Gelöste Aufgaben/GYRQ - Versionsgeschichte

Mechaniker am 4. April 2022 um 11:54 Uhr

2022-04-04T11:54:25Z

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	'''Links'''		'''Links'''
	* ~~...~~		* [[Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten\|Kugelkoordinaten]]
			* [[Sources/Lexikon/Quaternionen für Drehungen\|Quaternionen für Drehungen]]

	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* ...

Mechaniker am 4. April 2022 um 11:51 Uhr

2022-04-04T11:51:00Z

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Zeile 16:		Zeile 16:
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:GYRO-01.png\|150px\|left\|mini\|Kreisel mit gelenkiger Fußpunktlagerung.]]		[[Datei:GYRO-01.png\|150px\|left\|mini\|Kreisel mit gelenkiger Fußpunktlagerung.]]
	Gesucht ist die Präzessions-Bahn eines Kreisels mit Quaternionen / ~~Kugelkoordinanten~~.		Gesucht ist die Präzessions-Bahn eines Kreisels mit Quaternionen / [[Sources/Lexikon/Kugelkoordinaten\|Kugelkoordinaten]].
	Unser Kreisel ist ein Kegel der Höhe ''H'' und Radius ''R''.		Unser Kreisel ist ein Kegel der Höhe ''H'' und Radius ''R''.
	Die Bewegungsgleichungen sollen mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] aufgestellt werden. Wir suchen nach der Trajektorie des Mittelpunktes des Kreisels für große Kippwinkel.		Die Bewegungsgleichungen sollen mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] aufgestellt werden. Wir suchen nach der Trajektorie des Mittelpunktes des Kreisels für große Kippwinkel.

Mechaniker am 3. April 2022 um 16:48 Uhr

2022-04-03T16:48:58Z

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	\omega_3\cdot \begin{pmatrix}0 & \varphi_1\cdot I_z& 0\\		\omega_3\cdot \begin{pmatrix}0 & \varphi_1\cdot I_z& 0\\
	-\varphi_1\cdot I_z& 0 & 0\\		-\varphi_1\cdot I_z& 0 & 0\\
	0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \dot{\underline{\varphi}~~}\cdot \underline{\varphi~~}		0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \dot{\underline{\varphi}}
	=		=
	\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} H m g \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}		\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} H m g \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}

Mechaniker am 3. April 2022 um 16:48 Uhr

2022-04-03T16:48:16Z

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Zeile 212:		Zeile 212:
	<tr><td>[[Datei:GYRQ-13.png\|300px\|right\|Trajektorie]]</td><td>[[Datei:GYRQ-14.png\|300px\|right\|Phasendiagramme]]</td></tr>		<tr><td>[[Datei:GYRQ-13.png\|300px\|right\|Trajektorie]]</td><td>[[Datei:GYRQ-14.png\|300px\|right\|Phasendiagramme]]</td></tr>
	</table>		</table>
			Unsere Kugelkoordinaten haben also für die gewählten Anfangsbedingungen keine Probleme gemacht. Man erkennt, dass während der gesamten numerischen Integration der Kippwinkel ''φ<sub>1</sub> > 1'' bleibt. Spannend ist auch, dass der Lagewinkel ''φ<sub>2</sub>'' nun keine periodische Lösung mehr hat - die Rotationsachse läuft kontinuierlich um die Senkrechte um und der Winkel wird immer größer. Das kann man auch gut im Phasendiagramm erkennen.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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	{{MyCodeBlock\|title=Nachtrag		{{MyCodeBlock\|title=Nachtrag
	\|text=~~Meist linearisiert man~~ die Bewegungsgleichungen, indem ~~man~~ von kleinen Kippwinkeln ~~ausgeht~~ (''φ<sub>1</sub><<1'', ''φ<sub>2</sub><<1''). Für den Kreisel gilt ~~außerdem~~ ''ω<sub>1</sub><<ω<sub>3</sub>'', ''ω<sub>2</sub><<ω<sub>3</sub>'' so dass man außerdem ''ω<sub>3</sub> = constant'' setzten darf.		\|text=Wieder linearisieren wir die Bewegungsgleichungen, indem wir von kleinen Kippwinkeln ausgehen (''φ<sub>1</sub><<1'', ''φ<sub>2</sub><<1''). Für den Kreisel gilt wiederum ''ω<sub>1</sub><<ω<sub>3</sub>'', ''ω<sub>2</sub><<ω<sub>3</sub>'' so dass man außerdem ''ω<sub>3</sub> = constant'' setzten darf.
	Damit erhalten wir die ~~"übliche" vereinfachte~~ Bewegungsgleichung		Damit erhalten wir die vereinfachten Bewegungsgleichung

