Gelöste Aufgaben/FEAE - Versionsgeschichte

Mechaniker am 15. November 2023 um 08:19 Uhr

2023-11-15T08:19:57Z

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	Für dieses System "kennen" wir die Eigenkreisfrequenz		Für dieses System "kennen" wir die Eigenkreisfrequenz

	::<math>\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{k_0}{m_0}} \text{ und } \~~omega~~ = \frac{2\pi}{T}</math>.		::<math>\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{k_0}{m_0}} \text{ und } \omega_0 = \frac{2\pi}{T}</math>.

	Aus diesem Modell "leihen" wir uns die Bezugszeit zu		Aus diesem Modell "leihen" wir uns die Bezugszeit zu

Mechaniker am 9. März 2021 um 11:18 Uhr

2021-03-09T11:18:18Z

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	Wir schauen uns die Lösungsanteile für die Bewegungsgleichung des Zwei-Masse-Schwinger an: welche Rolle spielen die homogene und partikulare Lösung?		Wir schauen uns die Lösungsanteile für die Bewegungsgleichung des Zwei-Masse-Schwinger an: welche Rolle spielen die homogene und partikulare Lösung?
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEAE-01.png\|mini\|80px\|Lageplan]]		[[Datei:FEAE-01.png\|left\|mini\|80px\|Lageplan]]
	Gesucht ist Gesamtlösung des Systems im Zeitbereich beim Loslassen der beiden Massen aus der Referenz-Konfiguration, bei der beide Federn entspannt sind. Wir stellen die Bewegungsgleichung mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] auf.		Gesucht ist Gesamtlösung des Systems im Zeitbereich beim Loslassen der beiden Massen aus der Referenz-Konfiguration, bei der beide Federn entspannt sind. Wir stellen die Bewegungsgleichung mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] auf.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

Mechaniker am 24. Februar 2021 um 11:45 Uhr

2021-02-24T11:45:48Z

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	[[Category:Dynamik‏‎]]		[[Category:Dynamik‏‎]]
	[[Category:Prinzip der virtuellen Arbeit]]		[[Category:Prinzip der virtuellen Arbeit]]




	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	Wir schauen uns die Lösungsanteile für die Bewegungsgleichung des Zwei-Masse-Schwinger an: welche Rolle spielen die homogene und partikulare Lösung?		Wir schauen uns die Lösungsanteile für die Bewegungsgleichung des Zwei-Masse-Schwinger an: welche Rolle spielen die homogene und partikulare Lösung?

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T11:43:32Z

tmp

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	}}		}}

	~~==tmp==~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Die Lösung für		\|text=
			Die Lösung für

	* ''w<sub>1</sub>'' (blau) und		* ''w<sub>1</sub>'' (blau) und
	* ''w<sub>2</sub>'' (rot)		* ''w<sub>2</sub>'' (rot)

	im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:[[Datei:FEAE-11.png\|mini\|Ergebnis-Plots für ''w<sub>1</sub>(t), w<sub>2</sub>(t).''\|alternativtext=\|ohne]]Interessant ist die separate Auftragung der Lösungsanteile nach partikularer Lösung (Index ''"p"'') und den beiden homogenen Lösungsanteilen (Index ''"h1", "h2"''). Man erkennt, wie die Summe jeweils der blauen und der roten Anteile die Gesamtlösung ergibt.[[Datei:FEAW-12.png\|mini\|Ergebnis-Plot mit den Lösungsanteilen.\|alternativtext=\|ohne]]~~{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing~~		im Zeitbereich, angepasst an die Anfangsbedingungen, sieht nun so aus:[[Datei:FEAE-11.png\|mini\|Ergebnis-Plots für ''w<sub>1</sub>(t), w<sub>2</sub>(t).''\|alternativtext=\|ohne]]Interessant ist die separate Auftragung der Lösungsanteile nach partikularer Lösung (Index ''"p"'') und den beiden homogenen Lösungsanteilen (Index ''"h1", "h2"''). Man erkennt, wie die Summe jeweils der blauen und der roten Anteile die Gesamtlösung ergibt.[[Datei:FEAW-12.png\|mini\|Ergebnis-Plot mit den Lösungsanteilen.\|alternativtext=\|ohne]]
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1
			/* plot results */
			preamble: "set yrange [] reverse";
			plot2d([Q[t][1][1],Q[t][2][1]],[tau,0,4], [legend, "w[1]", "w[2]"],
			[xlabel, "τ/1 →"], [ylabel, "← w/(m*g/k)"],
			[gnuplot_preamble, preamble]);

