Gelöste Aufgaben/Kw53 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 31. März 2021 um 06:38 Uhr

2021-03-31T06:38:11Z

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	::<math>\begin{array}{l}w(0) = W_A\\w(\ell_1) = W_B \mbox{ mit } \displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}\\\displaystyle \frac{dw}{dx}\|_{x=\ell} = \Phi_C\end{array}</math>.		::<math>\begin{array}{l}w(0) = W_A\\w(\ell_1) = W_B \mbox{ mit } \displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}\\\displaystyle \frac{dw}{dx}\|_{x=\ell} = \Phi_C\end{array}</math>.

	~~[[Datei:Kw53-11.png\|mini\|Trial Functions]]~~Mit einem Polynom 3-ten Grades als Ansatz ist also unser Näherungsansatz für die Auslenkung dann		Mit einem Polynom 3-ten Grades als Ansatz ist also unser Näherungsansatz für die Auslenkung dann

	::<math>\displaystyle \tilde{w}(\xi) = \sum_{i=1}^2 Q_i \cdot \phi_i(\xi)</math>		::<math>\displaystyle \tilde{w}(\xi) = \sum_{i=1}^2 Q_i \cdot \phi_i(\xi)</math>
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	::<math>\begin{array}{lll}\phi_1 = &-&\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+3\right) \, {{\xi}^{3}}+\left( -2\; {{3}^{\frac{5}{2}}}-8\right) \, {{\xi}^{2}}+\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+7\right) \xi-2\right)\\\phi_2 =&&\ell_o\cdot \left( 3\, {{\xi}^{3}}-5 \, {{\xi}^{2}}+2\, \xi\right)\end{array}</math>.		::<math>\begin{array}{lll}\phi_1 = &-&\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+3\right) \, {{\xi}^{3}}+\left( -2\; {{3}^{\frac{5}{2}}}-8\right) \, {{\xi}^{2}}+\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+7\right) \xi-2\right)\\\phi_2 =&&\ell_o\cdot \left( 3\, {{\xi}^{3}}-5 \, {{\xi}^{2}}+2\, \xi\right)\end{array}</math>.

	Und so sehen sie aus, unsere zwei [[Sources/Lexikon/Trial-Function\|Trial-Functions]]:		[[Datei:Kw53-11.png\|mini\|Trial Functions]]Und so sehen sie aus, unsere zwei [[Sources/Lexikon/Trial-Function\|Trial-Functions]]:
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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	==== ... für M(x): ====		==== ... für M(x): ====
	[[Datei:~~Kw53~~-13.png\|mini\|Biegemoment ''M(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw51-13.png\|mini\|Biegemoment ''M(x)''\|alternativtext=\|ohne]]

	==== ... für Q(x): ====		==== ... für Q(x): ====

Mechaniker am 31. März 2021 um 06:35 Uhr

2021-03-31T06:35:52Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 31. März 2021 um 06:28 Uhr

2021-03-31T06:28:27Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:Kw50-01.png\|300px\|left\|mini\|Lageplan (wie [[Gelöste Aufgaben/Kw50\|Kw50]])]]		[[Datei:Kw50-01.png\|300px\|left\|mini\|Lageplan (wie [[Gelöste Aufgaben/Kw50\|Kw50]])]]
	Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB)\|Rayleigh-Ritz (EBB)]] an - hier ~~mit~~ [https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator Lagrange-Multiplikator] für die geometrische Zwangsbedingung.		Geben Sie die Lösung für ein Euler-Bernoulli-Modell der Brücke mit dem Verfahren von [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Verfahren von Rayleigh-Ritz (EBB)\|Rayleigh-Ritz (EBB)]] an - hier ohne[https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator Lagrange-Multiplikator] für die geometrische Zwangsbedingung.

	Dies ist eine Näherungslösung zu [[Gelöste Aufgaben/Kw50\|Kw50]].		Dies ist eine Näherungslösung zu [[Gelöste Aufgaben/Kw50\|Kw50]].
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	==tmp==		==tmp==
			Für die Lösung nutzen wir hier das Ritz-Verfahren. Die geometrischen Zwangsbedingungen arbeiten wir direkt in die Trial-Functions ein.
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Header		{{MyCodeBlock\|title=Header
	\|text=text		\|text=text
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	==tmp==		==tmp==
			Wir arbeiten mit den selben Parametern und Bezugslängen, wie in Kw50.
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Declarations		{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=text		\|text=text
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	==tmp==		==tmp==
			Nach "Ritz" wählen wir zwei Trial-Functions über die gesamte Stablänge. Als zugehörige, gesuchte Koordinaten wählen wir die Auslenkung in ''A'' und die Verdrehung in ''C'', also

			<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{c}W_A\\\Phi_C \end{array}\right)</math>.

