Gelöste Aufgaben/Kw25 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 29. März 2021 um 07:08 Uhr

2021-03-29T07:08:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2021, 07:08 Uhr
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	Die Differentialgleichung erster Ordnung		Die Differentialgleichung erster Ordnung

	<math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{d\,U}{d\,\tau}&=V,\\\displaystyle \frac{d\,V}{d\,\tau}&=4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \left( \mu\left( v_r\right) - U\right)\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{d\,U}{d\,\tau}&=V,\\\displaystyle \frac{d\,V}{d\,\tau}&=4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \left( \mu\left( v_r\right) - U\right)\end{array}</math>

	lösen wir nun als Anfangswertproblem		lösen wir nun als Anfangswertproblem

	<math>\underline{\dot{q}} = \underline{f}(\underline{q})</math>		::<math>\underline{\dot{q}} = \underline{f}(\underline{q})</math>

	mit		mit

	<math>\underline{q} = \left(\begin{array}{c}U\\V\end{array}\right)</math>.		::<math>\underline{q} = \left(\begin{array}{c}U\\V\end{array}\right)</math>.

	Als Anfangsbedingungen wählen wir diese vier:		Als Anfangsbedingungen wählen wir diese vier:
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	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	~~[[Datei:Kw25-01.png\|mini\|Lageplan]]~~



	<hr/>		<hr/>

Mechaniker am 29. März 2021 um 07:06 Uhr

2021-03-29T07:06:53Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 29. März 2021 um 06:58 Uhr

2021-03-29T06:58:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2021, 06:58 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:

	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:Kw25-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|Lageplan]]		[[Datei:Kw25-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|Lageplan\|250x250px]]
	Gesucht ist die numerische Lösung für den Klotz auf dem Band als Anfangswertproblem, untersucht werden selbsterregte Schwingungen.		Gesucht ist die numerische Lösung für den Klotz auf dem Band als Anfangswertproblem, untersucht werden selbsterregte Schwingungen.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
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	Haften Körper und Unterlage aneinander (Relativgeschwindigkeit ''v<sub>r</sub>'' ist "Null"), so ist die Haftkraft		Haften Körper und Unterlage aneinander (Relativgeschwindigkeit ''v<sub>r</sub>'' ist "Null"), so ist die Haftkraft

			<math>\|H\| \le \mu_0 \cdot N</math>

	mit der Normalkraft ''N''. Bewegen sich die beiden relativ zueinander, so schreibt man		mit der Normalkraft ''N''. Bewegen sich die beiden relativ zueinander, so schreibt man

	.		<math>\|R\| = \mu\cdot N</math>.

	Die Beträge bedeuten hier: die Kräfte sind gegen die Bewegung orientiert.		Die Beträge bedeuten hier: die Kräfte sind gegen die Bewegung orientiert.
Zeile 72:		Zeile 74:
	# Das Vorzeichen des Funktionswerts für Haftung hängt davon ab, mit welcher Orientierung eine resultierende Kraft auf den Körper wirkt.		# Das Vorzeichen des Funktionswerts für Haftung hängt davon ab, mit welcher Orientierung eine resultierende Kraft auf den Körper wirkt.

	Der Sprung ist eine effektive Handbremse für jeden Algorithmus zur numerischen Integration der Bewegungsgleichung, der von einer stetigen und stetig differenzierbaren "Rechten Seite" der Bewegungsgleichung ausgehen (vgl. Runge-Kutta-Verfahren 4.ter Ordnung) - also für praktisch alle Algorithmen. Und dass die Haftkraft nicht eindeutig von den Zustandsgrößen des Systems abhängt, hebelt jedes Standard-Lösungsverfahren aus.		Der Sprung ist eine effektive Handbremse für jeden Algorithmus zur numerischen Integration der Bewegungsgleichung, der von einer stetigen und stetig differenzierbaren "Rechten Seite" der Bewegungsgleichung ausgehen (vgl. [[Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Runge-Kutta-Verfahren 4.ter Ordnung\|Runge-Kutta-Verfahren 4.ter Ordnung]]) - also für praktisch alle Algorithmen. Und dass die Haftkraft nicht eindeutig von den [[Sources/Lexikon/Zustandsgröße\|Zustandsgrößen]] des Systems abhängt, hebelt jedes Standard-Lösungsverfahren aus.