			/* deconstruct solution into modes */
			timeFcts : makelist(subst(eigvalList[i],%e^(%lambda[i]*tau)),i,1,2)
			Q[l] : subst(params,append([Q[p]/w[s]],
			realpart(makelist(coeff(subst(sol[1],Q[h]),timeFcts[i])/w[s]*timeFcts[i],i,1,2))));

			plot2d([Q[l][1][1][1],Q[l][1][2][1],
			Q[l][2][1][1],Q[l][2][2][1],
			Q[l][3][1][1],Q[l][3][2][1]],
			[tau,0,4],
			[legend, "w[p,1]", "w[p,2]", "w[h1,1]", "w[h1,2]", "w[h2,1]", "w[h2,2]"],
			[color, blue, red, blue, red, blue, red],
			[style, [lines,3], [lines,3], [lines,1], [lines,1], [lines,1], [lines,1]],
			[xlabel, "τ/1 →"], [ylabel, "← w/(m*g/k)"],
			[gnuplot_preamble, preamble]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T11:42:08Z

tmp

Änderungen zeigen

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T11:38:02Z

tmp

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	}}		}}

	~~==tmp==~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Right-Hand-Side Approach
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Die rechte Seite der Bewegungsgleichung ''G'' ist nicht zeitabhängig - sie ist statisch. Also ist auch die Lösung ''Q<sub>p</sub>'' - die partikulare Lösung - statisch, wir suchen nach der Lösung des Gleichungssystems		\|text=
			Die rechte Seite der Bewegungsgleichung ''G'' ist nicht zeitabhängig - sie ist statisch. Also ist auch die Lösung ''Q<sub>p</sub>'' - die partikulare Lösung - statisch, wir suchen nach der Lösung des Gleichungssystems

	<math>\underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q}_p = \underline{G}</math>		::<math>\underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q}_p = \underline{G}</math>

	und die ist		und die ist

	<math>\underline{Q}_p = \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{4\;{{m}}\;g}{3\;{{k}}}\\\displaystyle \frac{7\;{{m}}\;g}{3\;{{k}}}\end{pmatrix}</math>		::<math>\underline{Q}_p = \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{4\;{{m}}\;g}{3\;{{k}}}\\\displaystyle \frac{7\;{{m}}\;g}{3\;{{k}}}\end{pmatrix}</math>

	Wir führen die Abkürzung		Wir führen die Abkürzung

	<math>\displaystyle w_s = \frac{{{m}}g}{{{k}}}</math>		::<math>\displaystyle w_s = \frac{{{m}}g}{{{k}}}</math>

	ein, also ist		ein, also ist

	<math>\underline{Q}_p = w_s\cdot\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{4}{3}\\\displaystyle \frac{7}{3}\end{pmatrix}</math>.~~{{MyCodeBlock\|title=Right-Hand-Side Approach~~		::<math>\underline{Q}_p = w_s\cdot\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{4}{3}\\\displaystyle \frac{7}{3}\end{pmatrix}</math>.
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1
			/**************** particular solution */
			Q[p] : ratsimp(subst(params,linsolve_by_lu(K,G)[1]));
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Für die Lösung der homogenen Bewegungsgleichung		<!-------------------------------------------------------------------------------->Für die Lösung der homogenen Bewegungsgleichung

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T11:37:16Z

tmp

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	}}		}}

	~~==tmp==~~
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=		\|text=

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T11:36:50Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 11:36 Uhr
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	==tmp==		==tmp==
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Die Lösung des Anfangswertproblems setzt sich aus zwei Teilen zusammen:		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
			\|text=
			Die Lösung des Anfangswertproblems setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

	* der partikularen Lösung, die die Rechte Seite "''G''" erfüllt und		* der partikularen Lösung, die die Rechte Seite "''G''" erfüllt und
Zeile 132:		Zeile 134:
	Die Gesamtlösung ''Q<sub>t</sub>'' setzt sich nun - bei diesem linearen System - additiv aus partikularer ''Q<sub>p</sub>'' und ''Q<sub>h</sub>'' homogener Lösung zusammen:		Die Gesamtlösung ''Q<sub>t</sub>'' setzt sich nun - bei diesem linearen System - additiv aus partikularer ''Q<sub>p</sub>'' und ''Q<sub>h</sub>'' homogener Lösung zusammen:

	<math>\underline{Q}_t(t) = \underline{Q}_p(t) + \underline{Q}_h(t)</math>~~{{MyCodeBlock\|title=Solving~~		::<math>\underline{Q}_t(t) = \underline{Q}_p(t) + \underline{Q}_h(t)</math>
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1		/**************** total solution */
			Q[t] : Q[p] + Q[h]
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T11:35:50Z

tmp

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	}}		}}

	~~==tmp==~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Die Gleichgewichtsbedingung mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen lautet		\|text=
			Die Gleichgewichtsbedingung mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen lautet

	<math>\begin{array}{lcl}\delta W &=& \underbrace{-m_1\cdot\ddot{w}_1\cdot\delta{w}_1-m_2\cdot\ddot{w}_2\cdot\delta{w}_2 + m_1\cdot g \cdot \delta w_1 + m_2\cdot g \cdot \delta w_2}_{\displaystyle := \delta W^a}\\&& - \underbrace{k_1\cdot{w}_1\cdot\delta{w}_1+k_2\cdot\left({w}_2-{w}_1\right)\cdot\left(\delta{w}_2-\delta{w}_1\right)}_{\displaystyle := \delta \Pi}\\&\stackrel{!}{=}0\end{array}</math>.		::<math>\begin{array}{lcl}\delta W &=& \underbrace{-m_1\cdot\ddot{w}_1\cdot\delta{w}_1-m_2\cdot\ddot{w}_2\cdot\delta{w}_2 + m_1\cdot g \cdot \delta w_1 + m_2\cdot g \cdot \delta w_2}_{\displaystyle := \delta W^a}\\&& - \underbrace{k_1\cdot{w}_1\cdot\delta{w}_1+k_2\cdot\left({w}_2-{w}_1\right)\cdot\left(\delta{w}_2-\delta{w}_1\right)}_{\displaystyle := \delta \Pi}\\&\stackrel{!}{=}0\end{array}</math>.

	Aufgelöst nach den Koeffizienten der virtuellen Verrückungen folgt die gewöhnliche, lineare Differentialgleichung:		Aufgelöst nach den Koeffizienten der virtuellen Verrückungen folgt die gewöhnliche, lineare Differentialgleichung:

	<math>\left(\begin{array}{cc} m_0&0\\0&m_0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\ddot{w}_1\\ \ddot{w}_2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} \frac{5}{2}k_0&-k_0\\-k_0&k_0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}w_1\\ w_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}m_0\cdot g\\m_0\cdot g\end{array}\right)</math>.		::<math>\left(\begin{array}{cc} m_0&0\\0&m_0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\ddot{w}_1\\ \ddot{w}_2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} \frac{5}{2}k_0&-k_0\\-k_0&k_0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}w_1\\ w_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}m_0\cdot g\\m_0\cdot g\end{array}\right)</math>.

	In dieser Beziehung stehen jetzt nur noch ''m<sub>0</sub>'' und ''k<sub>0</sub>'' - die Indizes "0" können wir also ab hier weglassen. In Matrix-Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung jetzt:		In dieser Beziehung stehen jetzt nur noch ''m<sub>0</sub>'' und ''k<sub>0</sub>'' - die Indizes "0" können wir also ab hier weglassen. In Matrix-Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung jetzt:

	<math>\underline{\underline{M}}\cdot\underline{\ddot{Q}} + \underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q} = \underline{G}</math>.		::<math>\underline{\underline{M}}\cdot\underline{\ddot{Q}} + \underline{\underline{K}}\cdot\underline{Q} = \underline{G}</math>.

	~~{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions~~
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1
			/* virtual of system (equilibrium condition) */
			PvV : [δW = δW^a - δΠ,
			δW^a = - sum(m[i]* diff(w[i](t),t,2)δw[i],i,1,2) + sum(m[i]g*δw[i],i,1,2),
			δΠ = sum(k[i](w[i](t)-w[i-1](t))(δw[i]-δw[i-1]),i,1,2)];

			/* equlilbrium condition */

			eom: subst(PvV[3],subst(PvV[2],subst(PvV[1],δW=0)));
			eom: expand(subst([w[0](t)=0,δw[0]=0],eom));

			M : -funmake('matrix,makelist(makelist(coeff(coeff(lhs(eom),δQ[t][i]),diff(Q[t][j],t,2)),i,1,2),j,1,2));
			K : -funmake('matrix,makelist(makelist(coeff(coeff(lhs(eom),δQ[t][i]), Q[t][j] ),i,1,2),j,1,2));
			G : funmake('matrix,makelist(coeff(
			subst(makelist(diff(Q[t][i],t,2)=0,i,1,2),
			subst(makelist( Q[t][i]=0 ,i,1,2),[lhs(eom)])),δQ[t][j]), j,1,2));

