Gelöste Aufgaben/T3BP - Versionsgeschichte

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 20:43 Uhr

2022-10-03T20:43:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 20:43 Uhr
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	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	~~Sie~~ untersuchen das „Three-Body-Problem“(vgl. [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-body_problem Wikipedia]) numerisch. Dabei sollen die Bahnen von drei Körper mit den Punktmassen <i>m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub>, m<sub>3</sub></i> in Wechselwirkung miteinander berechnet werden.		Wir untersuchen das „Three-Body-Problem“(vgl. [https://en.wikipedia.org/wiki/Three-body_problem Wikipedia]) numerisch. Dabei sollen die Bahnen von drei Körper mit den Punktmassen <i>m<sub>1</sub>, m<sub>2</sub>, m<sub>3</sub></i> in Wechselwirkung miteinander berechnet werden.
	[[Datei:T3BP-01.png\|150px\|left\|mini\|"Die Drei Sonnen"]]		[[Datei:T3BP-01.png\|150px\|left\|mini\|"Die Drei Sonnen"]]
	Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems für verschiedene Anfangswerte (Orte und Geschwindigkeiten) und Massen <i>m<sub>i</sub></i> der Körper.		Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems für verschiedene Anfangswerte (Orte und Geschwindigkeiten) und Massen <i>m<sub>i</sub></i> der Körper.
Zeile 14:		Zeile 14:

	== Lösung mit Matlab® ==		== Lösung mit Matlab® ==
	Die Lösung mit Matlab erfordert keine großen algebraischen Vorbereitungen - für die wir Maxima einsetzten würden.		Die Lösung mit Matlab erfordert keine großen algebraischen Vorbereitungen - für die wir sonst Maxima einsetzten würden.
	Als äußere Kräfte treten nur die Feldkräfte der Gravitation zwischen den Körpern auf - die wir einfach ~~einschreiben~~ und in Matlab implementieren können.		Als äußere Kräfte treten nur die Feldkräfte der Gravitation zwischen den Körpern auf - die wir einfach hinschreiben und in Matlab implementieren können.

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations
Zeile 38:		Zeile 38:

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=Die Gravitationskräfte zwischen den Körpern <i>i</i> und <i>j</i> ~~erfassen wir mit~~		\|text=Die Gravitationskräfte zwischen den zwei Körpern <i>i</i> und <i>j</i> erfasst
	::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>		::<math>F_{i,j} = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>
	mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]		mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]
	::<math>G = 6.674\cdot 10^{-11} \frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}</math>		::<math>G = 6.674\cdot 10^{-11} \frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}.</math>

	Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.		Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.
	Damit ist		Damit ist
	::<math>\vec{F} = F \cdot \vec{e}_{i,j}</math>,		::<math>\vec{F}_{i,j} = F_{i,j} \cdot \vec{e}_{i,j}</math>,
	wobei <math>\vec{e}_{i,j}</math> der Einheitsvektor der Anziehungskraft - in diesem Fall von <i>i</i> nach <i>j</i> - ist.		wobei <math>\vec{e}_{i,j}</math> der Einheitsvektor der Anziehungskraft - in diesem Fall von <i>i</i> nach <i>j</i> - ist.

