Gelöste Aufgaben/StaF - Versionsgeschichte

Mechaniker am 27. November 2024 um 08:06 Uhr

2024-11-27T08:06:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. November 2024, 08:06 Uhr
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	<hr/>		<hr/>
	'''Links'''		'''Links'''
	* ~~...~~		* * [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|Gelöste_Aufgaben / StaB]]


	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* ...

Mechaniker am 25. November 2024 um 12:28 Uhr

2024-11-25T12:28:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2024, 12:28 Uhr
Zeile 196:		Zeile 196:
	{{MyCodeBlock\|title=Transformation der Koordinaten in das globale System		{{MyCodeBlock\|title=Transformation der Koordinaten in das globale System
	\|text=		\|text=
	In den Ausdrücken der virtuellen Formänderungsenergie stehen die Koordinaten des lokalen Koordinatensystems von ''k''. Die müssen wir, wie in [~~https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=~~Gel%C3%B6ste_Aufgaben/~~Stab Stab~~] mit der Euler-Drehmatrix ineinander überführen.		In den Ausdrücken der virtuellen Formänderungsenergie stehen die Koordinaten des lokalen Koordinatensystems von ''k''. Die müssen wir, wie in Aufgabe [[Gel%C3%B6ste_Aufgaben/StaB\|StaB]] mit der Euler-Drehmatrix ineinander überführen.

	Dafür haben wir		Dafür haben wir
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	{{MyCodeBlock\|title=Solving		{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=		\|text=
	Das Ergebnis ist - für die gleichen Parameter wie in [~~https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=~~Gel%C3%B6ste_Aufgaben/~~Stab Stab~~] -		Das Ergebnis ist - für die gleichen Parameter wie in Aufgabe [[Gel%C3%B6ste_Aufgaben/StaB\|StaB]]:
	::<math>		::<math>
	\begin{array}{l}		\begin{array}{l}
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	[[Datei:StaF-21.png\|350px\|right\|mini\|Stabwerk in verformter Konfiguration.]]		[[Datei:StaF-21.png\|350px\|right\|mini\|Stabwerk in verformter Konfiguration.]]

	Für die Darstellung müssen wir die Koodinaten der Verschiebung ~~wieder~~ in die lokalen Koordinatensysteme zurücktransformieren - und das geht wieder über die Euler-Drehmatrizen (s.o.).		Für die Darstellung müssen wir die Koodinaten der Verschiebung in die lokalen Koordinatensysteme zurücktransformieren - und das geht wieder über die Euler-Drehmatrizen (s.o.).

	Da die Koordinaten der Verschiebung im globalen Koordinatensystem die gleichen sind wie in Aufgabe [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]], sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal aufzutragen.		Da die Koordinaten der Verschiebung im globalen Koordinatensystem die gleichen sind wie in Aufgabe [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]], sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal aufzutragen.

Mechaniker am 25. November 2024 um 12:20 Uhr

2024-11-25T12:20:50Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 25. November 2024 um 12:13 Uhr

2024-11-25T12:13:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2024, 12:13 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	Wir nutzen das Computer-Algebra-System Maxima zur Lösung. Das macht hier Sinn, weil wir die Herangehensweise mit der aus Stab vergleichen wollen – für die wir ebenfalls Maxima eingesetzt haben.		Wir nutzen das Computer-Algebra-System Maxima zur Lösung. Das macht hier Sinn, weil wir die Herangehensweise mit der aus Stab vergleichen wollen – für die wir ebenfalls Maxima eingesetzt haben.

	===Declarations===		<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Declarations
			\|text=
	Wir übernehmen alle Vereinbarungen und Parameter aus der Problemformulierung „[https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben/Stab Stab]“.		Wir übernehmen alle Vereinbarungen und Parameter aus der Problemformulierung „[https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben/Stab Stab]“.
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

	===Gleichgewichtsbedingungen===		<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Gleichgewichtsbedingungen
			\|text=
	Für die Gleichgewichtsbedingung nach dem [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe_der_Analytischen_Mechanik/Prinzip_der_virtuellen_Verr%C3%BCckungen Prinzip der virtuellen Verrückungen]		Für die Gleichgewichtsbedingung nach dem [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe_der_Analytischen_Mechanik/Prinzip_der_virtuellen_Verr%C3%BCckungen Prinzip der virtuellen Verrückungen]
	::<math>		::<math>
Zeile 117:		Zeile 126:
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

	===Transformation der Koordinaten in das globale System===		<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Transformation der Koordinaten in das globale System
			\|text=
	In den Ausdrücken der virtuellen Formänderungsenergie stehen die Koordinaten des lokalen Koordinatensystems von ''k''. Die müssen wir, wie in [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben/Stab Stab] mit der Euler-Drehmatrix ineinander überführen.		In den Ausdrücken der virtuellen Formänderungsenergie stehen die Koordinaten des lokalen Koordinatensystems von ''k''. Die müssen wir, wie in [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben/Stab Stab] mit der Euler-Drehmatrix ineinander überführen.

