Mechaniker am 31. März 2021 um 13:48 Uhr

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	{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=		\|text=
	[[Datei:Kw96-21.png\|mini\|Biegelinie ''w(x)'']]		[[Datei:Kw96-21.png\|mini\|Biegelinie ''w(x)''\|ohne]]
	Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:		Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:
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	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	~~<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;~~
	">
	~~<tr><th></th><th></th></tr>~~
	~~<tr><td></td><td></td></tr>~~
	~~</table>~~





	<hr/>		<hr/>

Mechaniker am 31. März 2021 um 10:10 Uhr

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	}}		}}

	------------------------>		<!-------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=		\|text=
	[[Datei:Kw96-21.png\|mini\|Biegelinie ''w(x)'']]		[[Datei:Kw96-21.png\|mini\|Biegelinie ''w(x)'']]
	Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:~~<!--------------------------------------------------------~~		Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 31. März 2021 um 10:09 Uhr

2021-03-31T10:09:36Z

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Mechaniker: /* tmp */

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tmp

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	==tmp==		==tmp==
			[[Datei:Kw96-21.png\|mini\|Biegelinie ''w(x)'']]
	Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:<!-------------------------------------------------------------------------------->		Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:<!-------------------------------------------------------------------------------->

Mechaniker am 31. März 2021 um 10:01 Uhr

2021-03-31T10:01:49Z

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	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	~~SOME TEXT~~		Ein Stab ''ABC'' ist durch eine lineare veränderliche Streckenlast ''q'' mit den Eckwerten ''q<sub>A</sub>'' in ''A'' und ''q<sub>B</sub>'' in ''B'' sowie dem Moment ''M<sub>B</sub>'' in ''B'' belastet. Der Stab (E-Modul: ''E'') besteht aus zwei Sektionen mit den Längen ''l<sub>1</sub>'' bzw. ''l<sub>2</sub>'' sowie den Flächenmomenten ''I<sub>1</sub>'' bzw. ''I<sub>2</sub>''. Der Stab ist in ''A'' durch ein gelenkiges Festlager, in ''C'' durch eine Schiebehülse gelagert, in ''B'' sind die beiden Sektionen fest miteinander verbunden. Die Feder in ''A'' ist eine Drehfester mit Steifigkeit ''K<sub>A</sub>'', die Federn in ''B'' und ''C'' sind Translationsfedern mit den Steifigkeiten ''k<sub>B</sub>, k<sub>C</sub>''.

	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:~~Kw60~~-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|250x250px\|Lageplan]]		[[Datei:Kw98-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|250x250px\|Lageplan]]
	Gesucht ist ~~"SOME EXPLANATION"~~		Gesucht ist die FEM Lösung für den Euler-Bernoulli-Balken unter Verwendung von zwei Finiten Elementen.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

			[[Datei:Kw98-02.png\|mini\|Systemparameter]]
			Ermitteln Sie für ein Euler-Bernoulli-Modell die analytischen Verläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen im Balken für die angegebenen Parameter:

	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==
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	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Wir arbeiten mit den Standard-System-Matrizen nach Abschnitt "[[Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken\|FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken]]".<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Header		{{MyCodeBlock\|title=Header
	\|text=Text		\|text=Text
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	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		System-Parameter sind:

			<math>\begin{array}{l} \displaystyle {{q}_{A}}=3000 \frac{N}{m},\\ \displaystyle {\ell_{1}}=\frac{7\cdot m}{10},\\ \displaystyle {{\mathit{EI}}_{1}}=33600 N {{m}^{2}},\\ \displaystyle {\ell_{2}}=\frac{21}{40} m,\\ \displaystyle {{\mathit{EI}}_{2}}=16800 N {{m}^{2}},\\ \displaystyle {{K}_{A}}=96000 N m,\\ \displaystyle {{k}_{C}}=\frac{256}{229}\cdot {{k}_{B}},\\ \displaystyle {{k}_{B}}=\frac{256}{229} N m,\\ \displaystyle {{q}_{B}}=12000\frac{N}{m},\\ \displaystyle {{M}_{B}}=1470 N m \end{array}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Declarations		{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=Text		\|text=Text
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	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Die Ansatzfunktion für die Trial-Functions ist ein Polynom 3. Grades:

			<math>\mathrm{w}\left( \xi\right) :={{c}_{3}}\cdot {{\xi}^{3}}+{{c}_{2}}\cdot {{\xi}^{2}}+{{c}_{1}}\cdot \xi+{{c}_{0}}</math>

			An den Rändern müssen die Auslenkung und Kippung mit den Knoten-Variablen übereinstimmen:

			<math>\begin{array}{l} \displaystyle {{c}_{0}}={{W}_{i-1}},\\ \displaystyle \frac{{{c}_{1}}}{{{l}_{i}}}={{\Phi}_{i-1}},\\ \displaystyle {{c}_{3}}+{{c}_{2}}+{{c}_{1}}+{{c}_{0}}={{W}_{i}},\\ \displaystyle \frac{{{c}_{1}}+2\cdot {{c}_{2}}+3\cdot {{c}_{3}}}{{{l}_{i}}}={{\Phi}_{i}} \end{array}</math>[[Datei:Kw96-11.png\|alternativtext=Trial-Functions\|mini\|Trial-Functions]]Damit ist die Ansatzfunktion des Finiten Elements mit den vier Knotenvariablen

