Gelöste Aufgaben/FEB3 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 26. Oktober 2022 um 07:12 Uhr

2022-10-26T07:12:04Z

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	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=~~Headaer~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Header
	\|text=		\|text=
	Hier müssen die Element-Steifigkeitsmatrizen für vier Sektionen von [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] und einer Feder zusammengefügt (assembliert) werden. Die Schwierigkeit liegt darin, die Symmetrien des Systems auszunutzen.		Hier müssen die Element-Steifigkeitsmatrizen für vier Sektionen von [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] und einer Feder zusammengefügt (assembliert) werden. Die Schwierigkeit liegt darin, die Symmetrien des Systems auszunutzen.

Mechaniker am 9. März 2021 um 11:21 Uhr

2021-03-09T11:21:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. März 2021, 11:21 Uhr
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	Die Euler-Bernoulli-Balken ''AB'' und ''CD'' (Länge ''2ℓ'', Biegesteifigkeit ''EI'') sind in ''A'' und ''B'' bzw. ''C'' und ''D'' gelenkig gelagert. Jeweils mittig haben die beiden Balken einen Verbindungspunkt, in die eine Feder der Steifigkeit ''k'' eingehängt wird. Zum Einhängen muss bei entspannten Balken die Feder um die Länge ''d'' gelängt werden. Nach dem Loslassen stellt sich dann eine neue statische Gleichgewichtslage zwischen Balken und Feder ein.		Die Euler-Bernoulli-Balken ''AB'' und ''CD'' (Länge ''2ℓ'', Biegesteifigkeit ''EI'') sind in ''A'' und ''B'' bzw. ''C'' und ''D'' gelenkig gelagert. Jeweils mittig haben die beiden Balken einen Verbindungspunkt, in die eine Feder der Steifigkeit ''k'' eingehängt wird. Zum Einhängen muss bei entspannten Balken die Feder um die Länge ''d'' gelängt werden. Nach dem Loslassen stellt sich dann eine neue statische Gleichgewichtslage zwischen Balken und Feder ein.

	<onlyinclude>[[Datei:FEB3-01.png\|mini\|Lageplan.\|alternativtext=\|200x200px]]Gesucht sind die Auslenkungen der beiden Verbindungspunkte der Feder mit den Balken. Das Modell soll aus vier Finiten Elementen bestehen, jeweils zwei für die beiden Balken sowie einer Feder.		<onlyinclude>[[Datei:FEB3-01.png\|mini\|left\|Lageplan.\|alternativtext=\|200x200px]]Gesucht sind die Auslenkungen der beiden Verbindungspunkte der Feder mit den Balken. Das Modell soll aus vier Finiten Elementen bestehen, jeweils zwei für die beiden Balken sowie einer Feder.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T07:54:01Z

tmp

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	}}		}}

	~~==tmp==~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Lösen des Gleichungssystems liefert		\|text=
			Lösen des Gleichungssystems liefert

	<math>\begin{array}{l}\displaystyle \Phi_A = \frac{3\; d\; k\; \ell^{2}}{12\; EI+4\; k\; \ell^{3}}\\\displaystyle W_M=\frac{d\; k\; \ell^3}{6\; EI+2\; k\; \ell^3}\end{array}</math>,		::<math>\begin{array}{l}\displaystyle \Phi_A = \frac{3\; d\; k\; \ell^{2}}{12\; EI+4\; k\; \ell^{3}}\\\displaystyle W_M=\frac{d\; k\; \ell^3}{6\; EI+2\; k\; \ell^3}\end{array}</math>,

	und das ist zum Beispiel für ''k = EI / ℓ<sup>3</sup>''		und das ist zum Beispiel für ''k = EI / ℓ<sup>3</sup>''

	<math>\begin{array}{l}\displaystyle \Phi_A = \frac{3\; d}{16\; \ell}\\\displaystyle W_M = \frac{d}{8}\end{array}</math>~~{{MyCodeBlock\|title=Solving~~		::<math>\begin{array}{l}\displaystyle \Phi_A = \frac{3\; d}{16\; \ell}\\\displaystyle W_M = \frac{d}{8}\end{array}</math>
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	~~1+1~~		/***************************************************/
			/* solve */
			sol : ratsimp(linsolve_by_lu(K,P));

			subst([k=EI/l^3],sol);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T07:53:01Z

tmp

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	}}		}}

	~~==tmp==~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Der Schlüssel zur einfachen Lösung liegt in der Symmetrie der Verformung des Systems: alle vier Balken-Elemente verformen sich gleich. So verformt sich der Balken ''AB'' symmetrisch zum mittleren Verbindungspunkt "M", das gleiche gilt für Balken CD.		\|text=
			Der Schlüssel zur einfachen Lösung liegt in der Symmetrie der Verformung des Systems: alle vier Balken-Elemente verformen sich gleich. So verformt sich der Balken ''AB'' symmetrisch zum mittleren Verbindungspunkt "M", das gleiche gilt für Balken CD.

