Gelöste Aufgaben/Kitb - Versionsgeschichte

Mechaniker am 22. November 2022 um 14:22 Uhr

2022-11-22T14:22:16Z

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	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}
	Wir verwenden außerdem die Abkürzung EA<~~sub>1</sub~~> R~~<sup>~~2</~~sup~~> ~~= α EI~~.		Wir verwenden außerdem die Abkürzung <math>EA_1 \cdot R^2 = \alpha EI</math>.

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Kinematics		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Kinematics

Mechaniker am 22. November 2022 um 14:20 Uhr

2022-11-22T14:20:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. November 2022, 14:20 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}
			Wir verwenden außerdem die Abkürzung EA<sub>1</sub> R<sup>2</sup> = α EI.

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Kinematics		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Kinematics

Mechaniker am 13. November 2022 um 09:18 Uhr

2022-11-13T09:18:42Z

@@ Zeile 118: / Zeile 118: @@
 ::<math>
 \underline{Q} = \left(\begin{array}{c}
-\Phi_O\\\Psi_O\\W_H\\\Phi_H\\V_H\\\Psi_H\\W_T\\\Phi_T\\V_T\\\Psi_T
+\Phi_O\\
 \end{array}\right)
 </math>
@@ Zeile 124: / Zeile 133: @@
 ::<math>
 \underline{\delta Q} = \left(\begin{array}{c}
-\delta \Phi_O\\\delta \Psi_O\\\delta W_H\\\delta \Phi_H\\\delta V_H\\\delta \Psi_H\\\delta W_T\\\delta \Phi_T\\\delta V_T\\\delta \Psi_T
+\delta \Phi_O\\
 \end{array}\right)
 </math>

Mechaniker am 16. September 2022 um 13:25 Uhr

2022-09-16T13:25:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2022, 13:25 Uhr
Zeile 326:		Zeile 326:
	\end{array}		\end{array}
	</math>		</math>
			Für Knotenvariablen wie z.B. <math>W_T, \Phi_T</math> kann man zeigen, dass die Ergebnisse identisch sind - auch wenn man im Fall von <math>W_T</math>ein bisschen umformen muss \ldots.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
Zeile 347:		Zeile 348:
	{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=Einsetzten der Knotenvaraiblen in die Ansatzfunktionen liefert dern Verlauf der Auslenkung und Schnittkräfte - hier am Beispiel des Biegemoments:		\|text=Einsetzten der Knotenvaraiblen in die Ansatzfunktionen liefert dern Verlauf der Auslenkung und Schnittkräfte - hier am Beispiel des Biegemoments:
			Auch wenn der Verlauf der Auslenkungen <math>w(x),v(x)</math> identisch zu sein scheint mit der Lösung aus [[Gelöste Aufgaben/Kita\|Kita]], so sieht man an der zweiten Ableitung - dem Momentenverlauf - doch deutlich, dass das nicht stimmt. Wir sehen also hier eine Näherungslösung für die analytische Rechnung.
	<table>		<table>
	<tr><td>[[Datei:Kitb-21.png\|500px\|mini\|Auslenkung der Querschnitte]]</td><td>[[Datei:Kitb-22.png\|500px\|mini\|Biegemomente]]</td></tr>		<tr><td>[[Datei:Kitb-21.png\|500px\|mini\|Auslenkung der Querschnitte]]</td><td>[[Datei:Kitb-22.png\|500px\|mini\|Biegemomente]]</td></tr>

Mechaniker am 16. September 2022 um 13:16 Uhr

2022-09-16T13:16:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2022, 13:16 Uhr
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	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Solving		{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=Die Lösung des linearen Gleichungssystems liefert das Ergebnis für <math>\underline{Q}</math>:		\|text=Die Lösung des linearen Gleichungssystems liefert das Ergebnis für die Knotenvariablen in <math>\underline{Q}</math>:
	::<math>		::<math>
	\begin{array}{l}		\begin{array}{l}
	{{\Phi }_O}=-\frac{{{R}^{3}} {q_T} \left( 2187 \sqrt{2}-32 \alpha \right) }{45 {{2}^{\frac{5}{2}}} EI \alpha }\\		{{\Phi }_O}=-\frac{{{R}^{3}} {q_T} \left( 2187 \sqrt{2}-32 \alpha \right) }{45 {{2}^{\frac{5}{2}}} EI \alpha}\\
	{W_H}=-\frac{243 {{R}^{4}} {q_T}}{5 \sqrt{2} EI \alpha \\		{W_H}=-\frac{243 {{R}^{4}} {q_T}}{5 \sqrt{2} EI \alpha}\\
	{{\Phi }_H}=-\frac{{{R}^{3}} {q_T} \left( 128 \alpha +2187 \sqrt{2}\right) }{45 {{2}^{\frac{5}{2}}} EI \alpha \\		{{\Phi }_H}=-\frac{{{R}^{3}} {q_T} \left( 128 \alpha +2187 \sqrt{2}\right) }{45 {{2}^{\frac{5}{2}}} EI \alpha}\\
	{W_T}=-		{W_T}=-\frac{{{R}^{4}} {q_T} \left( 35 \sqrt{2} \alpha +2187\right) }{15 {{2}^{\frac{3}{2}}} EI \alpha}\\
	\frac{{{R}^{4}} {q_T} \left( 35 \sqrt{2} \alpha +2187\right) }{15 {{2}^{\frac{3}{2}}} EI \alpha \\		{{\Phi }_T}=-\frac{{{R}^{3}} {q_T} \left( 238 \alpha +2187 \sqrt{2}\right) }{45 {{2}^{\frac{5}{2}}} EI \alpha}\\
	{{\Phi }_T}=-\frac{{{R}^{3}} {q_T} \left( 238 \alpha +2187 \sqrt{2}\right) }{45 {{2}^{\frac{5}{2}}} EI \alpha \\		{{\Psi }_O}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha}\\
	{{\Psi }_O}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha \\		{V_H}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{4}} {q_T}}{5 \sqrt{2} EI \alpha}\\
	{V_H}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{4}} {q_T}}{5 \sqrt{2} EI \alpha \\		{{\Psi }_H}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha}\\
	{{\Psi }_H}=-		{V_T}=-\frac{{{3}^{\frac{9}{2}}} {{R}^{4}} {q_T}}{5 {{2}^{\frac{3}{2}}} EI \alpha}\\
	\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha \\
	{V_T}=-\frac{{{3}^{\frac{9}{2}}} {{R}^{4}} {q_T}}{5 {{2}^{\frac{3}{2}}} EI \alpha \\
	{{\Psi }_T}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha }		{{\Psi }_T}=-\frac{{{3}^{\frac{7}{2}}} {{R}^{3}} {q_T}}{20 EI \alpha }
	\end{array}		\end{array}

