Gelöste Aufgaben/MaMa - Versionsgeschichte

Mechaniker am 15. Oktober 2024 um 09:43 Uhr

2024-10-15T09:43:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Oktober 2024, 09:43 Uhr
Zeile 427:		Zeile 427:
	In Fällen, bei denen das lineare Gleichungssystem so wenige Unbekannte wie hier hat, würde man also die Lösung direkt in Maxima ermitteln. Wenn es komplizierter wird, muss man oft in die Numerik gehen, um in endlicher Zeit eine Lösung zu bekommen.		In Fällen, bei denen das lineare Gleichungssystem so wenige Unbekannte wie hier hat, würde man also die Lösung direkt in Maxima ermitteln. Wenn es komplizierter wird, muss man oft in die Numerik gehen, um in endlicher Zeit eine Lösung zu bekommen.
	<hr/>		<hr/>

	~~<!--~~
	'''Links'''		'''Links'''
	* ...		* ...
	~~-->~~

Mechaniker am 15. Oktober 2024 um 06:20 Uhr

2024-10-15T06:20:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Oktober 2024, 06:20 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	=== Declarations ===		=== Declarations ===

	[[Datei:MaMa-11.png\|350px\|right\|mini\|Bezeichnung für Bereiche und Knoten ~~einführen~~.]]		[[Datei:MaMa-11.png\|350px\|right\|mini\|Bezeichnung für Bereiche und Knoten.]]
	Wir zeichnen zunächst die Bereiche, Knoten und Koordinaten aus:		Wir zeichnen zunächst die Bereiche, Knoten und Koordinaten aus:

Zeile 422:		Zeile 422:
	Die gleiche Lösung- und zusätzliche Graphen - kommen aus der numerischen Lösung mit Matlab:		Die gleiche Lösung- und zusätzliche Graphen - kommen aus der numerischen Lösung mit Matlab:

	[[Datei:MaMa-21.png\|~~250px~~\|left\|mini\|Dimensionslose Auslenkung aus der numerischen Lösung mit Maxima.]]		[[Datei:MaMa-21.png\|300px\|left\|mini\|Dimensionslose Auslenkung aus der numerischen Lösung mit Maxima.]]

	Die Lösungen stimmen - natürlich - überein.		Die Lösungen stimmen - natürlich - überein.

Mechaniker am 15. Oktober 2024 um 06:18 Uhr

2024-10-15T06:18:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Oktober 2024, 06:18 Uhr
Zeile 155:		Zeile 155:
	<math>w, \varphi, M, Q</math>.		<math>w, \varphi, M, Q</math>.

	Diese Funktionen können wir mit Maxima direkt in den ~~Randbeindungen~~ ansprechen und erhalten die Gleichungen		Diese Funktionen können wir mit Maxima direkt in den Randbedingungen ansprechen und erhalten die Gleichungen

	::<math>		::<math>
Zeile 170:		Zeile 170:
	</math>		</math>

	Diese Gleichungen kann man einzeln mit passenden Faktoren durchmultiplizieren und man erhält das einfacher aussehende lineare Gleichungssystem		Diese Gleichungen kann man einzeln mit passenden Faktoren - z.B. <math>EI</math> - durchmultiplizieren und man erhält das einfacher aussehende lineare Gleichungssystem
	::<math>		::<math>
	\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\		\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
Zeile 327:		Zeile 327:
	\|title=Matlab<sup>©</sup>-Quellcode		\|title=Matlab<sup>©</sup>-Quellcode
	\|text =		\|text =
	Genau so wird der Code dann in Matlab eingefügt - hier mit der Änderung, dass a und q0 Properties der EBB-Class sind und entsprechend innerhalb der Klasse als obj.a bzw obj.q angesprochen werden müssen, also		Genau so wird der Code dann in Matlab eingefügt - hier mit der Änderung, dass <math>a</math> und <math>q_0</math> Properties der EBB-Class sind und entsprechend innerhalb der Klasse als obj.a bzw obj.q angesprochen werden müssen, also
	<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>		<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>
	:		:
Zeile 370:		Zeile 370:
	:		:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	[[Datei:MaMa-folder-structure.png\|links\|mini\|Folder Structure]]Die Datei-Struktur links zeigt das Skript <nowiki>MaMa.m</nowiki> sowie Classes und Functions in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei ~~hält~~ alle System-Parameter.		[[Datei:MaMa-folder-structure.png\|links\|mini\|Folder Structure]]Die Datei-Struktur links zeigt das Skript <nowiki>MaMa.m</nowiki> sowie Classes und Functions in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei enthält alle System-Parameter.

