Gelöste Aufgaben/StaB - Versionsgeschichte

Mechaniker am 27. November 2024 um 08:06 Uhr

2024-11-27T08:06:08Z

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	* [[Gelöste_Aufgaben/~~StaB~~\|Gelöste_Aufgaben / ~~StaB~~]]		* [[Gelöste_Aufgaben/StaF\|Gelöste_Aufgaben / StaF]]

	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* ...

Mechaniker am 12. November 2024 um 07:27 Uhr

2024-11-12T07:27:35Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:StaB-01.PNG\|150px\|left\|mini\|Stabwerk mit fest verbundenen Stäben.]]		[[Datei:StaB-01.PNG\|150px\|left\|mini\|Stabwerk mit fest verbundenen Stäben.]]
	Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die analytische Lösung der ~~Felddifferentialgleichung~~.		Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die analytische Lösung der Felddifferentialgleichungen.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

	[[Datei:StaB-02.PNG\|150px\|right\|mini\|Modellierung in der klassischen Stabwerkstheorie - nur mit Stab-Längskraften]]		[[Datei:StaB-02.PNG\|150px\|right\|mini\|Modellierung in der klassischen Stabwerkstheorie - nur mit Stab-Längskraften]]
	In der klassischen Stabwerkstheorie (rechts) werden nur die Stab-Längskräfte berücksichtigt – das Ersatzmodell bildet die Verbindungen der Stäbe durch Gelenke ab. Trotzdem wurden die Stäbe in der Ausführung mit Knotenblechen vernietet oder verschweißt – von Gelenk also keine Spur.		In der klassischen Stabwerkstheorie (rechts) werden nur die Stab-Längskräfte berücksichtigt – das Ersatzmodell bildet die Verbindungen der Stäbe durch Gelenke ab. Trotzdem wurden und werden die Stäbe in der praktischen Ausführung mit Knotenblechen vernietet oder verschweißt – von Gelenk also keine Spur.

	Wir untersuchen, welchen Einfluss diese Vereinfachung auf die berechneten Belastungen der Struktur hat. Hier sollen die beiden Modell-Varianten – also die Modellierung mit Gelenken einerseits und Knotenblechen andererseits – miteinander verglichen werden. Gesucht ist die analytische Lösung der beiden Randwertprobleme und ein Vergleich.		Wir untersuchen, welchen Einfluss diese Vereinfachung auf die berechneten Belastungen der Struktur hat. Hier sollen die beiden Modell-Varianten – also die Modellierung mit Gelenken einerseits und Knotenblechen andererseits – miteinander verglichen werden. Gesucht ist die analytische Lösung der beiden Randwertprobleme und ein Vergleich.
Zeile 36:		Zeile 36:
	In Knoten ''I'' und ''II'' sind gelenkige Lager. Stäbe 1,2 und 3 sind im Knoten ''III'' verbunden, Stäbe 2 und 4 im Knoten ''II'' und Stäbe 3 und 4 im Knoten ''IV''.		In Knoten ''I'' und ''II'' sind gelenkige Lager. Stäbe 1,2 und 3 sind im Knoten ''III'' verbunden, Stäbe 2 und 4 im Knoten ''II'' und Stäbe 3 und 4 im Knoten ''IV''.

	[[Datei:StaB-03.png\|~~150px~~\|left\|mini\|Lokales Koordinatensystem - hier für Stab "''k''"]]		[[Datei:StaB-03.png\|200px\|left\|mini\|Lokales Koordinatensystem - hier für Stab "''k''"]]
	Jeder Stab – hier Stab ''k'' mit den Knoten ''I'' und ''J'' – trägt sein eigenes ''x<sub>k</sub>, z<sub>k</sub>'' – Koordinatensystem und ist im Winkel ''α<sub>k</sub>'' zur Horizontalen eingebaut. Hier sind α<sub>2</sub> = 60° und α<sub>3</sub> = -60° sowie α<sub>1</sub> = 0 und α<sub>4</sub> = 0.		Jeder Stab – hier Stab ''k'' mit den Knoten ''I'' und ''J'' – trägt sein eigenes ''x<sub>k</sub>, z<sub>k</sub>'' – Koordinatensystem und ist im Winkel ''α<sub>k</sub>'' zur Horizontalen eingebaut. Hier sind α<sub>2</sub> = 60° und α<sub>3</sub> = -60° sowie α<sub>1</sub> = 0 und α<sub>4</sub> = 0.