Zeile 221:		Zeile 237:

	::[[Datei:StaF-11.png\|350px\|none\|Einsortieren der Anteile der virtuellen Formänderungsenergie nach den Knoten.]]		::[[Datei:StaF-11.png\|350px\|none\|Einsortieren der Anteile der virtuellen Formänderungsenergie nach den Knoten.]]
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

	===Einarbeitung der Randbedingungen===		<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Einarbeitung der Randbedingungen
			\|text=
	Die Randbedingungen arbeiten wir hier durch das Streichen der passenden Zeilen für <math>\delta U_{1,0},\delta W_{1,0},\delta U_{2,0},\delta W_{2,0}</math> sowie der passenden Spalten für <math>U_{1,0},W_{1,0},U_{2,0},W_{2,0}</math> ein.		Die Randbedingungen arbeiten wir hier durch das Streichen der passenden Zeilen für <math>\delta U_{1,0},\delta W_{1,0},\delta U_{2,0},\delta W_{2,0}</math> sowie der passenden Spalten für <math>U_{1,0},W_{1,0},U_{2,0},W_{2,0}</math> ein.

Zeile 260:		Zeile 283:
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

	===Solving===		<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Solving
			\|text=
	Das Ergebnis ist - für die gleichen Parameter wie in [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben/Stab Stab] -		Das Ergebnis ist - für die gleichen Parameter wie in [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben/Stab Stab] -
	::<math>		::<math>
Zeile 286:		Zeile 316:

	Da die Koordinaten der Verschiebung im globalen Koordinatensystem die gleichen sind wie in Aufgabe [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]], sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal aufzutragen.		Da die Koordinaten der Verschiebung im globalen Koordinatensystem die gleichen sind wie in Aufgabe [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]], sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal aufzutragen.

	~~<!-------------------------------------------------------------------------------->~~
	~~{{MyCodeBlock\|title=Title~~
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 25. November 2024 um 12:09 Uhr

2024-11-25T12:09:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2024, 12:09 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:StaB-01.PNG\|150px\|left\|mini\|Stabwerk mit in den Knoten fest verbundenen Stäben.]]		[[Datei:StaB-01.PNG\|150px\|left\|mini\|Stabwerk mit in den Knoten fest verbundenen Stäben.]]
	Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die FEM-Lösung der Felddifferentialgleichung im Vergleich zur Lösung in Problemstellung ~~„Stab“~~.		Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die FEM-Lösung der Felddifferentialgleichung im Vergleich zur Lösung in Problemstellung „[[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]]“.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
	Wir stellen das Modell des Stabwerks mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen auf und vergleichen, wie sich diese von der Herangehensweise aus „[~~https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben~~/~~Stab Stab~~]“ mit der analytischen Lösung unterscheidet.		Wir stellen das Modell des Stabwerks mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen auf und vergleichen, wie sich diese von der Herangehensweise aus „Aufgabe [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]]“ mit der analytischen Lösung unterscheidet.

	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==
Zeile 38:		Zeile 38:
	benötigen wir die virtuelle Formänderungsenergie <math>\delta \Pi</math> und die virtuelle Arbeit der äußeren Kraft <math>\delta W^a</math> der äußeren Kräfte und Momente.		benötigen wir die virtuelle Formänderungsenergie <math>\delta \Pi</math> und die virtuelle Arbeit der äußeren Kraft <math>\delta W^a</math> der äußeren Kräfte und Momente.

	Mit den Konventionen für die Knoten-Verschiebungen aus [~~https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben~~/~~Stab Stab~~] ist		Mit den Konventionen für die Knoten-Verschiebungen aus Aufgabe [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]] ist
	::<math>		::<math>
	\delta W^a = +\delta W_{4,0} \cdot F		\delta W^a = +\delta W_{4,0} \cdot F
Zeile 48:		Zeile 48:
	mit den virtuellen Formänderungsarbeiten der vier Stäbe.		mit den virtuellen Formänderungsarbeiten der vier Stäbe.