	Für das Finite Element ''AM'' sind nun die Knotenvariablen		Für das Finite Element ''AM'' sind nun die Knotenvariablen

	<math>\underline{Q}_{AM} = \left(\begin{array}{l}W_A\\\Phi_A\\W_M\\\Phi_M\end{array}\right)</math>,		::<math>\underline{Q}_{AM} = \left(\begin{array}{l}W_A\\\Phi_A\\W_M\\\Phi_M\end{array}\right)</math>,

	wobei wegen der Rand- und Übergangsbedingungen		wobei wegen der Rand- und Übergangsbedingungen

	<math>\begin{array}{l}W_A = 0 \text{ und }\\ \Phi_M = 0\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{l}W_A = 0 \text{ und }\\ \Phi_M = 0\end{array}</math>

	gilt. Nach Einarbeiten dieser Bedingungen ist also die virtuelle Formänderungsenergie des Balken-Segments		gilt. Nach Einarbeiten dieser Bedingungen ist also die virtuelle Formänderungsenergie des Balken-Segments

	<math>\displaystyle \delta\Pi_{AM} = \left(\delta \Phi_A, \delta W_M\right)\cdot \frac{EI}{\ell^3} \left(\begin{array}{cc}4\ell^2&-6\ell\\-6\ell&12 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l}\Phi_A\\ W_M\end{array}\right)</math>.		::<math>\displaystyle \delta\Pi_{AM} = \left(\delta \Phi_A, \delta W_M\right)\cdot \frac{EI}{\ell^3} \left(\begin{array}{cc}4\ell^2&-6\ell\\-6\ell&12 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l}\Phi_A\\ W_M\end{array}\right)</math>.

	Analog ist die virtuelle Formänderungsenergie der Feder		Analog ist die virtuelle Formänderungsenergie der Feder

	<math>\delta\Pi_k = k\cdot (d-2\;W_M)\cdot(-2\;\delta W_M)</math>		::<math>\delta\Pi_k = k\cdot (d-2\;W_M)\cdot(-2\;\delta W_M)</math>

	weil unterer und oberer Verbindungspunkt gleich ausgelenkt werden - wenn auch mit unterschiedlichen Orientierungen.		weil unterer und oberer Verbindungspunkt gleich ausgelenkt werden - wenn auch mit unterschiedlichen Orientierungen.
Zeile 84:		Zeile 85:
	Wir haben keine eingeprägten, äußeren Kräfte - also gilt im Gleichgewicht		Wir haben keine eingeprägten, äußeren Kräfte - also gilt im Gleichgewicht

	<math>\delta\Pi = 0</math>.		::<math>\delta\Pi = 0</math>.

	Nun ist		Nun ist

	<math>\displaystyle \delta\Pi = \underbrace{\sum^4_{I=1} \delta\Pi_i}_{\displaystyle = 4\;\delta\Pi_{AM}} + \delta\Pi_k</math>		::<math>\displaystyle \delta\Pi = \underbrace{\sum^4_{I=1} \delta\Pi_i}_{\displaystyle = 4\;\delta\Pi_{AM}} + \delta\Pi_k</math>

	und damit folgt die Gleichgewichtsbedingung zu		und damit folgt die Gleichgewichtsbedingung zu

	<math>\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{16\cdot \mathit{EI}}{l} &\displaystyle -\frac{24\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{2}}}\\ \displaystyle -\frac{24\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{2}}} &\displaystyle \frac{48\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{3}}}+4\cdot k\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{{\Phi}_{A}}\\{{W}_{M}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\; d\; k\end{pmatrix}</math>.~~{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions~~		::<math>\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{16\cdot \mathit{EI}}{l} &\displaystyle -\frac{24\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{2}}}\\ \displaystyle -\frac{24\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{2}}} &\displaystyle \frac{48\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{3}}}+4\cdot k\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{{\Phi}_{A}}\\{{W}_{M}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\; d\; k\end{pmatrix}</math>.
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1		/***************************************************/
			/* virtuelle Formänderungsenergie der Feder */

			Q : matrix([Phi[A]],[W[M]]);

			δΠ[k] : k(d-2W[M])(-2δW[M]);

