Gelöste Aufgaben/FEAF - Versionsgeschichte

Mechaniker am 9. März 2021 um 11:18 Uhr

2021-03-09T11:18:59Z

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	auf.		auf.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEAB-01.png\|~~alternativtext=~~\|mini\|186x186px\|Lageplan]]		[[Datei:FEAB-01.png\|left\|mini\|186x186px\|Lageplan]]
	Gesucht ist die Längsschwingung des Stabes beim Loslassen aus seiner unverformten Referenzlage. Dabei arbeiten wir mit der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]] zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Die Integeationskonstanten der Lösung passen wir an die Anfangsbedingungen		Gesucht ist die Längsschwingung des Stabes beim Loslassen aus seiner unverformten Referenzlage. Dabei arbeiten wir mit der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]] zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Die Integeationskonstanten der Lösung passen wir an die Anfangsbedingungen
	* keine Anfangs-Auslenkung		* keine Anfangs-Auslenkung

Mechaniker: /* Aufgabenstellung */

2021-02-24T15:51:33Z

Aufgabenstellung

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	Für die mathematische Behandlung - insbesondere der Auflösung quadratischer Gleichungen - setzen wir in Maxima voraus, dass		Für die mathematische Behandlung - insbesondere der Auflösung quadratischer Gleichungen - setzen wir in Maxima voraus, dass

	::<math>E > 0,\;\;\;A>0,\;\;\;\ell_0>0;</math> .		::<math>E > 0,\;\;\;A>0,\;\;\;\ell_0>0</math> .

	Später brauchen wir für die dimensionslose Formulierung noch eine Bezugszeit ''t<sub>Bez</sub>'' und eine Bezugslänge ''l<sub>Bez</sub>''.		Später brauchen wir für die dimensionslose Formulierung noch eine Bezugszeit ''t<sub>Bez</sub>'' und eine Bezugslänge ''l<sub>Bez</sub>''.

Mechaniker am 24. Februar 2021 um 15:43 Uhr

2021-02-24T15:43:06Z

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	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		<!--------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=		\|text=
	Die [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|FEM]]-Lösung im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:		Die [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|FEM]]-Lösung im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:

Mechaniker: /* Lösung mit Maxima */

2021-02-24T15:39:38Z

Lösung mit Maxima

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	== Aufgabenstellung ==		== Aufgabenstellung ==
	Wir erkunden hier das Thema "Schwingungen von Kontinua" und bauen dabei auf die Ergebnisse zur Berechnung		Wir erkunden hier das Thema "Schwingungen von Kontinua" und bauen dabei auf die Ergebnisse zur Berechnung
	* der statischen Auslenkung mit FEM aus [[Gelöste Aufgaben/FEAD\|FEAD]] und		* der statischen Auslenkung mit [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|FEM]] aus [[Gelöste Aufgaben/FEAD\|FEAD]] und
	* der Schwingungen des Feder-Masse-Systems aus [[Gelöste Aufgaben/FEAE\|FEAE]]		* der Schwingungen des Feder-Masse-Systems aus [[Gelöste Aufgaben/FEAE\|FEAE]]
	auf.		auf.
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	== Lösung mit Maxima ==		== Lösung mit Maxima ==

	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Header		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Header
	\|text=		\|text=
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	::<math>\phi_1 = 1-\xi \; ; \; \phi_2 = \xi.</math>		::<math>\phi_1 = 1-\xi \; ; \; \phi_2 = \xi.</math>

	Die abhängigen Koordinaten des FEM-Modells sind dann zunächst - bis zum Einarbeiten der Randbedingungen -		Die abhängigen Koordinaten des [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|FEM]]-Modells sind dann zunächst - bis zum Einarbeiten der Randbedingungen -

	::<math>\underline{Q}_t = \left(\begin{array}{c}U_0(t)\\U_1(t)\\\vdots \\U_I(t)\\ \end{array}\right)</math>.		::<math>\underline{Q}_t = \left(\begin{array}{c}U_0(t)\\U_1(t)\\\vdots \\U_I(t)\\ \end{array}\right)</math>.
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	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	\|text=		\|text=
	Die Gleichgewichtsbedingung mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen setzen sich additiv aus		Die Gleichgewichtsbedingung mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] setzen sich additiv aus