	Als Systemparameter je Stab definieren wir vier Stablängen und die jeweils identischen Steifigkeiten für Dehnung und Biegung. Der Querschnitt der Stäbe sei ein doppeltsymmetrisches Profil mit der Querschnittsfläche <math>A = a^2</math> und dem Flächenmoment <math>I=\eta \frac{A^2}{12}</math>.		Als Systemparameter je Stab definieren wir vier Stablängen und die jeweils identischen Steifigkeiten für Dehnung und Biegung. Der Querschnitt der Stäbe sei ein doppeltsymmetrisches Profil (s.u.) mit der Querschnittsfläche <math>A = a^2</math> und dem Flächenmoment <math>I=\eta \frac{A^2}{12}</math>.

	Für das Referenzmodell, das unser System als Stabwerk mit gelenkigen Verbindungen erfasst, wählen wir die Stabkräfte ''S<sub>i</sub>'' als Zugkräfte und schreiben folgende Gleichgewichtsbedingungen an:		Für das Referenzmodell, das unser System als Stabwerk mit gelenkigen Verbindungen erfasst, wählen wir die Stabkräfte ''S<sub>i</sub>'' als Zugkräfte und schreiben folgende Gleichgewichtsbedingungen an:
Zeile 48:		Zeile 48:
	Die Stabkräfte dazu sind		Die Stabkräfte dazu sind
	::<math>{S_1}\operatorname{=}\frac{2 F}{\sqrt{3}}\operatorname{,}{S_2}\operatorname{=}\operatorname{-}\left( \frac{2 F}{\sqrt{3}}\right) \operatorname{,}{S_3}\operatorname{=}\frac{2 F}{\sqrt{3}}\operatorname{,}{S_4}\operatorname{=}\operatorname{-}\left( \frac{F}{\sqrt{3}}\right)</math>.		::<math>{S_1}\operatorname{=}\frac{2 F}{\sqrt{3}}\operatorname{,}{S_2}\operatorname{=}\operatorname{-}\left( \frac{2 F}{\sqrt{3}}\right) \operatorname{,}{S_3}\operatorname{=}\frac{2 F}{\sqrt{3}}\operatorname{,}{S_4}\operatorname{=}\operatorname{-}\left( \frac{F}{\sqrt{3}}\right)</math>.

			Im Vergleich zur Berechnung der Stabkräfte mit dem Referenzmodell ist unser Randwertproblem mit fest verbundenen Stäben deutlich komplizierter. Es besteht aus den Gleichgewichtsbedingung im Feld - den Felddifferentialgleichungen - und den Randbedingungen.
			Diese schreiben wir im Folgenden auf:

	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	~~Ein Randwertproblem besteht aus den Gleichgewichtsbedingung im Feld - der Felddifferentialgleichung - und den Randbedingungen.~~
	~~Diese schreiben wir im Folgenden auf:~~

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
Zeile 139:		Zeile 140:
	</math></td></tr>		</math></td></tr>
	</table>		</table>
			Wenn die allgemeinen Lösungen hier etwas ungewohnt aussehen: wir haben die Faktoren a sowie die dimensionslosen Koordinaten <math>x_k/\ell_k</math> eingeführt - damit alle Integrationskonstanten dimensionslos sind.

	Für den Kippwinkel des Balkens nutzen wir zusätzlich		Für den Kippwinkel des Balkens nutzen wir zusätzlich
	::<math>\varphi_k(x_k) = w'_k(x_k)</math>.		::<math>\varphi_k(x_k) = w'_k(x_k)</math>.
Zeile 194:		Zeile 197:
	Die Verdrehungen der Knoten an den Enden sind in unserem 2D-System natürlich für jeden Stab gleich - wir führen den Index ''k'' hier nur ein, damit wir eine gleiche Nomenklatur für alle Koordinaten haben.		Die Verdrehungen der Knoten an den Enden sind in unserem 2D-System natürlich für jeden Stab gleich - wir führen den Index ''k'' hier nur ein, damit wir eine gleiche Nomenklatur für alle Koordinaten haben.

