Gelöste Aufgaben/Kit6 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 26. März 2021 um 07:32 Uhr

2021-03-26T07:32:46Z

Mechaniker am 26. März 2021 um 07:28 Uhr

2021-03-26T07:28:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2021, 07:28 Uhr
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	Von einen Funktionsverlauf (hier aus [[Gelöste Aufgaben/Kit5\|Kit5]]) wurden die skizzierten Samples ermittelt, aus denen bzgl. eines Referenzpunktes die Ableitungen bis zur vierten Ordnung ermittelt werden sollen.		Von einen Funktionsverlauf (hier aus [[Gelöste Aufgaben/Kit5\|Kit5]]) wurden die skizzierten Samples ermittelt, aus denen bzgl. eines Referenzpunktes die Ableitungen bis zur vierten Ordnung ermittelt werden sollen.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:Kit6-01.png\|left\|248px\|mini\|Samples von <nowiki>''w(x)''</nowiki>.]]		[[Datei:Kit6-01.png\|left\|248px\|mini\|Samples von <nowiki>''w(x)''</nowiki>.]]Gesucht ist eine numerische Approximation der Ableitungen bis zur vierten Ordnung aus Samples der Lösung eines [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Differenzen Verfahren (EBB)\|Randwertproblems]].

	~~[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]~~
	Gesucht ist eine numerische Approximation der Ableitungen bis zur vierten Ordnung aus Samples der Lösung eines [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Differenzen Verfahren (EBB)\|Randwertproblems]].

	Hier wird der Bezug zur Methode der Finiten Differenzen gezeigt.		Hier wird der Bezug zur Methode der Finiten Differenzen gezeigt.
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	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Diese Samples können wir in der Umgebung eines Punktes durch Polynome approximieren - z.B. durch eine Geradengleichung. Je nach Anwendungszweck braucht man Polynome einer bestimmten Ordnung. Um z.B. die zweite Ableitung ''w<nowiki>''</nowiki>(ξ<sup>*</sup>)'' zu bestimmen, brauchen wir mindestens ein Polynom 2. Grades, das dann zweimal abgeleitet die konstante Krümmung liefert.

			Wir nehmen gleich einen ganzen Schwung von Polynomen, hier bis zur Ordnung 4. Je nach Ordnung des gesuchten Polynoms haben wir unterschiedlich viele unbekannte Polynomial-Koeffizienten. Diese müssen wir durch Anpassen an die Samples in der Umgebung von ''ξ<sup>*</sup>'' bestimmen.

			<math>\begin{array}{lcl} p_0(\tilde{\xi})&=& W_0\\ p_1(\tilde{\xi})&=& \displaystyle \frac{{{W}_{-1}}+{{W}_{1}}}{2}-\frac{\left( {{W}_{-1}}-{{W}_{1}}\right) \cdot \xi}{2\cdot \Delta\xi}\\ p_2(\tilde{\xi})&=& \displaystyle -\frac{\left( {{W}_{-1}}-{{W}_{1}}\right) \cdot \xi}{2\cdot \Delta\xi}+\frac{\left( {{W}_{-1}}-2\cdot {{W}_{0}}+{{W}_{1}}\right) \cdot {{\xi}^{2}}}{2\cdot {{\Delta\xi}^{2}}}+{{W}_{0}}\\ p_3(\tilde{\xi})&=& \displaystyle \frac{\left( {{W}_{-2}}-8\cdot {{W}_{-1}}+8\cdot {{W}_{1}}-{{W}_{2}}\right) \cdot \xi}{12\cdot \Delta\xi}+\frac{\left( {{W}_{-2}}-{{W}_{-1}}-{{W}_{1}}+{{W}_{2}}\right) \cdot {{\xi}^{2}}}{6\cdot {{\Delta\xi}^{2}}}-\frac{\left( {{W}_{-2}}-2\cdot {{W}_{-1}}+2\cdot {{W}_{1}}-{{W}_{2}}\right) \cdot {{\xi}^{3}}}{12\cdot {{\Delta\xi}^{3}}}-\frac{{{W}_{-2}}-4\cdot {{W}_{-1}}-4\cdot {{W}_{1}}+{{W}_{2}}}{6}\\ p_4(\tilde{\xi})&=& \displaystyle \frac{\left( W_{-2}-8 \cdot W_{-1}+8\cdot W_{1}-W_{2}\right) \cdot \xi}{12\cdot \Delta\xi}-\frac{\left( {{W}_{-2}}-16\cdot {{W}_{-1}}+30\cdot {{W}_{0}}-16\cdot {{W}_{1}}+{{W}_{2}}\right) \cdot {{\xi}^{2}}}{24\cdot {{\Delta\xi}^{2}}}-\frac{\left( {{W}_{-2}}-2\cdot {{W}_{-1}}+2\cdot {{W}_{1}}-{{W}_{2}}\right) \cdot {{\xi}^{3}}}{12\cdot {{\Delta\xi}^{3}}}+\frac{\left( {{W}_{-2}}-4\cdot {{W}_{-1}}+6\cdot {{W}_{0}}-4\cdot {{W}_{1}}+{{W}_{2}}\right) \cdot {{\xi}^{4}}}{24\cdot {{\Delta\xi}^{4}}}+{{W}_{0}}\\ \end{array}</math><!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Generic Approximation Polynoms		{{MyCodeBlock\|title=Generic Approximation Polynoms
	\|text=Text		\|text=Text
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	}}		}}
	==tmp==		==tmp==
			Grafen der 5 Polynome nullten bis vierten Grades zeigen die folgende Grafen:
			[[Datei:Kig6-12.png\|mini\|Polynom-Approximation]]