	::<math>		::<math>
	\begin{pmatrix}{I_y} & 0 & 0\\		\begin{pmatrix}{I_y} & 0 & 0\\
	0 & {I_y} & 0\\		0 & {I_y} & 0\\
	0 & 0 & {I_z}\end{pmatrix}\cdot \ddot{\underline{\varphi}}		0 & 0 & {I_z}\end{pmatrix}\cdot \ddot{\underline{\varphi}}
	+		+
	\omega_3\cdot \begin{pmatrix}0 & -I_z& 0\\		\omega_3\cdot \begin{pmatrix}0 & \varphi_1\cdot I_z& 0\\
	I_z& 0 & 0\\		-\varphi_1\cdot I_z& 0 & 0\\
	0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \dot{\underline{\varphi}}		0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \dot{\underline{\varphi}}\cdot \underline{\varphi}
	+
	\~~begin{pmatrix}~~\~~left( {{{~~{\omega }_2}}^{2}} \cos{\left( {{\phi }_1}\right) } \sin{\left( {{\phi }_1}\right) }+{{\omega }_2} {{\omega }_3} \sin{\left( {{\phi }_1}\right) }\right) {I_z}-{{{{\omega }_2}}^{2}} \cos{\left( {{\phi }_1}\right) } \sin{\left( {{\phi }_1}\right) } {I_y}\\
	\left( -2 {{\omega }_1} {{\omega }_2} \cos{\left( {{\phi }_1}\right) } \sin{\left( {{\phi }_1}\right) }-{{\omega }_1} {{\omega }_3} \sin{\left( {{\phi }_1}\right) }\right) {I_z}+2 {{\omega }_1} {{\omega }_2} \cos{\left( {{\phi }_1}\right) } \sin{\left( {{\phi }_1}\right) } {I_y}\\
	~~-{{\omega }_1} {{\omega }_2} \sin{\left( {{\phi }_1}\right) } {I_z}\end{pmatrix~~}
	=		=
	\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} H m g \begin{pmatrix}1~~&0&0~~\\~~0&1&~~0\\~~0&0&~~0\end{pmatrix~~}\cdot \underline{\varphi~~}		\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} H m g \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
	</math>		</math>

Mechaniker am 3. April 2022 um 16:39 Uhr

2022-04-03T16:39:03Z

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	Dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichung müssen wir nach den Winkelbeschleunigungen lösen - und das geht nur, wenn die Massenmatrix regulär ist. Wir prüfen das anhand der Systemdeterminante		Dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichung müssen wir nach den Winkelbeschleunigungen lösen - und das geht nur, wenn die Massenmatrix regulär ist. Wir prüfen das anhand der Systemdeterminante
	::<math>		::<math>
	\det{\underline{\underline{M}}} = \sin{\left(\varphi_1(t)\right)^2 I_y^2 I_z		\det{\underline{\underline{M}}} = \sin{\left(\varphi_1(t)\right)^2 I_y^2 I_z}.
	</math>		</math>
	Für den Kippwinkel muss also ''sin(φ<sub>1</sub>)≠0'' bzw. ''φ<sub>1</sub> ≠ 0°'' gelten. Diese Bedingung kann bei Kreiselsimulationen auf jeden Fall zu Singularitäten führen! Das Problem kommt aus der zweifachen Rotation um die "3"-Achse mit ''φ<sub>2</sub>'' und ''φ<sub>3</sub>''. Unser Ansatz zur Nutzung der Kugelkoordinaten ist also im Allgemeinen kaum geeignet. Trotzdem - wir machen erst mal weiter.		Für den Kippwinkel muss also ''sin(φ<sub>1</sub>)≠0'' bzw. ''φ<sub>1</sub> ≠ 0°'' gelten. Diese Bedingung kann bei Kreiselsimulationen auf jeden Fall zu Singularitäten führen! Das Problem kommt aus der zweifachen Rotation um die "3"-Achse mit ''φ<sub>2</sub>'' und ''φ<sub>3</sub>''. Unser Ansatz zur Nutzung der Kugelkoordinaten ist also im Allgemeinen kaum geeignet. Trotzdem - wir machen erst mal weiter.