			/* Gesamt-Matrizen */
			K : 4* submatrix(1,4,Ki(l),1,4)
			K[2,2] : K[2,2] + coeff(coeff(expand(δΠ[k]),δW[M]),W[M]);

			P : matrix([0],[-subst(0,W[M],coeff(expand(δΠ[k]),δW[M]))])
			print(K,"*",Q,"=",P);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T07:51:34Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 07:51 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	}}		}}

	~~==tmp==~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Wir kopieren den Ausdruck für die virtuelle Formänderungsenergie aus der FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken für Element "''i''" zu		\|text=
			Wir kopieren den Ausdruck für die virtuelle Formänderungsenergie aus der FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken für Element "''i''" zu

	<math>\delta\Pi_i = \delta\underline{Q}^T \cdot \underline{\underline{K}}_i \cdot \underline{Q}</math>.~~{{MyCodeBlock\|title=Declarations~~		::<math>\delta\Pi_i = \delta\underline{Q}^T \cdot \underline{\underline{K}}_i \cdot \underline{Q}</math>.
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1		/***************************************************/
			/* FEM-Formulierung+für+den+Euler-Bernoulli-Balken */
			/Trial-Fucntions/

			Ki(l):= (EI/l^3)matrix([ 12, 6l ,-12 , 6*l ],
			[6l, 4l^2, -6l, 2l^2],
			[-12,-6l , 12 ,-6l ],
			[6l, 2l^2, -6l, 4l^2]);
			/***************************************************/
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-26T07:50:52Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 07:50 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==
	~~==tmp==~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Headaer
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Hier müssen die Element-Steifigkeitsmatrizen für vier Sektionen von [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] und einer Feder zusammengefügt (assembliert) werden. Die Schwierigkeit liegt darin, die Symmetrien des Systems auszunutzen.~~{{MyCodeBlock\|title=Headaer~~		\|text=
	~~\|text=Text~~		Hier müssen die Element-Steifigkeitsmatrizen für vier Sektionen von [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] und einer Feder zusammengefügt (assembliert) werden. Die Schwierigkeit liegt darin, die Symmetrien des Systems auszunutzen.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	~~1+1~~
			/*******************************************************/
			/* MAXIMA script */
			/* version: wxMaxima 16.04.2 */
			/* author: Andreas Baumgart */
			/* last updated: 2018-12-23 */
			/* ref: TM-C */
			/* description: FEM-solution for two beams, centrally */
			/* connected by a spring */
			/*******************************************************/
			/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
			declare("δW", alphabetic);
			declare("δA", alphabetic);
			declare("δΠ", alphabetic);
			declare("δw", alphabetic);
			declare("δQ", alphabetic);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 07:50 Uhr

2021-02-26T07:50:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 07:50 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:

	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	~~SOME TEXT~~		Hier geht es offensichtlich um Symmetrien, die wir mit einer skalaren Gleichgewichtsformulierung wie dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] sehr elegant ausnutzen können.

	<onlyinclude>		Die Euler-Bernoulli-Balken ''AB'' und ''CD'' (Länge ''2ℓ'', Biegesteifigkeit ''EI'') sind in ''A'' und ''B'' bzw. ''C'' und ''D'' gelenkig gelagert. Jeweils mittig haben die beiden Balken einen Verbindungspunkt, in die eine Feder der Steifigkeit ''k'' eingehängt wird. Zum Einhängen muss bei entspannten Balken die Feder um die Länge ''d'' gelängt werden. Nach dem Loslassen stellt sich dann eine neue statische Gleichgewichtslage zwischen Balken und Feder ein.
	[[Datei:~~Screenshot 20210111~~-~~063733~2~~.png\|~~100px~~\|~~left~~\|~~mini~~\|~~Caption~~]]
	Gesucht ~~ist "SOME EXPLANATION"~~		<onlyinclude>[[Datei:FEB3-01.png\|mini\|Lageplan.\|alternativtext=\|200x200px]]Gesucht sind die Auslenkungen der beiden Verbindungspunkte der Feder mit den Balken. Das Modell soll aus vier Finiten Elementen bestehen, jeweils zwei für die beiden Balken sowie einer Feder.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==
	~~Lorem Ipsum ....~~

	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Headaer		<!-------------------------------------------------------------------------------->Hier müssen die Element-Steifigkeitsmatrizen für vier Sektionen von [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]] und einer Feder zusammengefügt (assembliert) werden. Die Schwierigkeit liegt darin, die Symmetrien des Systems auszunutzen.{{MyCodeBlock\|title=Headaer
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 30:		Zeile 28:

	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations		<!-------------------------------------------------------------------------------->Wir kopieren den Ausdruck für die virtuelle Formänderungsenergie aus der FEM-Formulierung für den Euler-Bernoulli-Balken für Element "''i''" zu

			<math>\delta\Pi_i = \delta\underline{Q}^T \cdot \underline{\underline{K}}_i \cdot \underline{Q}</math>.{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
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	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions		<!-------------------------------------------------------------------------------->Der Schlüssel zur einfachen Lösung liegt in der Symmetrie der Verformung des Systems: alle vier Balken-Elemente verformen sich gleich. So verformt sich der Balken ''AB'' symmetrisch zum mittleren Verbindungspunkt "M", das gleiche gilt für Balken CD.