	[[Datei:StaB-06.PNG\|~~150px~~\|right\|mini\|Referenz- oder "0"-Koordinatensystem.]]		[[Datei:StaB-06.PNG\|200px\|right\|mini\|Referenz- oder "0"-Koordinatensystem.]]
	Damit diese ~~Koordinaten~~ miteinander verträglich sind, führen wir ein Referenzsystem „0“ mit den entsprechenden Koordinaten der Auslenkung in horizontale und vertikale Richtung ein:		Damit diese Verschiebungen (und Verdrehungen) miteinander verträglich sind, führen wir ein Referenzsystem „0“ mit den entsprechenden Koordinaten der Auslenkung in horizontale und vertikale Richtung ein:

	[[Datei:StaB-15.PNG\|150px\|left\|mini\|Umrechnen zwischen den lokalen (Stab-) Koordinaten und dem globalen ("0"-) Koordinantensystem.]]		[[Datei:StaB-15.PNG\|150px\|left\|mini\|Umrechnen zwischen den lokalen (Stab-) Koordinaten und dem globalen ("0"-) Koordinantensystem.]]
Zeile 319:		Zeile 322:
	Es fehlen noch die Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte. Wir erhalten für jeden Knoten – außer denen der Lager – zwei Kraft- und ein Momentengleichgewicht. Für die Lager-Knoten können wir nur die Momentengleichgewichte anschreiben – ohne neue Unbekannte für die Lager-Reaktionskräfte einzufügen.		Es fehlen noch die Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte. Wir erhalten für jeden Knoten – außer denen der Lager – zwei Kraft- und ein Momentengleichgewicht. Für die Lager-Knoten können wir nur die Momentengleichgewichte anschreiben – ohne neue Unbekannte für die Lager-Reaktionskräfte einzufügen.

	[[Datei:StaB-18-2.PNG\|~~150px~~\|none\|mini\|Kräftegleichgewicht am Knoten.]]		[[Datei:StaB-18-2.PNG\|200px\|none\|mini\|Kräftegleichgewicht am Knoten.]]

	Die Schnittbilder je Knoten erhalten wir, indem wir die Schnittgrößen an den entsprechenden Schnittufern anzeichnen und dann die Gleichgewichtsbedingungen je Knoten ansetzen.		Die Schnittbilder je Knoten erhalten wir, indem wir die Schnittgrößen an den entsprechenden Schnittufern anzeichnen und dann die Gleichgewichtsbedingungen je Knoten ansetzen.
Zeile 396:		Zeile 399:
	Und aus der Momentenbilanz für Knoten IV erhalten wir entsprechend		Und aus der Momentenbilanz für Knoten IV erhalten wir entsprechend
	::<math>- a C_{4,2} \frac{EI}{\ell_4^2}- a C_{2,2} \frac{EI}{\ell_2^2}=0</math>		::<math>- a C_{4,2} \frac{EI}{\ell_4^2}- a C_{2,2} \frac{EI}{\ell_2^2}=0</math>

	Durch das Einsetzen der Lösungen für ''u<sub>k</sub>(x<sub>k</sub>)'' und ''w<sub>k</sub>(x<sub>k</sub>)'' haben wir als Unbekannte nur noch je Stab die 6 Integrationskonstanten ''C<sub>ij</sub>,'' ''D<sub>ij</sub>'' sowie je Knoten die Knotenverschiebungen Koordinaten ''U<sub>k0</sub>'', ''W<sub>k0</sub>'' und ''Φ<sub>k0</sub>'', also ~~die~~ 36 ~~Unbekannten~~		Durch das Einsetzen der Lösungen für ''u<sub>k</sub>(x<sub>k</sub>)'' und ''w<sub>k</sub>(x<sub>k</sub>)'' haben wir als Unbekannte nur noch je Stab die 6 Integrationskonstanten ''C<sub>ij</sub>,'' ''D<sub>ij</sub>'' sowie je Knoten die Knotenverschiebungen Koordinaten ''U<sub>k0</sub>'', ''W<sub>k0</sub>'' und ''Φ<sub>k0</sub>'', also 36 Unbekannte.

	Für das lineare Gleichungssystem		Für das lineare Gleichungssystem
	::<math>\underline{\underline{A}} \cdot \underline{X} = \underline{b}</math>		::<math>\underline{\underline{A}} \cdot \underline{X} = \underline{b}</math>
	ist ~~also~~		ist dann
	::<math>\underline{X}^T = \left(		::<math>\underline{X}^T = \left(
	{U_{1,0}},{W_{1,0}},{{\Phi }_{1,0}},{U_{2,0}},{W_{2,0}},{{\Phi }_{2,0}},{U_{3,0}},{W_{3,0}},{{\Phi }_{3,0}},{U_{4,0}},{W_{4,0}},{{\Phi }_{4,0}},{C_{1,0}},{C_{1,1}},{C_{1,2}},{C_{1,3}},{C_{2,0}},{C_{2,1}},{C_{2,2}},{C_{2,3}},{C_{3,0}},{C_{3,1}},{C_{3,2}},{C_{3,3}},{C_{4,0}},{C_{4,1}}\operatorname{,		{U_{1,0}},{W_{1,0}},{{\Phi }_{1,0}},{U_{2,0}},{W_{2,0}},{{\Phi }_{2,0}},{U_{3,0}},{W_{3,0}},{{\Phi }_{3,0}},{U_{4,0}},{W_{4,0}},{{\Phi }_{4,0}},{C_{1,0}},{C_{1,1}},{C_{1,2}},{C_{1,3}},{C_{2,0}},{C_{2,1}},{C_{2,2}},{C_{2,3}},{C_{3,0}},{C_{3,1}},{C_{3,2}},{C_{3,3}},{C_{4,0}},{C_{4,1}}\operatorname{,

