Gelöste Aufgaben/FEC1/FEC1 - Teil I: System Strukturieren - Versionsgeschichte

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 17:06 Uhr

2021-02-26T17:06:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 17:06 Uhr
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	Die Verschiebung und Verdrehung jedes Teils der Turbolader-Welle haben wir damit eindeutig festgelegt - jetzt können wir daran gehen, die Gleichgewichtsbedingungen - das mathematische Modell - anzuschreiben.		Die Verschiebung und Verdrehung jedes Teils der Turbolader-Welle haben wir damit eindeutig festgelegt - jetzt können wir daran gehen, die Gleichgewichtsbedingungen - das mathematische Modell - anzuschreiben.

	~~Weiter in~~ [[Gelöste Aufgaben/FEC1/FEC1 - Teil II: Das Modell erstellen\|Teil II]] .		[[Gelöste Aufgaben/FEC1/FEC1 - Teil II: Das Modell erstellen\|Weiter in Teil II ➡]] .

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 14:41 Uhr

2021-02-26T14:41:06Z

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 ==System strukturieren==
 Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:
 [[Datei:Abmessungen.png|mini|Abmessungen]]
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 Für jedes Teilsystem führen wir nun Koordinaten ein.
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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 </syntaxhighlight>
 }}
 === Auslenkung des Wellen-Querschnitts ===

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 14:38 Uhr

2021-02-26T14:38:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 14:38 Uhr
Zeile 120:		Zeile 120:
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

	/*******************************************************/		/*******************************************************/
	/* MAXIMA script */		/* MAXIMA script */
Zeile 171:		Zeile 170:
	[omega[0,0]=2*%pi/T]];		[omega[0,0]=2*%pi/T]];
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
			}}

	=== Auslenkung des Wellen-Querschnitts ===		=== Auslenkung des Wellen-Querschnitts ===

Mechaniker: /* Drehung der Welle */

2021-02-26T14:37:22Z

Drehung der Welle

@@ Zeile 104: / Zeile 104: @@
 }}
-=== Drehung der Welle ===
+{{MyCodeBlock|title=Drehung der Welle|text=
 Unsere Turbolader-Welle dreht sich. Durch die Drehung wird unser materielles Koordinatensystem aus dem ursprünglichen Koordinatensystem "herausgedreht".
 [[Datei:2D-view-coordinate-system-1.png|mini|Drehung des Referenz-Koordinatensystems|alternativtext=|200x200px]]
@@ Zeile 118: / Zeile 118: @@
 Für unser System brauchen wir einen Ansatz, der diese Transformation - und weitere - formalisiert ([[Sources/Lexikon/Drehmatrix|→ Drehmatrix]]).
 === Auslenkung des Wellen-Querschnitts ===

Mechaniker: /* Referenz-Zustand */

2021-02-26T14:31:35Z

Referenz-Zustand

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 14:31 Uhr
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	Für jedes Teilsystem führen wir nun Koordinaten ein.		Für jedes Teilsystem führen wir nun Koordinaten ein.

	=== Referenz-Zustand ===		{{MyNoncodeBlock\|title=Referenz-Zustand\|text=
	Dabei brauchen wir [[Sources/Lexikon/unabhängige Koordinaten\|unabhängige Koordinaten]] - also materielle Koordinaten der Struktur - und [[Sources/Lexikon/abhängige Koordinaten\|abhängige Koordinaten]] -also (zeitabhängige) Koordinaten, die die Bewegung des Systems beschrieben.		Dabei brauchen wir [[Sources/Lexikon/unabhängige Koordinaten\|unabhängige Koordinaten]] - also materielle Koordinaten der Struktur - und [[Sources/Lexikon/abhängige Koordinaten\|abhängige Koordinaten]] -also (zeitabhängige) Koordinaten, die die Bewegung des Systems beschrieben.
	[[Datei:2D-view-coordinate-system-0.png\|mini\|Referenzlage\|alternativtext=\|200x200px]]		[[Datei:2D-view-coordinate-system-0.png\|mini\|Referenzlage\|alternativtext=\|200x200px]]
Zeile 102:		Zeile 102:

	Dabei gehen wir gedanklich eine chronologische Abfolge von Bewegungen durch, die das Referenzsystem in das verformte System überführt.		Dabei gehen wir gedanklich eine chronologische Abfolge von Bewegungen durch, die das Referenzsystem in das verformte System überführt.
			}}

