Gelöste Aufgaben/SKEB - Versionsgeschichte

Mechaniker am 3. April 2021 um 19:19 Uhr

2021-04-03T19:19:17Z

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	'''Links'''		'''Links'''
	*~~...~~		* Schwingungen von Kontinua eines Dehnstabes ([[Gelöste Aufgaben/SKER\|SKER]])

	'''Literature'''		'''Literature'''
	*...		*...

Mechaniker am 2. April 2021 um 15:26 Uhr

2021-04-02T15:26:41Z

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	{{MyCodeBlock\|title=Equations of Motion		{{MyCodeBlock\|title=Equations of Motion
	\|text=		\|text=
	In der Gleichgewichtsbeziehung für den Euler-Bernoulli-Balken setzen wir als eingeprägte, äußere Streckenlast ''q(x,t)'' die [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'sche Trägheitskraft]] und die Gewichtskraft an, also		In der Gleichgewichtsbeziehung für den [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] setzen wir als eingeprägte, äußere Streckenlast ''q(x,t)'' die [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'sche Trägheitskraft]] und die Gewichtskraft an, also

	::<math>q(x,t) = \varrho\;A\cdot g -\varrho\;A\cdot \ddot{w}(x,t)</math>		::<math>q(x,t) = \varrho\;A\cdot g -\varrho\;A\cdot \ddot{w}(x,t)</math>
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	die partikulare Lösung		die partikulare Lösung

	::<math>\displaystyle E\,I\,{w}_p\left( x\right) =A\,g\,\varrho \,\ell^4 \cdot\left(\frac{{{\xi}^{4}}}{24}-\frac{{{\xi}^{3}}}{6}+\frac{{{\xi}^{2}}}{4}\right)</math>.[[Datei:UEBE-11.png\|mini\|Statische Auslenkung]]Die maximale Auslenkung - am rechten Rand - nutzen wir als Bezugslänge		::<math>\displaystyle E\,I\,{w}_p\left( x\right) =A\,g\,\varrho \,\ell^4 \cdot\left(\frac{{{\xi}^{4}}}{24}-\frac{{{\xi}^{3}}}{6}+\frac{{{\xi}^{2}}}{4}\right)</math>.

			[[Datei:UEBE-11.png\|mini\|Statische Auslenkung]]Die maximale Auslenkung - am rechten Rand - nutzen wir als Bezugslänge

	::<math>\displaystyle {{w}_{s}}=\frac{{{\ell}^{4}}\,A\,g\,\rho}{8\,E\,I}</math>		::<math>\displaystyle {{w}_{s}}=\frac{{{\ell}^{4}}\,A\,g\,\rho}{8\,E\,I}</math>
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	Nur die erste Modalform liefert einen signifikanten Beitrag bei der Anpassung an die Anfangsbedingungen, wir nehmen bei der Auftragung der Gesamtlösung ''w<sub>t</sub>(x,t)'' trotzdem die ersten sechs Modalformen mit:		Nur die erste Modalform liefert einen signifikanten Beitrag bei der Anpassung an die Anfangsbedingungen, wir nehmen bei der Auftragung der Gesamtlösung ''w<sub>t</sub>(x,t)'' trotzdem die ersten sechs Modalformen mit:

	[[Datei:UEBE-initial-value-solution-animation.gif\|mini\|Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.]]In der Animation sehen Sie das Loslassen des Stabes aus der unverformten, geraden Referenzlage für genau eine Periodenlänge ''T<sub>1</sub>'' der ersten Modalform. Allerdings ist die Schwingung, die entsteht, nicht ''T<sub>1</sub>''-periodisch - die anderen Modalformen leisten einen (kleinen) Beitrag, dessen Schwingungsperiode kein Vielfaches der Grundschwingung ist. Das sehen sie an dem kleinen "Ruck" in der Darstellung der Lösung, wenn nach der Dauer ''T<sub>1</sub>'' der Grundschwingung wieder die Anfangslage eingeblendet wird.		[[Datei:UEBE-initial-value-solution-animation.gif\|mini\|Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.\|ohne]]
			In der Animation sehen Sie das Loslassen des Stabes aus der unverformten, geraden Referenzlage für genau eine Periodenlänge ''T<sub>1</sub>'' der ersten Modalform. Allerdings ist die Schwingung, die entsteht, nicht ''T<sub>1</sub>''-periodisch - die anderen Modalformen leisten einen (kleinen) Beitrag, dessen Schwingungsperiode kein Vielfaches der Grundschwingung ist. Das sehen sie an dem kleinen "Ruck" in der Darstellung der Lösung, wenn nach der Dauer ''T<sub>1</sub>'' der Grundschwingung wieder die Anfangslage eingeblendet wird.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 2. April 2021 um 15:18 Uhr