	Die Bewegungsgleichungen schreiben wir mit <math>F</math> in Vektorschreibweise für Körper <i>i</i> als		Die Bewegungsgleichungen schreiben wir mit <math>F</math> in Vektorschreibweise für Körper <i>i</i> als
	::<math> m_i \dot \ddot{\vec{u}}_i = \sum_{\ell=j,k} G\cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_\ell}{\displaystyle r_{i,\ell}^2} \cdot \vec{e}_{i,\ell} \text{ mit }		::<math> m_i \dot \ddot{\vec{u}}_i = \sum_{\ell=j,k} G\cdot \underbrace{\frac{\displaystyle m_i\cdot m_\ell}{\displaystyle r_{i,\ell}^2}}_{=F_{i,j}} \cdot \vec{e}_{i,\ell} \text{ mit }
	\vec{u}_i = \left(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z\right)\cdot \underbrace{\left(\begin{array}{l}u_x\\u_y\\u_z\end{array}\right)}_{\displaystyle = \underline{u}_i}</math>.		\vec{u}_i = \left(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z\right)\cdot \underbrace{\left(\begin{array}{l}u_x\\u_y\\u_z\end{array}\right)}_{\displaystyle = \underline{u}_i}</math>.
	Dabei ist z.B. <i>i=1</i> und <i><math>\ell</math>=2,3</i>.		Dabei ist z.B. <i>i=1</i> und <i><math>\ell</math>=2,3</i>.
Zeile 78:		Zeile 78:
	Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen		Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen
	::<math> \ddot{\underline{U}}_i = \sum_{\ell=j,k} \frac{\displaystyle \theta_\ell}{\displaystyle \varrho_{i,\ell}^2} \cdot \underline{e}_{i,\ell} </math>.		::<math> \ddot{\underline{U}}_i = \sum_{\ell=j,k} \frac{\displaystyle \theta_\ell}{\displaystyle \varrho_{i,\ell}^2} \cdot \underline{e}_{i,\ell} </math>.
	Diese Gleichgewichtsbeziehungen implementieren wir in der Funktion <code>t3bpdydt.m</code>, die ~~von dem~~ Löser ODE45 aufgerufen wird.		Diese Gleichgewichtsbeziehungen implementieren wir in der Funktion <code>t3bpdydt.m</code>, die vom Löser <code>ODE45</code> aufgerufen wird.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>		<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>
Zeile 117:		Zeile 117:
	::<math>\dot{\underline{q}}(\tau) = \underline{f}(\underline{q}(\tau))</math>		::<math>\dot{\underline{q}}(\tau) = \underline{f}(\underline{q}(\tau))</math>
	mit		mit
	::<math>\underline{q}(0) = \left(\begin{array}{c}		::<math>\underbrace{\underline{q}(0)}_{= \text{y0}} = \left(\begin{array}{c}
	U_{1,x}(0)\\		U_{1,x}(0)\\
	U_{1,y}(0)\\		U_{1,y}(0)\\
Zeile 126:		Zeile 126:
	V_{3,z}(0)		V_{3,z}(0)
	\end{array}\right).</math>		\end{array}\right).</math>
	z.B. ~~mit~~		Die <math>V_{i,\xi}</math> sind Komponentenweise die Geschwindigkeiten, also z.B.
	::<math>V_{3,y}(\tau) = \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d\tau} U_{3,y}(\tau)</math>.		::<math>V_{3,y}(\tau) = \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d\tau} U_{3,y}(\tau)</math>.
	\|code=		\|code=
Zeile 146:		Zeile 146:
	{{MyZipfileBlock		{{MyZipfileBlock
	\|title=Matlab<sup>©</sup>-files		\|title=Matlab<sup>©</sup>-files
	\|text =[[Datei:matlab-folder-structure.png\|links\|mini\|Folder Structure]]Die Datei-Struktur ~~zeit~~ das Skript <nowiki>T3BP.m</nowiki>. Classes und Functions sind in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei hält alle System-Parameter.		\|text =[[Datei:matlab-folder-structure.png\|links\|mini\|Folder Structure]]Die Datei-Struktur des Projekts zeigt das Bild links mit dem Skript <nowiki>T3BP.m</nowiki>. Classes und Functions sind in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei hält alle System-Parameter.