	Den komplette Quellcode zu diesem Programm können Sie über dieses ZIP-File rechts herunterladen.		Den komplette Quellcode zu diesem Programm können Sie über dieses ZIP-File rechts herunterladen.
Zeile 376:		Zeile 376:

	=== Solving ===		=== Solving ===
	Die Gleichungen ~~könnten~~ wir in Maxima mit dem Befehl		Die Gleichungen lösen wir in Maxima mit dem Befehl
	<pre>		<pre>
	solve(bvp,X)[1]		solve(bvp,X)[1]
Zeile 427:		Zeile 427:
	In Fällen, bei denen das lineare Gleichungssystem so wenige Unbekannte wie hier hat, würde man also die Lösung direkt in Maxima ermitteln. Wenn es komplizierter wird, muss man oft in die Numerik gehen, um in endlicher Zeit eine Lösung zu bekommen.		In Fällen, bei denen das lineare Gleichungssystem so wenige Unbekannte wie hier hat, würde man also die Lösung direkt in Maxima ermitteln. Wenn es komplizierter wird, muss man oft in die Numerik gehen, um in endlicher Zeit eine Lösung zu bekommen.
	<hr/>		<hr/>

			<!--
	'''Links'''		'''Links'''
	* ...		* ...
			-->
	~~'''Literature'''~~
	* ...

Mechaniker am 15. Oktober 2024 um 06:11 Uhr

2024-10-15T06:11:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Oktober 2024, 06:11 Uhr
Zeile 327:		Zeile 327:
	\|title=Matlab<sup>©</sup>-Quellcode		\|title=Matlab<sup>©</sup>-Quellcode
	\|text =		\|text =
	Genau so wird der Code dann in Matlab eingefügt - hier mit der Änderung, dass a und q0 Properties der EBB-Class sind und entsprechend innerhalb der Klasse als obj.a bzw obj.q angesprochen werden müssen, ~~laso~~		Genau so wird der Code dann in Matlab eingefügt - hier mit der Änderung, dass a und q0 Properties der EBB-Class sind und entsprechend innerhalb der Klasse als obj.a bzw obj.q angesprochen werden müssen, also
	<~~pre~~>		<syntaxhighlight lang="matlab" line start=1>
	:		:
	:		:
Zeile 369:		Zeile 369:
	:		:
	:		:
	</~~pre~~>		</syntaxhighlight>
	[[Datei:MaMa-folder-structure.png\|links\|mini\|Folder Structure]]Die Datei-Struktur links zeigt das Skript <nowiki>MaMa.m</nowiki> sowie Classes und Functions in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei hält alle System-Parameter.		[[Datei:MaMa-folder-structure.png\|links\|mini\|Folder Structure]]Die Datei-Struktur links zeigt das Skript <nowiki>MaMa.m</nowiki> sowie Classes und Functions in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei hält alle System-Parameter.

