Gelöste Aufgaben/PvV2 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 2. April 2021 um 13:37 Uhr

2021-04-02T13:37:40Z

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	Im Unterschied zu einem Kräftegleichgewicht fallen hier alle Lager-Reaktionskräfte herus: in A und B verschwindet nämlich das Skalarprodukt des virtuellen Verschiebungsvektors mit den Normalkräften auf die Wände - sie stehen senkrecht aufeinander. Im Vergleich zu PvV1 müssen wir allerdings die virtuelle Formänderungsenergie ''δΠ'' berücksichtigen:		Im Unterschied zu einem Kräftegleichgewicht fallen hier alle Lager-Reaktionskräfte herus: in A und B verschwindet nämlich das Skalarprodukt des virtuellen Verschiebungsvektors mit den Normalkräften auf die Wände - sie stehen senkrecht aufeinander. Im Vergleich zu PvV1 müssen wir allerdings die virtuelle Formänderungsenergie ''δΠ'' berücksichtigen:

	::<math>\begin{array}{rl}\delta W &= \delta W^a -\delta\Pi \\&= -F\cdot \delta u - \displaystyle \frac{EA}{~~l_0~~}\cdot\Delta \ell\cdot \delta \ell \\ &\stackrel{!}{=}0 \end{array}</math>		::<math>\begin{array}{rl}\delta W &= \delta W^a -\delta\Pi \\&= -F\cdot \delta u - \displaystyle \frac{EA}{\ell_0}\cdot\Delta \ell\cdot \delta \ell \\ &\stackrel{!}{=}0 \end{array}</math>
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 1. April 2021 um 13:25 Uhr

2021-04-01T13:25:47Z

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	}}		}}

	[[Datei:PvV2-22.png\|mini\|Vergleich von linearer und nichtlinearer Lösung]]Ein wenig einfacher wird es, wenn wir kleine Auslenkungen ''u<sub>2</sub>'' um die entspannte Lage des Stabes herum betrachten also<blockquote><blockquote><math>u_1 = u_0+u_2</math></blockquote></blockquote>Dann dürfen wir die kinematischen Beziehungen linearisieren, also<blockquote><blockquote><math>\begin{array}{l}\mathit{\Delta \ell}=\displaystyle \frac{{{u}_{2}}}{\sqrt{5}},\\\mathit{\delta \ell}=\displaystyle \frac{\mathit{\delta u}}{\sqrt{5}}\end{array}</math></blockquote></blockquote>und erhalten damit		<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Linearisieren der Lösung
			\|text=
			[[Datei:PvV2-22.png\|mini\|Vergleich von linearer und nichtlinearer Lösung]]Ein wenig einfacher wird es, wenn wir kleine Auslenkungen ''u<sub>2</sub>'' um die entspannte Lage des Stabes herum betrachten also<blockquote><blockquote><math>u_1 = u_0+u_2</math></blockquote></blockquote>Dann dürfen wir die kinematischen Beziehungen linearisieren, also

	<math>\~~displaystyle -F\cdot~~ \mathit{\~~delta u~~}-\frac{{{u}_{2}}\~~cdot~~ \mathit{EA}\~~cdot~~ \mathit{\delta u}}{{{5~~}^{\frac{3}{2}~~}}\~~cdot {~~{u}~~_{0}}}=0~~</math>		::<math>\begin{array}{l}\mathit{\Delta \ell}=\displaystyle \frac{{{u}_{2}}}{\sqrt{5}},\\\mathit{\delta \ell}=\displaystyle \frac{\mathit{\delta u}}{\sqrt{5}}\end{array}</math>

	~~Diesen Zusammenhang können wir als lineare Approximation in das Ergebnis oben eintragen:<!-------------------------------------------------------------------------------->~~		und erhalten damit

	{{~~MyCodeBlock\|title~~=~~Linearisieren der Lösung~~		::<math>\displaystyle -F\cdot \mathit{\delta u}-\frac{{{u}_{2}}\cdot \mathit{EA}\cdot \mathit{\delta u}}{{{5}^{\frac{3}{2}}}\cdot {{u}_{0}}}=0</math>
	~~\|text=Text~~
			Diesen Zusammenhang können wir als lineare Approximation in das Ergebnis oben eintragen:
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 1. April 2021 um 13:24 Uhr