2021-04-02T15:18:13Z

Änderungen zeigen

Mechaniker: /* tmp */

2021-04-02T15:04:49Z

tmp

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	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

			{{MyTip
			\|title=Saiteninstruente
			\|text=
			Bei Saiteninstrumenten möchte man Biegeschwingungen der Saiten verhindern. Darum sind besonders die Saiten, die eine hohe Massebelegung brauchen, um in niedrigen Frequenzen zu schwingen, besondere Konstruktionen. Dabei wird oft ein Draht um die eigentliche Saite gewickelt. Können Sie aus diesen Untersuchungen erkennen, was das Ziel dieser Konstruktion ist?
			}}


	<table class="wikitable" style="background-color:white;">		<table class="wikitable" style="background-color:white;">
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	<tr>		<tr>
	<td>'''#1'''<br /><math>\displaystyle \omega_{0,1} = 1\cdot \frac{2 \pi}{T}</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-1-animated.gif\|rahmenlos]]</td>		<td>'''#1'''<br /><math>\displaystyle \omega_{0,1} = 1\cdot \frac{2 \pi}{T}</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-1-animated.gif\|rahmenlos]]</td>
	<td></td><td></td></tr>		<td>'''#2'''<br /><math>\displaystyle \omega_{0,2} = 6.27\cdot \frac{2 \pi}{T}</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-2-animated.gif\|rahmenlos]]</td>
			</tr>
			<tr>
			<td>'''#3'''<br /><math>\displaystyle \omega_{0,3} = 17.5\cdot \frac{2 \pi}{T}</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-3-animated.gif\|rahmenlos]]</td>
			<td>'''#4'''<br /><math>\displaystyle \omega_{0,4} = 34.4\cdot \frac{2 \pi}{T}</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-4-animated.gif\|rahmenlos]]</td>
			</tr>
			<tr>
			<td>'''#5'''<br /><math>\displaystyle \omega_{0,5} = 56.8\cdot \frac{2 \pi}{T}</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-5-animated.gif\|rahmenlos]]</td>
			<td>'''#6'''<br /><math>\displaystyle \omega_{0,6} = 84.9\cdot \frac{2 \pi}{T}</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-6-animated.gif\|rahmenlos]]</td>
			</tr>
	</table>		</table>

	~~{{MyTip~~
	~~\|title=Saiteninstruente~~
	~~\|text=~~
	Bei Saiteninstrumenten möchte man Biegeschwingungen der Saiten verhindern. Darum sind besonders die Saiten, die eine hohe Massebelegung brauchen, um in niedrigen Frequenzen zu schwingen, besondere Konstruktionen. Dabei wird oft ein Draht um die eigentliche Saite gewickelt. Können Sie aus diesen Untersuchungen erkennen, was das Ziel dieser Konstruktion ist?
	}}

	<hr />		<hr />

Mechaniker am 2. April 2021 um 14:58 Uhr

2021-04-02T14:58:47Z

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	<math>\cos(\alpha)\cdot\cosh(\alpha)+1\stackrel{!}{=}0</math>		<math>\cos(\alpha)\cdot\cosh(\alpha)+1\stackrel{!}{=}0</math>

	und beide Anteile auftragen. So wird klar, dass die beiden Funktionen sich wegen der Periodizität der cos-Funktion unendlich oft schneiden - es also unendlich viele Nullstellen gibt:[[Datei:UEBE-21.png\|mini\|Nullstellensuche (Ausschnitt)\|alternativtext=\|ohne]][[Datei:UEBE-24.png\|mini\|Nullstellensuche\|alternativtext=\|ohne]]Analytisch finden wir keine Lösungen dieser charakteristischen Gleichung - wir müssen sie numerisch bestimmen – hier mit der Maxima-Funktion "find_root". Die ersten (positiven) Lösungen sind		und beide Anteile auftragen. So wird klar, dass die beiden Funktionen sich wegen der Periodizität der cos-Funktion unendlich oft schneiden - es also unendlich viele Nullstellen gibt:

			<table class="wikitable" style="background-color:white;">
			<tr>
			<td>[[Datei:UEBE-21.png\|mini\|Nullstellensuche (Ausschnitt)\|alternativtext=\|ohne]]</td>
			<td>[[Datei:UEBE-24.png\|mini\|Nullstellensuche\|alternativtext=\|ohne]]</td>
			</tr>
			</table>

			Analytisch finden wir keine Lösungen dieser charakteristischen Gleichung - wir müssen sie numerisch bestimmen – hier mit der Maxima-Funktion "find_root". Die ersten (positiven) Lösungen sind