	Dabei haben wir Anteile der Arbeit aus der [[https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung_f%C3%BCr_den_Euler-Bernoulli-Balken Biegung]] und der Längs-Dehnung des Stabes.		Dabei haben wir Anteile der Arbeit aus der [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung_f%C3%BCr_den_Euler-Bernoulli-Balken Biegung] und der Längs-Dehnung des Stabes.

	Für den Stab ''k'' mit den Knoten ''I'' und ''J'' haben wir als Koodinaten der Knoten		Für den Stab ''k'' mit den Knoten ''I'' und ''J'' haben wir als Koodinaten der Knoten
Zeile 285:		Zeile 285:
	Für die Darstellung müssen wir die Koodinaten der Verschiebung wieder in die lokalen Koordinatensysteme zurücktransformieren - und das geht wieder über die Euler-Drehmatrizen (s.o.).		Für die Darstellung müssen wir die Koodinaten der Verschiebung wieder in die lokalen Koordinatensysteme zurücktransformieren - und das geht wieder über die Euler-Drehmatrizen (s.o.).

	Da die Koordinaten der Verschiebung im globalen Koordinatensystem die gleichen sind wie in [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]], sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal aufzutragen.		Da die Koordinaten der Verschiebung im globalen Koordinatensystem die gleichen sind wie in Aufgabe [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]], sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal aufzutragen.

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->

Mechaniker am 25. November 2024 um 12:05 Uhr

2024-11-25T12:05:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2024, 12:05 Uhr
Zeile 279:		Zeile 279:
	\end{array}		\end{array}
	</math>		</math>
	~~Und damit~~ sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal ~~auftragen~~.
			Mit diesen Ergebnissen können wir nun das Stabwerk in seiner verformten Konfiguration zeichnen.
			[[Datei:StaF-21.png\|350px\|right\|mini\|Stabwerk in verformter Konfiguration.]]

			Für die Darstellung müssen wir die Koodinaten der Verschiebung wieder in die lokalen Koordinatensysteme zurücktransformieren - und das geht wieder über die Euler-Drehmatrizen (s.o.).

			Da die Koordinaten der Verschiebung im globalen Koordinatensystem die gleichen sind wie in [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|StaB]], sind auch die Verläufe der Schnittlasten in den Stäben identisch - wir brauchen also die Ergebnisse nicht noch einmal aufzutragen.

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->

Mechaniker am 16. November 2024 um 15:39 Uhr

2024-11-16T15:39:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2024, 15:39 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	Mit den Konventionen für die Knoten-Verschiebungen aus [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben/Stab Stab] ist		Mit den Konventionen für die Knoten-Verschiebungen aus [https://numpedia.rzbt.haw-hamburg.de/index.php?title=Gel%C3%B6ste_Aufgaben/Stab Stab] ist
	::<math>		::<math>
	\delta W^a = -\delta W_{4,0} \cdot F		\delta W^a = +\delta W_{4,0} \cdot F
	</math>.		</math>.
	Für <math>\delta \Pi</math> gilt		Für <math>\delta \Pi</math> gilt

Mechaniker am 12. November 2024 um 08:56 Uhr

2024-11-12T08:56:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2024, 08:56 Uhr
Zeile 140:		Zeile 140:
	für die Koordinaten eines Knoten im Referenzsystem einzuführen. Also ist		für die Koordinaten eines Knoten im Referenzsystem einzuführen. Also ist
	::<math>		::<math>
	~~\underline{q}_{I,0} = \underline{\underline{D}}_R(\alpha_k)\cdot~~ \left(\begin{array}{c}U_{I,k}\\W_{I,k}\\\Phi_{I,k}\end{array}\right).		\left(\begin{array}{c}U_{I,k}\\W_{I,k}\\\Phi_{I,k}\end{array}\right) = \underline{\underline{D}}_R^T(\alpha_k)\cdot \underline{q}_{I,0} .
	</math>		</math>

Zeile 146:		Zeile 146:
	::<math>		::<math>
	\underline{\underline{T}}(\alpha_k) :=		\underline{\underline{T}}(\alpha_k) :=
	\left(\begin{array}{cc} \underline{\underline{D}}_R(\alpha_k)& \underline{\underline{0}}\\		\left(\begin{array}{cc} \underline{\underline{D}}_R^T(\alpha_k)& \underline{\underline{0}}\\
	\underline{\underline{0}} & \underline{\underline{D}}_R(\alpha_k)		\underline{\underline{0}} & \underline{\underline{D}}_R^T(\alpha_k)
	\end{array}\right)		\end{array}\right)
	</math>		</math>