2021-04-01T13:24:27Z

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	}}		}}

	[[Datei:PvV2-22.png\|mini\|Vergleich von linearer und nichtlinearer Lösung]]Ein wenig einfacher wird es, wenn wir kleine Auslenkungen ''u<sub>2</sub>'' um die entspannte Lage des Stabes herum betrachten also		[[Datei:PvV2-22.png\|mini\|Vergleich von linearer und nichtlinearer Lösung]]Ein wenig einfacher wird es, wenn wir kleine Auslenkungen ''u<sub>2</sub>'' um die entspannte Lage des Stabes herum betrachten also<blockquote><blockquote><math>u_1 = u_0+u_2</math></blockquote></blockquote>Dann dürfen wir die kinematischen Beziehungen linearisieren, also<blockquote><blockquote><math>\begin{array}{l}\mathit{\Delta \ell}=\displaystyle \frac{{{u}_{2}}}{\sqrt{5}},\\\mathit{\delta \ell}=\displaystyle \frac{\mathit{\delta u}}{\sqrt{5}}\end{array}</math></blockquote></blockquote>und erhalten damit

	~~Dann dürfen wir die kinematischen Beziehungen linearisieren, also~~		<math>\displaystyle -F\cdot \mathit{\delta u}-\frac{{{u}_{2}}\cdot \mathit{EA}\cdot \mathit{\delta u}}{{{5}^{\frac{3}{2}}}\cdot {{u}_{0}}}=0</math>

	~~und erhalten damit~~

	Diesen Zusammenhang können wir als lineare Approximation in das Ergebnis oben eintragen:<!-------------------------------------------------------------------------------->		Diesen Zusammenhang können wir als lineare Approximation in das Ergebnis oben eintragen:<!-------------------------------------------------------------------------------->
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	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1		/* postprocess: linearize solution */
			lindisp: subst([u[1]=u[0]+u[2]],subst(ref,disp[1]));
			lindisp: subst([u[2]=0],lindisp)+subst([u[2]=0],diff(lindisp,u[2]))*u[2];
			lindisp: subst(params,lindisp);
			lindisp: [lindisp, subst([Δl=δl, u[2]=δu],lindisp)];
			equ : subst(params,subst(ref,subst(subst(lindisp,[PvV[2],PvV[3]]),PvV[1])));
			equ: expand(subst(equ,δW))=0;
			sol[2]: solve(equ,F)[1];

			plot2d([[parametric, t, subst([nu=t],subst(sol[1],F/EA)),[t,0,1]],
			[parametric, 1+t, subst([u[2]=t*u[0]],subst(sol[2],F/EA)),[t,-1/4,0]]],
			[legend,"nonlinear", "linear approximation"],
			[xlabel, "u1/u0, (u2+u0)u0 →"], [ylabel, "F/EA →"]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	~~<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;~~
	">
	~~<tr><th></th><th></th></tr>~~
	~~<tr><td></td><td></td></tr>~~
	~~</table>~~

	<hr/>		<hr/>

Mechaniker am 1. April 2021 um 13:22 Uhr

2021-04-01T13:22:03Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 1. April 2021 um 13:12 Uhr

