Gelöste Aufgaben/FEAC - Versionsgeschichte

Mechaniker am 20. Oktober 2025 um 06:32 Uhr

2025-10-20T06:32:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Oktober 2025, 06:32 Uhr
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	'''Links'''		'''Links'''
	*~~...~~		* Die Näherungslösung dazu in [[Gelöste_Aufgaben/FEAA\|FEAA]]

	'''Literature'''		'''Literature'''
	*...		*...

Mechaniker: /* Aufgabenstellung */

2021-03-09T11:17:04Z

Aufgabenstellung

← Nächstältere Version		Version vom 9. März 2021, 11:17 Uhr
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	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEAA-01.png\|75px\|mini\|Lageplan\|alternativtext=]]		[[Datei:FEAA-01.png\|75px\|left\|mini\|Lageplan\|alternativtext=]]
	Gesucht ist die analytische Lösung für die statische Auslenkung der beiden Massen. Wir arbeiten dabei mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie\|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]].		Gesucht ist die analytische Lösung für die statische Auslenkung der beiden Massen. Wir arbeiten dabei mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie\|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]].
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 15:07 Uhr

2021-02-23T15:07:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 15:07 Uhr
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	::<math>\underline{\underline{A}}=k \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix},\underline{b}= m\cdot g \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}</math>		::<math>\underline{\underline{A}}=k \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix},\underline{b}= m\cdot g \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}</math>

	~~mit der~~ Lösung (vgl. [[Sources/Lexikon/Minimum Prinzipe\|Minimum Prinzipe]])		Das Gleichungssystem hat sie Lösung (vgl. [[Sources/Lexikon/Minimum Prinzipe\|Minimum Prinzipe]])

	::<math>\displaystyle [{{w}_{1}}=\frac{2\cdot g\cdot m}{k},{{w}_{2}}=\frac{3\cdot g\cdot m}{k}]</math>.		::<math>\displaystyle [{{w}_{1}}=\frac{2\cdot g\cdot m}{k},{{w}_{2}}=\frac{3\cdot g\cdot m}{k}]</math>.

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 15:06 Uhr

2021-02-23T15:06:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 15:06 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	bzw. in Matrixform		bzw. in Matrixform

	::<math>[\underline{\underline{A}}=k \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix},\underline{b}= m\cdot g \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}]</math>		::<math>\underline{\underline{A}}\cdot\begin{pmatrix}w_1\\w2\end{pmatrix} = \underline{b}</math>

			mit

			::<math>\underline{\underline{A}}=k \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix},\underline{b}= m\cdot g \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}</math>

	mit der Lösung (vgl. [[Sources/Lexikon/Minimum Prinzipe\|Minimum Prinzipe]])		mit der Lösung (vgl. [[Sources/Lexikon/Minimum Prinzipe\|Minimum Prinzipe]])

Mechaniker: /* Lösung mit Maxima */

2021-02-23T15:04:34Z

Lösung mit Maxima

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 15:04 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:
	\|text=		\|text=
	[[Datei:FEAC-plot.png\|mini\|Potential '''''U''''' als Funtion von ''w<sub>1</sub>, w<sub>2</sub>''.]]		[[Datei:FEAC-plot.png\|mini\|Potential '''''U''''' als Funtion von ''w<sub>1</sub>, w<sub>2</sub>''.]]
	Das ~~dimensionslose~~-gemachte Potential ''U'' ist hier über ''w<sub>1</sub>'' und ''w<sub>2</sub>'' aufgetragen: man erkennt das Minimum des Potentials bei der berechneten Lösung.		Das dimensionslos-gemachte Potential ''U'' ist hier über ''w<sub>1</sub>'' und ''w<sub>2</sub>'' aufgetragen: man erkennt das Minimum des Potentials bei der berechneten Lösung.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 15:03 Uhr

2021-02-23T15:03:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 15:03 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	bzw. in Matrixform		bzw. in Matrixform

	::<math>[\underline{\underline{A}}=k \begin{pmatrix} 2 & -1\cr -1 & 1\end{pmatrix},\underline{b}= m\cdot g \begin{pmatrix}1\cr 1\end{pmatrix}]</math>		::<math>[\underline{\underline{A}}=k \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix},\underline{b}= m\cdot g \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}]</math>

	mit der Lösung (vgl. Minimum Prinzipe)		mit der Lösung (vgl. [[Sources/Lexikon/Minimum Prinzipe\|Minimum Prinzipe]])

	::<math>\displaystyle [{{w}_{1}}=\frac{2\cdot g\cdot m}{k},{{w}_{2}}=\frac{3\cdot g\cdot m}{k}]</math>.		::<math>\displaystyle [{{w}_{1}}=\frac{2\cdot g\cdot m}{k},{{w}_{2}}=\frac{3\cdot g\cdot m}{k}]</math>.
Zeile 89:		Zeile 89:
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}


	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Procesing		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Procesing

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 15:01 Uhr

2021-02-23T15:01:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 15:01 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	Hier geht es darum, ein Verständnis für Näherunglösungen mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie\|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]] zu bekommen. Wir suchen die Näherungslösung für die statische Auslenkung des skizzierten Feder-Masse Systems, hier indem wir die ~~Anzahl der Freiheitsgrade von Zwei auf Eins reduzieren.~~		Hier berechnen wir die analytische Lösung zur Aufgabe [[Gelöste Aufgaben/FEAA\|FEAA]].