	Kommerzielle Programme führen deshalb "Schaltstellen" ein, in denen der Lösungsalgorithmus an diesen Unstetigkeiten dann "etwas anderes" macht. Oft wird die Lösung des Anfangswertproblems dadurch aber sehr ineffizient. Hier schreiben wir deshalb eine Kennlinie an, bei der die Tangentialkraft (hier nennen wir sie Reibkraft) stetig von der Relativgeschwindigkeit ''v<sub>r</sub>'' zwischen Körper und Band abhängt.[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennlinie]]Wir suchen eine Kennlinie wie hier im Bild blau und rot gekennzeichnet. Die klassische Formulierung ist in grau hinterlegt. Die Kennlinie unserer Formulierung nennen wir Reibkennlinie		Kommerzielle Programme führen deshalb "Schaltstellen" ein, in denen der Lösungsalgorithmus an diesen Unstetigkeiten dann "etwas anderes" macht. Oft wird die Lösung des Anfangswertproblems dadurch aber sehr ineffizient. Hier schreiben wir deshalb eine Kennlinie an, bei der die Tangentialkraft (hier nennen wir sie Reibkraft) stetig von der Relativgeschwindigkeit ''v<sub>r</sub>'' zwischen Körper und Band abhängt.[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennlinie]]Wir suchen eine Kennlinie wie hier im Bild blau und rot gekennzeichnet. Die klassische Formulierung ist in grau hinterlegt. Die Kennlinie unserer Formulierung nennen wir Reibkennlinie

	.		<math>R(\mu, \mu_0, v_r)</math>.

	Das Haften ist hier nur ein Sonderfall, den die Kennlinine mit abbildet.		Das Haften ist hier nur ein Sonderfall, den die Kennlinine mit abbildet.

			Die gesuchte Kennlinie

	~~Die gesuchte Kennlinie~~		<math>R = \mu(v_r)\cdot N</math>

	muss punkt-symmetrisch sein (die Reibkraft ändert ihr Vorzeichen mit der Orientierung der Relativgeschwindigkeit). Welche Funktionen wir verwenden ist egal, hier probieren wir Sinus und Exponential-Funktionen aus. Wie diese Funktioen aneinader-gestückelt werden, steht im Lexikon unter "Reibkennlinie".		muss punkt-symmetrisch sein (die Reibkraft ändert ihr Vorzeichen mit der Orientierung der Relativgeschwindigkeit). Welche Funktionen wir verwenden ist egal, hier probieren wir Sinus und Exponential-Funktionen aus. Wie diese Funktioen aneinader-gestückelt werden, steht im Lexikon unter "[[Sources/Lexikon/Reibkennlinie\|Reibkennlinie]]".

	Wir arbeiten mit		Wir arbeiten mit

	.<!-------------------------------------------------------------------------------->		<math>\displaystyle \mu = \left\{ \begin{array}{lllll}\left( a-\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \right) \cdot {{e}^{\displaystyle -\frac{\pi \cdot b\cdot \mathrm{cos}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \cdot \left( b+\upsilon\right) }{\mathrm{sin}\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}}}-a&\text{für}&\upsilon&<-b\\\sin(\pi\;b\;\upsilon)&\text{für}-b<&\upsilon&<+b\\a-\left( a-\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \right) \cdot {{e}^{\displaystyle -\frac{\pi \cdot b\cdot \cos\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) \cdot \left( b-\upsilon\right) }{\sin\left( \pi \cdot {{b}^{2}}\right) -a}}}&\text{für}+b<&\upsilon&\end{array}\right. </math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Friction Characteristic		{{MyCodeBlock\|title=Friction Characteristic
Zeile 99:		Zeile 102:
	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		[[Datei:Kw25-02.png\|mini\|Freikörperbild\|alternativtext=\|links\|150x150px]]Die Bewegungsgleichungen des Systems bekommen wir direkt aus dem Kräftegleichgewicht am Körper (mit dem [[Sources/Lexikon/Prinzip von d'Alembert\|Prinzip von d'Alembert]]) zu

			<math>m \; \ddot{u} + k\; u - R(\mu, \mu_0, v_r) = 0</math>.

