Gelöste Aufgaben/FEAG - Versionsgeschichte

Mechaniker am 15. Dezember 2025 um 07:51 Uhr

2025-12-15T07:51:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2025, 07:51 Uhr
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	und erhalten das [[Werkzeuge/Lösungsbausteine der Mathematik/Eigenwertprobleme\|Eigenwertproblem]]		und erhalten das [[Werkzeuge/Lösungsbausteine der Mathematik/Eigenwertprobleme\|Eigenwertproblem]]

	::<math>\underbrace{\left(\lambda^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}\right)}_{=: \displaystyle \underline{\underline{D}}}\cdot\underline{\hat{Q}}_h = \underline{0}</math>		::<math>\underbrace{\left(\lambda^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}\right)}_{=: \displaystyle \underline{\underline{\tilde{D}}}}\cdot\underline{\hat{Q}}_h = \underline{0}</math>

	mit		mit
Zeile 578:		Zeile 578:
	einführen. Damit arbeitet die Matlab<sup>®</sup>-Routine "eig()", die in "mathModel.eigensystem()" implementiert ist.		einführen. Damit arbeitet die Matlab<sup>®</sup>-Routine "eig()", die in "mathModel.eigensystem()" implementiert ist.

	Acht Eigenwerte kommen aus der Bedingung <math>\det(\underline{\underline{D}})=0</math>, diese <math>\Lambda_i</math> werden auf der Spur der Matrix D abgelegt:		Acht Eigenwerte kommen aus der Bedingung <math>\det(\underline{\underline{\tilde{D}}})=0</math>, diese <math>\Lambda_i</math> werden auf der Spur der Matrix D (nicht <math>\underline{\underline{\tilde{D}}}</math>!) abgelegt:
	<pre>		<pre>
	>> D		>> D

Mechaniker am 7. November 2021 um 16:49 Uhr

2021-11-07T16:49:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. November 2021, 16:49 Uhr
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	</onlyinclude>		</onlyinclude>
	= Lösung mit Matlab =		= Lösung mit Matlab<sup>®</sup> =
	Interessant ist hier, dass - im Gegensatz zu Stablängsschwingungen - die Eigenfrequenz nicht ein gerades Vielfaches der untersten Eigenfrequenz ist. Falls Sie ein Saiteninstrument spielen, verstehen Sie sofort, warum das wichtig ist.		Interessant ist hier, dass - im Gegensatz zu Stablängsschwingungen - die Eigenfrequenz nicht ein gerades Vielfaches der untersten Eigenfrequenz ist. Falls Sie ein Saiteninstrument spielen, verstehen Sie sofort, warum das wichtig ist.

Zeile 98:		Zeile 98:
	wobei wir die Ansatz-Polynome in <math>\underline{\tilde{\phi}}</math> verpacken.		wobei wir die Ansatz-Polynome in <math>\underline{\tilde{\phi}}</math> verpacken.

	Das schaut unnötig komplex aus - allerdings stecken wir die Diagonal-Matrizen ''d'' (für jedes Element eine) in eine Matlab-Variable, so dass sie dort nicht weiter auffällt.		Das schaut unnötig komplex aus - allerdings stecken wir die Diagonal-Matrizen ''d'' (für jedes Element eine) in eine Matlab<sup>®</sup>-Variable, so dass sie dort nicht weiter auffällt.

	Die abhängigen Koordinaten des FEM-Modells sind dann zunächst - bis zum Einarbeiten der Randbedingungen - diese:		Die abhängigen Koordinaten des FEM-Modells sind dann zunächst - bis zum Einarbeiten der Randbedingungen - diese:
Zeile 107:		Zeile 107:
	===Matlab===		===Matlab===
	====Classes====		====Classes====
	In dieser CODE-Sektion kommt ein Beispiele zum Aufbau des Matlab-Programms mit Klassen (Objektbasierte Programmierung)		In dieser CODE-Sektion kommt ein Beispiele zum Aufbau des Matlab<sup>®</sup>-Programms mit Klassen (Objektbasierte Programmierung)

	<ol>		<ol>
Zeile 449:		Zeile 449:
	::<math>\displaystyle \underline{G}_i = \frac{\varrho\,A\, g\, \ell_i}{2} \cdot \left(\begin{array}{c}+1\\\displaystyle +\frac{\ell_i}{6}\\+1\\\displaystyle -\frac{\ell_i}{6}\end{array}\right)</math>.		::<math>\displaystyle \underline{G}_i = \frac{\varrho\,A\, g\, \ell_i}{2} \cdot \left(\begin{array}{c}+1\\\displaystyle +\frac{\ell_i}{6}\\+1\\\displaystyle -\frac{\ell_i}{6}\end{array}\right)</math>.