	Den komplette Quellcode zu diesem Programm können Sie über dieses ZIP-File rechts herunterladen.		Den komplette Quellcode zu diesem Programm können Sie über dieses ZIP-File rechts herunterladen.
Zeile 164:		Zeile 164:
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	~~1+1~~		nothing here
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 09:05 Uhr

2022-10-03T09:05:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 09:05 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	</math>		</math>
	Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen		Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen
	::<math> \ddot{\underline{U}}_i = \sum_{\ell=j,k} \frac{\displaystyle \theta_\ell}{\displaystyle \varrho_{i,\ell}^2} \~~dot~~ \underline{e}_{i,\ell} </math>.		::<math> \ddot{\underline{U}}_i = \sum_{\ell=j,k} \frac{\displaystyle \theta_\ell}{\displaystyle \varrho_{i,\ell}^2} \cdot \underline{e}_{i,\ell} </math>.
	Diese Gleichgewichtsbeziehungen implementieren wir in der Funktion <code>t3bpdydt.m</code>, die von dem Löser ODE45 aufgerufen wird.		Diese Gleichgewichtsbeziehungen implementieren wir in der Funktion <code>t3bpdydt.m</code>, die von dem Löser ODE45 aufgerufen wird.
	\|code=		\|code=

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 09:03 Uhr

2022-10-03T09:03:41Z

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 08:57 Uhr

2022-10-03T08:57:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 08:57 Uhr
Zeile 83:		Zeile 83:
	function dydt = t3bpdydt(t,y,sys)		function dydt = t3bpdydt(t,y,sys)
	% implementation of ode		% implementation of ode
	% ~~params hold~~ system parameters		% sys holds system parameters
	% get coordinates		% get coordinates
	for body = 1:3		for body = 1:3
Zeile 166:		Zeile 166:

	<hr/>		<hr/>
	~~'''Links'''~~
	* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Three-Body_Problem_(novel) The Three-Body-Problem]

	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Three-Body_Problem_(novel) The Three-Body-Problem]

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 08:54 Uhr

2022-10-03T08:54:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 08:54 Uhr
Zeile 112:		Zeile 112:
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=Die Lösung des Anfangswertproblems übertragen wir der Matlab-Routine ODE45.		\|text=Die Lösung des Anfangswertproblems übertragen wir der Matlab-Routine ODE45.
	Dabei organisieren wir die Zustandsgrößen so, dass in <~~pre~~>y0</~~pre~~> zunächst die 9 Anfangsverschiebungen und dann die 9 Anfangsgeschwindigkeiten stehen.		Dabei organisieren wir die Zustandsgrößen so, dass in <code>y0</code> zunächst die 9 Anfangsverschiebungen und dann die 9 Anfangsgeschwindigkeiten stehen.

	Wir lösen dann		Wir lösen dann
Zeile 127:		Zeile 127:
	\end{array}\right).</math>		\end{array}\right).</math>
	z.B. mit		z.B. mit
	::<math>V_{3,y}(\tau) = \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d\tau} U_{3,y}(\tau).		::<math>V_{3,y}(\tau) = \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d\tau} U_{3,y}(\tau)</math>.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>		<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 08:53 Uhr

2022-10-03T08:53:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 08:53 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	\|text=Wir implementieren die Lösung in Matlab. Dafür verwenden wir das script <code>T3BP.m</code>, das die Funktionen		\|text=Wir implementieren die Lösung in Matlab. Dafür verwenden wir das script <code>T3BP.m</code>, das die Funktionen
	* <code>preprocess.m</code>,		* <code>preprocess.m</code>,
	* <code>~~solve~~.m</code> und		* <code>ode45.m</code> (solve) und
	* <code>postprocess.m</code>		* <code>postprocess.m</code>
	aufruft. Die Klasse		aufruft. Die Klasse
	* <code>planets.m</code>		* <code>planets.m</code>
	verwenden wir nur, um die Systemparameter "<code>sys</code>" bequem ansprechen zu können.		verwenden wir nur, um die Systemparameter "<code>sys</code>" bequem ansprechen zu können.
			Zur Lösung des Anfangswertproblems rufen wir eine der ODE-Funktionen aus Matlab auf, die wir mit den Gleichgewichtsbedingungen unserer Funktion <code>t3bpdydt.m</code> füttern.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="notmuch" line start=1>		<syntaxhighlight lang="notmuch" line start=1>
Zeile 30:		Zeile 31:
	\|- preprocess		\|- preprocess
	\|- class sys=planets(data)		\|- class sys=planets(data)
	\|- ~~solve~~		\|- ode45
			\|- t3bpdydt
	\|- postprocess		\|- postprocess
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
Zeile 63:		Zeile 65:
	F = \frac{\displaystyle m_1\cdot L}{\displaystyle T^2} \text{ zu } T = \sqrt{\frac{\displaystyle m_1\cdot L}{\displaystyle F}}		F = \frac{\displaystyle m_1\cdot L}{\displaystyle T^2} \text{ zu } T = \sqrt{\frac{\displaystyle m_1\cdot L}{\displaystyle F}}
	</math>		</math>
	erhalten.		erhalten. Damit ist <math>T \approx 175 Jahre</math>.