Mechaniker am 3. April 2022 um 16:37 Uhr

2022-04-03T16:37:57Z

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	Dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichung müssen wir nach den Winkelbeschleunigungen lösen - und das geht nur, wenn die Massenmatrix regulär ist. Wir prüfen das anhand der Systemdeterminante		Dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichung müssen wir nach den Winkelbeschleunigungen lösen - und das geht nur, wenn die Massenmatrix regulär ist. Wir prüfen das anhand der Systemdeterminante
	::<math>		::<math>
	\det{\underline{\underline{M}}} = \~~cos~~(\~~phi_1~~)^2\;I_y^2\;I_z		\det{\underline{\underline{M}}} = \sin{\left(\varphi_1(t)\right)^2 I_y^2 I_z
	</math>		</math>
	Für den Kippwinkel muss also ''~~cos~~(φ<sub>1</sub>)≠0'' ~~oder~~ ''~~0 <~~ φ<sub>1</sub> ~~< 90°~~'' gelten. Das ~~können~~ wir ~~für unsere Problemstellung gut einhalten~~.		Für den Kippwinkel muss also ''sin(φ<sub>1</sub>)≠0'' bzw. ''φ<sub>1</sub> ≠ 0°'' gelten. Diese Bedingung kann bei Kreiselsimulationen auf jeden Fall zu Singularitäten führen! Das Problem kommt aus der zweifachen Rotation um die "3"-Achse mit ''φ<sub>2</sub>'' und ''φ<sub>3</sub>''. Unser Ansatz zur Nutzung der Kugelkoordinaten ist also im Allgemeinen kaum geeignet. Trotzdem - wir machen erst mal weiter.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 3. April 2022 um 16:30 Uhr

2022-04-03T16:30:57Z

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Zeile 119:		Zeile 119:
	\cdot		\cdot
	\ddot{\underline{\varphi}}		\ddot{\underline{\varphi}}
			+
			\begin{pmatrix}\left( {{{{\omega }_2}}^{2}} \cos{\left( {{\phi }_1}\right) } \sin{\left( {{\phi }_1}\right) }+{{\omega }_2} {{\omega }_3} \sin{\left( {{\phi }_1}\right) }\right) {I_z}-{{{{\omega }_2}}^{2}} \cos{\left( {{\phi }_1}\right) } \sin{\left( {{\phi }_1}\right) } {I_y}\\
			\left( -2 {{\omega }_1} {{\omega }_2} \cos{\left( {{\phi }_1}\right) } \sin{\left( {{\phi }_1}\right) }-{{\omega }_1} {{\omega }_3} \sin{\left( {{\phi }_1}\right) }\right) {I_z}+2 {{\omega }_1} {{\omega }_2} \cos{\left( {{\phi }_1}\right) } \sin{\left( {{\phi }_1}\right) } {I_y}\\
			-{{\omega }_1} {{\omega }_2} \sin{\left( {{\phi }_1}\right) } {I_z}\end{pmatrix}
			\cdot
			\dot{\underline{\varphi}}
	=		=
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}

Mechaniker am 3. April 2022 um 16:30 Uhr

2022-04-03T16:30:08Z

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Zeile 120:		Zeile 120:
	\ddot{\underline{\varphi}}		\ddot{\underline{\varphi}}
	=		=
	\begin{pmatrix}-\frac{\displaystyle 2 ~~H g m~~}{3} \sin{\left( \phi_1\right)\\		\begin{pmatrix}
			-\frac{\displaystyle 2}{3} H g m \sin{\left( \phi_1\right)}\\
	0\\		0\\
	0\end{pmatrix}		0\end{pmatrix}

Mechaniker am 3. April 2022 um 16:28 Uhr

2022-04-03T16:28:51Z

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Zeile 119:		Zeile 119:
	\cdot		\cdot
	\ddot{\underline{\varphi}}		\ddot{\underline{\varphi}}
			=
			\begin{pmatrix}-\frac{\displaystyle 2 H g m}{3} \sin{\left( \phi_1\right)\\
			0\\
			0\end{pmatrix}
	</math>		</math>
	Dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichung müssen wir nach den Winkelbeschleunigungen lösen - und das geht nur, wenn die Massenmatrix regulär ist. Wir prüfen das anhand der Systemdeterminante		Dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichung müssen wir nach den Winkelbeschleunigungen lösen - und das geht nur, wenn die Massenmatrix regulär ist. Wir prüfen das anhand der Systemdeterminante

Mechaniker am 3. April 2022 um 16:28 Uhr

2022-04-03T16:28:06Z

@@ Zeile 119: / Zeile 119: @@
 \cdot
 \ddot{\underline{\varphi}}
 </math>
 Dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichung müssen wir nach den Winkelbeschleunigungen lösen - und das geht nur, wenn die Massenmatrix regulär ist. Wir prüfen das anhand der Systemdeterminante