	Dass es auch anders geht,sehen Sie in der Definition der Matlab-Klasse FEM_Element_Modell, bei der die Element direkt aus den Trial-Functions - hier den <math>\underline{\tilde{\phi}}</math> -		Dass es auch anders geht,sehen Sie in der Definition der Matlab<sup>®</sup>-Klasse FEM_Element_Modell, bei der die Element direkt aus den Trial-Functions - hier den <math>\underline{\tilde{\phi}}</math> -

	hergeleitet. werden:		hergeleitet. werden:
Zeile 510:		Zeile 510:
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=		\|text=
	Die Lösung des Anfangs- und Randwertproblems ist in diesem Lösungsansatz mit Matlab um die Klasse "FEM_Container" herum aufgebaut - in ihr sind alle Parameter und Lösungsprozesse beschrieben.		Die Lösung des Anfangs- und Randwertproblems ist in diesem Lösungsansatz mit Matlab<sup>®</sup> um die Klasse "FEM_Container" herum aufgebaut - in ihr sind alle Parameter und Lösungsprozesse beschrieben.

	Hier heißt die Instanz des Modells		Hier heißt die Instanz des Modells
Zeile 576:		Zeile 576:
	::<math>\lambda^2 = \Lambda</math>		::<math>\lambda^2 = \Lambda</math>

	einführen. Damit arbeitet die Matlab-Routine "eig()", die in "mathModel.eigensystem()" implementiert ist.		einführen. Damit arbeitet die Matlab<sup>®</sup>-Routine "eig()", die in "mathModel.eigensystem()" implementiert ist.

	Acht Eigenwerte kommen aus der Bedingung <math>\det(\underline{\underline{D}})=0</math>, diese <math>\Lambda_i</math> werden auf der Spur der Matrix D abgelegt:		Acht Eigenwerte kommen aus der Bedingung <math>\det(\underline{\underline{D}})=0</math>, diese <math>\Lambda_i</math> werden auf der Spur der Matrix D abgelegt:
Zeile 662:		Zeile 662:
	\|code=		\|code=
	<div><!-- --></div>		<div><!-- --></div>
	===Matlab===		===Matlab<sup>®</sup>===
	====Main Script====		====Main Script====
	<table>		<table>
Zeile 804:		Zeile 804:
	\|code=		\|code=
	<div><!-- CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC --></div>		<div><!-- CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC --></div>
	===Matlab===		===Matlab<sup>®</sup>===
	====Main Script====		====Main Script====
	<table>		<table>
Zeile 848:		Zeile 848:
	\|code=		\|code=
	<div><!-- CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC --></div>		<div><!-- CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC --></div>
	===Matlab===		===Matlab<sup>®</sup>===
	====Main Script====		====Main Script====
	<table>		<table>

Mechaniker am 9. März 2021 um 11:19 Uhr

2021-03-09T11:19:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. März 2021, 11:19 Uhr
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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEAG-01.png\|mini\|Lageplan\|~~alternativtext=~~\|200x200px]]		[[Datei:FEAG-01.png\|mini\|Lageplan\|left\|200x200px]]
	Gesucht ist die Schwingung eines [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]]s beim Loslassen aus der Ruhelage. Wir gehen nach dem Standardrezept der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]] vor, arbeiten also mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Arbeit]].		Gesucht ist die Schwingung eines [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]]s beim Loslassen aus der Ruhelage. Wir gehen nach dem Standardrezept der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]] vor, arbeiten also mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Arbeit]].