	Damit können wir schreiben:		Damit können wir schreiben:
Zeile 76:		Zeile 78:
	Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen		Einsetzen und Kürzen liefert uns dann die dimensionslosen Bewegungsgleichungen
	::<math> \ddot{\underline{U}}_i = \sum_{\ell=j,k} \frac{\displaystyle \theta_\ell}{\displaystyle \varrho_{i,\ell}^2} \dot \underline{e}_{i,\ell} </math>.		::<math> \ddot{\underline{U}}_i = \sum_{\ell=j,k} \frac{\displaystyle \theta_\ell}{\displaystyle \varrho_{i,\ell}^2} \dot \underline{e}_{i,\ell} </math>.
			Diese Gleichgewichtsbeziehungen implementieren wir in der Funktion <code>t3bpdydt.m</code>, die von dem Löser ODE45 aufgerufen wird.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>		<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>
Zeile 108:		Zeile 111:

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=~~Text~~		\|text=Die Lösung des Anfangswertproblems übertragen wir der Matlab-Routine ODE45.
			Dabei organisieren wir die Zustandsgrößen so, dass in <pre>y0</pre> zunächst die 9 Anfangsverschiebungen und dann die 9 Anfangsgeschwindigkeiten stehen.

			Wir lösen dann
			::<math>\dot{\underline{q}}(\tau) = \underline{f}(\underline{q}(\tau))</math>
			mit
			::<math>\underline{q}(0) = \left(\begin{array}{c}
			U_{1,x}(0)\\
			U_{1,y}(0)\\
			U_{1,z}(0)\\
			U_{2,x}(0)\\
			\vdots\\
			V_{3,y}(0)\\
			V_{3,z}(0)
			\end{array}\right).</math>
			z.B. mit
			::<math>V_{3,y}(\tau) = \frac{\displaystyle d}{\displaystyle d\tau} U_{3,y}(\tau).
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>		<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>
	1+1		%% solve IVP
			% set-up numerical paramters
			tspan = 0:sys.tEnd/1000:sys.tEnd;
			u0 = [transpose(sys.u0(1,:));transpose(sys.u0(2,:));transpose(sys.u0(3,:))]/sys.L;
			v0 = [transpose(sys.v0(1,:));transpose(sys.v0(2,:));transpose(sys.v0(3,:))]*sys.T/sys.L;
			% initial values from sys structured for ODE45
			y0 = [u0;v0];
			h = waitbar(0,'solving ODE - please wait...');
			%
			[t,y] = ode45(@(t,y)t3bpdydt(t,y,sys),tspan,y0);
			close(h);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}
Zeile 123:		Zeile 152:

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=~~Text~~		\|text=[[Datei:T3BP-21.png\|550px\|right\|mini\|Trajektoren der Körper]]
			Uns interessieren natürlich die Trajektorien der Körper im Raum - dabei zeichnen wir die Körper-Durchmesser entsprechend Ihrer Masse. Die Darstellung ist nicht maßstäblich.
	[[Datei:T3BP-21.png\|550px\|~~left~~\|mini\|Trajektoren der Körper]]