			<math>w(\xi)\;=\; \ell_i \cdot \Phi_i \cdot \left( \xi-1 \right) \cdot \xi^2+W_{i-1} \cdot \left( \xi-1\right) ^2 \cdot \left( 1+2 \cdot \xi\right)-W_i \cdot \xi^2 \cdot \left( 2\cdot \xi-3\right) +\Phi_{i-1} \cdot \ell_i \cdot \left( \xi-1\right) ^2 \cdot \xi</math><!-------------------------------------------------------------------------------->


	{{MyCodeBlock\|title=Formfunctions		{{MyCodeBlock\|title=Formfunctions
	\|text=Text		\|text=Text
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	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		So sind die Element-Steifigkeitsmatrix

			<math>\displaystyle \underline{\underline{K}}_i=\,\frac{EI_i}{\ell_i^3}\begin{pmatrix}12 & 6\cdot {{\ell}_{i}} & -12 & 6\cdot {{\ell}_{i}}\\ 6\cdot {{\ell}_{i}} & 4\cdot {{\ell}_{i}^{2}} & -6\cdot {{\ell}_{i}} & 2\cdot {{\ell}_{i}^{2}}\\ -12 & -6\cdot {{\ell}_{i}} & 12 & -6\cdot {{\ell}_{i}}\\ 6\cdot {{\ell}_{i}} & 2\cdot {{\ell}_{i}^{2}} & -6\cdot {{\ell}_{i}} & 4\cdot {{\ell}_{i}^{2}}\end{pmatrix}</math>

			die Koordinaten des FE-Modells - hier für das Element "1":

			<math>\underline{Q}\,=\,\begin{pmatrix}{{\Phi}_{0}}\\ {{W}_{1}}\\ {{\Phi}_{1}}\\ {{W}_{2}}\end{pmatrix}</math>.

			Wir komponieren daraus die System-Steifigkeitsmatrix - durch Aufaddieren der Beiträge der beiden Elemente und Einarbeiten der Randbedingugnen - zu

			<math>\underline{\underline{K}}_0 =\begin{pmatrix} {K_A}+\frac{4 {{\mathit{EI}}_1}}{{\ell_1}} & -\frac{6 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{2}}} & \frac{2 {{\mathit{EI}}_1}}{{\ell_1}} & 0\\ -\frac{6 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{2}}} & {k_B}+\frac{12 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{3}}}+\frac{12 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{3}}} & \frac{6 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{2}}}-\frac{6 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{2}}} & -\frac{12 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{3}}}\\ \frac{2 {{\mathit{EI}}_1}}{{\ell_1}} & \frac{6 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{2}}}-\frac{6 {{\mathit{EI}}_1}}{{{\ell}_{1}^{2}}} & \frac{4 {{\mathit{EI}}_2}}{{\ell_2}}+\frac{4 {{\mathit{EI}}_1}}{{\ell_1}} & -\frac{6 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{2}}}\\ 0 & -\frac{12 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{3}}} & -\frac{6 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{2}}} & {k_C}+\frac{12 {{\mathit{EI}}_2}}{{{\ell}_{2}^{3}}}\end{pmatrix}</math>

			Wie das geht, steht in Abschnitt [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]].<!-------------------------------------------------------------------------------->


	{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions		{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=Text		\|text=Text
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	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Die Knotenvariablen sind damit

			<math>\begin{array}{ll}W_0 = 0& \\\Phi_0 = 0.00624& \\W_1 = 0.00657 m& \\\Phi_1 = 0.0123& \\W_2 = 0.00846 m& \\\Phi_2 = 0& \end{array}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->


	{{MyCodeBlock\|title=Solving		{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=Text		\|text=Text
Zeile 124:		Zeile 159:
	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Die Biegelinie des Balkens sieht damit so aus:<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing

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	~~[[Datei:Kw96-11.png\|alternativtext=Trial-Functions\|mini]]~~
	~~[[Datei:Kw98-01.png\|mini\|Lageplan]]~~

	~~[[Datei:Kw98-02.png\|mini\|Systemparameter]]~~

Mechaniker am 31. März 2021 um 09:50 Uhr

2021-03-31T09:50:37Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:~~Screenshot 20210111~~-~~063733~2~~.png\|~~100px~~\|~~left~~\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:Kw60-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|250x250px\|Lageplan]]
	Gesucht ist "SOME EXPLANATION"		Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
Zeile 140:		Zeile 140:
	</table>		</table>


			[[Datei:Kw96-11.png\|alternativtext=Trial-Functions\|mini]]
			[[Datei:Kw98-01.png\|mini\|Lageplan]]

			[[Datei:Kw98-02.png\|mini\|Systemparameter]]

Mechaniker am 31. März 2021 um 09:46 Uhr

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	<tr><td></td><td></td></tr>		<tr><td></td><td></td></tr>
	</table>		</table>

Mechaniker am 31. März 2021 um 09:46 Uhr

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