Mechaniker am 26. Februar 2021 um 10:33 Uhr

2021-02-26T10:33:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2021, 10:33 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	[[Datei:FEAG-01.png\|mini\|Lageplan\|alternativtext=\|200x200px]]		[[Datei:FEAG-01.png\|mini\|Lageplan\|alternativtext=\|200x200px]]
	Gesucht ist die Schwingung eines [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]]s beim Loslassen aus der Ruhelage. Wir gehen nach dem Standardrezept der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]] vor, arbeiten also mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Arbeit]].		Gesucht ist die Schwingung eines [[Sources/Lexikon/Euler-Bernoulli-Balken\|Euler-Bernoulli-Balken]]s beim Loslassen aus der Ruhelage. Wir gehen nach dem Standardrezept der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]] vor, arbeiten also mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Arbeit]].

	</onlyinclude>		</onlyinclude>

	= Lösung mit Matlab =		= Lösung mit Matlab =
	Interessant ist hier, dass - im Gegensatz zu Stablängsschwingungen - die Eigenfrequenz nicht ein gerades Vielfaches der untersten Eigenfrequenz ist. Falls Sie ein Saiteninstrument spielen, verstehen Sie sofort, warum das wichtig ist.		Interessant ist hier, dass - im Gegensatz zu Stablängsschwingungen - die Eigenfrequenz nicht ein gerades Vielfaches der untersten Eigenfrequenz ist. Falls Sie ein Saiteninstrument spielen, verstehen Sie sofort, warum das wichtig ist.

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 11:15 Uhr

2021-02-25T11:15:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2021, 11:15 Uhr
Zeile 901:		Zeile 901:
	hold off;		hold off;
	%% E - N - D		%% E - N - D
	</syntaxhighlight></td></tr></table>}}		</syntaxhighlight></td></tr></table>
	}}		}}

Zeile 910:		Zeile 910:
	'''Literature'''		'''Literature'''
	* ...		* ...



	~~<table>~~
	~~<tr><th>Class: FEM-Section</th></tr>~~
	~~<tr class="mw-collapsible mw-collapsed"><td>~~
	~~<syntaxhighlight lang="Matlab" line='line' style="border:1px solid blue">~~

	~~</syntaxhighlight></td></tr></table>~~

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 11:06 Uhr

2021-02-25T11:06:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2021, 11:06 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	Interessant ist hier, dass - im Gegensatz zu Stablängsschwingungen - die Eigenfrequenz nicht ein gerades Vielfaches der untersten Eigenfrequenz ist. Falls Sie ein Saiteninstrument spielen, verstehen Sie sofort, warum das wichtig ist.		Interessant ist hier, dass - im Gegensatz zu Stablängsschwingungen - die Eigenfrequenz nicht ein gerades Vielfaches der untersten Eigenfrequenz ist. Falls Sie ein Saiteninstrument spielen, verstehen Sie sofort, warum das wichtig ist.

	[[Werkzeuge/Software/Maxima\|Maxima]] können wir hier nicht gut gebrauchen: die Gleichungen werden zu umfangreich. Wir arbeiten also mehr mit numerischen Verfahren, da ist [[Werkzeuge/Software/Matlab\|Matlab]] geeigneter~~. Allerdings können wir Matlab-Inhalte nicht gut auf dieser Seite unterbringen - deshalb gibt es dafür die Seite [[Gelöste Aufgaben/FEAG/FEAG-Matlab\|FEAG-Matlab]], die der gleichen Struktur folgt~~.		[[Werkzeuge/Software/Maxima\|Maxima]] können wir hier nicht gut gebrauchen: die Gleichungen werden zu umfangreich. Wir arbeiten also mehr mit numerischen Verfahren, da ist [[Werkzeuge/Software/Matlab\|Matlab]] geeigneter.

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Header		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Header

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 10:41 Uhr

2021-02-25T10:41:26Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 10:33 Uhr

2021-02-25T10:33:24Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 10:18 Uhr

2021-02-25T10:18:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2021, 10:18 Uhr
Zeile 107:		Zeile 107:
	===Matlab===		===Matlab===
	====Classes====		====Classes====
	~~''Classes''~~

	In dieser CODE-Sektion kommt ein Beispiele zum Aufbau des Matlab-Programms mit Klassen (Objektbasierte Programmierung)		In dieser CODE-Sektion kommt ein Beispiele zum Aufbau des Matlab-Programms mit Klassen (Objektbasierte Programmierung)