	~~Und das als Vorbereitung für die~~ [[~~Randwertprobleme~~/~~Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode~~\|~~Methode der Finiten Elemente~~]]~~, bei der wir die Anzahl der Freiheitsgraden von unendlich auf einige Hundert reduzieren~~.

	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEAA-01.png\|75px\|mini\|Lageplan\|alternativtext=]]		[[Datei:FEAA-01.png\|75px\|mini\|Lageplan\|alternativtext=]]
	Gesucht ist ~~eine Näherungslösung~~ für die statische Auslenkung der beiden Massen ~~für ein System mit einem Freiheitsgrad~~. Wir arbeiten dabei mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie\|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]] ~~und wählen eine Auslenkung als Funktion der zweiten~~.		Gesucht ist die analytische Lösung für die statische Auslenkung der beiden Massen. Wir arbeiten dabei mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie\|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]].
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

Zeile 36:		Zeile 34:
	Das Potential für das Aufstellen der Gleichgewichtsbeziehung lautet		Das Potential für das Aufstellen der Gleichgewichtsbeziehung lautet

	::<math>U=\Pi-A</math>		::<math>U=\Pi-A</math>,

	wobei		wobei
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	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}



	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
	\|text=		\|text=
	~~Um zu zeigen, wie eine Näherungslösung "geht", wählen wir hier einen geschätzten (falschen = nicht analytisch richtigen) Zusammenhang zwischen ''w<sub>1</sub>'' und ''w<sub>2</sub>'':~~		Die Gleichgewichtsbeziehungen nach dem Prinzips vom Minimum der Potentiellen Energie

	~~::<math>w_1 = \frac{\displaystyle w_2}{\displaystyle 2}</math>~~

	~~Das Potential ''''~~U~~'''' lautet nun~~		::<math>\displaystyle \frac{d U}{d w_i} \stackrel{!}{=} 0</math>.

	~~::<math>\displaystyle U=\frac{k}{4}\cdot {w}_{2}^{2} -\frac{3\,g\,m}{2}\cdot {{w}_{2}}</math>~~		liefern die Gleichungen

	~~und liefert mit der Gleichgewichtsbeziehung des Prinzips vom Minimum der Potentiellen Energie~~		::<math>\begin{array}{l} g\cdot m+\left( {{w}_{2}}-{{w}_{1}}\right) \cdot k-{{w}_{1}}\cdot k=0,\\g\cdot m-\left( {{w}_{2}}-{{w}_{1}}\right) \cdot k=0\end{array}</math>.

	~~::<math>\displaystyle \frac{d U}{d w_2} \stackrel{!}{=} 0</math>~~.		bzw. in Matrixform

	~~die Gleichung~~		::<math>[\underline{\underline{A}}=k \begin{pmatrix} 2 & -1\cr -1 & 1\end{pmatrix},\underline{b}= m\cdot g \begin{pmatrix}1\cr 1\end{pmatrix}]</math>

	~~::<math>\displaystyle \frac{3g\,m}{2}-\frac{k}{2}\cdot {{w}_{2}}=0</math>~~.		mit der Lösung (vgl. Minimum Prinzipe)

	~~mit der Lösung~~		::<math>\displaystyle [{{w}_{1}}=\frac{2\cdot g\cdot m}{k},{{w}_{2}}=\frac{3\cdot g\cdot m}{k}]</math>.

	::<math>\displaystyle {{w}_{2}}=\frac{3g\,m}{k}</math>

	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	~~/* choose approximation */~~
	~~approx: [w[1] = w[2]/2];~~

	~~PMPE: subst(approx, PMPE);~~

	/* pick individual equations */		/* pick individual equations */
	~~equ~~ : diff(subst(PMPE, -U),w[2])=0;		equs : makelist(diff(subst(PMPE, -U),w[i])=0,i,1,2);
			coord: makelist(w[i],i,1,2);

			/* compose augmented coefficient matrix */
			ACM : augcoefmatrix(equs,coord);

			/* ordinary lineary system of equations*/
			ole : [A = submatrix(ACM,3), b = -col(ACM,3)];