Mechaniker am 12. November 2024 um 08:34 Uhr

2024-11-12T08:34:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2024, 08:34 Uhr
Zeile 214:		Zeile 214:
	und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen in der Form		und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen in der Form
	::<math>		::<math>
	\delta\underline{Q}_{0}^T\cdot\left(\underline{\underline{K}}_{0}\cdot\underline{Q}_{0}		\delta W = \delta\underline{Q}_{0}^T\cdot\left(\underline{\underline{K}}_{0}\cdot\underline{Q}_{0}
	- \underline{P}\right) = 0		- \underline{P}\right) \stackrel{!}{=} 0
	</math>		</math>
	an.		an.
	Dabei kommen die Beiträge zur Gesamt-Steifigkeitsmatrix (hier noch in der Fassung ohne Berücksichtigung der Randbedingungen) aus den vier Beiträgen der virtuellen Formänderungsenergie - die wir hier farblich gekennzeichnet haben:		Dabei kommen die Beiträge zur Gesamt-Steifigkeitsmatrix (hier noch in der Fassung ohne Berücksichtigung der Randbedingungen) aus den vier Beiträgen der virtuellen Formänderungsenergie - die wir hier farblich gekennzeichnet haben:

	[[Datei:StaF-11.png\|350px\|~~left\|mini~~\|Einsortieren der Anteile der virtuellen Formänderungsenergie nach den Knoten.]]		::[[Datei:StaF-11.png\|350px\|none\|Einsortieren der Anteile der virtuellen Formänderungsenergie nach den Knoten.]]

	===Einarbeitung der Randbedingungen===		===Einarbeitung der Randbedingungen===

Mechaniker am 12. November 2024 um 08:21 Uhr

2024-11-12T08:21:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2024, 08:21 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:

	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:StaB-01.PNG\|150px\|left\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-01.PNG\|150px\|left\|mini\|Stabwerk mit in den Knoten fest verbundenen Stäben.]]
	Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die FEM-Lösung der Felddifferentialgleichung im Vergleich zur Lösung in Problemstellung „Stab“.		Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die FEM-Lösung der Felddifferentialgleichung im Vergleich zur Lösung in Problemstellung „Stab“.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
Zeile 145:		Zeile 145:
	Damit wir für die Elementsteifigkeitsmatrix - mit beiden Anfangs- und Endknoten des Elements - vom "0"-System ins "k"-System transformieren, brauchen wir die neue Transformations-Matrix		Damit wir für die Elementsteifigkeitsmatrix - mit beiden Anfangs- und Endknoten des Elements - vom "0"-System ins "k"-System transformieren, brauchen wir die neue Transformations-Matrix
	::<math>		::<math>
	\underline{\underline{T}}(\alpha_k) =		\underline{\underline{T}}(\alpha_k) :=
	\left(\begin{array}{c} \underline{\underline{D}}~~__R~~(\alpha_k)& \underline{\underline{0}}\\		\left(\begin{array}{cc} \underline{\underline{D}}_R(\alpha_k)& \underline{\underline{0}}\\
	\underline{\underline{0}} & \underline{\underline{D}}_R(\alpha_k)		\underline{\underline{0}} & \underline{\underline{D}}_R(\alpha_k)
	\end{array}\right)		\end{array}\right)
Zeile 220:		Zeile 220:
	Dabei kommen die Beiträge zur Gesamt-Steifigkeitsmatrix (hier noch in der Fassung ohne Berücksichtigung der Randbedingungen) aus den vier Beiträgen der virtuellen Formänderungsenergie - die wir hier farblich gekennzeichnet haben:		Dabei kommen die Beiträge zur Gesamt-Steifigkeitsmatrix (hier noch in der Fassung ohne Berücksichtigung der Randbedingungen) aus den vier Beiträgen der virtuellen Formänderungsenergie - die wir hier farblich gekennzeichnet haben:

	[[Datei:~~StaB~~-11.png\|~~150px~~\|left\|mini\|Einsortieren der Anteile der virtuellen Formänderungsenergie nach den Knoten.]]		[[Datei:StaF-11.png\|350px\|left\|mini\|Einsortieren der Anteile der virtuellen Formänderungsenergie nach den Knoten.]]

	===Einarbeitung der Randbedingungen===		===Einarbeitung der Randbedingungen===