	=== Drehung der Welle ===		=== Drehung der Welle ===

Mechaniker: /* System strukturieren */

2021-02-26T14:28:07Z

System strukturieren

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 14:28 Uhr
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	==System strukturieren==		==System strukturieren==
	Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:		Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:
	[[Datei:Abmessungen.png\|mini\|Abmessungen]]~~<br clear="all">~~		[[Datei:Abmessungen.png\|mini\|Abmessungen]]

	<table class="wikitable">		<table class="wikitable">
	<tr><th>#</th><th>ID</th><th>Teilsystem</th></tr>		<tr><th>#</th><th>ID</th><th>Teilsystem</th></tr>

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 14:27 Uhr

2021-02-26T14:27:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 14:27 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	* Drehzahl: bis zu 220.000 U/min		* Drehzahl: bis zu 220.000 U/min

	~~Die Bauteile eines Turboladers zeigt dieses Schnittbild:~~		[[Datei:Turbocharger_transparent_background.png\|left\|mini\|300x300px\|Turbocharger: Farben leider getauscht zum Modell oben.<br/>Quelle: Quentin Schwinn (NASA) [Public domain], via Wikimedia Commons.]]
	~~{\| class="wikitable"~~		Die Bauteile eines Turboladers zeigt dieses Schnittbild.
	~~!Abgasturbolader im Schnitt~~
	\|-
	\|[[Datei:Turbocharger_transparent_background.png\|~~alternativtext=~~\|mini\|300x300px\|Turbocharger~~\|links~~]]

	* ~~<sub>~~links die Turbinenseite (Impeller, Abgas des Motors),~~</sub>~~		* links die Turbinenseite (Impeller, Abgas des Motors),
	* ~~<sub>~~rechts der Verdichter (Turbine, für Ansaugluft des Motors)~~</sub>~~		* rechts der Verdichter (Turbine, für Ansaugluft des Motors).

	~~<sub>Quelle: Quentin Schwinn (NASA) [Public domain], via Wikimedia Commons</sub>~~
	~~<sub>Farben leider getauscht zum Modell oben.</sub>~~
	\|}
	'''TEIL I: Declarations''' Quelle erweitern<span class="collapse-spinner-wrapper"></span>		'''TEIL I: Declarations''' Quelle erweitern<span class="collapse-spinner-wrapper"></span>

Zeile 76:		Zeile 70:
	Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:		Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:
	[[Datei:Abmessungen.png\|mini\|Abmessungen]]<br clear="all">		[[Datei:Abmessungen.png\|mini\|Abmessungen]]<br clear="all">
	{\| class="wikitable"
	!#		<table class="wikitable">
	!ID		<tr><th>#</th><th>ID</th><th>Teilsystem</th></tr>
	!		<tr><td>1</td><td>''S''</td><td>Shaft (Welle)</td></tr>
	\|-		<tr><td>2</td><td>''I''</td><td>Impeller-Rad</td></tr>
	\|1		<tr><td>3</td><td>''T''</td><td>Turbinen-Rad</td></tr>
	~~\|'''~~''S''~~'''~~		<tr><td>4</td><td>''B<sub>i</sub></td><td>Bearing "i" (Lager); i = B, C</td></tr>
	\|Shaft (Welle)		<tr><td>5</td><td>''U<sub>i</sub></td><td>Unbalance "i" (Unwucht)</td></tr>
	\|-		</table>
	\|2		[[Datei:3D-view.png\|mini\|3D-Ansicht\|alternativtext=\|200x200px]]
	~~\|'''~~''I''~~'''~~
	\|Impeller-Rad
	\|-
	\|3
	~~\|'''~~''T''~~'''~~
	\|Turbinen-Rad
	\|-
	\|4
	~~\|'''~~''B<sub>i</sub>~~'''''~~
	\|Bearing "i" (Lager); ''i = B, C''
	\|-
	~~\| colspan="1" \|~~5
	~~\| colspan="1" \|'''~~''U<sub>i</sub>~~'''''~~
	~~\| colspan="1" \|~~Unbalance "i" (Unwucht)
	\|}
	[[Datei:3D-view.png\|mini\|3D-Ansicht]]
	Die ausgezeichneten Punkte auf der Turbolader-Welle sind		Die ausgezeichneten Punkte auf der Turbolader-Welle sind