Mechaniker am 11. November 2024 um 20:06 Uhr

2024-11-11T20:06:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2024, 20:06 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:

	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:StaB-01.PNG\|~~120px~~\|left\|mini\|Stabwerk mit fest verbundenen Stäben.]]		[[Datei:StaB-01.PNG\|150px\|left\|mini\|Stabwerk mit fest verbundenen Stäben.]]
	Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die analytische Lösung der Felddifferentialgleichung.		Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die analytische Lösung der Felddifferentialgleichung.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
Zeile 31:		Zeile 31:
	{{MyCodeBlock\|title=Declarations		{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=		\|text=
	[[Datei:StaB-05.PNG\|~~120px~~\|right\|mini\|Knoten- und Stab-Nummern]]		[[Datei:StaB-05.PNG\|150px\|right\|mini\|Knoten- und Stab-Nummern]]
	Wir beginnen mit der Einführung von passenden Bezeichnungen für unser System:		Wir beginnen mit der Einführung von passenden Bezeichnungen für unser System:

Zeile 109:		Zeile 109:

	Für Stab 3 sieht dies folgendermaßen aus:		Für Stab 3 sieht dies folgendermaßen aus:
	[[Datei:StaB-13.PNG\|~~250px~~\|none\|mini\|Lokale Koordinaten der Verformung ''u(x)''und ''w(x)''.]]		[[Datei:StaB-13.PNG\|300px\|none\|mini\|Lokale Koordinaten der Verformung ''u(x)''und ''w(x)''.]]

	Die Differentialbeziehungen des Gleichgewichts in ''u'' und ''w'' sowie deren Lösungen für unsere Stäbe sind		Die Differentialbeziehungen des Gleichgewichts in ''u'' und ''w'' sowie deren Lösungen für unsere Stäbe sind
Zeile 154:		Zeile 154:

	Diese Schnittgrößen jeweils am positiven und negativen Schnittufer sind hier dargestellt:		Diese Schnittgrößen jeweils am positiven und negativen Schnittufer sind hier dargestellt:
	[[Datei:StaB-17.PNG\|~~250px~~\|none\|mini\|Schnittlasten am Stab.]]		[[Datei:StaB-17.PNG\|300px\|none\|mini\|Schnittlasten am Stab.]]
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
Zeile 194:		Zeile 194:
	Die Verdrehungen der Knoten an den Enden sind in unserem 2D-System natürlich für jeden Stab gleich - wir führen den Index ''k'' hier nur ein, damit wir eine gleiche Nomenklatur für alle Koordinaten haben.		Die Verdrehungen der Knoten an den Enden sind in unserem 2D-System natürlich für jeden Stab gleich - wir führen den Index ''k'' hier nur ein, damit wir eine gleiche Nomenklatur für alle Koordinaten haben.

	[[Datei:StaB-06.PNG\|~~120px~~\|right\|mini\|Referenz- oder "0"-Koordinatensystem.]]		[[Datei:StaB-06.PNG\|150px\|right\|mini\|Referenz- oder "0"-Koordinatensystem.]]
	Damit diese Koordinaten miteinander verträglich sind, führen wir ein Referenzsystem „0“ mit den entsprechenden Koordinaten der Auslenkung in horizontale und vertikale Richtung ein:		Damit diese Koordinaten miteinander verträglich sind, führen wir ein Referenzsystem „0“ mit den entsprechenden Koordinaten der Auslenkung in horizontale und vertikale Richtung ein:

Zeile 447:		Zeile 447:
	Wir tragen für alle Stäbe das Verhältnis ''N<sub>i</sub>/S<sub>i</sub>'' auf:		Wir tragen für alle Stäbe das Verhältnis ''N<sub>i</sub>/S<sub>i</sub>'' auf:

	[[Datei:StaB-21.png\|~~250px~~\|none\|mini\|Verhältnis der Stab-Längekräfte zwischen "verschweißten" Stäben und gelenkig verbundenen Stäben.]]		[[Datei:StaB-21.png\|350px\|none\|mini\|Verhältnis der Stab-Längekräfte zwischen "verschweißten" Stäben und gelenkig verbundenen Stäben.]]