			[[Datei:Kig6-13.png\|mini\|Polynom-Approximation (Detail)]]
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Approximation Polynoms for ξ=8∙Δξ		{{MyCodeBlock\|title=Approximation Polynoms for ξ=8∙Δξ
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	}}		}}
	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		Wir prüfen die Übereinstimmung mit der Problemstellung aus [[Gelöste Aufgaben/Kit5\|Kit5]]. Es muss

			<math>\begin{array}{l} w''''(\xi) = \mu \text{ für } 0\le \xi < 1 \\ w''''(\xi) = 0 \text{ sonst }\end{array}</math>

			gelten.[[Datei:Kig6-14.png\|mini\|Vierte Ableitung w<nowiki>''''</nowiki>]]Dafür definieren wir

			<math>\begin{array}{ll} \kappa &:= \displaystyle \frac{d^4 p_4}{d\xi^4} \\ & = \displaystyle \frac{{{W}_{-2}}-4\cdot {{W}_{-1}}+6\cdot {{W}_{0}}-4\cdot {{W}_{1}}+{{W}_{2}}}{{{\mathit{\Delta \xi}}^{4}}} \end{array}</math>

			und ermitteln die vierte Ableitung aus 5 aufeinanderfolgenden Sampling-Punkten.

			Das funktioniert für die Samples 3,4, ... N-2 (damit jeweils "rechts" und "links" 2 Samples zur Verfügung stehen) und tragen ''κ'' rechts auf:

			Für die analytische richtige Lösung müsste die vierte Ableitung ''κ'' einen Sprung an der Stelle ''ξ=1'' haben. Weil sich diese Ableitung jedoch aus fünf aufeinanderfolgenden Stützstellen ergibt, funktioniert das nicht.<!-------------------------------------------------------------------------------->

	{{MyCodeBlock\|title=Check for fourth order derivative		{{MyCodeBlock\|title=Check for fourth order derivative
	\|text=Text		\|text=Text
Zeile 80:		Zeile 99:
	<tr><td></td><td></td></tr>		<tr><td></td><td></td></tr>
	</table>		</table>
	~~[[Datei:Kig6-13.png\|mini\|Polynom-Approximation (Detail)]]~~
	~~[[Datei:Kig6-12.png\|mini\|w(x)]]~~
	~~[[Datei:Kig6-14.png\|mini\|Vierte Ableitung w<nowiki>''''</nowiki>]]~~

Mechaniker am 26. März 2021 um 07:22 Uhr

2021-03-26T07:22:51Z

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 Von einen Funktionsverlauf (hier aus [[Gelöste Aufgaben/Kit5|Kit5]]) wurden die skizzierten Samples ermittelt, aus denen bzgl. eines Referenzpunktes die Ableitungen bis zur vierten Ordnung ermittelt werden sollen.
 <onlyinclude>
 [[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png|100px|left|mini|Caption]]
 Gesucht ist eine numerische Approximation der Ableitungen bis zur vierten Ordnung aus Samples der Lösung eines [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Differenzen Verfahren (EBB)|Randwertproblems]].
 </onlyinclude>
 == Lösung mit Maxima ==
-Lorem Ipsum ....
+<!-------------------------------------------------------------------------------->
 ==tmp==
 <!-------------------------------------------------------------------------------->
-{{MyCodeBlock|title=Title
+{{MyCodeBlock|title=Preparations
 |text=Text
 |code=
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 </syntaxhighlight>
 }}
 <table class="wikitable">
@@ Zeile 32: / Zeile 83: @@
 [[Datei:Kig6-12.png|mini|w(x)]]
 [[Datei:Kig6-14.png|mini|Vierte Ableitung w<nowiki>''''</nowiki>]]
-[[Datei:Kit6-01.png|mini|Samples von <nowiki>''w(x)''</nowiki>.]]

Mechaniker am 26. März 2021 um 07:18 Uhr

2021-03-26T07:18:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2021, 07:18 Uhr
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	<tr><td></td><td></td></tr>		<tr><td></td><td></td></tr>
	</table>		</table>
			[[Datei:Kig6-13.png\|mini\|Polynom-Approximation (Detail)]]
			[[Datei:Kig6-12.png\|mini\|w(x)]]
			[[Datei:Kig6-14.png\|mini\|Vierte Ableitung w<nowiki>''''</nowiki>]]
			[[Datei:Kit6-01.png\|mini\|Samples von <nowiki>''w(x)''</nowiki>.]]

Mechaniker am 26. März 2021 um 07:15 Uhr

2021-03-26T07:15:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2021, 07:15 Uhr
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	j		[[Category:Gelöste Aufgaben]]
			[[Category:Dimensionslose Schreibweise]]
			[[Category:Lineare Algebra]]
			[[Category:Biege-Belastung]]
			[[Category:Finite-Differenzen-Methode]]

			==Aufgabenstellung==
			Von einen Funktionsverlauf (hier aus [[Gelöste Aufgaben/Kit5\|Kit5]]) wurden die skizzierten Samples ermittelt, aus denen bzgl. eines Referenzpunktes die Ableitungen bis zur vierten Ordnung ermittelt werden sollen.
			<onlyinclude>
			[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]
			Gesucht ist eine numerische Approximation der Ableitungen bis zur vierten Ordnung aus Samples der Lösung eines [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Differenzen Verfahren (EBB)\|Randwertproblems]].
			</onlyinclude>

			== Lösung mit Maxima ==
			Lorem Ipsum ....

			==tmp==
			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Title
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			<table class="wikitable">
			<tr><th></th><th></th></tr>
			<tr><td></td><td></td></tr>
			</table>


			<hr/>
			'''Links'''
			* ...

			'''Literature'''
			* ...

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