	::<math>\displaystyle \delta W = \sum_{i=1}^I \left(\delta W^a_i - \delta \Pi_i \right) + \delta W^a_R</math>,		::<math>\displaystyle \delta W = \sum_{i=1}^I \left(\delta W^a_i - \delta \Pi_i \right) + \delta W^a_R</math>,
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	::<math>\delta W^a_R = 0</math>		::<math>\delta W^a_R = 0</math>

	Je Element sind die virtuelle Formänderungsenergie (vgl. Finite Elemente Methode)		Je Element sind die virtuelle Formänderungsenergie (vgl. [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finite Elemente Methode]])

	::<math>\delta \Pi_i = \left(\delta U_{i-1}, \delta U_{i} \right) \cdot \underline{\underline{K}}_i\cdot \left(\begin{array}{l}U_{i-1}(t)\\U_{i}(t) \end{array}\right)</math>		::<math>\delta \Pi_i = \left(\delta U_{i-1}, \delta U_{i} \right) \cdot \underline{\underline{K}}_i\cdot \left(\begin{array}{l}U_{i-1}(t)\\U_{i}(t) \end{array}\right)</math>
Zeile 157:		Zeile 156:
	::<math>\displaystyle \underline{\underline{K}}_i = \frac{E\,A}{\ell_i} \cdot \left(\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}\right)</math>.		::<math>\displaystyle \underline{\underline{K}}_i = \frac{E\,A}{\ell_i} \cdot \left(\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}\right)</math>.

	Und je Element sind die virtuelle Arbeit der D'Alembert'sche Trägheitskraft		Und je Element sind die virtuelle Arbeit der [[Sources/Lexikon/D'Alembert'sche Trägheitskraft\|D'Alembert'schen Trägheitskraft]]

	::<math>\delta W^{a,A}_i = - \left(\delta U_{i-1}, \delta U_{i} \right) \cdot \underline{\underline{M}}_i\cdot \left(\begin{array}{l}\ddot{U}_{i-1}(t)\\\ddot{U}_{i}(t) \end{array}\right)</math>		::<math>\delta W^{a,A}_i = - \left(\delta U_{i-1}, \delta U_{i} \right) \cdot \underline{\underline{M}}_i\cdot \left(\begin{array}{l}\ddot{U}_{i-1}(t)\\\ddot{U}_{i}(t) \end{array}\right)</math>
Zeile 279:		Zeile 278:
	::<math>\displaystyle \underline{Q}_h = \underline{\hat{Q}}_h\cdot e^{\lambda\cdot t}</math>		::<math>\displaystyle \underline{Q}_h = \underline{\hat{Q}}_h\cdot e^{\lambda\cdot t}</math>

	und erhalten das Eigenwertproblem		und erhalten das [[Werkzeuge/Lösungsbausteine der Mathematik/Eigenwertprobleme\|Eigenwertproblem]]

	::<math>\underbrace{\left(\lambda^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}\right)}_{=: \displaystyle \underline{\underline{D}}}\cdot\underline{\hat{Q}}_h = \underline{0}</math>		::<math>\underbrace{\left(\lambda^2 \underline{\underline{M}} + \underline{\underline{K}}\right)}_{=: \displaystyle \underline{\underline{D}}}\cdot\underline{\hat{Q}}_h = \underline{0}</math>
Zeile 418:		Zeile 417:
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	\|text=		\|text=
	Die FEM-Lösung im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:		Die [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|FEM]]-Lösung im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:
	<table>		<table>
	<tr><td>[[Datei:FEAF-11.png\|mini\|''I=2'': Auslenkung ''u<sub>1</sub>(t), u<sub>2</sub>(t)''.]]</td>		<tr><td>[[Datei:FEAF-11.png\|mini\|''I=2'': Auslenkung ''u<sub>1</sub>(t), u<sub>2</sub>(t)''.]]</td>

Mechaniker: /* Lösung mit Maxima */

2021-02-24T15:29:18Z

Lösung mit Maxima

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 15:29 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	Dazu nehmen wir eine "Anleihe" bei der analytischen Lösung des Schwingungsproblems (vgl. Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/SKER\|SKER]]):		Dazu nehmen wir eine "Anleihe" bei der analytischen Lösung des Schwingungsproblems (vgl. Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/SKER\|SKER]]):