			Dimensionslos machen wir die Bewegungsgleichung mit

			* der Referenzzeit ''T'' aus
			<math>\begin{array}{ll}\omega_0 &= 2\pi/T \\&= \sqrt{k/m}\end{array}</math> mit der Eigenkreisfrequenz
			<math>\omega_0</math> des frei schwingenden Körpers (''R=0'') und
			* der Auslenkung des Körpers an der Feder im Erd-Schwerefeld
			<math>\displaystyle \hat{u} = \frac{m\;g}{k}</math>

			Wir erhalten mit

			<math>u = \hat{u}\cdot U \text{ und } t = T\cdot \tau</math>

			als Bewegungsgleichung

			<math>\displaystyle \frac{{{\mu}_{0}}\cdot g\cdot m }{4\cdot {{\pi }^{2}}}\cdot \frac{{{d}^{2}U}}{d\,{{\tau}^{2}}}+{{\mu}_{0}}\cdot g\cdot m\cdot U-g\cdot m\cdot \mu(v_r)=0</math>

			bzw.

			<math>\displaystyle \frac{{{d}^{2}U}}{d\,{{\tau}^{2}}}+4\pi^2 \cdot U-4\pi^2 \cdot \frac{\mu(v_r)}{\mu_0}=0</math><!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions		{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=Text		\|text=Text
Zeile 110:		Zeile 136:
	==tmp==		==tmp==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Die Differentialgleichung erster Ordnung

			<math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{d\,U}{d\,\tau}&=V,\\\displaystyle \frac{d\,V}{d\,\tau}&=4\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \left( \mu\left( v_r\right) - U\right)\end{array}</math>

			lösen wir nun als Anfangswertproblem

			<math>\underline{\dot{q}} = \underline{f}(\underline{q})</math>

			mit

			<math>\underline{q} = \left(\begin{array}{c}U\\V\end{array}\right)</math>.

			Als Anfangsbedingungen wählen wir diese vier:

			<math>\underline{q}_{0,1} = \left(\begin{array}{l}1\\0\end{array} \right)</math>, <math>\underline{q}_{0,2} = \left(\begin{array}{l}-1\\+0\end{array} \right)</math>, <math>\underline{q}_{0,3} = \left(\begin{array}{l}0.\\0.001\end{array} \right)</math>, <math>\underline{q}_{0,4} = \left(\begin{array}{l}0\\3\end{array} \right)</math>.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Solving		{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=Text		\|text=Text
Zeile 120:		Zeile 161:

	==tmp==		==tmp==
			Im Auslenkung ''U(τ)'': für die vier Anfangsbedingungen:

	<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">		<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">
Zeile 136:		Zeile 178:


	<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		Unabhängig von den Anfangsbedingungen läuft das System sofort in die "Stick-Slip" Schwingung hinein.