	~~[[Datei:T3BP~~-22.~~png\|150px\|left\|mini\|Bewegungsgrößen <i>Σ M<sub>i</sub> <i>I<sub>i,x</sub></i>]]~~

			Zur Kontrolle können wir prüfen, ob die ODE-Routine im Rahmen der numerischen Genauigkeit die Erhaltungssätze der Mechanik erfüllt. Das machen wir hier am Beispiel des Impulssystes: die Summe der Bewegungsgrößen jeweils in die drei Raumrichtungen muss gleich bleiben:
			[[Datei:T3BP-22.png\|150px\|left\|mini\|Bewegungsgrößen <math>\sum_{i=1}^3 \theta_i \cdot I_{i,x0}</math>]].
			Und schließlich schauen wir uns die Bewegung der drei Körper in einer Animation über der Zeit an - hier über einen Zeitraum 4375 Jahren.
	[[Datei:T3BP-23.mp4\|100%\|left\|mini\|Animation der Bewegung]]		[[Datei:T3BP-23.mp4\|100%\|left\|mini\|Animation der Bewegung]]

	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
Zeile 136:		Zeile 164:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}




	~~<table class="wikitable mw-collapsible" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">~~
	~~<tr><th></th><th></th></tr>~~
	~~<tr><td></td><td></td></tr>~~
	~~</table>~~





	<hr/>		<hr/>
	'''Links'''		'''Links'''
	* ...		* [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Three-Body_Problem_(novel) The Three-Body-Problem]

	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* ...

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 08:23 Uhr

2022-10-03T08:23:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 08:23 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>		::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>
	mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]		mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]
	::<math>G = 6.~~674E~~-11 \frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}</math>		::<math>G = 6.674\cdot 10^{-11} \frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}</math>

	Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.		Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 08:22 Uhr

2022-10-03T08:22:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 08:22 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>		::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>
	mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]		mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]
	::<math>G = 6.~~674 \cdot 10^{\displaystyle −11}</math>.~~		::<math>G = 6.674E-11 \frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}</math>

	~~::<math>~~\frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}</math>

	Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.		Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 08:21 Uhr

2022-10-03T08:21:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 08:21 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>		::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>
	mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]		mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]
	::<math>G = 6.674 \cdot 10^{\displaystyle −11} \frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}</math>.		::<math>G = 6.674 \cdot 10^{\displaystyle −11}</math>.

			::<math>\frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}</math>

	Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.		Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.

Mechaniker am 3. Oktober 2022 um 08:19 Uhr

2022-10-03T08:19:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 08:19 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>		::<math>F = G \cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_j}{\displaystyle r_{i,j}^2}</math>
	mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]		mit der [https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant Gravitationskonstanten]
	::<math>G = 6.674 \cdot 10^{\displaystyle −11} \frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle ~~kg⋅s~~^2}</math>.		::<math>G = 6.674 \cdot 10^{\displaystyle −11} \frac{\displaystyle m^3}{\displaystyle kg \cdot s^2}</math>.

	Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.		Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 09:03 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=~~Wir implementieren die Lösung in Matlab.~~ Dafür verwenden wir das script <code>T3BP.m</code>, das die Funktionen		\|text=Dafür verwenden wir das script <code>T3BP.m</code>, das die Funktionen
	* <code>preprocess.m</code>,		* <code>preprocess.m</code>,
	* <code>ode45.m</code> (solve) und		* <code>ode45.m</code> (solve) und
Zeile 45:		Zeile 45:
	Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.		Dabei gehen die Wirkungslinien der Kräfte durch die Massenmittelpunkte der Körper, die Körper ziehen sich gegenseitig an.
	Damit ist		Damit ist
	::<math>\vec{F} = F\cdot \vec{e}_{i,j}</math>,		::<math>\vec{F} = F \cdot \vec{e}_{i,j}</math>,
	wobei <math>\vec{e}_{i,j}</math> der Einheitsvektor der Anziehungskraft - in diesem Fall von <i>i</i> nach <i>j</i> - ist.		wobei <math>\vec{e}_{i,j}</math> der Einheitsvektor der Anziehungskraft - in diesem Fall von <i>i</i> nach <i>j</i> - ist.

