Gelöste Aufgaben/T401 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 27. Februar 2025 um 14:50 Uhr

2025-02-27T14:50:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. Februar 2025, 14:50 Uhr
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	Hauptspannungsrichtungen sind Schnittnormalen im Element, bei denen die Schubspannungen auf den Schnittflächen verschwinden.		Hauptspannungsrichtungen sind Schnittnormalen im Element, bei denen die Schubspannungen auf den Schnittflächen verschwinden.

	Alle Vergleichsspannungs-Hypothesen gehen von den Spannungen in den ~~Hauptspannungsrchtungen~~ aus.		Alle Vergleichsspannungs-Hypothesen gehen von den Spannungen in den Hauptspannungsrichtungen aus.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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	::<math>\underline{\underline{\epsilon}}=\begin{pmatrix}{{e}_{x,x}} & \displaystyle \frac{{{e}_{x,y}}+{{e}_{y,x}}}{2}\\ \displaystyle \frac{{{e}_{x,y}}+{{e}_{y,x}}}{2} & {{e}_{y,y}}\end{pmatrix}</math>		::<math>\underline{\underline{\epsilon}}=\begin{pmatrix}{{e}_{x,x}} & \displaystyle \frac{{{e}_{x,y}}+{{e}_{y,x}}}{2}\\ \displaystyle \frac{{{e}_{x,y}}+{{e}_{y,x}}}{2} & {{e}_{y,y}}\end{pmatrix}</math>

	erhalten. Die sind hier konstant, weil wir mit linearen Verschiebungsansätzen arbeiten. Umsortieren liefert die Dehnung als Spaltenmatrix,		erhalten. Die sind hier konstant, weil wir mit speziellen linearen Verschiebungsansätzen arbeiten. Umsortieren liefert die Dehnung als Spaltenmatrix,

	::<math>\underline{\varepsilon} = \begin{pmatrix}{{e}_{x,x}}\\ {{e}_{y,y}}\\ \displaystyle \frac{{{e}_{x,y}}+{{e}_{y,x}}}{2}\end{pmatrix}</math>,		::<math>\underline{\varepsilon} = \begin{pmatrix}{{e}_{x,x}}\\ {{e}_{y,y}}\\ \displaystyle \frac{{{e}_{x,y}}+{{e}_{y,x}}}{2}\end{pmatrix}</math>,

	die wir ~~die~~ in die Spannungs-Dehnungs-Beziehung (oben) einsetzen können. Wir finden:		die wir in die Spannungs-Dehnungs-Beziehung (oben) einsetzen können. Wir finden:

	::<math>\underline{\sigma}=\left(\begin{array}{l}+100\\ -100\\ -100\cdot \sqrt{3}\end{array}\right)\cdot\displaystyle \frac{ N}{{{\text{mm}}^{2}}}</math>.		::<math>\underline{\sigma}=\left(\begin{array}{l}+100\\ -100\\ -100\cdot \sqrt{3}\end{array}\right)\cdot\displaystyle \frac{ N}{{{\text{mm}}^{2}}}</math>.

	Diese schreiben wir wieder ~~nun wieder um~~ in Matrixform - als Koeffizienten des Spannungstensors, also		Diese schreiben wir wieder in Matrixform - als Koeffizienten des Spannungstensors - also

	::<math>\underline{\underline{\sigma}} = 100\cdot \begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3} & -1\end{pmatrix} \displaystyle \frac{N}{mm^2}</math>.		::<math>\underline{\underline{\sigma}} = 100\cdot \begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3} & -1\end{pmatrix} \displaystyle \frac{N}{mm^2}</math>.

Mechaniker am 6. April 2021 um 17:55 Uhr

2021-04-06T17:55:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. April 2021, 17:55 Uhr
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	<table class="wikitable" style="background-color:white;">		<table class="wikitable" style="background-color:white;">
	<tr>		<tr>
	<td>[[Datei:T401-Verschiebungen-Legende.png\|mini\|~~100px~~\|~~Legend~~\|ohne]]</td>		<td>[[Datei:T401-Verschiebungen-Legende.png\|mini\|150px\|Legende\|ohne]]</td>
	<td>[[Datei:T401-Verschiebungen.png\|mini\|150px\|Verschiebungen der Knoten\|ohne]]</td></tr>		<td>[[Datei:T401-Verschiebungen.png\|mini\|150px\|Verschiebungen der Knoten\|ohne]]</td></tr>
	</table>		</table>