Zeile 116:		Zeile 95:
	=== Referenz-Zustand ===		=== Referenz-Zustand ===
	Dabei brauchen wir [[Sources/Lexikon/unabhängige Koordinaten\|unabhängige Koordinaten]] - also materielle Koordinaten der Struktur - und [[Sources/Lexikon/abhängige Koordinaten\|abhängige Koordinaten]] -also (zeitabhängige) Koordinaten, die die Bewegung des Systems beschrieben.		Dabei brauchen wir [[Sources/Lexikon/unabhängige Koordinaten\|unabhängige Koordinaten]] - also materielle Koordinaten der Struktur - und [[Sources/Lexikon/abhängige Koordinaten\|abhängige Koordinaten]] -also (zeitabhängige) Koordinaten, die die Bewegung des Systems beschrieben.
	[[Datei:2D-view-coordinate-system-0.png\|mini\|Referenzlage]]		[[Datei:2D-view-coordinate-system-0.png\|mini\|Referenzlage\|alternativtext=\|200x200px]]
	Wir beginnen mit einer Skizze der Turbolader-Welle im Referenz-Zustand: das heißt: keine Verschiebung, keine Verdrehung, keine Verformung.		Wir beginnen mit einer Skizze der Turbolader-Welle im Referenz-Zustand: das heißt: keine Verschiebung, keine Verdrehung, keine Verformung.

Zeile 127:		Zeile 106:
	=== Drehung der Welle ===		=== Drehung der Welle ===
	Unsere Turbolader-Welle dreht sich. Durch die Drehung wird unser materielles Koordinatensystem aus dem ursprünglichen Koordinatensystem "herausgedreht".		Unsere Turbolader-Welle dreht sich. Durch die Drehung wird unser materielles Koordinatensystem aus dem ursprünglichen Koordinatensystem "herausgedreht".
	[[Datei:2D-view-coordinate-system-1.png\|mini\|Drehung des Referenz-Koordinatensystems]]		[[Datei:2D-view-coordinate-system-1.png\|mini\|Drehung des Referenz-Koordinatensystems\|alternativtext=\|200x200px]]
	Wir nennen das ursprüngliche, nicht mitgedrehte Koordinatensystem "Inertialsystem" und kennzeichnen es durch den Index "''0''".		Wir nennen das ursprüngliche, nicht mitgedrehte Koordinatensystem "Inertialsystem" und kennzeichnen es durch den Index "''0''".

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 13:10 Uhr

2021-02-26T13:10:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 13:10 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	== 1) Aufgabenstellung ==		==Aufgabenstellung==
	Bei einem Abgas-Turbolader treten Probleme im Betrieb auf, bei denen die Schaufeln entweder des Impellers oder der Turbine zerstört werden.[[Datei:FEAC-01.png\|mini\|Lageplan]]Untersuchen Sie die Bereiche dynamischer Stabilität eines Turboladers anhand eines linearisierten Modells.		Bei einem Abgas-Turbolader treten Probleme im Betrieb auf, bei denen die Schaufeln entweder des Impellers oder der Turbine zerstört werden.[[Datei:FEAC-01.png\|mini\|Lageplan]]Untersuchen Sie die Bereiche dynamischer Stabilität eines Turboladers anhand eines linearisierten Modells.

Zeile 23:		Zeile 23:
	Wir untersuchen die Welle mit Impeller und Turbine auf dynamische Instabilität des linearisierten Modells.		Wir untersuchen die Welle mit Impeller und Turbine auf dynamische Instabilität des linearisierten Modells.

	== 2) Aufgabe präzisieren ==		==Aufgabe präzisieren ==
	Der Turbolader besteht aus		Der Turbolader besteht aus

Zeile 73:		Zeile 73:
	# die periodischen Koeffizienten des Systemes führen zu Instabilität (vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kw30\|Kw30]]);		# die periodischen Koeffizienten des Systemes führen zu Instabilität (vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kw30\|Kw30]]);

	== 3) System strukturieren ==		==System strukturieren==
	Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:		Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:
	[[Datei:Abmessungen.png\|mini\|Abmessungen]]<br clear="all">		[[Datei:Abmessungen.png\|mini\|Abmessungen]]<br clear="all">