Mechaniker am 15. Oktober 2024 um 06:08 Uhr

2024-10-15T06:08:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Oktober 2024, 06:08 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen. Im Vordergrund der Ausarbeitung steht das Zusammenspiel von Maxima (Computeralgebra) und Matlab (Numerik) zum Aufstellen, Verwalten und Lösen des linearen Gleichungssystems.		Gesucht ist die analytische Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken und die Verläufe der Schnittgrößen. Im Vordergrund der Ausarbeitung steht das Zusammenspiel von Maxima (Computeralgebra) und Matlab (Numerik) zum Aufstellen, Verwalten und Lösen des linearen Gleichungssystems.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
	Die Aufgabe ist einfach genug, um sie analytisch mit Maxima allein zu lösen. Hier geht es aber darum, die "Zusammenarbeit" zwischen den beiden Software-Paketen exemplarisch vorzustellen. Dieses Zusammenspiel wird dann interessant, wenn die Anzahl der Gleichungen groß wird - typischer weise > 50. Dann ist eine algebraische Lösung oft nicht mehr ~~möglich~~. Maxima eignet sich dann hervorragend für das Aufstellen und Verwalten der Gleichungen. Die konsolidierten Gleichungen werden dann zur numerischen Lösung an Matlab übergeben.		Die Aufgabe ist einfach genug, um sie analytisch mit Maxima allein zu lösen. Hier geht es aber darum, die "Zusammenarbeit" zwischen den beiden Software-Paketen exemplarisch vorzustellen. Dieses Zusammenspiel wird dann interessant, wenn die Anzahl der Gleichungen groß wird - typischer weise > 50. Dann ist eine algebraische Lösung oft nicht mehr praktikabel. Maxima eignet sich dann hervorragend für das Aufstellen und Verwalten der Gleichungen. Die konsolidierten Gleichungen werden dann zur numerischen Lösung an Matlab übergeben.
	Wie das geht, zeigen wir ~~im Folgenden~~.
			Wie das geht, zeigen wir hier.

	== Lösung mit Maxima und Matlab ==		== Lösung mit Maxima und Matlab ==
Zeile 27:		Zeile 28:
	=== Declarations ===		=== Declarations ===

	~~Wir zeichnen zunächst die Berieche, Knoten und Koordinaten aus:~~		[[Datei:MaMa-11.png\|350px\|right\|mini\|Bezeichnung für Bereiche und Knoten einführen.]]
	[[Datei:MaMa-11.png\|~~250px~~\|~~left~~\|mini\|Bezeichnung für Bereiche und Knoten einführen.]]		Wir zeichnen zunächst die Bereiche, Knoten und Koordinaten aus:
	Für Bereich <math>I</math> führen wir die unabhängige Koordinate <math>x_I</math> ein, für Bereich <math>II</math> die Koordinate <math>x_{II}</math>. Die zwei ~~Bereich~~ haben die Längen
			Für Bereich <math>I</math> (zwischen <math>A</math> und <math>B</math>) führen wir die unabhängige Koordinate <math>x_I</math> ein, für Bereich <math>II</math> (zwischen <math>B</math> und <math>C</math>) die Koordinate <math>x_{II}</math>.

			Die zwei Bereiche haben die Längen
	* <math>\ell_I</math> und		* <math>\ell_I</math> und
	* <math>\ell_{II}</math>.		* <math>\ell_{II}</math>.
Zeile 36:		Zeile 40:
	* <math>w_{ref} = \frac{q_{0} a^4}{8 EI}</math> und		* <math>w_{ref} = \frac{q_{0} a^4}{8 EI}</math> und
	* <math>\varphi_{ref} = \frac{q_0 a^3}{6 EI}</math>		* <math>\varphi_{ref} = \frac{q_0 a^3}{6 EI}</math>
	~~Außerdem~~ wählen wir
			Unsere Lösung für <math>w(x)</math> teilen wir dann durch <math>w_{ref}</math> - und erhalten eine Aussage darüber, wie groß die Auslenkung unseres Systems im Vergleich zur Referenz-Auslenkung ist. Und dieses Verhältnis ist eine Zahl - ohne Parameter - so dass wir sie einfach interpretieren können.

			Zusätzlich wählen wir
	* <math>M_{ref} = \frac{q_{0} a^2}{2}</math> und		* <math>M_{ref} = \frac{q_{0} a^2}{2}</math> und
	* <math>Q_{ref} = q_0 a</math>		* <math>Q_{ref} = q_0 a</math>

			für die Ergebnisse von <math>Q(x)</math> und <math>M(x)</math>.