	<math>\begin{array}{l}\alpha_1=1.875104068711961,\\ \alpha_2=4.694091132974175,\\ \alpha_3=7.854757438237613,\\ \alpha_4=10.99554073487547,\\\alpha_5=14.13716839104647,\\\alpha_6=17.27875953208824\end{array}</math>.		<math>\begin{array}{l}\alpha_1=1.875104068711961,\\ \alpha_2=4.694091132974175,\\ \alpha_3=7.854757438237613,\\ \alpha_4=10.99554073487547,\\\alpha_5=14.13716839104647,\\\alpha_6=17.27875953208824\end{array}</math>.
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	<th>Mode</th><th>Modalform ϕ<sub>j</sub></th></tr>		<th>Mode</th><th>Modalform ϕ<sub>j</sub></th></tr>
	<tr>		<tr>
	<td>'''#1'''<br /><math>\~~omega~~</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-1-animated.gif\|rahmenlos]]</td>		<td>'''#1'''<br /><math>\displaystyle \omega_{0,1} = 1\cdot \frac{2 \pi}{T}</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-1-animated.gif\|rahmenlos]]</td>
	<td></td><td></td></tr>		<td></td><td></td></tr>
	</table>		</table>

			{{MyTip
			\|title=Saiteninstruente
			\|text=
			Bei Saiteninstrumenten möchte man Biegeschwingungen der Saiten verhindern. Darum sind besonders die Saiten, die eine hohe Massebelegung brauchen, um in niedrigen Frequenzen zu schwingen, besondere Konstruktionen. Dabei wird oft ein Draht um die eigentliche Saite gewickelt. Können Sie aus diesen Untersuchungen erkennen, was das Ziel dieser Konstruktion ist?
			}}

	<hr />		<hr />
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	[[Datei:UEBE-mode-6-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-5-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-4-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-3-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-2-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-1-animated.gif\|rahmenlos]]		[[Datei:UEBE-mode-6-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-5-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-4-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-3-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-2-animated.gif\|rahmenlos]][[Datei:UEBE-mode-1-animated.gif\|rahmenlos]]
	[[Datei:UEBE-initial-value-solution-animation.gif\|mini\|Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.]]		[[Datei:UEBE-initial-value-solution-animation.gif\|mini\|Animation: Loslassen des Systems aus der unverformten Rugelage.]]


	[[Datei:UEBE-31.png\|mini\|Modalformen]]		[[Datei:UEBE-31.png\|mini\|Modalformen]]
	[[Datei:UEBE-24.png\|mini\|Nullstellensuche]]		[[Datei:UEBE-24.png\|mini\|Nullstellensuche]]

Mechaniker am 2. April 2021 um 14:46 Uhr

2021-04-02T14:46:01Z

Änderungen zeigen

Mechaniker: /* tmp */

2021-04-02T14:17:00Z

tmp

@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
 +1
-</syntaxhighlight
+</syntaxhighlight>
 }}

Mechaniker am 2. April 2021 um 14:14 Uhr

2021-04-02T14:14:54Z

@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 +1
 </syntaxhighlight
 }}

Mechaniker am 2. April 2021 um 14:09 Uhr

2021-04-02T14:09:43Z

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	setzt sich dann aus zwei Lösungsanteilen, der partikularen Lösung ''w<sub>p</sub>'' und der homogenen Lösung ''w<sub>h</sub>'', zusammen; wir schreiben		setzt sich dann aus zwei Lösungsanteilen, der partikularen Lösung ''w<sub>p</sub>'' und der homogenen Lösung ''w<sub>h</sub>'', zusammen; wir schreiben

	<math>w_t(x,t) = w_p(x,t) + w_h(x,t) </math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->		<math>w_t(x,t) = w_p(x,t) + w_h(x,t) </math>.
			<!-------------------------------------------------------------------------------->


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	<math>\displaystyle {{w}_{s}}=\frac{{{\ell}^{4}}\,A\,g\,\rho}{8\,E\,I}</math>		<math>\displaystyle {{w}_{s}}=\frac{{{\ell}^{4}}\,A\,g\,\rho}{8\,E\,I}</math>

	Und so sieht ''w<sub>p</sub>'' aus:~~<!-------------------------------------------------------------------------------->~~		Und so sieht ''w<sub>p</sub>'' aus:

			<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Particular Solution		{{MyCodeBlock\|title=Particular Solution

Mechaniker am 2. April 2021 um 14:05 Uhr

2021-04-02T14:05:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. April 2021, 14:05 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:

	==tmp==		==tmp==
			Für die mathematische Behandlung - insbesondere der Auflösung quadratischer Gleichungen - setzen wir in Maxima voraus, dass