	Wenn die Biegesteifigkeit der Stäbe klein wird, konvergiert unsere Lösung der Normalkräfte also gegen die einfache Stabwerkslösung.		Wenn die Biegesteifigkeit der Stäbe klein wird, konvergiert unsere Lösung der Normalkräfte also gegen die einfache Stabwerkslösung.

	Bleibt noch zu klären, ob die Spannungen durch die Biegung im Querschnitt ebenfalls vernachlässigbar klein bleiben.		Bleibt noch zu klären, ob die Spannungen durch die Biegung im Querschnitt ebenfalls vernachlässigbar klein bleiben.
Zeile 479:		Zeile 479:
	W = \frac{\displaystyle I}{\left(\frac{\displaystyle H}{\displaystyle 2}\right)}		W = \frac{\displaystyle I}{\left(\frac{\displaystyle H}{\displaystyle 2}\right)}
	</math>.		</math>.
			Das angefügte Maxima-Skript analysiert diese Biegespannungen - im Vergleich zu den Normalspannungen. Auch hier gibt es keine spektakulären Änderungen zur Kernaussage: solange wir ein klassisches Stabwerk mit schlanken Stäben untersuchen, ist die Approximation durch Gelenke sicher zulässig.

	Die Auslenkungen der Knoten für η=1 sind		Die Auslenkungen der Knoten für η=1 sind
Zeile 497:		Zeile 498:
	\end{array}		\end{array}
	</math>.		</math>.
	Das angefügte Maxima-Skript analysiert zusätzlich noch die Biegespannungen - im Vergleich zu den Normalspannungen. Auch hier gibt es keine spektakulären Änderungen zur Kernaussage: solange wir ein klassisches Stabwerk mit schlanken Stäben untersuchen, ist die Approximation durch Gelenke sicher zulässig.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 11. November 2024 um 20:01 Uhr

2024-11-11T20:01:25Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 11. November 2024 um 19:53 Uhr

2024-11-11T19:53:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2024, 19:53 Uhr
Zeile 323:		Zeile 323:

	Bleibt noch zu klären, ob die Spannungen durch die Biegung im Querschnitt ebenfalls vernachlässigbar klein bleiben.		Bleibt noch zu klären, ob die Spannungen durch die Biegung im Querschnitt ebenfalls vernachlässigbar klein bleiben.
	[[Datei:StaB-04.png\|~~90px~~\|right\|mini\|Doppeltsymmetrische Querschnitte der Stäbe mit ''H > h'' und ''A=H<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>''.]]		[[Datei:StaB-04.png\|200px\|right\|mini\|Doppeltsymmetrische Querschnitte der Stäbe mit ''H > h'' und ''A=H<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>''.]]
	Dazu benötigen wir die Ausdrücke für		Dazu benötigen wir die Ausdrücke für
	::<math>\eta=\frac{\displaystyle (H^4-h^4)}{(H^2-h^2)^2},		::<math>\eta=\frac{\displaystyle (H^4-h^4)}{(H^2-h^2)^2},

Mechaniker am 11. November 2024 um 19:51 Uhr

2024-11-11T19:51:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2024, 19:51 Uhr
Zeile 379:		Zeile 379:
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	'''Links'''		'''Links'''
	* ~~...~~		* [[Gelöste_Aufgaben/StaB\|Gelöste_Aufgaben / StaB]]

	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* ...

Mechaniker am 11. November 2024 um 19:49 Uhr

2024-11-11T19:49:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2024, 19:49 Uhr
Zeile 318:		Zeile 318:
	Wir tragen für alle Stäbe das Verhältnis ''N<sub>i</sub>/S<sub>i</sub>'' auf:		Wir tragen für alle Stäbe das Verhältnis ''N<sub>i</sub>/S<sub>i</sub>'' auf:

	[[Datei:StaB-21.~~PNG~~\|250px\|none\|mini\|Verhältnis der Stab-Längekräfte zwischen "verschweißten" Stäben und gelenkig verbundenen Stäben.]]		[[Datei:StaB-21.png\|250px\|none\|mini\|Verhältnis der Stab-Längekräfte zwischen "verschweißten" Stäben und gelenkig verbundenen Stäben.]]

