Gelöste Aufgaben/FEAD - Versionsgeschichte

Mechaniker: /* Aufgabenstellung */

2021-03-09T11:17:49Z

Aufgabenstellung

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|186x186px\|Lageplan\|alternativtext=]]		[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|186x186px\|Lageplan\|alternativtext=\|links]]
	Gesucht ist die Näherungslösung für die statische Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen und dem Ansatz nach der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]]. Dazu wir unterteilen die Struktur in Elemente und setzen [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode/FEM: Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome\|Lineare Trialfunctions]] für die Verformung in den Elemeten an.		Gesucht ist die Näherungslösung für die statische Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen und dem Ansatz nach der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]]. Dazu wir unterteilen die Struktur in Elemente und setzen [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode/FEM: Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome\|Lineare Trialfunctions]] für die Verformung in den Elemeten an.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

Mechaniker am 24. Februar 2021 um 08:39 Uhr

2021-02-24T08:39:57Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|~~175x175px~~\|Lageplan]]		[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|186x186px\|Lageplan\|alternativtext=]]
	Gesucht ist die Näherungslösung für die statische Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen und dem Ansatz nach der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]]. Dazu wir unterteilen die Struktur in Elemente und setzen [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode/FEM: Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome\|Lineare Trialfunctions]] für die Verformung in den Elemeten an.		Gesucht ist die Näherungslösung für die statische Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen und dem Ansatz nach der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]]. Dazu wir unterteilen die Struktur in Elemente und setzen [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode/FEM: Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome\|Lineare Trialfunctions]] für die Verformung in den Elemeten an.
	</onlyinclude>		</onlyinclude>
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	'''Links'''		'''Links'''
	*~~...~~		*[[Gelöste Aufgaben/FEAB]]
			*[[Gelöste Aufgaben/FEAC]]

	'''Literature'''		'''Literature'''
	*~~...~~		*[[Sources/Literatur#Strang2008\|Strang 2008]]

Mechaniker am 24. Februar 2021 um 08:37 Uhr

2021-02-24T08:37:44Z

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	[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|175x175px\|Lageplan]]		[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|175x175px\|Lageplan]]
	Gesucht ist die Näherungslösung für die statische Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen und dem Ansatz nach der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]]. Dazu wir unterteilen die Struktur in Elemente und setzen [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode/FEM: Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome\|Lineare Trialfunctions]] für die Verformung in den Elemeten an.		Gesucht ist die Näherungslösung für die statische Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen und dem Ansatz nach der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]]. Dazu wir unterteilen die Struktur in Elemente und setzen [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode/FEM: Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome\|Lineare Trialfunctions]] für die Verformung in den Elemeten an.
			</onlyinclude>

	==Lösung mit Matlab==		==Lösung mit Matlab==

Mechaniker: /* Lösung mit Matlab */

2021-02-24T08:36:16Z

Lösung mit Matlab

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	::<math>\displaystyle \phi_i(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \xi_{i-1} & \text{ wobei } x = \ell_e\cdot\left((i-1) + \xi_{i-1}\right),\; 0< \xi_{i-1}<1 \\ \left(1- \xi_{i}\right) & \text{ wobei } x = \ell_e\cdot\left(i+ \xi_{i}\right),\; 0< \xi_{i}<1 \end{array}\right.</math>.		::<math>\displaystyle \phi_i(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \xi_{i-1} & \text{ wobei } x = \ell_e\cdot\left((i-1) + \xi_{i-1}\right),\; 0< \xi_{i-1}<1 \\ \left(1- \xi_{i}\right) & \text{ wobei } x = \ell_e\cdot\left(i+ \xi_{i}\right),\; 0< \xi_{i}<1 \end{array}\right.</math>.

	Für ''i=2'' sieht die Trial-Function dann so aus:[[Datei:FEAD-trialfct.png\|mini\|Trial-Function für ''i=2''.]]		Für ''i=2'' sieht die Trial-Function dann so aus:
			[[Datei:FEAD-trialfct.png\|mini\|Trial-Function für ''i=2''.]]<br clear="all"/>
	<!-- plot commands		<!-- plot commands
	plot2d([[parametric, 1+t, t, [t,0,1]],[parametric, 2+t, 1-t, [t,0,1]]],		plot2d([[parametric, 1+t, t, [t,0,1]],[parametric, 2+t, 1-t, [t,0,1]]],