			Phasen Diagramme:


			Hier erkennt man gut, wie der Körper am Band haften bleibt - für V=1 sind Band und Körper-Geschwindigkeit gleich.<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 146:		Zeile 193:

	[[Datei:Kw25-01.png\|mini\|Lageplan]]		[[Datei:Kw25-01.png\|mini\|Lageplan]]
	~~[[Datei:Kw25-02.png\|mini\|Freikörperbild]]~~

Mechaniker am 29. März 2021 um 06:47 Uhr

2021-03-29T06:47:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2021, 06:47 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:

	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==
	~~Lorem Ipsum ....~~

	==tmp==		==tmp==
Zeile 27:		Zeile 26:
	"Stick-Slip" Schwingungen sind klassische selbsterregte Schwingungen. Selbsterrung heißt: das System lenkt den Energiefluss im System so, dass Schwingungen "aus sich heraus" angeregt werden. Charakteristisch für "Stick-Slip" Schwingungen ist, dass zwei Körper zeitweise aneinander haften, dann auseinander gerissen werden und dann aneinander reiben - bis sie wieder aneinander haften.<!-------------------------------------------------------------------------------->		"Stick-Slip" Schwingungen sind klassische selbsterregte Schwingungen. Selbsterrung heißt: das System lenkt den Energiefluss im System so, dass Schwingungen "aus sich heraus" angeregt werden. Charakteristisch für "Stick-Slip" Schwingungen ist, dass zwei Körper zeitweise aneinander haften, dann auseinander gerissen werden und dann aneinander reiben - bis sie wieder aneinander haften.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=~~Title~~		{{MyCodeBlock\|title=Header
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 45:		Zeile 44:
	* ''v<sub>0</sub>'': eine (kleine) Kriechgeschwindigkeit.<!-------------------------------------------------------------------------------->		* ''v<sub>0</sub>'': eine (kleine) Kriechgeschwindigkeit.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=~~Title~~		{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 90:		Zeile 89:
	.<!-------------------------------------------------------------------------------->		.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=~~Title~~		{{MyCodeBlock\|title=Friction Characteristic
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 101:		Zeile 100:

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=~~Title~~		{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 112:		Zeile 111:

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=~~Title~~		{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=

Mechaniker am 29. März 2021 um 06:46 Uhr

2021-03-29T06:46:42Z

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 ==Aufgabenstellung==
-SOME TEXT
+Ein Körper (Masse ''m'') liegt auf einem Band, das über eine Rolle (Radius ''r'') mit konstanter Drehgeschwindigkeit Ω angetrieben wird. Der Körper ist über eine Feder (Steifigkeit ''k'') mit der Umgebung verbunden. Zwischen Körper und Band wirkt trockene Reibung (''μ, μ<sub>0</sub>'').
 <onlyinclude>
-[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png|100px|left|mini|Caption]]
+[[Datei:Kw25-01.png|alternativtext=|links|mini|Lageplan]]
-Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
+Gesucht ist die numerische Lösung für den Klotz auf dem Band als Anfangswertproblem, untersucht werden selbsterregte Schwingungen.
 </onlyinclude>
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+"Stick-Slip" Schwingungen sind klassische selbsterregte Schwingungen. Selbsterrung heißt: das System lenkt den Energiefluss im System so, dass Schwingungen "aus sich heraus" angeregt werden. Charakteristisch für "Stick-Slip" Schwingungen ist, dass zwei Körper zeitweise aneinander haften, dann auseinander gerissen werden und dann aneinander reiben - bis sie wieder aneinander haften.<!-------------------------------------------------------------------------------->
 {{MyCodeBlock|title=Title
 |text=Text
@@ Zeile 36: / Zeile 37: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Im Zentrum dieser Aufgabe steht die Kennlinie (engl.: Characteristic), die den Zusammenhang zwischen Tangentialkräft (Haftkraft, Reibkraft), Normalkraft und Relativgeschwindigkeit erfasst.
 {{MyCodeBlock|title=Title
 |text=Text
@@ Zeile 47: / Zeile 55: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->
+Trockene Reibung im Modell beschreibt man mit zwei System-Parametern:
 {{MyCodeBlock|title=Title
 |text=Text
@@ Zeile 104: / Zeile 146: @@
 }}
 [[Datei:Kw25-01.png|mini|Lageplan]]
 [[Datei:Kw25-02.png|mini|Freikörperbild]]

Mechaniker am 29. März 2021 um 06:43 Uhr

2021-03-29T06:43:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2021, 06:43 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:

	==tmp==		==tmp==

			<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">
			<tr><td>a)[[Datei:Kw25-21.png\|rahmenlos]]
			</td><td>b)[[Datei:Kw25-22.png\|rahmenlos]]
			</td></tr><tr><td>c)[[Datei:Kw25-23.png\|rahmenlos]]</td><td>d)[[Datei:Kw25-24.png\|rahmenlos]]</td></tr></table>


			<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">
			<tr>
			<td>a)[[Datei:Kw25-31.png\|rahmenlos]]</td>
			<td>b)[[Datei:Kw25-32.png\|rahmenlos]]</td>
			</tr>
			</table>



	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=~~Title~~		{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 88:		Zeile 103:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	~~<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">~~
	~~<tr><td>a)[[Datei:Kw25-21.png\|rahmenlos]]~~
	~~</td><td>b)[[Datei:Kw25-22.png\|rahmenlos]]~~
	~~</td></tr><tr><td>c)[[Datei:Kw25-23.png\|rahmenlos]]</td><td>d)[[Datei:Kw25-24.png\|rahmenlos]]</td></tr></table>~~


Zeile 100:		Zeile 110:
	[[Datei:Kw25-02.png\|mini\|Freikörperbild]]		[[Datei:Kw25-02.png\|mini\|Freikörperbild]]

	~~[[Datei:Kw25-31.png\|rahmenlos]]~~

	~~[[Datei:Kw25-32.png\|rahmenlos]]~~

	<hr/>		<hr/>

Mechaniker am 29. März 2021 um 06:41 Uhr

2021-03-29T06:41:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2021, 06:41 Uhr
Zeile 90:		Zeile 90:

	<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">		<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">
	<tr><th></th><th></th></tr>		<tr><td>a)[[Datei:Kw25-21.png\|rahmenlos]]
	<tr><td></td><td></td></tr>		</td><td>b)[[Datei:Kw25-22.png\|rahmenlos]]
	</table>		</td></tr><tr><td>c)[[Datei:Kw25-23.png\|rahmenlos]]</td><td>d)[[Datei:Kw25-24.png\|rahmenlos]]</td></tr></table>



			[[Datei:Kw25-03.png\|mini\|Reibkennlinie]]
			[[Datei:Kw25-01.png\|mini\|Lageplan]]
			[[Datei:Kw25-02.png\|mini\|Freikörperbild]]

			[[Datei:Kw25-31.png\|rahmenlos]]

			[[Datei:Kw25-32.png\|rahmenlos]]

	<hr/>		<hr/>

Mechaniker am 29. März 2021 um 06:33 Uhr

2021-03-29T06:33:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2021, 06:33 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	h		[[Category:Gelöste Aufgaben]]
			[[Category:Dimensionslose Schreibweise]]
			[[Category:Numerische Lösung]]
			[[Category:Anfangswertproblem]]
			[[Category:Feder-Masse-System‎]]
			[[Category:Dynamik‎]][[Category:D’Alembertsches Prinzip]]
			[[Category:Haften und Reiben]]
			[[Category:Kennlinie]]
			[[Category:Maxima‎]]
			[[Category:Runge-Kutta-Verfahren‎]]
			[[Category:Nichtlineare Schwingungen]]
			[[Category:Stick-Slip-Effekt]]

			==Aufgabenstellung==
			SOME TEXT

			<onlyinclude>
			[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]
			Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
			</onlyinclude>

			== Lösung mit Maxima ==
			Lorem Ipsum ....

			==tmp==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Title
			\|text=Text
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			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==

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			==tmp==

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			==tmp==

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			</syntaxhighlight>
			}}

			<table class="wikitable" style="background-color:white; float: left; margin-right:14px;">
			<tr><th></th><th></th></tr>
			<tr><td></td><td></td></tr>
			</table>


			<hr/>
			'''Links'''
			* ...

			'''Literature'''
			* ...

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2021-02-16T12:27:37Z

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