			Die Trial-Functions müssen dann diesen geoemtrischen Zwangsbedingungen genügen:

			<math>\begin{array}{l}w(0) = W_A\\w(\ell_1) = W_B \mbox{ mit } \displaystyle W_B = -\frac{W_A}{\sqrt{3}}\\\displaystyle \frac{dw}{dx}\|_{x=\ell} = \Phi_C\end{array}</math>.

			Mit einem Polynom 3-ten Grades als Ansatz ist also unser Näherungsansatz für die Auslenkung dann

			<math>\displaystyle \tilde{w}(\xi) = \sum_{i=1}^2 Q_i \cdot \phi_i(\xi)</math>

			mit den Trial-Functions

			<math>\begin{array}{lll}\phi_1 = &-&\displaystyle \frac{1}{2}\left(\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+3\right) \, {{\xi}^{3}}+\left( -2\; {{3}^{\frac{5}{2}}}-8\right) \, {{\xi}^{2}}+\left( {{3}^{\frac{5}{2}}}+7\right) \xi-2\right)\\\phi_2 =&&\ell_o\cdot \left( 3\, {{\xi}^{3}}-5 \, {{\xi}^{2}}+2\, \xi\right)\end{array}</math>.

			Und so sehen sie aus, unsere zwei Trial-Functions:[[Datei:Kw53-11.png\|mini\|Trial Functions]]

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Formfunctions		{{MyCodeBlock\|title=Formfunctions
	\|text=text		\|text=text
Zeile 68:		Zeile 91:

	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Die Potentiale aus Elastischen Energien und Arbeitsfunktion der Gewichtskräfte sind

			<math>\begin{array}{lll} U =& &\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \int_0^\ell E I\; w''^2 \; dx + \frac{1}{2}\cdot K_C \cdot \Phi_C^2\\ &-&\displaystyle \int_0^\ell q_0 \; w \; dx - m_A\,g\; W_A \end{array}</math>.

			Einsetzten der Trial-Functions liefert

			<math>U= \displaystyle \frac{1}{2} \left({W_A},{{\Phi}_C}\right) \underbrace{\begin{pmatrix}\frac{\left( 8 {{3}^{\frac{5}{2}}}+262\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{3}}} & -\frac{\left( 5 {{3}^{\frac{5}{2}}}+17\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}}\\ -\frac{\left( 5 {{3}^{\frac{5}{2}}}+17\right) \, \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}} & \frac{28 \mathit{EI}+{\ell_0}\, {K_C}}{{\ell_0}}\end{pmatrix}}_{\displaystyle :=\underline{\underline{A}}} \begin{pmatrix}{W_A}\\ {{\Phi}_C}\end{pmatrix} - \left({W_A},{{\Phi}_C}\right) \underbrace{\begin{pmatrix}{m_A} g-\frac{{{3}^{\frac{3}{2}}}\, {q_0}\, {\ell_0}}{8}+\frac{5 {q_0}\, {\ell_0}}{24}\\ \frac{{q_0}\, {{\ell}_{0}^{2}}}{12}\end{pmatrix}}_{\displaystyle :=\underline{b}}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Potentials		{{MyCodeBlock\|title=Potentials
	\|text=text		\|text=text
Zeile 78:		Zeile 108:

	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Nach dem Minimum Prinzip hat das Potential ''U'' ein Minimum - das Sytem ist im Gleichgewicht, wenn

			<math>\underline{\underline{A}} \cdot \underline{Q} = \underline{b}</math>.

			In den System-Matrizen stehen hier

			<math>\underline{\underline{A}}\,=\,\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{386.7\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{3}}} & \displaystyle -\frac{94.9\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}}\\ \displaystyle -\frac{94.9\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}^{2}}} & \displaystyle \frac{{{\ell}_{0}}\cdot {{K}_{C}}+28\cdot \mathit{EI}}{{{\ell}_{0}}}\end{pmatrix}
			</math> und

			<math>\underline{b}\,=\,\begin{pmatrix}{{m}_{A}}\,g-0.4\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}}\\ 0.08\cdot {{q}_{0}}\cdot {{\ell}_{0}^{2}}\end{pmatrix}</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions		{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=text		\|text=text
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	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Das Lösen des Gleichungssystems liefert dann

			<math>\displaystyle \left(\begin{array}{c} W_A\\\Phi_C\end{array}\right) = \frac{m_B\, g\, \ell_0^3}{3 \; E I} \left(\begin{array}{l} -3.78 {10}^{-5}\\\displaystyle 0.00747 \frac{1}{\ell} \end{array} \right)</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Solving		{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=text		\|text=text
Zeile 98:		Zeile 141:

	==tmp==		==tmp==
	~~[[Datei:Kw53-11.png\|mini\|Trial Functions]]~~

Mechaniker: /* tmp */

2021-03-31T06:21:20Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 31. März 2021, 06:21 Uhr
Zeile 113:		Zeile 113:
	<!-- Die Ergebnis-Plots sind identisch mit denen aus Kw51 -->		<!-- Die Ergebnis-Plots sind identisch mit denen aus Kw51 -->
	==== ... für ''Φ(x)'': ====		==== ... für ''Φ(x)'': ====
	[[Datei:Kw51-22.png\|mini\|Kippwinkel ''Φ(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw51-12.png\|mini\|Kippwinkel ''Φ(x)''\|alternativtext=\|ohne]]

	==== ... für M(x): ====		==== ... für M(x): ====
	[[Datei:Kw53-23.png\|mini\|Biegemoment ''M(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw53-13.png\|mini\|Biegemoment ''M(x)''\|alternativtext=\|ohne]]

	==== ... für Q(x): ====		==== ... für Q(x): ====
	[[Datei:Kw51-24.png\|mini\|Querkraft ''Q(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw51-14.png\|mini\|Querkraft ''Q(x)''\|alternativtext=\|ohne]]
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker: /* tmp */

2021-03-31T06:20:56Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 31. März 2021, 06:20 Uhr
Zeile 111:		Zeile 111:
	[[Datei:Kw53-21.png\|mini\|Auslenkung ''w(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw53-21.png\|mini\|Auslenkung ''w(x)''\|alternativtext=\|ohne]]

			<!-- Die Ergebnis-Plots sind identisch mit denen aus Kw51 -->
	==== ... für ''Φ(x)'': ====		==== ... für ''Φ(x)'': ====
	[[Datei:~~Kw53~~-22.png\|mini\|Kippwinkel ''Φ(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw51-22.png\|mini\|Kippwinkel ''Φ(x)''\|alternativtext=\|ohne]]

	==== ... für M(x): ====		==== ... für M(x): ====
Zeile 118:		Zeile 119:

	==== ... für Q(x): ====		==== ... für Q(x): ====
	[[Datei:~~Kw53~~-24.png\|mini\|Querkraft ''Q(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw51-24.png\|mini\|Querkraft ''Q(x)''\|alternativtext=\|ohne]]
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker: /* tmp */

2021-03-31T06:20:07Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 31. März 2021, 06:20 Uhr
Zeile 99:		Zeile 99:
	==tmp==		==tmp==
	[[Datei:Kw53-11.png\|mini\|Trial Functions]]		[[Datei:Kw53-11.png\|mini\|Trial Functions]]
	~~[[Datei:Kw53-21.png\|mini]]~~


	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->

Mechaniker: /* tmp */

2021-03-31T06:16:37Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 31. März 2021, 06:16 Uhr
Zeile 98:		Zeile 98:

	==tmp==		==tmp==
			[[Datei:Kw53-11.png\|mini\|Trial Functions]]
			[[Datei:Kw53-21.png\|mini]]
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->


	{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=		\|text=

Mechaniker: /* tmp */

2021-03-31T06:14:35Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 31. März 2021, 06:14 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:
	Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...		Und die Ergebnisse können wir uns anschauen ...
	==== ... für w(x): ====		==== ... für w(x): ====
	[[Datei:Kw53-11.png\|mini\|Auslenkung ''w(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw53-21.png\|mini\|Auslenkung ''w(x)''\|alternativtext=\|ohne]]

	==== ... für ''Φ(x)'': ====		==== ... für ''Φ(x)'': ====
	[[Datei:Kw53-12.png\|mini\|Kippwinkel ''Φ(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw53-22.png\|mini\|Kippwinkel ''Φ(x)''\|alternativtext=\|ohne]]

	==== ... für M(x): ====		==== ... für M(x): ====
	[[Datei:Kw53-13.png\|mini\|Biegemoment ''M(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw53-23.png\|mini\|Biegemoment ''M(x)''\|alternativtext=\|ohne]]

	==== ... für Q(x): ====		==== ... für Q(x): ====
	[[Datei:Kw53-14.png\|mini\|Querkraft ''Q(x)''\|alternativtext=\|ohne]]		[[Datei:Kw53-24.png\|mini\|Querkraft ''Q(x)''\|alternativtext=\|ohne]]
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 31. März 2021 um 06:10 Uhr

2021-03-31T06:10:35Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 31. März 2021 um 06:07 Uhr

2021-03-31T06:07:03Z

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