Mechaniker am 24. Februar 2021 um 08:35 Uhr

2021-02-24T08:35:24Z

Mechaniker am 24. Februar 2021 um 08:33 Uhr

2021-02-24T08:33:31Z

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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	~~[[Datei:Screenshot 20210111-063733~2.png\|100px\|left\|mini\|Caption]]~~
	[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|175x175px\|Lageplan]]		[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|175x175px\|Lageplan]]
	Gesucht ist die Näherungslösung für die statische Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen und dem Ansatz nach der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]]. Dazu wir unterteilen die Struktur in Elemente und setzen [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode/FEM: Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome\|Lineare Trialfunctions]] für die Verformung in den Elemeten an.		Gesucht ist die Näherungslösung für die statische Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen und dem Ansatz nach der [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]]. Dazu wir unterteilen die Struktur in Elemente und setzen [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode/FEM: Trial-Functions für lineare Ansatz-Polynome\|Lineare Trialfunctions]] für die Verformung in den Elemeten an.

Mechaniker am 24. Februar 2021 um 08:33 Uhr

2021-02-24T08:33:16Z

Änderungen zeigen

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T08:26:10Z

tmp

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	}}		}}

	{{Template:~~MyTipp~~\|title=Spannungen im Stab\|text=Tragen Sie auch die Spannungen im Stab über die Stablänge an! Berechnen Sie die Spannungen auf Basis der Dehnung		{{Template:MyTip\|title=Spannungen im Stab\|text=Tragen Sie auch die Spannungen im Stab über die Stablänge an! Berechnen Sie die Spannungen auf Basis der Dehnung
	::<math>\displaystyle \varepsilon = \frac{du}{dx}.</math>		::<math>\displaystyle \varepsilon = \frac{du}{dx}.</math>}}

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T08:25:36Z

tmp

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Zeile 138:		Zeile 138:
	}}		}}

	{{Template:~~MyTip~~\|title=Spannungen im Stab\|text=Tragen Sie auch die Spannungen im Stab über die Stablänge an! Berechnen Sie die Spannungen auf Basis der Dehnung		{{Template:MyTipp\|title=Spannungen im Stab\|text=Tragen Sie auch die Spannungen im Stab über die Stablänge an! Berechnen Sie die Spannungen auf Basis der Dehnung
	::<math>\displaystyle \varepsilon = \frac{du}{dx}.</math>		::<math>\displaystyle \varepsilon = \frac{du}{dx}.</math>

Mechaniker: /* tmp */

2021-02-24T08:25:11Z

tmp

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	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

			{{Template:MyTip\|title=Spannungen im Stab\|text=Tragen Sie auch die Spannungen im Stab über die Stablänge an! Berechnen Sie die Spannungen auf Basis der Dehnung
			::<math>\displaystyle \varepsilon = \frac{du}{dx}.</math>

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	Die Anzahl der Finiten-Elementen ''I'' wählen wir zu		Die Anzahl der Finiten-Elementen ''I'' wählen wir zu

	<math>I=3</math>		::<math>I=3</math>

	Wir wählen Elemente gleicher Länge, also ist die Elementlänge ''l<sub>i</sub>'' im Element ''i''		Wir wählen Elemente gleicher Länge, also ist die Elementlänge ''l<sub>i</sub>'' im Element ''i''

	<math>\begin{array}{ll}\ell_i &= \ell_e\\ & = \ell_0 /I \end{array}</math>.		::<math>\begin{array}{ll}\ell_i &= \ell_e\\ & = \ell_0 /I \end{array}</math>.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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	Wir können die Trial-Functions als		Wir können die Trial-Functions als

	<math>\displaystyle u(x) = \sum_{i=0}^I U_i\cdot\phi_i(x)</math>		::<math>\displaystyle u(x) = \sum_{i=0}^I U_i\cdot\phi_i(x)</math>

	mit		mit

	<math>\displaystyle \phi_i(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \xi_{i-1} & \text{ wobei } x = \ell_e\cdot\left((i-1) + \xi_{i-1}\right),\; 0< \xi_{i-1}<1 \\ \left(1- \xi_{i}\right) & \text{ wobei } x = \ell_e\cdot\left(i+ \xi_{i}\right),\; 0< \xi_{i}<1 \end{array}\right.</math>.		::<math>\displaystyle \phi_i(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \xi_{i-1} & \text{ wobei } x = \ell_e\cdot\left((i-1) + \xi_{i-1}\right),\; 0< \xi_{i-1}<1 \\ \left(1- \xi_{i}\right) & \text{ wobei } x = \ell_e\cdot\left(i+ \xi_{i}\right),\; 0< \xi_{i}<1 \end{array}\right.</math>.

