Gelöste Aufgaben/FEB4 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 9. März 2021 um 11:21 Uhr

2021-03-09T11:21:52Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEB4-01.png\|mini\|235x235px\|Lageplan]]		[[Datei:FEB4-01.png\|left\|mini\|235x235px\|Lageplan]]
	Das skizzierte System besteht aus [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] (jeweils Länge ''a'') der Biegesteifigkeit ''EI''. Die Konstruktion wird in ''A'' durch ein gelenkiges Festlager gehalten und in ''B'' durch die Kraft ''F'' belastet.		Das skizzierte System besteht aus [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] (jeweils Länge ''a'') der Biegesteifigkeit ''EI''. Die Konstruktion wird in ''A'' durch ein gelenkiges Festlager gehalten und in ''B'' durch die Kraft ''F'' belastet.

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 10:32 Uhr

2021-02-26T10:32:10Z

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	g

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 10:31 Uhr

2021-02-26T10:31:58Z

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	Für jedes Finite Element führen wir zuerst das standardisierte lokale ''x/z''-[[Sources/Lexikon/Koordinaten\|Koordinatensystem]][[Datei:Link.png\|rahmenlos]] ein. Und wir definieren neue, anschauliche - globale - Koordinaten des Systems, um sie von den Standard-Koordinaten ''W<sub>i</sub> , Φ<sub>i</sub>'' unterscheiden zu können:		Für jedes Finite Element führen wir zuerst das standardisierte lokale ''x/z''-[[Sources/Lexikon/Koordinaten\|Koordinatensystem]][[Datei:Link.png\|rahmenlos]] ein. Und wir definieren neue, anschauliche - globale - Koordinaten des Systems, um sie von den Standard-Koordinaten ''W<sub>i</sub> , Φ<sub>i</sub>'' unterscheiden zu können:

	<table style="background-color:#~~FFFFEF~~;" class="wikitable">		<table style="background-color:#FFFFFF;" class="wikitable">
	<tr><th>Lokale Orts-Koordinaten ''x<sub>i</sub>, z<sub>i</sub>''</th><th>Globale Knoten-Koordinaten ''U<sub>i</sub>, Ψ<sub>i</sub>''</th></tr>		<tr><th>Lokale Orts-Koordinaten ''x<sub>i</sub>, z<sub>i</sub>''</th><th>Globale Knoten-Koordinaten ''U<sub>i</sub>, Ψ<sub>i</sub>''</th></tr>
	<tr><td>[[Datei:FEB4-14.png\|alternativtext=\|rahmenlos\|336x336px]]</td>		<tr><td>[[Datei:FEB4-14.png\|alternativtext=\|rahmenlos\|336x336px]]</td>
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	Aus den Bildern für die Knoten-Koordinaten oben lesen wir nun die (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen ab und skizzieren darunter die Einarbeitung dieser Bedingungen in die virtuellen Formänderungsenergien.		Aus den Bildern für die Knoten-Koordinaten oben lesen wir nun die (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen ab und skizzieren darunter die Einarbeitung dieser Bedingungen in die virtuellen Formänderungsenergien.

	<table style="background-color:#~~FFFFEF~~;" class="wikitable">		<table style="background-color:#FFFFFF;" class="wikitable">
	<tr><th>Element ''I''</th><th>Element ''II''</th><th>Element ''III''</th></tr>		<tr><th>Element ''I''</th><th>Element ''II''</th><th>Element ''III''</th></tr>
	<tr><td><math>\begin{array}{lcl}		<tr><td><math>\begin{array}{lcl}
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	Was noch fehlt ist die Übersetzung der lokalen in die globalen Koordinaten		Was noch fehlt ist die Übersetzung der lokalen in die globalen Koordinaten

	<table style="background-color:#~~FFFFEF~~;" class="wikitable">		<table style="background-color:#FFFFFF;" class="wikitable">
	<tr><th>local</th><th></th><th>global</th></tr>		<tr><th>local</th><th></th><th>global</th></tr>
	<tr><td><math>\begin{array}{c}		<tr><td><math>\begin{array}{c}

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 10:31 Uhr

2021-02-26T10:31:10Z

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	Für jedes Finite Element führen wir zuerst das standardisierte lokale ''x/z''-[[Sources/Lexikon/Koordinaten\|Koordinatensystem]][[Datei:Link.png\|rahmenlos]] ein. Und wir definieren neue, anschauliche - globale - Koordinaten des Systems, um sie von den Standard-Koordinaten ''W<sub>i</sub> , Φ<sub>i</sub>'' unterscheiden zu können:		Für jedes Finite Element führen wir zuerst das standardisierte lokale ''x/z''-[[Sources/Lexikon/Koordinaten\|Koordinatensystem]][[Datei:Link.png\|rahmenlos]] ein. Und wir definieren neue, anschauliche - globale - Koordinaten des Systems, um sie von den Standard-Koordinaten ''W<sub>i</sub> , Φ<sub>i</sub>'' unterscheiden zu können:

	<table class="wikitable">		<table style="background-color:#FFFFEF;" class="wikitable">
	<tr><th>Lokale Orts-Koordinaten ''x<sub>i</sub>, z<sub>i</sub>''</th><th>Globale Knoten-Koordinaten ''U<sub>i</sub>, Ψ<sub>i</sub>''</th></tr>		<tr><th>Lokale Orts-Koordinaten ''x<sub>i</sub>, z<sub>i</sub>''</th><th>Globale Knoten-Koordinaten ''U<sub>i</sub>, Ψ<sub>i</sub>''</th></tr>
	<tr><td>[[Datei:FEB4-14.png\|alternativtext=\|rahmenlos\|336x336px]]</td>		<tr><td>[[Datei:FEB4-14.png\|alternativtext=\|rahmenlos\|336x336px]]</td>
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	Aus den Bildern für die Knoten-Koordinaten oben lesen wir nun die (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen ab und skizzieren darunter die Einarbeitung dieser Bedingungen in die virtuellen Formänderungsenergien.		Aus den Bildern für die Knoten-Koordinaten oben lesen wir nun die (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen ab und skizzieren darunter die Einarbeitung dieser Bedingungen in die virtuellen Formänderungsenergien.