	Die Bewegungsgleichungen schreiben wir in Vektorschreibweise für Körper <i>i</i> als		Die Bewegungsgleichungen schreiben wir mit <math>F</math> in Vektorschreibweise für Körper <i>i</i> als
	::<math> m_i \dot \ddot{\vec{u}}_i = \sum_{\ell=j,k} G\cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_\ell}{\displaystyle r_{i,\ell}^2} \~~dot~~ \vec{e}_{i,\ell} \text{ mit }		::<math> m_i \dot \ddot{\vec{u}}_i = \sum_{\ell=j,k} G\cdot \frac{\displaystyle m_i\cdot m_\ell}{\displaystyle r_{i,\ell}^2} \cdot \vec{e}_{i,\ell} \text{ mit }
	\vec{u}_i = \left(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z\right)\cdot \underbrace{\left(\begin{array}{l}u_x\\u_y\\u_z\end{array}\right)}_{\displaystyle = \underline{u}_i}</math>.		\vec{u}_i = \left(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z\right)\cdot \underbrace{\left(\begin{array}{l}u_x\\u_y\\u_z\end{array}\right)}_{\displaystyle = \underline{u}_i}</math>.
	Dabei ist z.B. <i>i=1</i> und <i><math>\ell</math>=2,3</i>.		Dabei ist z.B. <i>i=1</i> und <i><math>\ell</math>=2,3</i>.
Zeile 155:		Zeile 155:
	Uns interessieren natürlich die Trajektorien der Körper im Raum - dabei zeichnen wir die Körper-Durchmesser entsprechend Ihrer Masse. Die Darstellung ist nicht maßstäblich.		Uns interessieren natürlich die Trajektorien der Körper im Raum - dabei zeichnen wir die Körper-Durchmesser entsprechend Ihrer Masse. Die Darstellung ist nicht maßstäblich.

	Zur Kontrolle können wir prüfen, ob die ODE-Routine im Rahmen der numerischen Genauigkeit die Erhaltungssätze der Mechanik erfüllt. Das machen wir hier am Beispiel des ~~Impulssystes~~: die Summe der Bewegungsgrößen jeweils in die drei Raumrichtungen muss gleich bleiben:		Zur Kontrolle können wir prüfen, ob die ODE-Routine im Rahmen der numerischen Genauigkeit die Erhaltungssätze der Mechanik erfüllt. Das machen wir hier am Beispiel des Impulssatzes: die Summe der Bewegungsgrößen jeweils in die drei Raumrichtungen muss gleich bleiben:
	[[Datei:T3BP-22.png\|150px\|left\|mini\|Bewegungsgrößen <math>\sum_{i=1}^3 \theta_i \cdot I_{i,x0}</math>]].		[[Datei:T3BP-22.png\|150px\|left\|mini\|Bewegungsgrößen <math>\sum_{i=1}^3 \theta_i \cdot I_{i,x0}</math>]].

			Und das tut sie offensichtlich auch - im Rahmen der numerischen Genauigkeit.

	Und schließlich schauen wir uns die Bewegung der drei Körper in einer Animation über der Zeit an - hier über einen Zeitraum 4375 Jahren.		Und schließlich schauen wir uns die Bewegung der drei Körper in einer Animation über der Zeit an - hier über einen Zeitraum 4375 Jahren.
	[[Datei:T3BP-23.mp4\|100%\|left\|mini\|Animation der Bewegung]]		[[Datei:T3BP-23.mp4\|100%\|left\|mini\|Animation der Bewegung]]