			/* control print-out */
			print(M,"∙",transpose(diff(Q[t],t,2)),"+",K,"∙",transpose(Q[t]),"=",G)$
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T11:34:13Z

tmp

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2021, 11:34 Uhr
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	~~==tmp==~~		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Header
	<!-------------------------------------------------------------------------------->Der Lösungsweg zu dieser Aufgabe wird bereits in [[Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Integration der Differentialbeziehung (IVP)\|Integration der Differentialbeziehung (IVP)]] gezeigt, hier verfolgende wir einen etwas allgemeineren Lösungspfad.		\|text=
			Der Lösungsweg zu dieser Aufgabe wird bereits in [[Anfangswertprobleme/Methoden zur Lösung von Anfangswertproblemen/Integration der Differentialbeziehung (IVP)\|Integration der Differentialbeziehung (IVP)]] gezeigt, hier verfolgende wir einen etwas allgemeineren Lösungspfad.

	Dabei arbeiten wir u.a. mit quadratischen Gleichungen. Für deren Lösung müssen wir [[Sources/Lexikon/Maxima\|Maxima]] wissen lassen, welche Parameter positiv sind, also		Dabei arbeiten wir u.a. mit quadratischen Gleichungen. Für deren Lösung müssen wir [[Sources/Lexikon/Maxima\|Maxima]] wissen lassen, welche Parameter positiv sind, also

	<math>k_0 > 0,\;\;\;m_0>0,\;\;\;T>0;</math>[[Datei:FEAW-02.png\|mini\|Koordinaten der Bewegung.\|alternativtext=\|185x185px]]Die Lage-Koordinaten des Systems fassen wir in		::<math>k_0 > 0,\;\;\;m_0>0,\;\;\;T>0;</math>[[Datei:FEAW-02.png\|mini\|Koordinaten der Bewegung.\|alternativtext=\|185x185px]]Die Lage-Koordinaten des Systems fassen wir in

	<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{l}w_1(t)\\w_2(t)\end{array}\right)</math>		::<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{l}w_1(t)\\w_2(t)\end{array}\right)</math>

	zusammen.		zusammen.
Zeile 41:		Zeile 42:
	Für dieses System "kennen" wir die Eigenkreisfrequenz		Für dieses System "kennen" wir die Eigenkreisfrequenz

	<math>\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{k_0}{m_0}} \text{ und } \omega = \frac{2\pi}{T}</math>.		::<math>\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{k_0}{m_0}} \text{ und } \omega = \frac{2\pi}{T}</math>.

	Aus diesem Modell "leihen" wir uns die Bezugszeit zu		Aus diesem Modell "leihen" wir uns die Bezugszeit zu

	<math>\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m_0}{k_0}}</math>.		::<math>\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{m_0}{k_0}}</math>.

	und wählen		und wählen

	<math>t_{Bez} := T</math>[[Datei:FEAE-03.png\|mini\|Hier kennen wir ω<sub>0</sub>.\|alternativtext=\|links\|90x90px]]~~{{MyCodeBlock\|title=Header~~		::<math>t_{Bez} := T</math>[[Datei:FEAE-03.png\|mini\|Hier kennen wir ω<sub>0</sub>.\|alternativtext=\|links\|90x90px]]
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1
			/*******************************************************/
			/* MAXIMA script */
			/* version: wxMaxima 16.04.2 */
			/* author: Andreas Baumgart */
			/* last updated: 2018-01-07 */
			/* ref: FEM, PVMPE using two coordinates */
			/* description: solve by principle virt. Work */
			/*******************************************************/
			/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
			declare("δW", alphabetic);
			declare("δA", alphabetic);
			declare("δΠ", alphabetic);
			declare("δw", alphabetic);
			declare("δQ", alphabetic);

			/* assumptions */
			assume(k[0]>0,m[0]>0,T>0);

			/* abbreviations */
			abbrev : [omega[0,0]=2*%pi/T, omega[0,0]^2= k[0]/m[0]];
			abbrev : append(abbrev, solve(abbrev,[omega[0,0],T])[2]);

			/* system parameters and dimensionless time tau */
			params: [m[1]=m[0],m[2]=m[0],k[1]=3/2*k[0],k[2]=k[0],
			t = Ttau, w[s] = m[0]g/k[0]];

			/* coordinates */
			Q[t]: [ w[1](t), w[2](t)];
			δQ[t]: [δw[1] ,δw[2] ];
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}