	=== Boundary Value Problem ===		=== Boundary Value Problem ===
	Das Randwertproblem wird im Feld von der Euler-Bernoulli-Differentialgleichung des Balkens ~~beschreiben~~ und an den Rändern durch kinematische oder Kraft-Randbedingungen.		Das Randwertproblem wird im Feld von der Euler-Bernoulli-Differentialgleichung des Balkens und an den Rändern durch kinematische oder Kraft-Randbedingungen beschrieben.

	==== Differentialgleichung des Euler-Bernoulli-Balkens ====		==== Differentialgleichung des Euler-Bernoulli-Balkens ====
Zeile 51:		Zeile 60:
	Deren allgemeine Lösung (also ohne Anpassung an Rand- und Übergangsbedingungen) ist		Deren allgemeine Lösung (also ohne Anpassung an Rand- und Übergangsbedingungen) ist

	<table class="wikitable style="background-color:white~~; float: left~~; margin-right:14px;"><tr>		<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;"><tr>
	<th>... für die Auslenkung des Querschnitts:</th>		<td>... für die Auslenkung des Querschnitts:</td>
	<td>		<td>
	<math> EI w(x)=\frac{1}{24} q_0 x^4 +		<math> EI w(x)=\frac{1}{24} q_0 x^4 +
Zeile 66:		Zeile 75:
	</math>.		</math>.
	Aus Gleichgewichts- und Kinematik-Beziehungen kommen dann die weiteren Gleichungen		Aus Gleichgewichts- und Kinematik-Beziehungen kommen dann die weiteren Gleichungen
	<table class="wikitable style="background-color:white~~; float: left~~; margin-right:14px;">		<table class="wikitable" style="background-color:white; margin-right:14px;">
	<tr><th>... für den Kippwinkel des Querschnitts:</th><td><math>		<tr><td>... für den Kippwinkel des Querschnitts:</th><td><math>
	EI \varphi(x) = EI \frac{dw}{dx}		EI \varphi(x) = EI \frac{dw}{dx}
	=+\frac{1}{ 6} q_0 x^3		=+\frac{1}{ 6} q_0 x^3
Zeile 73:		Zeile 82:
	+ C_2 x		+ C_2 x
	+ C_1</math></td></tr>		+ C_1</math></td></tr>
	<tr><th>... für das Biegemoment:</th><td><math>		<tr><td>... für das Biegemoment:</td><td><math>
	M(x) =- EI \frac{d^2w}{dx^2}		M(x) =- EI \frac{d^2w}{dx^2}
	=-\frac{1}{ 2} q_0 x^2		=-\frac{1}{ 2} q_0 x^2
	- C_3 x		- C_3 x
	- C_2 </math> und</td></tr>		- C_2 </math> und</td></tr>
	<tr><th>... für die Querkraft:</th><td><math>		<tr><td>... für die Querkraft:</td><td><math>
	Q(x) =\frac{dM}{dx}		Q(x) =\frac{dM}{dx}
	=- q_0 x		=- q_0 x
	- C_3 </math> ~~und~~</td></tr>		- C_3 </math>.</td></tr>
	</table>		</table>

	In unserer Aufgabe haben wir zwei Bereiche - in B müssen wir diese allgemeinen Lösungen aneinander anstückeln. Um sie zu unterscheiden, hängen wir für jede Lösung den Index des Bereichs an, also		In unserer Aufgabe haben wir zwei Bereiche: in B müssen wir diese allgemeinen Lösungen aneinander anstückeln. Um sie zu unterscheiden, hängen wir für jede Lösung den Index des Bereichs an, also
	<table class="wikitable style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;"><tr>		<table class="wikitable style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;"><tr>
	<th>Bereich I<br><math>0<x_I<\ell_I</math>		<th>Bereich I<br><math>0<x_I<\ell_I</math>
Zeile 111:		Zeile 120:
	'''Kinematische Rand- und Übergangsbedingungen'''		'''Kinematische Rand- und Übergangsbedingungen'''

	~~Für die Kinematik des Systems schauen wir uns die angenommene Verformung des Systems an:~~[[Datei:MaMa-14.png\|~~250px~~\|right\|mini\|Angenommene Verformung des Stabes.]]		[[Datei:MaMa-14.png\|350px\|right\|mini\|Angenommene Verformung des Stabes.]]Für die Kinematik des Systems schauen wir uns die angenommene Verformung des Systems an:

	Aus dem Bild entnehmen wir, dass		Aus dem Bild entnehmen wir, dass
Zeile 125:		Zeile 134:
	'''Kraft- und Momenten Rand- und Übergangsbedingungen'''		'''Kraft- und Momenten Rand- und Übergangsbedingungen'''

	Für die Übergangsbedingungen in B brauchen wir ein Freikörperbild: [[Datei:MaMa-12.png\|~~150px~~\|right\|mini\|Schnittbild in B.]]		Für die Übergangsbedingungen in B brauchen wir ein Freikörperbild: [[Datei:MaMa-12.png\|180px\|right\|mini\|Schnittbild in B.]]

	Die Gleichgewichtsbeziehungen erhalten wir dann zu		Die Gleichgewichtsbeziehungen erhalten wir dann zu
	* ... in B:		* ... in B:
	** <math>~~w_I~~(0) = 0</math> und		** <math>M_I(\ell_I) = M_{II}(\ell_{II})</math> und
	* ... in C:		* ... in C (freier Rand):
	** <math>Q_{II}(\ell_II) = 0</math>		** <math>Q_{II}(\ell_II) = 0</math>
	** <math>M_{II}(\ell_II) = 0</math>		** <math>M_{II}(\ell_II) = 0</math>

	Dies sind insgesamt 8 Rand- bzw. Übergangsbedingungen für die 8 Integrationskonstanten		Dies sind insgesamt 5+3=8 Rand- bzw. Übergangsbedingungen für die 8 Integrationskonstanten
	::<math> C_{I,0}, C_{I,1}, C_{I,2}, C_{I,3}, C_{II,0}, C_{II,1}, C_{II,2} \text{ und } C_{II,3} </math>.		::<math> C_{I,0}, C_{I,1}, C_{I,2}, C_{I,3}, C_{II,0}, C_{II,1}, C_{II,2} \text{ und } C_{II,3} </math>.

Zeile 146:		Zeile 155:
	<math>w, \varphi, M, Q</math>.		<math>w, \varphi, M, Q</math>.

	Diese Funktionen können wir mit Maxima direkt in den Randbeindungen ansprechen und erhalten die ~~5+3=8~~ Gleichungen		Diese Funktionen können wir mit Maxima direkt in den Randbeindungen ansprechen und erhalten die Gleichungen

	::<math>		::<math>

Mechaniker am 14. Oktober 2024 um 16:19 Uhr

2024-10-14T16:19:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Oktober 2024, 16:19 Uhr
Zeile 407:		Zeile 407:
	<math></math>		<math></math>
	=== Post-Processing ===		=== Post-Processing ===
	Mit der algebraischen Lösung tragen wir <math>w(x)/W_{ref}</math> auf und finden		Mit der algebraischen Lösung tragen wir <math>w(x)/w_{ref}</math> auf und finden

	[[Datei:MaMa-22.png\|250px\|left\|mini\|Dimensionslose Auslenkung aus der algebraischen Lösung mit Maxima.]]		[[Datei:MaMa-22.png\|250px\|left\|mini\|Dimensionslose Auslenkung aus der algebraischen Lösung mit Maxima.]]

Mechaniker am 14. Oktober 2024 um 14:57 Uhr

2024-10-14T14:57:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Oktober 2024, 14:57 Uhr
Zeile 403:		Zeile 403:
	</pre>		</pre>

	~~<math></math>~~
	<math></math>		<math></math>
	<math></math>		<math></math>
	=== Post-Processing ===		=== Post-Processing ===
	<~~table class="wikitable mw-collapsible" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;"~~>		Mit der algebraischen Lösung tragen wir <math>w(x)/W_{ref}</math> auf und finden
	~~<tr><th><~~/~~th><th></th></tr>~~
	~~<tr><td></td><td></td></tr>~~
	</~~table~~>

