[Category:Gelöste Aufgaben]]
			[[Category:Dimensionslose Schreibweise]]
			[[Category:Numerische Lösung]]
			[[Category:Randwertproblem]]
			[[Category:Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]]
			[[Category:Biege-Belastung]][[Category:Euler-Bernoulli-Balken]]
			[[Category:Rayleigh-Ritz-Prinzip]]
			[[Category:Maxima‎]]

			==Aufgabenstellung==
			SOME TEXT

			<onlyinclude>
			[[Datei:EBB-load-case-05.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]
			Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
			</onlyinclude>

			== Lösung mit Maxima ==
			Lorem Ipsum ....

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Title
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
			">
			<tr><th></th><th></th></tr>
			<tr><td></td><td></td></tr>
			</table>


			<hr/>
			'''Links'''
			* ...

			'''Literature'''
			* ...

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2021-02-16T12:36:25Z

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