	Für ''i=2'' sieht die Trial-Function dann so aus:[[Datei:FEAD-trialfct.png\|mini\|Trial-Function für ''i=2''.]]		Für ''i=2'' sieht die Trial-Function dann so aus:[[Datei:FEAD-trialfct.png\|mini\|Trial-Function für ''i=2''.]]
Zeile 74:		Zeile 74:
	Für die Methode der Finiten Elemente ist allerdings die Sichtweise je Elemement anschaulicher, also		Für die Methode der Finiten Elemente ist allerdings die Sichtweise je Elemement anschaulicher, also

	<math>\displaystyle u_i(x_i) = \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle U_{i-1} \cdot \left(1- \left(\frac{x_i}{\ell_i} \right)\right) + U_{i} \cdot \left(\frac{x_i}{\ell_i}\right) \\ 0 \text{ sonst }\end{array}\right.</math>,		::<math>\displaystyle u_i(x_i) = \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle U_{i-1} \cdot \left(1- \left(\frac{x_i}{\ell_i} \right)\right) + U_{i} \cdot \left(\frac{x_i}{\ell_i}\right) \\ 0 \text{ sonst }\end{array}\right.</math>,

	Und für Element ''i=2'' wird der Verlauf der Querschnitts-Verschiebung also durch		Und für Element ''i=2'' wird der Verlauf der Querschnitts-Verschiebung also durch

	<math>\displaystyle u_2(x_2) = \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle U_{1} \cdot \left(1- \left(\frac{x_2}{\ell_2} \right)\right) + U_{2} \cdot \left(\frac{x_2}{\ell_2}\right) \\ 0 \text{ sonst }\end{array}\right.</math>.		::<math>\displaystyle u_2(x_2) = \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle U_{1} \cdot \left(1- \left(\frac{x_2}{\ell_2} \right)\right) + U_{2} \cdot \left(\frac{x_2}{\ell_2}\right) \\ 0 \text{ sonst }\end{array}\right.</math>.

	entsprechend		entsprechend

	<math>\displaystyle \delta u_2(x_2) = \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \delta U_{1} \cdot \left(1- \left(\frac{x_2}{\ell_2} \right)\right) + \delta U_{2} \cdot \left(\frac{x_2}{\ell_2}\right) \\ 0 \text{ sonst }\end{array}\right.</math>		::<math>\displaystyle \delta u_2(x_2) = \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \delta U_{1} \cdot \left(1- \left(\frac{x_2}{\ell_2} \right)\right) + \delta U_{2} \cdot \left(\frac{x_2}{\ell_2}\right) \\ 0 \text{ sonst }\end{array}\right.</math>

	beschreiben.		beschreiben.
Zeile 88:		Zeile 88:
	Bei 3 Finiten Elementen sind die System-Koordinaten dann		Bei 3 Finiten Elementen sind die System-Koordinaten dann

	<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{l}U_0\\U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right)</math>		::<math>\underline{Q} = \left(\begin{array}{l}U_0\\U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right)</math>
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
Zeile 103:		Zeile 103:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Element-wise contributions to ''δW''		{{MyCodeBlock\|title=Element-wise contributions to ''δW''
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	Die gesamte virtuelle Arbeit am System können wir nun als Summe der virtuellen Einzelarbeiten je Element hinschreiben, also		Die gesamte virtuelle Arbeit am System können wir nun als Summe der virtuellen Einzelarbeiten je Element hinschreiben, also

	<math>\begin{array}{ll}\delta W & = \delta W^a - \delta\Pi\\ &= \sum_{i=1}^I \left( \delta W^a_i - \delta\Pi_i \right) \end{array}</math>.		::<math>\begin{array}{ll}\delta W & = \delta W^a - \delta\Pi\\ &= \sum_{i=1}^I \left( \delta W^a_i - \delta\Pi_i \right) \end{array}</math>.