			Für das Finite Element ''AM'' sind nun die Knotenvariablen

			<math>\underline{Q}_{AM} = \left(\begin{array}{l}W_A\\\Phi_A\\W_M\\\Phi_M\end{array}\right)</math>,

			wobei wegen der Rand- und Übergangsbedingungen

			<math>\begin{array}{l}W_A = 0 \text{ und }\\ \Phi_M = 0\end{array}</math>

			gilt. Nach Einarbeiten dieser Bedingungen ist also die virtuelle Formänderungsenergie des Balken-Segments

			<math>\displaystyle \delta\Pi_{AM} = \left(\delta \Phi_A, \delta W_M\right)\cdot \frac{EI}{\ell^3} \left(\begin{array}{cc}4\ell^2&-6\ell\\-6\ell&12 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{l}\Phi_A\\ W_M\end{array}\right)</math>.

			Analog ist die virtuelle Formänderungsenergie der Feder

			<math>\delta\Pi_k = k\cdot (d-2\;W_M)\cdot(-2\;\delta W_M)</math>

			weil unterer und oberer Verbindungspunkt gleich ausgelenkt werden - wenn auch mit unterschiedlichen Orientierungen.

			Wir haben keine eingeprägten, äußeren Kräfte - also gilt im Gleichgewicht

			<math>\delta\Pi = 0</math>.

			Nun ist

			<math>\displaystyle \delta\Pi = \underbrace{\sum^4_{I=1} \delta\Pi_i}_{\displaystyle = 4\;\delta\Pi_{AM}} + \delta\Pi_k</math>

			und damit folgt die Gleichgewichtsbedingung zu

			<math>\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{16\cdot \mathit{EI}}{l} &\displaystyle -\frac{24\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{2}}}\\ \displaystyle -\frac{24\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{2}}} &\displaystyle \frac{48\cdot \mathit{EI}}{{{l}^{3}}}+4\cdot k\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{{\Phi}_{A}}\\{{W}_{M}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\; d\; k\end{pmatrix}</math>.{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 48:		Zeile 78:

	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving		<!-------------------------------------------------------------------------------->Lösen des Gleichungssystems liefert

			<math>\begin{array}{l}\displaystyle \Phi_A = \frac{3\; d\; k\; \ell^{2}}{12\; EI+4\; k\; \ell^{3}}\\\displaystyle W_M=\frac{d\; k\; \ell^3}{6\; EI+2\; k\; \ell^3}\end{array}</math>,

			und das ist zum Beispiel für ''k = EI / ℓ<sup>3</sup>''

			<math>\begin{array}{l}\displaystyle \Phi_A = \frac{3\; d}{16\; \ell}\\\displaystyle W_M = \frac{d}{8}\end{array}</math>{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=Text		\|text=Text
	\|code=		\|code=
Zeile 61:		Zeile 97:
	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* ...

	~~[[Datei:FEB3-01.png\|mini\|Lageplan.]]~~

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 07:40 Uhr

2021-02-26T07:40:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 07:40 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	d		[[Category:Gelöste Aufgaben]]
			[[Category:Randwertproblem]]
			[[Category:Biege-Belastung]]
			[[Category:Euler-Bernoulli-Balken]]
			[[Category:Finite-Elemente-Methode‎]]
			[[Category:Geometrische Zwangsbedingung]]
			[[Category:Koordinaten‎]]
			[[Category:Maxima‎]]
			[[Category:Statik]]

			==Aufgabenstellung==
			SOME TEXT

			<onlyinclude>
			[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]
			Gesucht ist "SOME EXPLANATION"
			</onlyinclude>

			== Lösung mit Maxima ==
			Lorem Ipsum ....

			==tmp==
			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Headaer
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==
			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==
			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			==tmp==
			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
			\|text=Text
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			1+1
			</syntaxhighlight>
			}}

			'''Links'''
			* ...

			'''Literature'''
			* ...

			[[Datei:FEB3-01.png\|mini\|Lageplan.]]

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2021-02-16T12:20:29Z

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