Zeile 415:		Zeile 413:
	</ol>		</ol>

	''Eingabe-Parameter aus Excel''		====Eingabe-Parameter aus Excel====

	<table>		<table>
Zeile 427:		Zeile 425:
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{~~MyNoncodeBlock~~\|title=Equilibrium Conditions		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=		\|text=
	Die Gleichgewichtsbedingung mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] setzen sich additiv aus		Die Gleichgewichtsbedingung mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] setzen sich additiv aus
Zeile 508:		Zeile 506:
	* die erste Zeile/Spalte für <span style="color:#000080">''W<sub>0</sub>'' (blau)</span> und		* die erste Zeile/Spalte für <span style="color:#000080">''W<sub>0</sub>'' (blau)</span> und
	* die zweite Zeile / Spalte für <span style="color:#008000">''Φ<sub>0</sub>'' (grün)</span>.		* die zweite Zeile / Spalte für <span style="color:#008000">''Φ<sub>0</sub>'' (grün)</span>.
			\|code=
			<div><!-- --></div>
			===Matlab===
			====Classes====
			<syntaxhighlight lang="Matlab" line='line' style="border:1px solid blue">
			</syntaxhighlight>
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{~~MyNoncodeBlock~~\|title=Solving		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=		\|text=
	Die Lösung des Anfangs- und Randwertproblems ist in diesem Lösungsansatz mit Matlab um die Klasse "FEM_Container" herum aufgebaut - in ihr sind alle Parameter und Lösungsprozesse beschrieben.		Die Lösung des Anfangs- und Randwertproblems ist in diesem Lösungsansatz mit Matlab um die Klasse "FEM_Container" herum aufgebaut - in ihr sind alle Parameter und Lösungsprozesse beschrieben.
Zeile 665:		Zeile 669:
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{~~MyNoncodeBlock~~\|title=Adapt to Initial Conditions		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Adapt to Initial Conditions
	\|text=		\|text=
	Die acht reell-wertigen Integrationskonstanten ''C<sub>i</sub>'' bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen für den Balken, nämlich		Die acht reell-wertigen Integrationskonstanten ''C<sub>i</sub>'' bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen für den Balken, nämlich
Zeile 696:		Zeile 700:

	Offensichtlich ist der Beitrag der Mode 8 (also der langsamsten Mode) bei weitem am größten Anteil an ''Q<sub>h</sub>''. Das können wir auch in der Animation der Lösung - also das Loslassen des Balken aus der Ruhe heraus - sehen.		Offensichtlich ist der Beitrag der Mode 8 (also der langsamsten Mode) bei weitem am größten Anteil an ''Q<sub>h</sub>''. Das können wir auch in der Animation der Lösung - also das Loslassen des Balken aus der Ruhe heraus - sehen.
			\|code=
			<div><!-- --></div>
			===Matlab===
			====Classes====
			<syntaxhighlight lang="Matlab" line='line' style="border:1px solid blue">
			</syntaxhighlight>
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{~~MyNoncodeBlock~~\|title=Post-Processing		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=		\|text=
	Die FEM-Lösung im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:		Die FEM-Lösung im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:
Zeile 709:		Zeile 719:
	</td></tr>		</td></tr>
	</table>		</table>
			\|code=
			<div><!-- --></div>
			===Matlab===
			====Classes====
			<syntaxhighlight lang="Matlab" line='line' style="border:1px solid blue">
			</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker am 25. Februar 2021 um 10:14 Uhr

2021-02-25T10:14:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2021, 10:14 Uhr
Zeile 104:		Zeile 104:
	::<math>\underline{Q}_t = \left(\begin{array}{c}W_0(t)\\\Phi_0(t)\\W_1(t)\\\vdots \\\Phi_I(t)\\W_I(t)\\ \end{array}\right)</math>.		::<math>\underline{Q}_t = \left(\begin{array}{c}W_0(t)\\\Phi_0(t)\\W_1(t)\\\vdots \\\Phi_I(t)\\W_I(t)\\ \end{array}\right)</math>.
	\|code=		\|code=
			<div><!-- --></div>
	~~=Matlab1=~~		===Matlab===
	~~==Matlab2==~~		====Classes====
	===~~Matlab3~~===
	====~~Matlab4~~====
	''Classes''		''Classes''