Gelöste Aufgaben/Kit4 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 25. März 2021 um 15:24 Uhr

2021-03-25T15:24:45Z

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 ::<math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(0)&=&0\\\tilde{w}''_1(0)&=&0\end{array}</math>, <math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(1)&=&\tilde{w}_2(0)\\\tilde{w}'_1(1)&=&\tilde{w}'_2(0)\\\tilde{w}''_1(1)&=&\tilde{w}''_2(0)\\\tilde{w}'''_1(1)&=&\tilde{w}'''_2(0)\end{array}</math>, <math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(1/2)&=&0\\ \tilde{w}''_2(1/2)&=&0\end{array}</math>.
 <hr/>
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 '''Literature'''
 * ...

Mechaniker: /* Aufgabenstellung */

2021-03-25T15:20:02Z

Aufgabenstellung

Mechaniker: /* Aufgabenstellung */

2021-03-25T15:18:56Z

Aufgabenstellung

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 <onlyinclude>
-[[Datei:Datei:Kit4-01.png|250px|left|mini|Lageplan]]
+[[Datei:Kit4-01.png|alternativtext=|links|mini|Lageplan]]
 Gesucht ist für den Euler-Bernoulli-Balken die dimensionslose Form der Bewegungs-Differentialgleichung.
 </onlyinclude>
 == Lösung mit Maxima ==
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 [[|mini|Lageplan]]

Mechaniker am 25. März 2021 um 15:12 Uhr

2021-03-25T15:12:13Z

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	j		[[Category:Gelöste Aufgaben]]
			[[Category:Dimensionslose Schreibweise]]

			==Aufgabenstellung==
			SOME TEXT

			<onlyinclude>
			[[Datei:Datei:Kit4-01.png\|250px\|left\|mini\|Lageplan]]
			Gesucht ist für den Euler-Bernoulli-Balken die dimensionslose Form der Bewegungs-Differentialgleichung.
			</onlyinclude>

			== Lösung mit Maxima ==
			Lorem Ipsum ....

			==tmp==
			<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Title
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			<table class="wikitable">
			<tr><th></th><th></th></tr>
			<tr><td></td><td></td></tr>
			</table>


			<hr/>
			'''Links'''
			* ...

			'''Literature'''
			* ...



			[[\|mini\|Lageplan]]
			[[Datei:Kit4-11.png\|mini\|Koordinaten]]

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	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	~~SOME TEXT~~

	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:Kit4-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|Lageplan]]		[[Datei:Kit4-01.png\|alternativtext=\|links\|mini\|Lageplan]]
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	Die dimensionsbehaftete Form der Bewegungsgleichung lautet		Die dimensionsbehaftete Form der Bewegungsgleichung lautet

	<math>\displaystyle E\cdot I \frac{d^4}{dx^4} w(x) = q, \text{ mit } \left\{\begin{array}{l} q = q_0\text{ für } 0 \le x < \ell_1\\ q = 0\text{ sonst }\end{array}\right.</math>		::<math>\displaystyle E\cdot I \frac{d^4}{dx^4} w(x) = q, \text{ mit } \left\{\begin{array}{l} q = q_0\text{ für } 0 \le x < \ell_1\\ q = 0\text{ sonst }\end{array}\right.</math>

	Um die dimensionslose Form der Bewegungsgleichung zu bekommen, ersetzten wir		Um die dimensionslose Form der Bewegungsgleichung zu bekommen, ersetzten wir

	<math>\displaystyle E = \tilde{E} \cdot \frac{F_{Bez}}{\ell^2_{Bez}};\;\; I = \tilde{I} \cdot \ell^4_{Bez};\;\; q_0 = \tilde{q}_0 \cdot \frac{F_{Bez}}{\ell_{Bez}}</math>.		::<math>\displaystyle E = \tilde{E} \cdot \frac{F_{Bez}}{\ell^2_{Bez}};\;\; I = \tilde{I} \cdot \ell^4_{Bez};\;\; q_0 = \tilde{q}_0 \cdot \frac{F_{Bez}}{\ell_{Bez}}</math>.