	<!-~~------------------------------------------------------------------------------->~~		[[Datei:MaMa-22.png\|250px\|left\|mini\|Dimensionslose Auslenkung aus der algebraischen Lösung mit Maxima.]]
	~~{{MyCodeBlock~~\|~~title=Maxima-Quellcode~~
	\|~~text=~~
	~~Text~~
	\|~~code=~~
	~~<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>~~
	~~code~~
	~~</syntaxhighlight>~~
	}}

			Die gleiche Lösung- und zusätzliche Graphen - kommen aus der numerischen Lösung mit Matlab:

			[[Datei:MaMa-21.png\|250px\|left\|mini\|Dimensionslose Auslenkung aus der numerischen Lösung mit Maxima.]]

			Die Lösungen stimmen - natürlich - überein.
			In Fällen, bei denen das lineare Gleichungssystem so wenige Unbekannte wie hier hat, würde man also die Lösung direkt in Maxima ermitteln. Wenn es komplizierter wird, muss man oft in die Numerik gehen, um in endlicher Zeit eine Lösung zu bekommen.
	<hr/>		<hr/>
	'''Links'''		'''Links'''

Mechaniker am 14. Oktober 2024 um 14:45 Uhr

2024-10-14T14:45:12Z

@@ Zeile 386: / Zeile 386: @@
 x = linsolve(A,b);
 end
 </pre>

Mechaniker am 14. Oktober 2024 um 14:42 Uhr

2024-10-14T14:42:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Oktober 2024, 14:42 Uhr
Zeile 296:		Zeile 296:
	/* solve */		/* solve */
	/* we could also solve in Maxima : */		/* we could also solve in Maxima : */
	sol: solve(~~subst(refs,subst(params,~~bvp)),X)[1];		sol: solve(bvp,X)[1];

	/* postprocess - an example: */		/* postprocess - an example: */
Zeile 367:		Zeile 367:

	=== Solving ===		=== Solving ===
			Die Gleichungen könnten wir in Maxima mit dem Befehl
			<pre>
			solve(bvp,X)[1]
			</pre>
			lösen - das Ergebnis ist dann
			::<math>
			C_{I,0}=0, C_{I,1}=0, C_{I,2}=-q_0 a^2/4, C_{I,3}=3q_0 a/8, C_{II,0}=0, C_{II,1}=q_0 a^3/4, C_{II,2}=q_0 a^2/2, C_{II,3} =-q_0 a
			</math>
			Das gleiche passiert in der Matlab-Funktion linsolve in der solveAB.m:
			<pre>
			function x = solveAb(sys)
			% solve
			% linear system of equations A*x = b

			A = sys.sysmat();
			b = sys.rhs();

			x = linsolve(A,b);
			end
			</pre>

	<math></math>		<math></math>
	<math></math>		<math></math>
	<math></math>		<math></math>
	=== Post-Processing ===		=== Post-Processing ===


	<table class="wikitable mw-collapsible" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">		<table class="wikitable mw-collapsible" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">
	<tr><th></th><th></th></tr>		<tr><th></th><th></th></tr>

Mechaniker am 14. Oktober 2024 um 14:30 Uhr

2024-10-14T14:30:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Oktober 2024, 14:30 Uhr
Zeile 361:		Zeile 361:
	:		:
	</pre>		</pre>
	[[Datei:~~GYRO~~-folder-structure.png\|links\|mini\|Folder Structure]]Die Datei-Struktur links zeigt das Skript <nowiki>MaMa.m</nowiki> sowie Classes und Functions in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei hält alle System-Parameter.		[[Datei:MaMa-folder-structure.png\|links\|mini\|Folder Structure]]Die Datei-Struktur links zeigt das Skript <nowiki>MaMa.m</nowiki> sowie Classes und Functions in den jeweiligen Ordnern. Die Excel-Datei hält alle System-Parameter.


	Den komplette Quellcode zu diesem Programm können Sie über dieses ZIP-File rechts herunterladen.		Den komplette Quellcode zu diesem Programm können Sie über dieses ZIP-File rechts herunterladen.
	\|file =MaMa.zip}}		\|file=MaMa.zip}}

	=== Solving ===		=== Solving ===