Gelöste Aufgaben/Kw30 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 23. November 2022 um 08:12 Uhr

2022-11-23T08:12:19Z

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	Aus dem Freikörperbild erhalten wir die Bewegungsgleichung		Aus dem Freikörperbild erhalten wir die Bewegungsgleichung

	::<math>\displaystyle J\ddot{\varphi}+\frac{\ell}{2}\;m\;\frac{\ell}{2}\;\ddot{\varphi} + m\;(g-\ddot{u})\; \frac{\ell}{2}; \sin(\varphi) = 0</math>		::<math>\displaystyle J\ddot{\varphi}+\frac{\ell}{2}\;m\;\frac{\ell}{2}\;\ddot{\varphi} + m\;(g-\ddot{u})\; \frac{\ell}{2}\; \sin(\varphi) = 0</math>

	mit		mit

Mechaniker am 23. November 2022 um 08:11 Uhr

2022-11-23T08:11:35Z

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	Aus dem Freikörperbild erhalten wir die Bewegungsgleichung		Aus dem Freikörperbild erhalten wir die Bewegungsgleichung

	::<math>\displaystyle J\ddot{\varphi}+\frac{\ell}{2}\;m\;\frac{\ell}{2}\;\ddot{\varphi} + m\;(g-\ddot{u})\; {{\ell}^{2}}\; \sin(\varphi) = 0</math>		::<math>\displaystyle J\ddot{\varphi}+\frac{\ell}{2}\;m\;\frac{\ell}{2}\;\ddot{\varphi} + m\;(g-\ddot{u})\; \frac{\ell}{2}; \sin(\varphi) = 0</math>

	mit		mit

Mechaniker am 23. November 2022 um 08:10 Uhr

2022-11-23T08:10:25Z

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	Aus dem Freikörperbild erhalten wir die Bewegungsgleichung		Aus dem Freikörperbild erhalten wir die Bewegungsgleichung

	::<math>\displaystyle J\ddot{\varphi}+\frac{\ell}{2}\;m\;\frac{\ell}{2}\;\ddot{\varphi} + m\;(g-\ddot{u})\;\sin(\varphi) = 0</math>		::<math>\displaystyle J\ddot{\varphi}+\frac{\ell}{2}\;m\;\frac{\ell}{2}\;\ddot{\varphi} + m\;(g-\ddot{u})\; {{\ell}^{2}}\; \sin(\varphi) = 0</math>

	mit		mit
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	die lineare Differentialgleichung mit perdiodischen Koeffizienten		die lineare Differentialgleichung mit perdiodischen Koeffizienten

	::<math>\displaystyle \frac{1}{3} m\cdot {{\ell}^{2}}\cdot \ddot{\varphi}+m\cdot \ell\cdot \left( g + \Omega^2\;\hat{u}\;\cos(\Omega\;t)\right)~~\cdot {{\ell}^{2}}~~ \cdot \varphi=0</math>.		::<math>\displaystyle \frac{1}{3} m\cdot {{\ell}^{2}}\cdot \ddot{\varphi}+m\cdot \ell\cdot \left( g + \Omega^2\;\hat{u}\;\cos(\Omega\;t)\right) \cdot \varphi=0</math>.

	Das ist eine Grundform der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathieusche_Differentialgleichung Mathieuschen Differentialgleichung] - die wir noch in dimensionslose Form bringen wollen. Dazu soll die zugeordnete gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, also für		Das ist eine Grundform der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathieusche_Differentialgleichung Mathieuschen Differentialgleichung] - die wir noch in dimensionslose Form bringen wollen. Dazu soll die zugeordnete gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, also für

Mechaniker: Schreibfehler in DGL korrigiert

2022-11-23T08:09:27Z

Schreibfehler in DGL korrigiert

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	die lineare Differentialgleichung mit perdiodischen Koeffizienten		die lineare Differentialgleichung mit perdiodischen Koeffizienten

	::<math>\displaystyle \frac{1}{3} m\cdot {{\ell}^{2}}\cdot \ddot{\varphi}+m\cdot \ell\cdot \left( g + \Omega^2\;\hat{u}\;\cos(\Omega\;t)\right) \cdot \varphi=0</math>.		::<math>\displaystyle \frac{1}{3} m\cdot {{\ell}^{2}}\cdot \ddot{\varphi}+m\cdot \ell\cdot \left( g + \Omega^2\;\hat{u}\;\cos(\Omega\;t)\right)\cdot {{\ell}^{2}} \cdot \varphi=0</math>.

