Gelöste Aufgaben/FEB1 - Versionsgeschichte

Mechaniker am 9. März 2021 um 11:20 Uhr

2021-03-09T11:20:24Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEB1-01.png\|mini\|Lageplan~~\|alternativtext=~~\|200x200px]]		[[Datei:FEB1-01.png\|mini\|left\|Lageplan\|200x200px]]
	Ein Hubschrauber-Rotor dreht mir der konstanten Winknelgeschwindigkeit Ω.		Ein Hubschrauber-Rotor dreht mir der konstanten Winknelgeschwindigkeit Ω.
	Das Rotor-Blatt ist aus Aluminium. Gesucht ist die FEM-Lösung für der Verschiebung der Querschnitte und die Dehnung der Querschnitte.		Das Rotor-Blatt ist aus Aluminium. Gesucht ist die FEM-Lösung für der Verschiebung der Querschnitte und die Dehnung der Querschnitte.

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:54 Uhr

2021-02-25T13:54:01Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEB1-01.png\|mini\|Lageplan]]		[[Datei:FEB1-01.png\|mini\|Lageplan\|alternativtext=\|200x200px]]
	Ein Hubschrauber-Rotor dreht mir der konstanten Winknelgeschwindigkeit Ω.		Ein Hubschrauber-Rotor dreht mir der konstanten Winknelgeschwindigkeit Ω.
	Das Rotor-Blatt ist aus Aluminium. Gesucht ist die FEM-Lösung für der Verschiebung der Querschnitte und die Dehnung der Querschnitte.		Das Rotor-Blatt ist aus Aluminium. Gesucht ist die FEM-Lösung für der Verschiebung der Querschnitte und die Dehnung der Querschnitte.

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:51 Uhr

2021-02-25T13:51:58Z

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Zeile 207:		Zeile 207:
	::<math>\displaystyle \varepsilon_{rr} = \frac{du}{dr}</math>.		::<math>\displaystyle \varepsilon_{rr} = \frac{du}{dr}</math>.

	Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:[[Datei:FEB1-12.png\|mini\|Dehnung ε(x).\|alternativtext=\|links]]		Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:[[Datei:FEB1-12.png\|mini\|Dehnung ε(x).\|alternativtext=\|links]]<br clear="all"/>

	{{MyTip\|title=Konstante Dehnung je Element\|text=Was ausschaut wie ein Fehler - nämlich die "Treppenfunktion" für die Dehnung im FE-Modell - ist in Wirklichkeit die Folge unserer linearen Ansatzfunktionen. Diese abgeleitet liefern eine konstante Dehnung je Element.}}		{{MyTip\|title=Konstante Dehnung je Element\|text=Was ausschaut wie ein Fehler - nämlich die "Treppenfunktion" für die Dehnung im FE-Modell - ist in Wirklichkeit die Folge unserer linearen Ansatzfunktionen. Diese abgeleitet liefern eine konstante Dehnung je Element.}}

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:44 Uhr

2021-02-25T13:44:39Z

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	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations		<!------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations
	\|text=		\|text=
	Für die Komposition der Bewegungsgleichungen brauchen wir die Element-Steifigkeitsmatrix und die Element-Lastmatrix.		Für die Komposition der Bewegungsgleichungen brauchen wir die Element-Steifigkeitsmatrix und die Element-Lastmatrix.

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:42 Uhr

2021-02-25T13:42:01Z

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Zeile 205:		Zeile 205:
	Die Dehnungen (und Spannungen) im Bauteil sind		Die Dehnungen (und Spannungen) im Bauteil sind

	<math>\displaystyle \varepsilon_{rr} = \frac{du}{dr}</math>.		::<math>\displaystyle \varepsilon_{rr} = \frac{du}{dr}</math>.

	Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:[[Datei:FEB1-12.png\|mini\|Dehnung ε(x).\|alternativtext=\|links]]		Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:[[Datei:FEB1-12.png\|mini\|Dehnung ε(x).\|alternativtext=\|links]]

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:41 Uhr

2021-02-25T13:41:20Z

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Zeile 176:		Zeile 176:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}
	~~==tmp==~~
	~~<!-------------------------------------------------------------------------------->Die Lösung des linearen Gleichungssystems~~

	<math>\underline{\underline{K}}\cdot \underline{U} = \underline{P}</math>		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
			\|text=
			Die Lösung des linearen Gleichungssystems

			::<math>\underline{\underline{K}}\cdot \underline{U} = \underline{P}</math>

	ist		ist

	<math>\underline{U} = \begin{pmatrix}\frac{47{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega}^{2}}\rho}{384E}\\ \frac{11{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega}^{2}}\rho}{48E}\\ \frac{39{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega}^{2}}\rho}{128E}\\ \frac{{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega}^{2}}\rho}{3E}\end{pmatrix}</math>.		::<math>\underline{U} = \begin{pmatrix}\frac{47{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega}^{2}}\rho}{384E}\\ \frac{11{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega}^{2}}\rho}{48E}\\ \frac{39{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega}^{2}}\rho}{128E}\\ \frac{{{l}_{0}^{3}}\,{{\Omega}^{2}}\rho}{3E}\end{pmatrix}</math>.

	Oder - in dimensionsloser Form		Oder - in dimensionsloser Form

	<math>\displaystyle \frac{\underline{U}}{u_s} = \begin{pmatrix}\frac{47}{128}\\ \frac{11}{16}\\ \frac{117}{128}\\ 1\end{pmatrix}</math>.~~{{MyCodeBlock\|title=Solving~~		::<math>\displaystyle \frac{\underline{U}}{u_s} = \begin{pmatrix}\frac{47}{128}\\ \frac{11}{16}\\ \frac{117}{128}\\ 1\end{pmatrix}</math>.
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1		/* solve */
			print(K[0],"*Q=",P[0])$
			sol[2] : subst([l[i]=l[0]/I],linsolve_by_lu(K[0],P[0])[1]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}
	~~==tmp==~~

			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	<!-------------------------------------------------------------------------------->[[Datei:FEB1-11.png\|mini\|Auslenkung ''u(x)''.]]		\|text=
			[[Datei:FEB1-11.png\|mini\|Auslenkung ''u(x)''.]]
	Die Ergebnisse der FE-Rechnung und der analytischen Lösung können wir jetzt übereinander auftragen:		Die Ergebnisse der FE-Rechnung und der analytischen Lösung können wir jetzt übereinander auftragen:

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	<math>\displaystyle \varepsilon_{rr} = \frac{du}{dr}</math>.		<math>\displaystyle \varepsilon_{rr} = \frac{du}{dr}</math>.

	Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:[[Datei:FEB1-12.png\|mini\|Dehnung ε(x).\|alternativtext=\|links]]~~{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing~~		Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:[[Datei:FEB1-12.png\|mini\|Dehnung ε(x).\|alternativtext=\|links]]
	~~\|text=~~


	{{MyTip\|title=Konstante Dehnung je Element\|text=Was ausschaut wie ein Fehler - nämlich die "Treppenfunktion" für die Dehnung im FE-Modell - ist in Wirklichkeit die Folge unserer linearen Ansatzfunktionen. Diese abgeleitet liefern eine konstante Dehnung je Element.}}		{{MyTip\|title=Konstante Dehnung je Element\|text=Was ausschaut wie ein Fehler - nämlich die "Treppenfunktion" für die Dehnung im FE-Modell - ist in Wirklichkeit die Folge unserer linearen Ansatzfunktionen. Diese abgeleitet liefern eine konstante Dehnung je Element.}}
Zeile 212:		Zeile 213:
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1
			/* post-processing */
			U : append([0],args(transpose(sol[2])[1]/subst(params,u[s])));
			X : makelist(i,i,0,I)/I;