	Wenn die Biegesteifigkeit der Stäbe klein wird, konvergiert unsere Lösung der Normalkräfte also gegen die einfache Stabwerkslösung.		Wenn die Biegesteifigkeit der Stäbe klein wird, konvergiert unsere Lösung der Normalkräfte also gegen die einfache Stabwerkslösung.

	Bleibt noch zu klären, ob die Spannungen durch die Biegung im Querschnitt ebenfalls vernachlässigbar klein bleiben.		Bleibt noch zu klären, ob die Spannungen durch die Biegung im Querschnitt ebenfalls vernachlässigbar klein bleiben.
			[[Datei:StaB-04.png\|90px\|right\|mini\|Doppeltsymmetrische Querschnitte der Stäbe mit ''H > h'' und ''A=H<sup>2</sup>-h<sup>2</sup>''.]]
	Dazu benötigen wir die Ausdrücke für		Dazu benötigen wir die Ausdrücke für
	::<math>\eta=\frac{\displaystyle (H^4-h^4)}{(H^2-h^2)^2},		::<math>\eta=\frac{\displaystyle (H^4-h^4)}{(H^2-h^2)^2},

Mechaniker am 11. November 2024 um 19:45 Uhr

2024-11-11T19:45:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2024, 19:45 Uhr
Zeile 318:		Zeile 318:
	Wir tragen für alle Stäbe das Verhältnis ''N<sub>i</sub>/S<sub>i</sub>'' auf:		Wir tragen für alle Stäbe das Verhältnis ''N<sub>i</sub>/S<sub>i</sub>'' auf:

	[[Datei:StaB-21.~~png~~\|250px\|none\|mini\|Verhältnis der Stab-Längekräfte zwischen "verschweißten" Stäben und gelenkig verbundenen Stäben.]]		[[Datei:StaB-21.PNG\|250px\|none\|mini\|Verhältnis der Stab-Längekräfte zwischen "verschweißten" Stäben und gelenkig verbundenen Stäben.]]

	Wenn die Biegesteifigkeit der Stäbe klein wird, konvergiert unsere Lösung der Normalkräfte also gegen die einfache Stabwerkslösung.		Wenn die Biegesteifigkeit der Stäbe klein wird, konvergiert unsere Lösung der Normalkräfte also gegen die einfache Stabwerkslösung.

Mechaniker am 11. November 2024 um 19:43 Uhr

2024-11-11T19:43:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2024, 19:43 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	In Knoten ''I'' und ''II'' sind gelenkige Lager. Stäbe 1,2 und 3 sind im Knoten ''III'' verbunden, Stäbe 2 und 4 im Knoten ''II'' und Stäbe 3 und 4 im Knoten ''IV''.		In Knoten ''I'' und ''II'' sind gelenkige Lager. Stäbe 1,2 und 3 sind im Knoten ''III'' verbunden, Stäbe 2 und 4 im Knoten ''II'' und Stäbe 3 und 4 im Knoten ''IV''.

	[[Datei:StaB-03.~~PNG~~\|150px\|left\|mini\|Lokales Koordinatensystem - hier für Stab "''k''"]]		[[Datei:StaB-03.png\|150px\|left\|mini\|Lokales Koordinatensystem - hier für Stab "''k''"]]
	Jeder Stab – hier Stab ''k'' mit den Knoten ''I'' und ''J'' – trägt sein eigenes ''x<sub>k</sub>, z<sub>k</sub>'' – Koordinatensystem und ist im Winkel ''α<sub>k</sub>'' zur Horizontalen eingebaut. Hier sind α<sub>2</sub> = 60° und α<sub>3</sub> = -60° sowie α<sub>1</sub> = 0 und α<sub>4</sub> = 0.		Jeder Stab – hier Stab ''k'' mit den Knoten ''I'' und ''J'' – trägt sein eigenes ''x<sub>k</sub>, z<sub>k</sub>'' – Koordinatensystem und ist im Winkel ''α<sub>k</sub>'' zur Horizontalen eingebaut. Hier sind α<sub>2</sub> = 60° und α<sub>3</sub> = -60° sowie α<sub>1</sub> = 0 und α<sub>4</sub> = 0.