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 13:09 Uhr

2021-02-26T13:09:32Z

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 13:07 Uhr

2021-02-26T13:07:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 13:09 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	== 1) Aufgabenstellung ==		== 1) Aufgabenstellung ==
	Bei einem Abgas-Turbolader treten Probleme im Betrieb auf, bei denen die Schaufeln entweder des Impellers oder der Turbine zerstört werden.[[Datei:FEAC-01.png\|mini\|Lageplan]]Untersuchen Sie die Bereiche dynamischer Stabilität eines Turboladers anhand eines linearisierten Modells.		Bei einem Abgas-Turbolader treten Probleme im Betrieb auf, bei denen die Schaufeln entweder des Impellers oder der Turbine zerstört werden.[[Datei:FEAC-01.png\|mini\|Lageplan]]Untersuchen Sie die Bereiche dynamischer Stabilität eines Turboladers anhand eines linearisierten Modells.
Zeile 58:		Zeile 57:
	Die Bewegungsgleichungen des Systems stellen wir mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] auf. Aus der Literatur zur Dynamik von rotierenden Systemen erwarten wir als Bewegungsgleichung ein System, das so aussieht:		Die Bewegungsgleichungen des Systems stellen wir mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] auf. Aus der Literatur zur Dynamik von rotierenden Systemen erwarten wir als Bewegungsgleichung ein System, das so aussieht:

	<math>\underline{\underline{M}} \; \underline{\ddot{Q}} + \underline{\underline{G}} \; \underline{\dot{Q}} + \left( \underline{\underline{K}}_C \cos(2\Omega t)+\underline{\underline{K}}_S \sin(2 \Omega t)+\underline{\underline{K}}_0 \right) \; \underline{Q} = \underline{P}(t)</math>		::<math>\underline{\underline{M}} \; \underline{\ddot{Q}} + \underline{\underline{G}} \; \underline{\dot{Q}} + \left( \underline{\underline{K}}_C \cos(2\Omega t)+\underline{\underline{K}}_S \sin(2 \Omega t)+\underline{\underline{K}}_0 \right) \; \underline{Q} = \underline{P}(t)</math>

	mit		mit
	<math>\begin{array}{ccl}\underline{Q}&:&\text{Spaltenmatrix der System-Koordinaten}\\		::<math>\begin{array}{ccl}\underline{Q}&:&\text{Spaltenmatrix der System-Koordinaten}\\
	\underline{\underline{M}}&:& \text{Massenmatrix (symmetrisch)}\\		\underline{\underline{M}}&:& \text{Massenmatrix (symmetrisch)}\\
	\underline{\underline{G}}&:& \text{Gyroskopische Matrix (antimetrisch)}\\		\underline{\underline{G}}&:& \text{Gyroskopische Matrix (antimetrisch)}\\
Zeile 75:		Zeile 74:

	== 3) System strukturieren ==		== 3) System strukturieren ==
	~~[[Datei:Abmessungen.png\|mini\|Abmessungen]]~~
	Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:		Wir strukturieren unser System "Turboladerwelle", indem wir es gedanklich weiter in Teilsysteme unterteilen:
			[[Datei:Abmessungen.png\|mini\|Abmessungen]]<br clear="all">
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	!#		!#
Zeile 136:		Zeile 135:

	So ist z.B.		So ist z.B.
	<math>y_1 = y_0\cdot \cos(\Omega t) - z_0\cdot\sin(\Omega t)</math>.		::<math>y_1 = y_0\cdot \cos(\Omega t) - z_0\cdot\sin(\Omega t)</math>.
	Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass die Drehgeschwindigkeit konstant ''Ω'' ist, der Drehwinkel also ''Ω t''.		Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass die Drehgeschwindigkeit konstant ''Ω'' ist, der Drehwinkel also ''Ω t''.

Zeile 148:		Zeile 147:
	Entlang der Welle sind ''A, B, C'' und ''D'' ausgezeichnete Punkte, hier definieren wir für die Verschiebungen in ''z<sub>1</sub>''-Richtung:		Entlang der Welle sind ''A, B, C'' und ''D'' ausgezeichnete Punkte, hier definieren wir für die Verschiebungen in ''z<sub>1</sub>''-Richtung:

	<math>\begin{array}{cccl}		::<math>\begin{array}{cccl}
	w(0,t)&:=&W_A(t)& \text{ (Impeller-Schwerpunkt)}\\		w(0,t)&:=&W_A(t)& \text{ (Impeller-Schwerpunkt)}\\
	w(\ell_1,t)&:=&W_B(t)& \text{ (Lager B)}\\		w(\ell_1,t)&:=&W_B(t)& \text{ (Lager B)}\\
Zeile 163:		Zeile 162:

	Der Punkt ''A'' der Welle ist mit der Nabe des Impellers fest verbunden - die Verschiebung des Impeller-Schwerpunktes ist also		Der Punkt ''A'' der Welle ist mit der Nabe des Impellers fest verbunden - die Verschiebung des Impeller-Schwerpunktes ist also
	<math>\begin{array}{ccc}V_A(t)&\ldots&\text{Verschiebung in }y_1\text{-Richtung}\\W_A(t)&\ldots&\text{Verschiebung in }z_1\text{-Richtung}\end{array}</math> .		::<math>\begin{array}{ccc}V_A(t)&\ldots&\text{Verschiebung in }y_1\text{-Richtung}\\W_A(t)&\ldots&\text{Verschiebung in }z_1\text{-Richtung}\end{array}</math> .
	[[Datei:2D-view-coordinate-system-4.png\|mini\|189x189px\|Kippwinkel ''Φ<sub>A</sub>'']]		[[Datei:2D-view-coordinate-system-4.png\|mini\|189x189px\|Kippwinkel ''Φ<sub>A</sub>'']]
	Die Verdrehung des Impeller-Rades ist		Die Verdrehung des Impeller-Rades ist
	<math>\begin{array}{ccc}\Omega\;t&\ldots&\text{Verdrehung um die }x_0\text{-Achse.}\end{array}</math>,		::<math>\begin{array}{ccc}\Omega\;t&\ldots&\text{Verdrehung um die }x_0\text{-Achse.}\end{array}</math>,
	der Drehwinkel wird mit der Zeit immer größer.		der Drehwinkel wird mit der Zeit immer größer.

	Die Verdrehungen um die ''y<sub>1</sub>''- und ''z<sub>1</sub>''-Achse dagegen sind sehr klein - es sind die Kippungen		Die Verdrehungen um die ''y<sub>1</sub>''- und ''z<sub>1</sub>''-Achse dagegen sind sehr klein - es sind die Kippungen
	<math>\begin{array}{ccc}\Phi_A(t)&\ldots&\text{Kippung um die }y_1\text{-Achse},\\\Psi_A(t)&\ldots&\text{Kippung um die }z_1\text{-Achse}\end{array}</math> .		::<math>\begin{array}{ccc}\Phi_A(t)&\ldots&\text{Kippung um die }y_1\text{-Achse},\\\Psi_A(t)&\ldots&\text{Kippung um die }z_1\text{-Achse}\end{array}</math> .
	Damit wir einen konsistenten Anschluss an die [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome\|Ansatzfunktionen]] der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]] schaffen, wählen wir hier		Damit wir einen konsistenten Anschluss an die [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome\|Ansatzfunktionen]] der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]] schaffen, wählen wir hier

	<math>\begin{array}{ccc}\Phi_A(t)&=&w'(0,t)\\\Psi_A(t)&=&v'(0,t)\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{ccc}\Phi_A(t)&=&w'(0,t)\\\Psi_A(t)&=&v'(0,t)\end{array}</math>

	und das bedeutet: die Kippung um die ''y<sub>1</sub>''-Achse ist positiv definiert entgegen der Konvention für eine positive Drehung!		und das bedeutet: die Kippung um die ''y<sub>1</sub>''-Achse ist positiv definiert entgegen der Konvention für eine positive Drehung!
Zeile 182:		Zeile 181:
	Unwuchten resultieren aus Masseverteilungen, bei denen der Gesamt-Schwerpunkt des Systems nicht wie beabsichtigt in Punkt ''A'' auf der ''x<sub>1</sub>''-Achse liegt oder die Deviationsmomente, z.B.		Unwuchten resultieren aus Masseverteilungen, bei denen der Gesamt-Schwerpunkt des Systems nicht wie beabsichtigt in Punkt ''A'' auf der ''x<sub>1</sub>''-Achse liegt oder die Deviationsmomente, z.B.