			<math>E > 0,\;\;\;I>0,\;\;\;\ell_0>0,\;\;\;\varrho>0;</math>.
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Header		{{MyCodeBlock\|title=Header
Zeile 33:		Zeile 35:
	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		In der Gleichgewichtsbeziehung für den Euler-Bernoulli-Balken setzen wir als eingeprägte, äußere Streckenlast ''q(x,t)'' die [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'sche Trägheitskraft]] und die Gewichtskraft an, also

			<math>q(x,t) = \varrho\;A\cdot g -\varrho\;A\cdot \ddot{w}(x,t)</math>

			Die Lösung der linearen, partielle Bewegungsgleichung

			<math>\varrho\,A\cdot\ddot{w}+E\,I\cdot{w}^{IV} = \varrho\,A\cdot g</math>

			setzt sich dann aus zwei Lösungsanteilen, der partikularen Lösung ''w<sub>p</sub>'' und der homogenen Lösung ''w<sub>h</sub>'', zusammen; wir schreiben

			<math>w_t(x,t) = w_p(x,t) + w_h(x,t) </math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->


	{{MyCodeBlock\|title=Equations of Motion		{{MyCodeBlock\|title=Equations of Motion
	\|text=Text		\|text=Text
Zeile 44:		Zeile 58:
	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Die partikulare Lösung ''w<sub>p</sub>'' erfüllt die "rechte Seite" der Bewegungsgleichung, also ''ϱ A⋅g'':

			<math>E\,I\cdot{w}_p^{IV} = \varrho\,A\cdot g</math>.

			Die rechte Seite ist zeit-unveränderlich - so auch die partikulare Lösung.

			Wir integrieren die Bewegungsgleichung vier Mal und erhalten

			<math>\displaystyle E\,I\,w\left( x,t\right) =\frac{A\,g\,\rho{{x}^{4}}}{24}+{{C}_{3}}\,\frac{{{x}^{3}}}{6}+{{C}_{2}}\,\frac{{{x}^{2}}}{2}+{{C}_{1}}\,x+{{C}_{0}}</math>.

			Die vier Integrationskonstanten ''C<sub>i</sub>'' müssen wir nun an die Randbedingungen

			<math>\begin{array}{rl}w_p(0)&=0\\w_p'(0)&=0\\E\,I\,w_p''(\ell)&=0\\E\,I\,w_p'''(\ell)&=0\end{array}</math>

			anpassen, wir erhalten mit dem linearen Gleichungssystem

			<math>\begin{array}{l}0 = {{C}_{0}}\\ 0={{C}_{1}}\\ 0=\frac{{{\ell}_{0}^{2}}Ag\rho}{2}+{{\ell}_{0}}\,{{C}_{3}}+{{C}_{2}}\\ 0={{\ell}_{0}}Ag\rho+{{C}_{3}}\end{array}</math>

			die partikulare Lösung

			<math>\displaystyle E\,I\,{w}_p\left( x\right) =A\,g\,\varrho \,\ell^4 \cdot\left(\frac{{{\xi}^{4}}}{24}-\frac{{{\xi}^{3}}}{6}+\frac{{{\xi}^{2}}}{4}\right)</math>.[[Datei:UEBE-11.png\|mini\|Statische Auslenkung]]Die maximale Auslenkung - am rechten Rand - nutzen wir als Bezugslänge

			<math>\displaystyle {{w}_{s}}=\frac{{{\ell}^{4}}\,A\,g\,\rho}{8\,E\,I}</math>

			Und so sieht ''w<sub>p</sub>'' aus:<!-------------------------------------------------------------------------------->


	{{MyCodeBlock\|title=Particular Solution		{{MyCodeBlock\|title=Particular Solution
	\|text=Text		\|text=Text
Zeile 80:		Zeile 120:
	<th>Mode</th><th>Modalform ϕ<sub>j</sub></th></tr>		<th>Mode</th><th>Modalform ϕ<sub>j</sub></th></tr>
	<tr>		<tr>
	<td>'''#1'''<br/><math>\omega</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-1-animated.gif\|rahmenlos]]</td>		<td>'''#1'''<br /><math>\omega</math></td><td>[[Datei:UEBE-mode-1-animated.gif\|rahmenlos]]</td>
	<td></td><td></td></tr>		<td></td><td></td></tr>
	</table>		</table>


	<hr/>		<hr />
	'''Links'''		'''Links'''
	* ...		*...

	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		*...


Zeile 101:		Zeile 141:
	[[Datei:UEBE-21.png\|mini\|Nullstellensuche (Ausschnitt)]]		[[Datei:UEBE-21.png\|mini\|Nullstellensuche (Ausschnitt)]]
	[[Datei:UEBE-23.png\|mini\|XXX]]		[[Datei:UEBE-23.png\|mini\|XXX]]
	~~[[Datei:UEBE-11.png\|mini\|Statische Auslenkung]]~~