Gelöste Aufgaben/GYRO - Versionsgeschichte

Mechaniker am 27. Oktober 2023 um 12:10 Uhr

2023-10-27T12:10:15Z

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	{{MyCodeBlock\|title=Nachtrag		{{MyCodeBlock\|title=Nachtrag
	\|text=Meist linearisiert man die Bewegungsgleichungen, indem man von kleinen Kippwinkeln ausgeht (''φ<sub>1</sub><<1'', ''φ<sub>2</sub><<1''). Für den Kreisel gilt ~~außerdem~~ ''ω<sub>1</sub><<ω<sub>3</sub>'', ''ω<sub>2</sub><<ω<sub>3</sub>'' so dass man außerdem ''ω<sub>3</sub> = constant'' setzten darf.		\|text=Meist linearisiert man die Bewegungsgleichungen, indem man von kleinen Kippwinkeln ausgeht (''φ<sub>1</sub><<1'', ''φ<sub>2</sub><<1''). Für den Kreisel gilt ''ω<sub>1</sub><<ω<sub>3</sub>'', ''ω<sub>2</sub><<ω<sub>3</sub>'', so dass man außerdem ''ω<sub>3</sub> = constant'' setzten darf.
	Damit erhalten wir die "übliche" vereinfachte Bewegungsgleichung		Damit erhalten wir die "übliche" vereinfachte Bewegungsgleichung

Mechaniker am 21. April 2022 um 16:19 Uhr

2022-04-21T16:19:08Z

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	0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \dot{\underline{\varphi}}		0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \dot{\underline{\varphi}}
	=		=
	\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} H m g \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot \underline{\varphi}		\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} H m g \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot \underline{\varphi}
	</math>		</math>

Mechaniker am 21. April 2022 um 16:17 Uhr

2022-04-21T16:17:03Z

@@ Zeile 198: / Zeile 198: @@
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-... in Matlab (vgl. zip-Datei)
+/*++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
 </syntaxhighlight>
 }}

Mechaniker am 21. April 2022 um 16:04 Uhr

2022-04-21T16:04:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2022, 16:04 Uhr
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	Dazu formulieren wir die Bewegungsgleichungen zunächst in Maxima und übertragen sie dann in ein Matlab<sup>©</sup>-Script. Die Bewegungsgleichungen machen wir mit der Zeit		Dazu formulieren wir die Bewegungsgleichungen zunächst in Maxima und übertragen sie dann in ein Matlab<sup>©</sup>-Script. Die Bewegungsgleichungen machen wir mit der Zeit

	::<math>T=\sqrt{\frac{\displaystyle 2 H m g}{3 I_y}}</math>		::<math>T=\sqrt{\frac{\displaystyle 3 H m g}{4 I_y}}</math>

	dimensionslos (die Winkel selbst sind ja bereits dimensionslos). Die dimensionslose Zeit <math>\tau = t/T</math>.		dimensionslos (die Winkel selbst sind ja bereits dimensionslos). Die dimensionslose Zeit <math>\tau = t/T</math>.

Mechaniker am 19. April 2022 um 17:14 Uhr

2022-04-19T17:14:49Z

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	{{MyCodeBlock\|title=Equations of Motion		{{MyCodeBlock\|title=Equations of Motion
	\|text=Die Gleichgewichtsbedingungen für den starren Kreisel (die virtuelle Formänderungenergie <math>\delta\Pi</math> ist Null) kommen aus		\|text=Die Gleichgewichtsbedingungen für den starren Kreisel (die virtuelle Formänderungenergie <math>\delta\Pi</math> ist Null) kommen aus
	::<math>\begin{array}{lll}\delta W &=&\displaystyle \sum_i (\vec{F}_i\cdot\delta r_i ) - \rho \int_V \ddot{\vec{r}}_P\cdot \delta\vec{r}_P\\		::<math>\begin{array}{lll}\delta W &=&\displaystyle \sum_i (\vec{F}_i\cdot\delta r_i ) - \rho \int_V \ddot{\vec{r}}_P\cdot \delta\vec{r}_P dV\\
	&\stackrel{!}{=}& 0 \end{array}</math>,		&\stackrel{!}{=}& 0 \end{array}</math>,
	wobei wir nur eine Kraft ''F'' - die Gewichtskraft <math>m g (-\vec{e}_3)</math> - haben und ''V'' das Kreisel-Volumen ist.		wobei wir nur eine Kraft ''F'' - die Gewichtskraft <math>m g (-\vec{e}_3)</math> - haben und ''V'' das Kreisel-Volumen ist.

Mechaniker am 19. April 2022 um 17:13 Uhr

2022-04-19T17:13:26Z

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Zeile 108:		Zeile 108:
	{{\omega }_1} {{\omega }_2} \cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } {I_z}\end{pmatrix}		{{\omega }_1} {{\omega }_2} \cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } {I_z}\end{pmatrix}
	=		=
	\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} H m g\begin{pmatrix}		\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} H m g\begin{pmatrix}
	\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\		\sin{\left( {{\varphi }_1}\right) } \cos{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\
	\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\		\cos{\left( {{\varphi }_1}\right) } \sin{\left( {{\varphi }_2}\right) }\\