	<math>\displaystyle J_{yz} = -\int_V y\;z \;\; dV</math>		::<math>\displaystyle J_{yz} = -\int_V y\;z \;\; dV</math>

	nicht verschwinden, also		nicht verschwinden, also
	<math>\displaystyle J_{xy} \neq 0, \;\;\displaystyle J_{yz} \neq 0, \;\;\displaystyle J_{xz} \neq 0.</math> .		::<math>\displaystyle J_{xy} \neq 0, \;\;\displaystyle J_{yz} \neq 0, \;\;\displaystyle J_{xz} \neq 0.</math> .
	Diese Unwucht können wir in unser System "künstlich" einbauen, im Impeller, indem wir in Punkt ''A'' eine gedachte starre "Hantel" mit einer Exzentrizität ''e'' unter einem Winkel φ einbauen.		Diese Unwucht können wir in unser System "künstlich" einbauen, im Impeller, indem wir in Punkt ''A'' eine gedachte starre "Hantel" mit einer Exzentrizität ''e'' unter einem Winkel φ einbauen.
	[[Datei:Unwucht.png\|mini\|150x150px\|Modellierung einer Unwucht.]]		[[Datei:Unwucht.png\|mini\|150x150px\|Modellierung einer Unwucht.]]

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 13:07 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:
	# Die Lager - meist Gleichlager (SFD, squeeze film dampers) oder FRBs (floating ring bearing) - modellieren wir sehr rudimentär (keine Dämpfung, Rückstellkräfte nur in Auslenkungsrichtung).		# Die Lager - meist Gleichlager (SFD, squeeze film dampers) oder FRBs (floating ring bearing) - modellieren wir sehr rudimentär (keine Dämpfung, Rückstellkräfte nur in Auslenkungsrichtung).

	Die Bewegungsgleichungen des Systems stellen wir mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen auf. Aus der Literatur zur Dynamik von rotierenden Systemen erwarten wir als Bewegungsgleichung ein System, das so aussieht:		Die Bewegungsgleichungen des Systems stellen wir mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] auf. Aus der Literatur zur Dynamik von rotierenden Systemen erwarten wir als Bewegungsgleichung ein System, das so aussieht:

	<math>\underline{\underline{M}} \; \underline{\ddot{Q}} + \underline{\underline{G}} \; \underline{\dot{Q}} + \left( \underline{\underline{K}}_C \cos(2\Omega t)+\underline{\underline{K}}_S \sin(2 \Omega t)+\underline{\underline{K}}_0 \right) \; \underline{Q} = \underline{P}(t)</math>		<math>\underline{\underline{M}} \; \underline{\ddot{Q}} + \underline{\underline{G}} \; \underline{\dot{Q}} + \left( \underline{\underline{K}}_C \cos(2\Omega t)+\underline{\underline{K}}_S \sin(2 \Omega t)+\underline{\underline{K}}_0 \right) \; \underline{Q} = \underline{P}(t)</math>
Zeile 72:		Zeile 72:
	# die Erregung durch Unwuchten führt zu sehr großen Amplituden des Systems;		# die Erregung durch Unwuchten führt zu sehr großen Amplituden des Systems;
	# die Anteile der Gyroskopischen Matrix (mit ihren negativen Einträgen) führen zu Instabilität oder		# die Anteile der Gyroskopischen Matrix (mit ihren negativen Einträgen) führen zu Instabilität oder
	# die periodischen Koeffizienten des Systemes führen zu Instabilität (vgl. Kw30);		# die periodischen Koeffizienten des Systemes führen zu Instabilität (vgl. [[Gelöste Aufgaben/Kw30\|Kw30]]);

	== 3) System strukturieren ==		== 3) System strukturieren ==
Zeile 116:		Zeile 116:

	=== Referenz-Zustand ===		=== Referenz-Zustand ===
	Dabei brauchen wir unabhängige Koordinaten - also materielle Koordinaten der Struktur - und abhängige Koordinaten -also (zeitabhängige) Koordinaten, die die Bewegung des Systems beschrieben.		Dabei brauchen wir [[Sources/Lexikon/unabhängige Koordinaten\|unabhängige Koordinaten]] - also materielle Koordinaten der Struktur - und [[Sources/Lexikon/abhängige Koordinaten\|abhängige Koordinaten]] -also (zeitabhängige) Koordinaten, die die Bewegung des Systems beschrieben.
	[[Datei:2D-view-coordinate-system-0.png\|mini\|Referenzlage]]		[[Datei:2D-view-coordinate-system-0.png\|mini\|Referenzlage]]
	Wir beginnen mit einer Skizze der Turbolader-Welle im Referenz-Zustand: das heißt: keine Verschiebung, keine Verdrehung, keine Verformung.		Wir beginnen mit einer Skizze der Turbolader-Welle im Referenz-Zustand: das heißt: keine Verschiebung, keine Verdrehung, keine Verformung.
Zeile 139:		Zeile 139:
	Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass die Drehgeschwindigkeit konstant ''Ω'' ist, der Drehwinkel also ''Ω t''.		Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass die Drehgeschwindigkeit konstant ''Ω'' ist, der Drehwinkel also ''Ω t''.