Mechaniker am 16. September 2022 um 13:12 Uhr

2022-09-16T13:12:29Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 16. September 2022 um 09:19 Uhr

2022-09-16T09:19:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2022, 09:19 Uhr
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	Für die Implementierung in ein Rechnerprogramm formulieren wir dabei		Für die Implementierung in ein Rechnerprogramm formulieren wir dabei
	::<math>		::<math>
	\delta W = \delta \underline{Q}^T \cdot \underline{\underline{K}} \cdot \underline{Q}		\delta W = \delta \underline{Q}^T \cdot \underline{\underline{K}} \cdot \underline{Q} - \delta \underline{Q}^T \cdot \underline{p}
	</math>		</math>
	und komponieren die Gesamtsteifigkeitsmatrix <math>\underline{\underline{K}}</math> aus den Anteilen der virtuellen Formänderungsarbeit und der virtuellen Arbeit der äußeren Last <math>q_T</math> zusammen.		und komponieren die Gesamtsteifigkeitsmatrix <math>\underline{\underline{K}}</math> aus den Anteilen der virtuellen Formänderungsarbeit und der virtuellen Arbeit der äußeren Last <math>q_T</math> zusammen.

Mechaniker am 16. September 2022 um 09:07 Uhr

2022-09-16T09:07:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2022, 09:07 Uhr
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	mit		mit
	::<math>		::<math>
	\delta W_{rod,i} = \underline{S}_i \cdot \left(\begin{array}{c}0\\\delta V_H\\\delta W_H\end{array}\right).		\delta W_{rod,i} = \underline{S}_i \cdot \left(\begin{array}{c}0\\\delta V_H\\\delta W_H\end{array}\right) \text{ und } \underline{S}_i = S_i \cdot \underline{e}_i.
	</math>		</math>
	Dabei ist		Dabei ist

Mechaniker am 16. September 2022 um 09:06 Uhr

2022-09-16T09:06:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2022, 09:06 Uhr
Zeile 216:		Zeile 216:
	0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}		0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
	</math>		</math>
	Hier habe wir die Elemente nach den Stäben eingefärbt. Man sieht gut, wie der Term <math>\sqrt{3} {\color{blue} EA_3}-\sqrt{3} {\color{green} EA_2}</math> zu einer Kopplung der beiden ~~Auslenkungen,~~ führt, wenn <math>EA_2 \neq EA_3</math>.		Hier habe wir die Elemente nach den Stäben eingefärbt. Man sieht gut, wie der Term <math>\sqrt{3} {\color{blue} EA_3}-\sqrt{3} {\color{green} EA_2}</math> zu einer Kopplung der Auslenkungen in die beiden Raumrichtungen führt, wenn <math>EA_2 \neq EA_3</math>.




			Die Gesamtsteifigkeitsmatrix ist nun
			::<math>
			\underline{\underline{K}} = \underline{\underline{K}}_{mast} + \underline{\underline{K}}_{rod}
			</math>
	====Virtuelle Arbeit der Windlast====		====Virtuelle Arbeit der Windlast====


	\|code=		\|code=

Mechaniker am 16. September 2022 um 09:03 Uhr

2022-09-16T09:03:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2022, 09:03 Uhr
Zeile 149:		Zeile 149:
	\end{array}		\end{array}
	</math>		</math>
			Für die Implementierung in ein Rechnerprogramm formulieren wir dabei
			::<math>
			\delta W = \delta \underline{Q}^T \cdot \underline{\underline{K}} \cdot \underline{Q}
			</math>
			und komponieren die Gesamtsteifigkeitsmatrix <math>\underline{\underline{K}}</math> aus den Anteilen der virtuellen Formänderungsarbeit und der virtuellen Arbeit der äußeren Last <math>q_T</math> zusammen.
	====Virtuelle Formänderungsenergie des Masts====		====Virtuelle Formänderungsenergie des Masts====
	Diese Anteile können wir direkt aus der Anleitungen „FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken“ übernehmen.		Diese Anteile können wir direkt aus der Anleitungen „FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken“ übernehmen.
Zeile 155:		Zeile 160:
	Die liefern dann den Anteil des Masts an der virtuellen Arbeit, den wir in der Form		Die liefern dann den Anteil des Masts an der virtuellen Arbeit, den wir in der Form
	::<math>		::<math>
	\delta W_{mast} = \underline{\delta Q}\cdot \underline{\underline{K}}_{mast}\cdot \underline{Q}		\delta W_{mast} = \underline{\delta Q}^T\cdot \underline{\underline{K}}_{mast}\cdot \underline{Q}
	</math>		</math>
	anschreiben können		anschreiben können