Mechaniker am 19. April 2022 um 17:10 Uhr

2022-04-19T17:10:33Z

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Zeile 138:		Zeile 138:
	/++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/		/++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/
	/* virtual work of external (gravitational) force */		/* virtual work of external (gravitational) force */
	r[m] : subst([r=0, z=2*H/3], r[p]);		r[m] : subst([r=0, z=3*H/4], r[p]);
	δr[m] : sum(subst([ε=0],diff(subst([coord[1][i]=coord[1][i]+ε*coord[2][i]],r[m]),ε)),i,1,3);		δr[m] : sum(subst([ε=0],diff(subst([coord[1][i]=coord[1][i]+ε*coord[2][i]],r[m]),ε)),i,1,3);
	δW[g] : m*matrix([0,0,-g]).δr[m];		δW[g] : m*matrix([0,0,-g]).δr[m];

Mechaniker am 19. April 2022 um 17:07 Uhr

2022-04-19T17:07:48Z

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Zeile 54:		Zeile 54:
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Declarations		{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=Wir brauchen zunächst die Transformationsmatrizen der [[Sources/Lexikon/Euler-Rotation\|Euler-Rotation]], also die [[Sources/Lexikon/Drehmatrix\|Drehmatrizen]], die unser inertiales Koordinatensystem in das Kreiselfeste Koordinatensystem überführt. Wir kippen zunächst um die ''x<sub>2</sub>''-Achse, dann um die resultierende ''x'<sub>1</sub>''-Achse und schließlich um die Rotationsachse ''x"<sub>2</sub>''. Die Koordinatentransformation ist dann		\|text=Wir brauchen zunächst die Transformationsmatrizen der [[Sources/Lexikon/Euler-Rotation\|Euler-Rotation]], also die [[Sources/Lexikon/Drehmatrix\|Drehmatrizen]], die unser inertiales Koordinatensystem in das Kreiselfeste Koordinatensystem überführt. Wir kippen zunächst um die ''x<sub>2</sub>''-Achse, dann um die resultierende ''x'<sub>1</sub>''-Achse und schließlich um die Rotationsachse ''x"<sub>3</sub>''. Die Koordinatentransformation ist dann

	::<math>\underline{\underline{D}}_{0\to K} = \underline{\underline{D}}_3(\varphi_3(t))\cdot\underline{\underline{D}}_1(\varphi_1(t))\cdot\underline{\underline{D}}_2(\varphi_2(t))</math>.		::<math>\underline{\underline{D}}_{0\to K} = \underline{\underline{D}}_3(\varphi_3(t))\cdot\underline{\underline{D}}_1(\varphi_1(t))\cdot\underline{\underline{D}}_2(\varphi_2(t))</math>.

Mechaniker am 19. April 2022 um 17:03 Uhr

2022-04-19T17:03:21Z

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Zeile 120:		Zeile 120:
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			/++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/
			/* local vector to some material point with coordinates φ[i](t), i=1,2,3 */
			/* trafo, order of rotations: y, x', z'' */
			r[p] : matrix([r,0,z]).D[3](α).D[3](φ[3](t)).D[1](φ[1](t)).D[2](φ[2](t));

			/* variation of local vector */
			δr[p] : sum(subst([ε=0],diff(subst([coord[1][i]=coord[1][i]+ε*coord[2][i]],r[p]),ε)),i,1,3);

	/++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/		/++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/
	/* virtual work of d'Alembert forces */		/* virtual work of d'Alembert forces */

Mechaniker am 6. April 2022 um 09:37 Uhr

2022-04-06T09:37:13Z

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	wobei ''φ<sub>1</sub>'', ''φ<sub>2</sub>'' Kippwinkel bezüglich der ''x<sub>1</sub>''- und ''x<sub>2</sub>''-Achsen sind, ''φ<sub>3</sub>'' ist der Rotationswinkel um die Kreisel-Symmetrieachse.		wobei ''φ<sub>1</sub>'', ''φ<sub>2</sub>'' Kippwinkel bezüglich der ''x<sub>1</sub>''- und ''x<sub>2</sub>''-Achsen sind, ''φ<sub>3</sub>'' ist der Rotationswinkel um die Kreisel-Symmetrieachse.

	[[Datei:GYRO-03.png\|~~160px~~\|left\|Euler-Kippwinkel ''φ<sub>1</sub>'', ''φ<sub>2</sub>'']]		[[Datei:GYRO-03.png\|210px\|left\|Euler-Kippwinkel ''φ<sub>1</sub>'', ''φ<sub>2</sub>'']]
	Die Kippwinkel ''φ<sub>1</sub>'', ''φ<sub>2</sub>'' sind im nebenstehenden Bild eingetragen, die aus einer Transformation hervorgehenden Koordinatensysteme erhalten jeweils einen >'< zur Kennzeichnung. Dabei steht am Anfang das blue Koordinatensystem, das durch Kippung um ''φ<sub>2</sub>'' in das grüne und dann durch Kippung um ''φ<sub>1</sub>'' in das rote überführt wird. Nicht dargestellt ist die folgende Drehung um den Rotationwinkel ''φ<sub>3</sub>''.		Die Kippwinkel ''φ<sub>1</sub>'', ''φ<sub>2</sub>'' sind im nebenstehenden Bild eingetragen, die aus einer Transformation hervorgehenden Koordinatensysteme erhalten jeweils einen >'< zur Kennzeichnung. Dabei steht am Anfang das blue Koordinatensystem, das durch Kippung um ''φ<sub>2</sub>'' in das grüne und dann durch Kippung um ''φ<sub>1</sub>'' in das rote überführt wird. Nicht dargestellt ist die folgende Drehung um den Rotationwinkel ''φ<sub>3</sub>''.