2021-04-01T13:12:00Z

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 Ein elastischer Stab (Dehnsteifigkeit ''EA,'' Länge ''ℓ<sub>0</sub>'') ist bei ''A'' eingekeilt und steht bei ''B'' auf einer reibungsfreien Rolle.
 <onlyinclude>
-[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png|100px|left|mini|Caption]]
+[[Datei:PvV2-01.png|alternativtext=|links|mini|183x183px|Lageplan]]
-Gesucht ist Kraft ''F'' auf das Stabende als Funktion der horizontalen Verschiebung von Punkt B mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.
+Gesucht ist die Kraft ''F'' auf das Stabende als Funktion der horizontalen Verschiebung von Punkt B mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.</onlyinclude>
 </onlyinclude>
 In der gezeichneten Ausgangslage ist der Stab spannungsfrei.
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 ==tmp==
 {{MyCodeBlock|title=Lageplan
 |text=Text
@@ Zeile 42: / Zeile 43: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Über den Satz des Pythagoras bekommen wir einen Zusammenhang zwischen der Verschiebung ''u<sub>1</sub>'' und der Stablängung ''Δℓ'':
 {{MyCodeBlock|title=Kinematik
 |text=Text
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 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+In das Gleichgewicht gehen alle Arbeiten am System ein.
 {{MyCodeBlock|title=Gleichgewicht
 |text=Text
@@ Zeile 64: / Zeile 85: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Mit der Gleichung oben haben wir genau eine Gleichung für ''F'' - das passt!.
 {{MyCodeBlock|title=Gleichungen und Unbekannte
 |text=Text
@@ Zeile 72: / Zeile 101: @@
 </syntaxhighlight>
 }}
 ==tmp==
 {{MyCodeBlock|title=Ausdeuten der nichtlinearen Lösung
 |text=Text
@@ Zeile 85: / Zeile 133: @@
 ==tmp==
 {{MyCodeBlock|title=Linearisieren der Lösung
 |text=Text
@@ Zeile 100: / Zeile 154: @@
 <tr><td></td><td></td></tr>
 </table>
 <hr/>

Mechaniker am 1. April 2021 um 12:58 Uhr

2021-04-01T12:58:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. April 2021, 12:58 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:

	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	Hier setzen wir unsere Untersuchung aus [[Gelöste Aufgaben/PvV1\|PvV1]] fort: nun bauen wir eine elastische "Leiter" ein, die durch die Kraft ''F'' gestaucht wird.		Hier setzen wir unsere Untersuchung aus [[Gelöste Aufgaben/PvV1\|PvV1]] fort: nun bauen wir eine elastische "Leiter" ein, die durch die Kraft ''F'' gestaucht wird. Die Problemstellung lautet:

			Ein elastischer Stab (Dehnsteifigkeit ''EA,'' Länge ''ℓ<sub>0</sub>'') ist bei ''A'' eingekeilt und steht bei ''B'' auf einer reibungsfreien Rolle.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]		[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]
	Gesucht ist ~~"SOME EXPLANATION"~~		Gesucht ist Kraft ''F'' auf das Stabende als Funktion der horizontalen Verschiebung von Punkt B mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
			In der gezeichneten Ausgangslage ist der Stab spannungsfrei.

	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==
Zeile 97:		Zeile 100:
	<tr><td></td><td></td></tr>		<tr><td></td><td></td></tr>
	</table>		</table>

			[[Datei:PvV2-01.png\|mini\|Lageplan]]
			[[Datei:PvV2-11.png\|mini\|Koordinaten]]
			[[Datei:PvV2-21.png\|mini\|Stabkraft ''F'']]
			[[Datei:PvV2-22.png\|mini\|Verlgleich von linearer und nichtlinearer Lösung]]

Mechaniker am 1. April 2021 um 12:53 Uhr

2021-04-01T12:53:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. April 2021, 12:53 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	h		[[Category:Gelöste Aufgaben]]
			[[Category:Analytische Lösung]]
			[[Category:Prinzip der virtuellen Verrückungen]]
			[[Category:Formänderungsenergie]]
			[[Category:Stab]]
			[[Category:Maxima‎]]

			==Aufgabenstellung==
			Hier setzen wir unsere Untersuchung aus [[Gelöste Aufgaben/PvV1\|PvV1]] fort: nun bauen wir eine elastische "Leiter" ein, die durch die Kraft ''F'' gestaucht wird.
			<onlyinclude>
			[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]
			Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
			</onlyinclude>

			== Lösung mit Maxima ==

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Title
			\|text=Text
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			1+1
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			}}

			==tmp==

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			1+1
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			}}

			==tmp==

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			\|text=Text
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			1+1
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			<!-------------------------------------------------------------------------------->
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			\|text=Text
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			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

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			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

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			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
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			}}

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Linearisieren der Lösung
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			1+1
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			}}

			<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;
			">
			<tr><th></th><th></th></tr>
			<tr><td></td><td></td></tr>
			</table>


			<hr/>
			'''Links'''
			* ...

			'''Literature'''
			* ...

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2021-02-16T12:32:55Z

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