	<table class="wikitable">		<table style="background-color:#FFFFEF;" class="wikitable">
	<tr><th>Element ''I''</th><th>Element ''II''</th><th>Element ''III''</th></tr>		<tr><th>Element ''I''</th><th>Element ''II''</th><th>Element ''III''</th></tr>
	<tr><td><math>\begin{array}{lcl}		<tr><td><math>\begin{array}{lcl}
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	Was noch fehlt ist die Übersetzung der lokalen in die globalen Koordinaten		Was noch fehlt ist die Übersetzung der lokalen in die globalen Koordinaten

	<table class="wikitable">		<table style="background-color:#FFFFEF;" class="wikitable">
	<tr><th>local</th><th></th><th>global</th></tr>		<tr><th>local</th><th></th><th>global</th></tr>
	<tr><td><math>\begin{array}{c}		<tr><td><math>\begin{array}{c}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T10:29:02Z

tmp

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	}}		}}

	~~==tmp==~~
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Assembly of System Matrices		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Assembly of System Matrices
	\|text=		\|text=

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T10:28:52Z

tmp

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Zeile 88:		Zeile 88:
	}}		}}

	~~==tmp==~~
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Coordinates		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Coordinates
	\|text=		\|text=

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T10:28:40Z

tmp

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	}}		}}

	~~==tmp==~~
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=		\|text=

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T10:27:38Z

tmp

@@ Zeile 246: / Zeile 246: @@
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
 </syntaxhighlight>
 }}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T10:26:47Z

tmp

@@ Zeile 172: / Zeile 172: @@
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
 </syntaxhighlight>
 }}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T10:26:04Z

tmp

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	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Wir haben also ein Ersatz-System mit drei Finiten Elementen und vier Knoten:[[Datei:FEB4-12.png\|mini\|336x336px\|Knoten und Stäbe.]]		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations
			\|text=
			Wir haben also ein Ersatz-System mit drei Finiten Elementen und vier Knoten:[[Datei:FEB4-12.png\|mini\|336x336px\|Knoten und Stäbe.]]
	Die Knoten 0 und 3 entstehen in unserem Ersatz-System, weil hier das Biegemoment in den horizontalen Sektionen (I und III) Null ist. Diese beiden Sektionen sind nur ''a/2'' lang, die vertikale Sektion ist ''a'' lang.		Die Knoten 0 und 3 entstehen in unserem Ersatz-System, weil hier das Biegemoment in den horizontalen Sektionen (I und III) Null ist. Diese beiden Sektionen sind nur ''a/2'' lang, die vertikale Sektion ist ''a'' lang.

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	Dementsprechnd haben die drei Finiten Elementen die Längen		Dementsprechnd haben die drei Finiten Elementen die Längen

	<math>\begin{array}{l}		::<math>\begin{array}{l}
	\ell_1 = a/2\\		\ell_1 = a/2\\
	\ell_2 = a\\		\ell_2 = a\\
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	Die Element-Steifigkeitsmatrix kopieren wir aus Abschnitt [[Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken\|FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken]] zu:		Die Element-Steifigkeitsmatrix kopieren wir aus Abschnitt [[Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken\|FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken]] zu:

	<math>\displaystyle K_i(\ell_i) = \frac{E I}{\ell_i^3}\cdot \begin{pmatrix}12 & 6\cdot \ell & -12 & 6\cdot \ell_i\\		::<math>\displaystyle K_i(\ell_i) = \frac{E I}{\ell_i^3}\cdot \begin{pmatrix}12 & 6\cdot \ell & -12 & 6\cdot \ell_i\\
	6\cdot \ell_i & 4\cdot {{\ell_i}^{2}} & -6\cdot \ell_i & 2\cdot {{\ell_i}^{2}}\\		6\cdot \ell_i & 4\cdot {{\ell_i}^{2}} & -6\cdot \ell_i & 2\cdot {{\ell_i}^{2}}\\
	-12 & -6\cdot \ell_i & 12 & -6\cdot \ell_i\\		-12 & -6\cdot \ell_i & 12 & -6\cdot \ell_i\\
	6\cdot \ell_i & 2\cdot {{\ell_i}^{2}} & -6\cdot \ell_i & 4\cdot {{\ell_i}^{2}}\end{pmatrix}</math> .~~{{MyCodeBlock\|title=Declarations~~		6\cdot \ell_i & 2\cdot {{\ell_i}^{2}} & -6\cdot \ell_i & 4\cdot {{\ell_i}^{2}}\end{pmatrix}</math> .
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1
			/*******************************************************/
			/* coordinates and boundary conditions */
			l : [a/2,a,a/2];
			norm : ŵ = Fa^3/(3EI) * 5;

			X : append(makelist(Q[i]= [W[i-1], Φ[i-1], W[i], Φ[i]],i,1,3),[Q[0]= [U[1], Ψ[1], Ψ[2], U[3]]]);
			δX : subst([Q=δQ,W=δW,Φ=δΦ],X);

			/* boundary conditions */
			kinematics: [[W[0]= 0 , δW[0]= 0 ],
			[W[1]= 0 , W[2]=0,δW[1]= 0 ,δW[2]=0],
			[W[2]=-W[1], δW[2]=-δW[1] ]];
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Coordinates		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Coordinates