Mechaniker am 6. April 2021 um 17:54 Uhr

2021-04-06T17:54:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. April 2021, 17:54 Uhr
Zeile 153:		Zeile 153:
	<table class="wikitable" style="background-color:white;">		<table class="wikitable" style="background-color:white;">
	<tr>		<tr>
	<td>[[Datei:T401-Verschiebungen-Legende.png\|mini\|Legend\|ohne]]</td>		<td>[[Datei:T401-Verschiebungen-Legende.png\|mini\|100px\|Legend\|ohne]]</td>
	<td>[[Datei:T401-Verschiebungen.png\|mini\|Verschiebungen der Knoten\|ohne]]</td></tr>		<td>[[Datei:T401-Verschiebungen.png\|mini\|150px\|Verschiebungen der Knoten\|ohne]]</td></tr>
	</table>		</table>

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	{{MyTip\|title=Seltsam?\|text=Hier ist übrigens im ganzen Bauteil eine der Hauptspannungen Null!		{{MyTip\|title=Seltsam?\|text=Hier ist übrigens im ganzen Bauteil eine der Hauptspannungen Null!
			<br/>
	Warum?}}		Warum?}}

Mechaniker am 6. April 2021 um 17:50 Uhr

2021-04-06T17:50:53Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 6. April 2021 um 17:38 Uhr

2021-04-06T17:38:34Z

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 ==tmp==
+Für die Analyse brauchen wir die Spannungs-Dehnungs-Beziehung (Stress-Strain-Relation) für den ebenen Spannungszustand:<blockquote><blockquote><math>\underline{\sigma} = \underline{\underline{E}}\cdot \underline{\varepsilon}</math></blockquote></blockquote>mit<blockquote><blockquote><math>\displaystyle \underline{\underline{E}}=\frac{E}{1-\nu^2}\begin{pmatrix}1 & \nu & 0\\ \nu & 1 & 0\\ 0 & 0 & \left( 1-\nu\right) \end{pmatrix}</math>.</blockquote></blockquote>{{MyCodeBlock|title=Declarations
 |text=Text
 |code=
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 ==tmp==
 {{MyCodeBlock|title=Displacement Field
@@ Zeile 58: / Zeile 61: @@
 ==tmp==
 {{MyCodeBlock|title=Eigenvalues and -vectors
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 ==tmp==
-{{MyCodeBlock|title=FEM-Results
+<math>\begin{array}{ll}\hat{\sigma}_1 &\ldots \text{rot}\\\hat{\sigma}_2 &\ldots \text{grün}\\\hat{\sigma}_3 &\ldots \text{blau}\end{array}</math>
 |text=Text
 |code=
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 ==tmp==
-{{MyCodeBlock|title=Stress-Flow Analogy
+Und wir können die Vergleichsspannung im Bauteil berechenen - hier nach der Gestaltänderungshypothese (von Mises):{{MyCodeBlock|title=Stress-Flow Analogy
 |text=Text
 |code=
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-<hr/>
+<hr />
 '''Links'''
 * ...
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 [[Datei:T401-Spannungen.png|mini|Spannungen]]
 [[Datei:T401-Verschiebungen-Legende.png|mini|Legende]]
 [[Datei:T401-Verschiebungen.png|mini|Verschiebungen der Knoten]]

Mechaniker am 6. April 2021 um 17:25 Uhr

2021-04-06T17:25:04Z

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 == Lösung mit Maxima ==
 ==tmp==
 Hauptspannungsrichtungen sind Schnittnormalen im Element, bei denen die Schubspannungen auf den Schnittflächen verschwinden.
 Alle Vergleichsspannungs-Hypothesen gehen von den Spannungen in den Hauptspannungsrchtungen aus.<!-------------------------------------------------------------------------------->
-{{MyCodeBlock|title=Title
+{{MyCodeBlock|title=Header
 |text=Text
 |code=
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 </syntaxhighlight>
 }}
 <table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;