	Für jedes Element erhalten wir die virtuelle Formänderungsenergie		Für jedes Element erhalten wir die virtuelle Formänderungsenergie

	<math>\begin{array}{ll} \displaystyle \delta \Pi_i &= \int_{0}^{\ell_i} EA \cdot u_i' \cdot \delta u_i' \; dx_i\\ \displaystyle &= \left(\delta U_{i-1},\delta U_{i}\right)\cdot \displaystyle \frac{EA}{\ell_i}\cdot \left(\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{l}U_{i-1}\\U_{i}\end{array}\right) \end{array} </math>		::<math>\begin{array}{ll} \displaystyle \delta \Pi_i &= \int_{0}^{\ell_i} EA \cdot u_i' \cdot \delta u_i' \; dx_i\\ \displaystyle &= \left(\delta U_{i-1},\delta U_{i}\right)\cdot \displaystyle \frac{EA}{\ell_i}\cdot \left(\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{l}U_{i-1}\\U_{i}\end{array}\right) \end{array} </math>

	und die virtuelle Arbeit der äußeren, eingeprägten Gewichtskraft		und die virtuelle Arbeit der äußeren, eingeprägten Gewichtskraft

	<math>\begin{array}{ll} \displaystyle \delta W^a_i &= \int_0^{\ell_i} \varrho \cdot A \cdot g \cdot \delta u_i \; dx_i\\ \displaystyle &= \frac{1}{2} \cdot \left(\delta U_{i-1},\delta U_{i}\right)\cdot \varrho \cdot A \cdot g \cdot \ell_i \cdot \left(\begin{array}{l}1\\1\end{array}\right) \end{array} </math>.		::<math>\begin{array}{ll} \displaystyle \delta W^a_i &= \int_0^{\ell_i} \varrho \cdot A \cdot g \cdot \delta u_i \; dx_i\\ \displaystyle &= \frac{1}{2} \cdot \left(\delta U_{i-1},\delta U_{i}\right)\cdot \varrho \cdot A \cdot g \cdot \ell_i \cdot \left(\begin{array}{l}1\\1\end{array}\right) \end{array} </math>.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
Zeile 134:		Zeile 135:
	Die Gleichgewichtsbedingung		Die Gleichgewichtsbedingung

	<math>\begin{array}{ll}\delta W &= \delta W^a - \delta \Pi\\ &\stackrel{!}{=}0\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{ll}\delta W &= \delta W^a - \delta \Pi\\ &\stackrel{!}{=}0\end{array}</math>

	liefern ein Gleichungssystem, in das wir nun die kinematische Randbedingung ''U<sub>0</sub>=0, δU<sub>0</sub>=0'' durch Streichen der ersten Zeile des Gleichungssystems und der ersten Spalte der Gesamt-Steifigkeitsmatrix einarbeiten.		liefern ein Gleichungssystem, in das wir nun die kinematische Randbedingung ''U<sub>0</sub>=0, δU<sub>0</sub>=0'' durch Streichen der ersten Zeile des Gleichungssystems und der ersten Spalte der Gesamt-Steifigkeitsmatrix einarbeiten.
Zeile 140:		Zeile 141:
	Wir wählen nun noch für jedes Element die gleiche Element-Länge ''ℓ<sub>i</sub> = ℓ<sub>e</sub>'', mit ''ℓ<sub>e</sub> = ℓ<sub>0</sub>/3'' und es bleibt		Wir wählen nun noch für jedes Element die gleiche Element-Länge ''ℓ<sub>i</sub> = ℓ<sub>e</sub>'', mit ''ℓ<sub>e</sub> = ℓ<sub>0</sub>/3'' und es bleibt

	<math>\displaystyle \frac{E A}{\ell_i}\begin{pmatrix}2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right) = \varrho A \ell_i g \cdot\left(\begin{array}{l}1\\1\\\frac{1}{2}\end{array}\right)</math>.		::<math>\displaystyle \frac{E A}{\ell_i}\begin{pmatrix}2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right) = \varrho A \ell_i g \cdot\left(\begin{array}{l}1\\1\\\frac{1}{2}\end{array}\right)</math>.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
Zeile 164:		Zeile 165:
	Die Gleichgewichtsbedingungen lösen wir nun und erhalten		Die Gleichgewichtsbedingungen lösen wir nun und erhalten

	<math>\displaystyle {{U}_{0}}=0,{{U}_{1}}=\frac{5g\,{{\ell}_{i}^{2}}\varrho}{2E},{{U}_{2}}=\frac{4g\,{{\ell}_{i}^{2}}\varrho}{E},{{U}_{3}}=\frac{9g\,{{\ell}_{i}^{2}}\varrho}{2E}</math>		::<math>\displaystyle {{U}_{0}}=0,{{U}_{1}}=\frac{5g\,{{\ell}_{i}^{2}}\varrho}{2E},{{U}_{2}}=\frac{4g\,{{\ell}_{i}^{2}}\varrho}{E},{{U}_{3}}=\frac{9g\,{{\ell}_{i}^{2}}\varrho}{2E}</math>
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>