Zeile 65:		Zeile 65:

	Für Stab 3 sieht dies folgendermaßen aus:		Für Stab 3 sieht dies folgendermaßen aus:
	[[Datei:~~TkPb~~-01.~~png~~\|~~100px~~\|none\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-13.PNG\|250px\|none\|mini\|Lokale Koordinaten der Verformung ''u(x)''und ''w(x)''.]]

	Die Differentialbeziehungen des Gleichgewichts in ''u'' und ''w'' sowie deren Lösungen für unsere Stäbe sind		Die Differentialbeziehungen des Gleichgewichts in ''u'' und ''w'' sowie deren Lösungen für unsere Stäbe sind
Zeile 110:		Zeile 110:

	Diese Schnittgrößen jeweils am positiven und negativen Schnittufer sind hier dargestellt:		Diese Schnittgrößen jeweils am positiven und negativen Schnittufer sind hier dargestellt:
	[[Datei:~~TkPb~~-01.~~png~~\|~~100px~~\|none\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-17.PNG\|250px\|none\|mini\|Schnittlasten am Stab.]]

	\|code=		\|code=
Zeile 130:		Zeile 130:
	Die Verdrehungen der Knoten an den Enden sind in unserem 2D-System natürlich für jeden Stab gleich - wir führen den Index ''k'' hier nur ein, damit wir eine gleiche Nomenklatur für alle Koordinaten haben.		Die Verdrehungen der Knoten an den Enden sind in unserem 2D-System natürlich für jeden Stab gleich - wir führen den Index ''k'' hier nur ein, damit wir eine gleiche Nomenklatur für alle Koordinaten haben.

	[[Datei:~~TkPb~~-01.~~png~~\|~~100px~~\|right\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-06.PNG\|120px\|right\|mini\|Referenz- oder "0"-Koordinatensystem.]]
	Damit diese Koordinaten miteinander verträglich sind, führen wir ein Referenzsystem „0“ mit den entsprechenden Koordinaten der Auslenkung in horizontale und vertikale Richtung ein:		Damit diese Koordinaten miteinander verträglich sind, führen wir ein Referenzsystem „0“ mit den entsprechenden Koordinaten der Auslenkung in horizontale und vertikale Richtung ein:

	[[Datei:~~TkPb~~-01.~~png~~\|~~100px~~\|left\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-15.PNG\|150px\|left\|mini\|Umrechnen zwischen den lokalen (Stab-) Koordinaten und dem globalen ("0"-) Koordinantensystem.]]
	Diese verschiedenen Koordinatensysteme müssen wir ineinander umrechnen. Das können wir anschaulich tun – wie hier im Beispiel für Knoten III und Stab 3 und finden		Diese verschiedenen Koordinatensysteme müssen wir ineinander umrechnen. Das können wir anschaulich tun – wie hier im Beispiel für Knoten III und Stab 3 und finden
	::<math>{U_{3,3}}=\frac{\sqrt{3} {W_{3,0}}}{2}+\frac{{U_{3,0}}}{2},{W_{3,3}}=\frac{{W_{3,0}}}{2}-\frac{\sqrt{3} {U_{3,0}}}{2}</math>		::<math>{U_{3,3}}=\frac{\sqrt{3} {W_{3,0}}}{2}+\frac{{U_{3,0}}}{2},{W_{3,3}}=\frac{{W_{3,0}}}{2}-\frac{\sqrt{3} {U_{3,0}}}{2}</math>
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	Es fehlen noch die Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte. Wir erhalten für jeden Knoten – außer denen der Lager – zwei Kraft- und ein Momentengleichgewicht. Für die Lager-Knoten können wir nur die Momentengleichgewichte anschreiben – ohne neue Unbekannte für die Lager-Reaktionskräfte einzufügen.		Es fehlen noch die Gleichgewichtsbedingungen für die Knotenpunkte. Wir erhalten für jeden Knoten – außer denen der Lager – zwei Kraft- und ein Momentengleichgewicht. Für die Lager-Knoten können wir nur die Momentengleichgewichte anschreiben – ohne neue Unbekannte für die Lager-Reaktionskräfte einzufügen.

	[[Datei:~~TkPb~~-01.~~png~~\|~~100px~~\|none\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-18-2.PNG\|150px\|none\|mini\|Kräftegleichgewicht am Knoten.]]