	<table>		<table class="wikitable">
	<tr><th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: homohener Lösungsanteil </th>		<tr><th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: homohener Lösungsanteil </th>
	<th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: partikularer Lösungsanteil</th></tr>		<th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: partikularer Lösungsanteil</th></tr>

Mechaniker: /* Aufgabenstellung */

2021-02-24T15:28:39Z

Aufgabenstellung

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 15:28 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	== Aufgabenstellung ==		== Aufgabenstellung ==
	Wir erkunden hier das Thema "Schwingungen von Kontinua" und bauen dabei auf die Ergebnisse zur Berechnung		Wir erkunden hier das Thema "Schwingungen von Kontinua" und bauen dabei auf die Ergebnisse zur Berechnung
	* der statischen Auslenkung mit FEM aus FEAD und		* der statischen Auslenkung mit FEM aus [[Gelöste Aufgaben/FEAD\|FEAD]] und
	* der Schwingungen des Feder-Masse-Systems aus FEAE		* der Schwingungen des Feder-Masse-Systems aus [[Gelöste Aufgaben/FEAE\|FEAE]]
	auf.		auf.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
Zeile 32:		Zeile 32:
	Später brauchen wir für die dimensionslose Formulierung noch eine Bezugszeit ''t<sub>Bez</sub>'' und eine Bezugslänge ''l<sub>Bez</sub>''.		Später brauchen wir für die dimensionslose Formulierung noch eine Bezugszeit ''t<sub>Bez</sub>'' und eine Bezugslänge ''l<sub>Bez</sub>''.

	Dazu nehmen wir eine "Anleihe" bei der analytischen Lösung des Schwingungsproblems (vgl. Aufgabe SKER):		Dazu nehmen wir eine "Anleihe" bei der analytischen Lösung des Schwingungsproblems (vgl. Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/SKER\|SKER]]):

	<table>		<table>

Mechaniker: /* Aufgabenstellung */

2021-02-24T15:25:02Z

Aufgabenstellung

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 15:25 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	[[Category:Prinzip der virtuellen Verrückungen]]		[[Category:Prinzip der virtuellen Verrückungen]]

			== Aufgabenstellung ==
	==Aufgabenstellung==
	Wir erkunden hier das Thema "Schwingungen von Kontinua" und bauen dabei auf die Ergebnisse zur Berechnung		Wir erkunden hier das Thema "Schwingungen von Kontinua" und bauen dabei auf die Ergebnisse zur Berechnung
	* der statischen Auslenkung mit FEM aus FEAD und		* der statischen Auslenkung mit FEM aus FEAD und

Mechaniker: /* Lösung mit Maxima */

2021-02-24T15:23:04Z

Lösung mit Maxima

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 15:23 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	<tr><th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: homohener Lösungsanteil </th>		<tr><th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: homohener Lösungsanteil </th>
	<th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: partikularer Lösungsanteil</th></tr>		<th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: partikularer Lösungsanteil</th></tr>
	<tr><td>		<tr><td style="vertical-align:top;>
	Die partielle Bewegungsgleichung des Stabes		Die partielle Bewegungsgleichung des Stabes

Zeile 64:		Zeile 64:
	::<math>t_{Bez} := T</math> .		::<math>t_{Bez} := T</math> .
	</td>		</td>
	<td>		<!-------------------------------------------------->
			<td style="vertical-align:top;>
	Der partikulare Lösungsanteil ist		Der partikulare Lösungsanteil ist

Mechaniker: /* Lösung mit Maxima */

2021-02-24T15:22:20Z

Lösung mit Maxima

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 15:22 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:

	<table>		<table>
	<tr><th>Analytische Lösung: homohener Lösungsanteil</th><th>Analytische Lösung: partikularer Lösungsanteil</th></tr>		<tr><th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: homohener Lösungsanteil </th>
			<th style="vertical-align:top;">Analytische Lösung: partikularer Lösungsanteil</th></tr>
	<tr><td>		<tr><td>
	Die partielle Bewegungsgleichung des Stabes		Die partielle Bewegungsgleichung des Stabes

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T15:19:24Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 15:19 Uhr
Zeile 379:		Zeile 379:
	}}		}}

	~~==tmp==~~
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Adapt to Initial Conditions		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Adapt to Initial Conditions
	\|text=		\|text=