	Für unser System brauchen wir einen Ansatz, der diese Transformation - und weitere - formalisiert (→ Drehmatrix).		Für unser System brauchen wir einen Ansatz, der diese Transformation - und weitere - formalisiert ([[Sources/Lexikon/Drehmatrix\|→ Drehmatrix]]).

	=== Auslenkung des Wellen-Querschnitts ===		=== Auslenkung des Wellen-Querschnitts ===
	Jeder Querschnitt der elastischen Welle mit der materiellen Koordinate ''x<sub>1</sub> (= x<sub>0</sub>'') erfährt eine Auslenkung in die ''y<sub>1</sub>''- und ''z<sub>1</sub>''-Richtung von jeweils ''v(x<sub>0</sub>,t)'' und ''w(x''<sub>0</sub>'',t)''.		Jeder Querschnitt der elastischen Welle mit der materiellen Koordinate ''x<sub>1</sub> (= x<sub>0</sub>'') erfährt eine Auslenkung in die ''y<sub>1</sub>''- und ''z<sub>1</sub>''-Richtung von jeweils ''v(x<sub>0</sub>,t)'' und ''w(x''<sub>0</sub>'',t)''.
	[[Datei:2D-view-coordinate-system-3.png\|mini\|200x200px\|Auslenkungen ''u, v'']]		[[Datei:2D-view-coordinate-system-3.png\|mini\|200x200px\|Auslenkungen ''u, v'']]
	Die Verschiebungen schreiben wir im materiellen (mitdrehenden) Koordinatensystem an - dann können wir mit den Standard-Ausdrücken für die Virtuelle Formänderungsenergie für einen Stab arbeiten. Die ist nämlich unabhängig davon, ob der Stab sich dreht - oder nicht.		Die Verschiebungen schreiben wir im materiellen (mitdrehenden) Koordinatensystem an - dann können wir mit den Standard-Ausdrücken für die [[Sources/Lexikon/Virtuelle Formänderungsenergie\|Virtuelle Formänderungsenergie]] für einen Stab arbeiten. Die ist nämlich unabhängig davon, ob der Stab sich dreht - oder nicht.

	Entlang der Welle sind ''A, B, C'' und ''D'' ausgezeichnete Punkte, hier definieren wir für die Verschiebungen in ''z<sub>1</sub>''-Richtung:		Entlang der Welle sind ''A, B, C'' und ''D'' ausgezeichnete Punkte, hier definieren wir für die Verschiebungen in ''z<sub>1</sub>''-Richtung:
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	Die Verdrehungen um die ''y<sub>1</sub>''- und ''z<sub>1</sub>''-Achse dagegen sind sehr klein - es sind die Kippungen		Die Verdrehungen um die ''y<sub>1</sub>''- und ''z<sub>1</sub>''-Achse dagegen sind sehr klein - es sind die Kippungen
	<math>\begin{array}{ccc}\Phi_A(t)&\ldots&\text{Kippung um die }y_1\text{-Achse},\\\Psi_A(t)&\ldots&\text{Kippung um die }z_1\text{-Achse}\end{array}</math> .		<math>\begin{array}{ccc}\Phi_A(t)&\ldots&\text{Kippung um die }y_1\text{-Achse},\\\Psi_A(t)&\ldots&\text{Kippung um die }z_1\text{-Achse}\end{array}</math> .
	Damit wir einen konsistenten Anschluss an die Ansatzfunktionen der Finite Elemente Methode schaffen, wählen wir hier		Damit wir einen konsistenten Anschluss an die [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/FEM: Trial-Functions für kubische Ansatz-Polynome\|Ansatzfunktionen]] der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]] schaffen, wählen wir hier

	<math>\begin{array}{ccc}\Phi_A(t)&=&w'(0,t)\\\Psi_A(t)&=&v'(0,t)\end{array}</math>		<math>\begin{array}{ccc}\Phi_A(t)&=&w'(0,t)\\\Psi_A(t)&=&v'(0,t)\end{array}</math>