	Dimensionsbehaftet ist jetzt noch w(x) und seine Ableitungen. Mit der [[Sources/Lexikon/Koordinaten-Transformation\|Koordinaten-Transformation]]		Dimensionsbehaftet ist jetzt noch w(x) und seine Ableitungen. Mit der [[Sources/Lexikon/Koordinaten-Transformation\|Koordinaten-Transformation]]

	<math>\displaystyle w = \tilde{w}\cdot \ell_{Bez} \text{ und } x = \tilde{x}\cdot \ell_1</math>		::<math>\displaystyle w = \tilde{w}\cdot \ell_{Bez} \text{ und } x = \tilde{x}\cdot \ell_1</math>

	erhalten wir		erhalten wir

	<math>\displaystyle \frac{d^4}{dx^4} w(x) = \ell_{Bez} \cdot \frac{d^4}{d\tilde{x}^4}\left(\tilde{w}(\tilde{x})\right) \cdot \underbrace{\left(\;\;\frac{d\tilde{x}}{dx}\;\;\right)^4}_{\displaystyle = \frac{1}{\ell^4_1}}</math>.		::<math>\displaystyle \frac{d^4}{dx^4} w(x) = \ell_{Bez} \cdot \frac{d^4}{d\tilde{x}^4}\left(\tilde{w}(\tilde{x})\right) \cdot \underbrace{\left(\;\;\frac{d\tilde{x}}{dx}\;\;\right)^4}_{\displaystyle = \frac{1}{\ell^4_1}}</math>.

	Einsetzen liefert		Einsetzen liefert

	<math>\displaystyle \tilde{E} \frac{F_{Bez}}{\ell^2_{Bez}} \cdot \tilde{I} \ell^4_{Bez} \cdot \ell_{Bez} \frac{d^4}{d\tilde{x}^4} \tilde{w}(\tilde{x})\frac{1}{\ell^4_1} = \tilde{q}\frac{F_{Bez}}{\ell_{Bez}}</math>		::<math>\displaystyle \tilde{E} \frac{F_{Bez}}{\ell^2_{Bez}} \cdot \tilde{I} \ell^4_{Bez} \cdot \ell_{Bez} \frac{d^4}{d\tilde{x}^4} \tilde{w}(\tilde{x})\frac{1}{\ell^4_1} = \tilde{q}\frac{F_{Bez}}{\ell_{Bez}}</math>

	Die Bezugsgrößen dürfen wir frei wählen - aber wie? Für ℓ''<sub>Bez</sub> = h'' drücken wir die Auslenkung ''w'' als Vielfaches von ''h'' aus - das ist praktisch! Denn damit die Annahmen zur Linearisierung beim Euler-Bernoulli-Balken eingehalten werden, sollte ''w ≤ h'', also		Die Bezugsgrößen dürfen wir frei wählen - aber wie? Für ℓ''<sub>Bez</sub> = h'' drücken wir die Auslenkung ''w'' als Vielfaches von ''h'' aus - das ist praktisch! Denn damit die Annahmen zur Linearisierung beim Euler-Bernoulli-Balken eingehalten werden, sollte ''w ≤ h'', also

	<math>\tilde{w} \le 1</math>		::<math>\tilde{w} \le 1</math>

	Für die Bezugskaft bietet sich ''F<sub>Bez</sub> = G'' an, wobei ''G'' die Gewichtskraft des Balkens ist. Dann ist <math>\tilde{q}</math> das Vielfache der Gewichts-Streckenlast.		Für die Bezugskaft bietet sich ''F<sub>Bez</sub> = G'' an, wobei ''G'' die Gewichtskraft des Balkens ist. Dann ist <math>\tilde{q}</math> das Vielfache der Gewichts-Streckenlast.
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	Umschreiben und Auflösen liefert mit I = h<sup>4</sup>/12		Umschreiben und Auflösen liefert mit I = h<sup>4</sup>/12

	<math>\displaystyle \frac{d^4\tilde{w}}{d\tilde{x}^4} = \frac{12\cdot \tilde{q}_0}{\tilde{E}}\left( \frac{\ell_1}{h} \right)^4</math>		::<math>\displaystyle \frac{d^4\tilde{w}}{d\tilde{x}^4} = \frac{12\cdot \tilde{q}_0}{\tilde{E}}\left( \frac{\ell_1}{h} \right)^4</math>

	oder abgekürzt:		oder abgekürzt:

	<math>\displaystyle \frac{d^4\tilde{w}}{d\tilde{x}^4} = \mu</math>		::<math>\displaystyle \frac{d^4\tilde{w}}{d\tilde{x}^4} = \mu</math>

	Die dimensionslose Ortskoordinate brauchen wir für den Rest der Aufgaben - man wählt deshalb oft		Die dimensionslose Ortskoordinate brauchen wir für den Rest der Aufgaben - man wählt deshalb oft

	<math>\displaystyle \xi := \tilde{x} \text{ und } \frac{d}{d\xi}(.) =: (.)'</math>		::<math>\displaystyle \xi := \tilde{x} \text{ und } \frac{d}{d\xi}(.) =: (.)'</math>

	und erhält als neue Bewegungsgleichung		und erhält als neue Bewegungsgleichung

	<math>\tilde{w}'''' = \mu</math>.[[Datei:Kit4-11.png\|mini\|Koordinaten]]Mit den neuen dimensionslosen Koordinaten und Parametern vereinfacht sich die Lösung des Problems:		::<math>\tilde{w}'''' = \mu</math>.[[Datei:Kit4-11.png\|mini\|Koordinaten]]Mit den neuen dimensionslosen Koordinaten und Parametern vereinfacht sich die Lösung des Problems:

	So ist die analytische Lösung der Bewegungsgleichung für den Bereich ''i'':		So ist die analytische Lösung der Bewegungsgleichung für den Bereich ''i'':

	<math>\displaystyle {\tilde{w}_{i}}\left( \xi\right) :=\frac{\mu\cdot {{\xi}^{4}}}{24}+\frac{{{C}_{i,3}}\cdot {{\xi}^{3}}}{6}+\frac{{{C}_{i,2}}\cdot {{\xi}^{2}}}{2}+{{C}_{i,1}}\cdot \xi+{{C}_{i,0}}</math>		::<math>\displaystyle {\tilde{w}_{i}}\left( \xi\right) :=\frac{\mu\cdot {{\xi}^{4}}}{24}+\frac{{{C}_{i,3}}\cdot {{\xi}^{3}}}{6}+\frac{{{C}_{i,2}}\cdot {{\xi}^{2}}}{2}+{{C}_{i,1}}\cdot \xi+{{C}_{i,0}}</math>

	wobei der Bereich ''i=1'' zwischen A-B sowie ''i=2'' zwischen B-C liegt.		wobei der Bereich ''i=1'' zwischen A-B sowie ''i=2'' zwischen B-C liegt.
Zeile 59:		Zeile 57:
	Die Rand- und Übergangsbedingungen lauten dann mit ℓ''<sub>2</sub> = ℓ<sub>1</sub>/2''		Die Rand- und Übergangsbedingungen lauten dann mit ℓ''<sub>2</sub> = ℓ<sub>1</sub>/2''

	<math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(0)&=&0\\\tilde{w}''_1(0)&=&0\end{array}</math>, <math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(1)&=&\tilde{w}_2(0)\\\tilde{w}'_1(1)&=&\tilde{w}'_2(0)\\\tilde{w}''_1(1)&=&\tilde{w}''_2(0)\\\tilde{w}'''_1(1)&=&\tilde{w}'''_2(0)\end{array}</math>, <math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(1/2)&=&0\\ \tilde{w}''_2(1/2)&=&0\end{array}</math>.		::<math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(0)&=&0\\\tilde{w}''_1(0)&=&0\end{array}</math>, <math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(1)&=&\tilde{w}_2(0)\\\tilde{w}'_1(1)&=&\tilde{w}'_2(0)\\\tilde{w}''_1(1)&=&\tilde{w}''_2(0)\\\tilde{w}'''_1(1)&=&\tilde{w}'''_2(0)\end{array}</math>, <math>\begin{array}{ccl} \tilde{w}_1(1/2)&=&0\\ \tilde{w}''_2(1/2)&=&0\end{array}</math>.

	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==