Mechaniker am 6. April 2021 um 17:22 Uhr

2021-04-06T17:22:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. April 2021, 17:22 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	Gesucht sind die Hauptspannungen und Hauptspannungs-Richtungen im Finiten Element.		Gesucht sind die Hauptspannungen und Hauptspannungs-Richtungen im Finiten Element.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
			Dabei werden die Koeffizienten des Verschiebungsfeldes mit<blockquote><blockquote><math>\displaystyle {{e}_{x,x}}=\frac{1}{800},{{e}_{y,y}}=-\frac{1}{800},{{e}_{y,x}}=\frac{{{e}_{x,y}}}{4},{{e}_{x,y}}=-\frac{\sqrt{3}}{500}</math></blockquote></blockquote>angegeben. Die Material-Parameter sind<blockquote><blockquote><math>\displaystyle \nu=\frac{1}{4},E=100000\cdot \frac{\text{N}}{{{\text{mm}}^{2}}}</math>,</blockquote></blockquote>das Finite Elemente hat eine Kantenlänge von jeweils 1 mm.

	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==
	~~Lorem Ipsum ..~~..		==tmp==
			Hauptspannungsrichtungen sind Schnittnormalen im Element, bei denen die Schubspannungen auf den Schnittflächen verschwinden.

			Alle Vergleichsspannungs-Hypothesen gehen von den Spannungen in den Hauptspannungsrchtungen aus.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	~~==tmp==~~
	~~<!-------------------------------------------------------------------------------->~~
	{{MyCodeBlock\|title=Title		{{MyCodeBlock\|title=Title
	\|text=Text		\|text=Text

Mechaniker am 6. April 2021 um 17:20 Uhr

2021-04-06T17:20:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. April 2021, 17:20 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
			[[Category:Gelöste Aufgaben]]
			[[Category:Lineare Algebra]]
			[[Category:Ansys]][[Category:Shell-Element]]
			[[Category:Eigenvektor]][[Category:Eigenwert]][[Category:Eigenwertproblem‎]]
			[[Category:Finite-Elemente-Methode‎]]
			[[Category:Hauptspannung]]
			[[Category:Maxima‎]]

			==Aufgabenstellung==
			Wie ein FE-Programm die Hauptspannungen aus dem Verschiebungsfeld berechnet und wie wir das Feld der Hauptspannungen im Gebiet zur Interpretation des "Spannungsflusses" nutzen, beschreibt dieses gelöste Problem.
			<onlyinclude>
			[[Datei:T401-01.png\|300px\|left\|mini\|Lageplan]]
			Bei der Analyse eines ebenen Bauteils wird der Verschiebungszustand eines Finiten Elementes durch

			::<math>\begin{array}{llll}u(x,y) = & u_0 & +e_{x,x}\cdot x & +e_{x,y}\cdot y & \text{ und }\\v(x,y) = & v_0& +e_{y,x}\cdot x & +e_{y,y}\cdot y &\end{array}</math>

			erfasst.

			Gesucht sind die Hauptspannungen und Hauptspannungs-Richtungen im Finiten Element.
			</onlyinclude>

			== Lösung mit Maxima ==
			Lorem Ipsum ....

			==tmp==
			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Title
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
			">
			<tr><th></th><th></th></tr>
			<tr><td></td><td></td></tr>
			</table>


			<hr/>
			'''Links'''
			* ...

			'''Literature'''
			* ...


	[[Datei:T401-Spannungen-2.png\|mini\|Vergleichsspannung im kritischen Bereich]]		[[Datei:T401-Spannungen-2.png\|mini\|Vergleichsspannung im kritischen Bereich]]
	h

	[[Datei:T401-Spannungen.png\|mini\|Spannungen]]		[[Datei:T401-Spannungen.png\|mini\|Spannungen]]

Mechaniker am 6. April 2021 um 17:14 Uhr

2021-04-06T17:14:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. April 2021, 17:14 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
			[[Datei:T401-Spannungen-2.png\|mini\|Vergleichsspannung im kritischen Bereich]]
	h		h

			[[Datei:T401-Spannungen.png\|mini\|Spannungen]]
			[[Datei:T401-11.png\|mini\|Verformtes Element]]
			[[Datei:T401-Hauptspannungen.png\|mini\|Hauptspannungen]]
			[[Datei:T401-Hauptspannungen-Fluss+.png\|mini\|Spannungsfluss-Analogie]]
			[[Datei:T401-Verschiebungen-Legende.png\|mini\|Legende]]
			[[Datei:T401-Verschiebungen.png\|mini\|Verschiebungen der Knoten]]
			[[Datei:T401-01.png\|mini\|Lageplan]]
			[[Datei:T401-21.png\|mini\|Hauptspannungen]]

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2021-02-16T12:34:03Z

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