			plot2d([ratsimp(subst([r=xi*l[0]],subst(disp,u(r))/subst(params,u[s]))),
			[discrete, X, U],[discrete, X, U]], [xi,0,1],
			[legend, "analytic", "FEM", ""],
			[style, [lines,2,1], [lines,2,2], [points,2,2]],
			[point_type, asterisk],
			[xlabel, "ξ →"], [ylabel, "u →"])$

			eps: subst(params,u[s])*makelist((U[i+1]-U[i]),i,1,I)/(l[0]/I);
			toPlot : append([expand(subst([r=xil[0]],diff(subst(disp,u(r)),r))/((l[0]^2Omega^2*rho)/E))],
			makelist([discrete,[i-1,i]/I, [eps[i],eps[i]]/((l[0]^2Omega^2rho)/E)],i,1,I));
			legends : append([legend, "analytic"],makelist(simplode(["Elem. ",i]),i,1,I));

			plot2d(toPlot, [xi,0,1], legends, [y,0,0.6],
			[style, [lines,2]],
			[xlabel, "ξ →"], [ylabel, "ε/((l^2 ω^2 ρ/E) →"])$
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:38 Uhr

2021-02-25T13:38:34Z

@@ Zeile 151: / Zeile 151: @@
 |code=
 <syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
-+1
 /* initiate system matrices */
 K[0] : zeromatrix(I+1,I+1);
@@ Zeile 169: / Zeile 162: @@
        for col : 1 thru 2 do
           K[0][e-1+row][e-1+col] : K[0][e-1+row][e-1+col]+              K[i][row][col]);
 </syntaxhighlight>
 }}

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:35 Uhr

2021-02-25T13:35:07Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:30 Uhr

2021-02-25T13:30:32Z

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Header
+<!-------------------------------------------------------------------------------->
 |text=Text
 |code=
@@ Zeile 32: / Zeile 58: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Declarations
+<!-------------------------------------------------------------------------------->Für die Komposition der Bewegungsgleichungen brauchen wir die Element-Steifigkeitsmatrix und die Element-Lastmatrix.
 |text=Text
 |code=
@@ Zeile 40: / Zeile 102: @@
 }}
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Equlibrium Conditions
+<!-------------------------------------------------------------------------------->Die Gleichgewichtsbeziehungen des Gesamtsystems erhalten wir durch aus der Addition aller virtuellen Arbeiten des Systems, praktisch durch das Hinzuaddieren der Anteile je Element in die System-Matrizen für ''K'' und ''P:''
 |text=Text
 |code=
@@ Zeile 48: / Zeile 116: @@
 }}
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Boundary Conditions
+<!-------------------------------------------------------------------------------->Die geometrische Randbedingung ''U<sub>0</sub> = 0'' arbeiten wir ein, indem wir die erste Zeile des Gleichungssystem streichen sowie die erste Spalte der Steifigketsmatrix.{{MyCodeBlock|title=Boundary Conditions
 |text=Text
 |code=
@@ Zeile 56: / Zeile 124: @@
 }}
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Solving
+<!-------------------------------------------------------------------------------->Die Lösung des linearen Gleichungssystems
 |text=Text
 |code=
@@ Zeile 65: / Zeile 143: @@
 ==tmp==
-<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock|title=Post-Processing
+Auch dieses Ergebnis können wir auftragen:[[Datei:FEB1-12.png|mini|Dehnung ε(x).|alternativtext=|links]]{{MyCodeBlock|title=Post-Processing
 |text=

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 13:18 Uhr

2021-02-25T13:18:14Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 [[Datei:FEB1-12.png|mini|Dehnung ε(x).]]
 [[Datei:FEB1-11.png|mini|Auslenkung ''u(x)''.]]
-[[Datei:FEB1-01.png|mini|Lageplan]]
 {{MyTip|title=Konstante Dehnung je Element|text=Was ausschaut wie ein Fehler - nämlich die "Treppenfunktion" für die Dehnung im FE-Modell - ist in Wirklichkeit die Folge unserer linearen Ansatzfunktionen. Diese abgeleitet liefern eine konstante Dehnung je Element.}}