	Die Schnittbilder je Knoten erhalten wir, indem wir die Schnittgrößen an den entsprechenden Schnittufern anzeichnen und dann die Gleichgewichtsbedingungen je Knoten ansetzen.		Die Schnittbilder je Knoten erhalten wir, indem wir die Schnittgrößen an den entsprechenden Schnittufern anzeichnen und dann die Gleichgewichtsbedingungen je Knoten ansetzen.
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	Wir tragen für alle Stäbe das Verhältnis ''N<sub>i</sub>/S<sub>i</sub>'' auf:		Wir tragen für alle Stäbe das Verhältnis ''N<sub>i</sub>/S<sub>i</sub>'' auf:

	[[Datei:~~TkPb~~-01.png\|~~100px~~\|none\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-21.png\|250px\|none\|mini\|Verhältnis der Stab-Längekräfte zwischen "verschweißten" Stäben und gelenkig verbundenen Stäben.]]

	Wenn die Biegesteifigkeit der Stäbe klein wird, konvergiert unsere Lösung der Normalkräfte also gegen die einfache Stabwerkslösung.		Wenn die Biegesteifigkeit der Stäbe klein wird, konvergiert unsere Lösung der Normalkräfte also gegen die einfache Stabwerkslösung.

Mechaniker am 11. November 2024 um 19:27 Uhr

2024-11-11T19:27:44Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:StaB-01.~~png~~\|~~100px~~\|left\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-01.PNG\|120px\|left\|mini\|Stabwerk mit fest verbundenen Stäben.]]
	Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die analytische Lösung der Felddifferentialgleichung.		Gesucht ist ein Vergleich zwischen der klassischen Stabwerkstheorie und einer Herangehensweise, bei der wir eine feste Verbindung der Stäbe in den Knoten ansetzten. Grundlage des Modells ist die analytische Lösung der Felddifferentialgleichung.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

	[[Datei:StaB-02.~~png~~\|~~100px~~\|right\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-02.PNG\|150px\|right\|mini\|Modellierung in der klassischen Stabwerkstheorie - nur mit Stab-Längskraften]]
	In der klassischen Stabwerkstheorie (rechts) werden nur die Stab-Längskräfte berücksichtigt – das Ersatzmodell bildet die Verbindungen der Stäbe durch Gelenke ab. Trotzdem wurden die Stäbe in der Ausführung mit Knotenblechen vernietet oder verschweißt – von Gelenk also keine Spur.		In der klassischen Stabwerkstheorie (rechts) werden nur die Stab-Längskräfte berücksichtigt – das Ersatzmodell bildet die Verbindungen der Stäbe durch Gelenke ab. Trotzdem wurden die Stäbe in der Ausführung mit Knotenblechen vernietet oder verschweißt – von Gelenk also keine Spur.

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	{{MyCodeBlock\|title=Declarations		{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=		\|text=
	[[Datei:~~TkPb~~-01.~~png~~\|~~100px~~\|right\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-05.PNG\|120px\|right\|mini\|Knoten- und Stab-Nummern]]
	Wir beginnen mit der Einführung von passenden Bezeichnungen für unser System:		Wir beginnen mit der Einführung von passenden Bezeichnungen für unser System:

	In Knoten ''I'' und ''II'' sind gelenkige Lager. Stäbe 1,2 und 3 sind im Knoten ''III'' verbunden, Stäbe 2 und 4 im Knoten ''II'' und Stäbe 3 und 4 im Knoten ''IV''.		In Knoten ''I'' und ''II'' sind gelenkige Lager. Stäbe 1,2 und 3 sind im Knoten ''III'' verbunden, Stäbe 2 und 4 im Knoten ''II'' und Stäbe 3 und 4 im Knoten ''IV''.

	[[Datei:~~TkPb~~-01.~~png~~\|~~100px~~\|left\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:StaB-03.PNG\|150px\|left\|mini\|Lokales Koordinatensystem - hier für Stab "''k''"]]
	Jeder Stab – hier Stab ''k'' mit den Knoten ''I'' und ''J'' – trägt sein eigenes ''x<sub>k</sub>, z<sub>k</sub>'' – Koordinatensystem und ist im Winkel ''α<sub>k</sub>'' zur Horizontalen eingebaut. Hier sind α<sub>2</sub> = 60° und α<sub>3</sub> = -60° sowie α<sub>1</sub> = 0 und α<sub>4</sub> = 0.		Jeder Stab – hier Stab ''k'' mit den Knoten ''I'' und ''J'' – trägt sein eigenes ''x<sub>k</sub>, z<sub>k</sub>'' – Koordinatensystem und ist im Winkel ''α<sub>k</sub>'' zur Horizontalen eingebaut. Hier sind α<sub>2</sub> = 60° und α<sub>3</sub> = -60° sowie α<sub>1</sub> = 0 und α<sub>4</sub> = 0.