	Das ist eine Grundform der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathieusche_Differentialgleichung Mathieuschen Differentialgleichung] - die wir noch in dimensionslose Form bringen wollen. Dazu soll die zugeordnete gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, also für		Das ist eine Grundform der [https://de.wikipedia.org/wiki/Mathieusche_Differentialgleichung Mathieuschen Differentialgleichung] - die wir noch in dimensionslose Form bringen wollen. Dazu soll die zugeordnete gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, also für

Mechaniker am 30. März 2021 um 06:13 Uhr

2021-03-30T06:13:48Z

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Zeile 16:		Zeile 16:

	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:Kw30-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|~~166x166px~~\|Lageplan]]		[[Datei:Kw30-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|208x208px\|Lageplan]]
	Das Pendel der Masse ''m'' und Länge ''ℓ'' der Aufgabe hat einen in ''A'' senkrecht mit ''u(t)'' periodisch bewegten Aufhängepunkt.		Das Pendel der Masse ''m'' und Länge ''ℓ'' der Aufgabe hat einen in ''A'' senkrecht mit ''u(t)'' periodisch bewegten Aufhängepunkt.

Mechaniker am 29. März 2021 um 13:16 Uhr

2021-03-29T13:16:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2021, 13:16 Uhr
Zeile 152:		Zeile 152:
	::<math>\begin{array}{l} \mu_1 = -0.0661,\\\mu_2 = 15.1256\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{l} \mu_1 = -0.0661,\\\mu_2 = 15.1256\end{array}</math>

	und besitzt damit einen Eigenwert, dessen Betrag größer als "1" ist - die Lösung ist instabil. [[Datei:Kw30-21.png\|mini\|Instabile Lösung\|alternativtext=\|links]]Das können wir prüfen, indem wir uns die numerische Lösung im Zeitbereich anschauen:		und besitzt damit einen Eigenwert, dessen Betrag größer als "1" ist - die Lösung ist instabil. [[Datei:Kw30-21.png\|mini\|Instabile Lösung\|alternativtext=\|links]]<br clear="all"/>
			Das können wir prüfen, indem wir uns die numerische Lösung im Zeitbereich anschauen:

	* der Winkel der Auslenkung wächst (exponentiell) mit der Zeit.		* der Winkel der Auslenkung wächst (exponentiell) mit der Zeit.

Mechaniker am 29. März 2021 um 13:15 Uhr

2021-03-29T13:15:22Z

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Zeile 203:		Zeile 203:
	<hr/>		<hr/>
	'''Links'''		'''Links'''
	* https://youtu.be/rwGAzy0noU0		* [https://youtu.be/rwGAzy0noU0 Inverted pendulum with a vertically oscillated pivot.]

	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* ...

Mechaniker am 29. März 2021 um 13:13 Uhr

2021-03-29T13:13:32Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 29. März 2021 um 13:05 Uhr

2021-03-29T13:05:45Z

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+[[Datei:Kw30.png|mini|Koordinaten und Freikörperbild|alternativtext=|261x261px]]
 {{MyCodeBlock|title=Equations of Motion
 |text=Text
@@ Zeile 41: / Zeile 77: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Für die Stabilität der Bewegungsgleichung brauchen wir den Satz von [[Sources/Lexikon/Satz von Floquet-Ljapunow|Floquet-Ljapunow]] und die Fundamentalmatrix ''Φ''. Zunächst schreiben wir die Bewegungsgleichung als Differentialgleichung erster Ordnung  als
 {{MyCodeBlock|title=Solve and Check for Stability of Solution
 |text=Text
@@ Zeile 51: / Zeile 137: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Diese Untersuchung können wir nun für eine Reihe von Parameter-Konstellationen wiederholen und den größeren der beiden charakteristischen Exponenten jeweils auftragen.
 {{MyCodeBlock|title=Ince-Struttsche Karte
 |text=Text
@@ Zeile 65: / Zeile 166: @@
 <tr><td></td><td></td></tr>
 </table>
 <hr/>

Mechaniker am 29. März 2021 um 12:49 Uhr

2021-03-29T12:49:17Z

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 [[Category:Gelöste Aufgaben]]
 [[Category:A*x=b]]
 [[Category:Lineare Algebra]]
 [[Category:Numerische Lösung]]
 [[Category:Anfangswertproblem]]
 [[Category:Feder-Masse-System‎]]
-[[Category:Draft]]
+[[Category:Eigenwert]][[Category:Eigenwertproblem‎]]
 [[Category:Floquet-Theorem]]
 [[Category:Fundamentalmatrix]]
 [[Category:Mathieusche Differentialgleichung]]
 [[Category:Maxima‎]]
 [[Category:Stabilität]]
 ==Aufgabenstellung==