	/* -> here we employ the shortcut via "solve" */		/* -> here we employ the shortcut via "solve" */
	sol: solve(~~equ~~,~~w[2]~~)[1];		sol: solve(equs,coord)[1];
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}
Zeile 95:		Zeile 93:
	<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Procesing		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Procesing
	\|text=		\|text=
	[[Datei:FEAC-plot.png\|mini\|~~Potentielle Energie - hier~~ als ~~Funktion~~ von ''w<sub>1</sub>''.]]		[[Datei:FEAC-plot.png\|mini\|Potential '''''U''''' als Funtion von ''w<sub>1</sub>, w<sub>2</sub>''.]]
	Das dimensionslose-gemachte Potential ''U'' ist hier über ''w<sub>2</sub>'' aufgetragen: man erkennt das Minimum des Potentials bei der berechneten Lösung.		Das dimensionslose-gemachte Potential ''U'' ist hier über ''w<sub>1</sub>'' und ''w<sub>2</sub>'' aufgetragen: man erkennt das Minimum des Potentials bei der berechneten Lösung.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	/* plot results */		/* plot results */
	pltfct : expand(subst([w[2] = mg/kW[2]],		pltfct : expand(subst(makelist(w[i] = mg/kW[i],i,1,2),subst(parts, subst(PMPE,U/(m^2*g^2/k)))));
	~~subst(approx~~,subst(parts, subst(PMPE,U/(m^2*g^2/k))))));		plot3d(pltfct,
	~~plot2d~~(pltfct,		[W[1],2-10,2+10], [W[2],3-10,3+10],
	[W[2],3-10,3+10],		[z,-10,50], [legend, "potential energy"],
	[legend, "potential energy"],		[xlabel, "w[1]/(mg/k) →"], [ylabel, "w[2]/(mg/k) →"], [zlabel, "U →"]);
	[xlabel, "w[2]/(mg/k) →"], [~~ylabel~~, "U →"]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 14:48 Uhr

2021-02-23T14:48:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 14:48 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	A		[[Category:Gelöste_Aufgaben]]
			[[Category:Anfangswertproblem]]
			[[Category:Maxima]]

			==Aufgabenstellung==
			Hier geht es darum, ein Verständnis für Näherunglösungen mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie\|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]] zu bekommen. Wir suchen die Näherungslösung für die statische Auslenkung des skizzierten Feder-Masse Systems, hier indem wir die Anzahl der Freiheitsgrade von Zwei auf Eins reduzieren.

			Und das als Vorbereitung für die [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Methode der Finiten Elemente]], bei der wir die Anzahl der Freiheitsgraden von unendlich auf einige Hundert reduzieren.

			<onlyinclude>
			[[Datei:FEAA-01.png\|75px\|mini\|Lageplan\|alternativtext=]]
			Gesucht ist eine Näherungslösung für die statische Auslenkung der beiden Massen für ein System mit einem Freiheitsgrad. Wir arbeiten dabei mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie\|Prinzip vom Minimum der Potentiellen Energie]] und wählen eine Auslenkung als Funktion der zweiten.
			</onlyinclude>

			==Lösung mit Maxima==

			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Header
			\|text=
			[[Datei:FEAA-11.png\|150px\|mini\|Koordinaten ''w<sub>1</sub>, w<sub>2</sub>'']]
			Als Koordinaten führen wir die Auslenkungen der Massen aus Ihrer Referenzlage ein, in der Referenzlage sind die Federn entspannt.
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			/*******************************************************/
			/* MAXIMA script */
			/* version: wxMaxima 15.08.2 */
			/* author: Andreas Baumgart */
			/* last updated: 2017-09-14 */
			/* ref: FEM, PVMPE using two coordinates */
			/* description: solve by principle of minimum of p. E. */
			/*******************************************************/
			</syntaxhighlight>
			}}

			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equlibrium Conditions
			\|text=
			Das Potential für das Aufstellen der Gleichgewichtsbeziehung lautet

			::<math>U=\Pi-A</math>

			wobei

			::<math>\begin{array}{ll}
			\displaystyle A&={{w}_{2}}\cdot g\cdot m+{{w}_{1}}\cdot g\cdot m,\\\Pi&\displaystyle=\frac{{{\left( {{w}_{2}}-{{w}_{1}}\right) }^{2}}\cdot k}{2}+\frac{{{w}_{1}^{2}}\cdot k}{2}\end{array}</math>
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			/* Potential Energy of system (equilibrium condition) */
			parts : [/* work of gravitationaö forces */
			A = mgw[1]+mgw[2],
			/* strain energy*/
			Pi = 1/2kw[1]^2 + 1/2k(w[2]-w[1])^2];

			PMPE : U= Pi-A;
			PMPE : subst(parts,PMPE);
			</syntaxhighlight>
			}}

			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
			\|text=
			Um zu zeigen, wie eine Näherungslösung "geht", wählen wir hier einen geschätzten (falschen = nicht analytisch richtigen) Zusammenhang zwischen ''w<sub>1</sub>'' und ''w<sub>2</sub>'':

			::<math>w_1 = \frac{\displaystyle w_2}{\displaystyle 2}</math>

			Das Potential ''''U'''' lautet nun

			::<math>\displaystyle U=\frac{k}{4}\cdot {w}_{2}^{2} -\frac{3\,g\,m}{2}\cdot {{w}_{2}}</math>

			und liefert mit der Gleichgewichtsbeziehung des Prinzips vom Minimum der Potentiellen Energie

			::<math>\displaystyle \frac{d U}{d w_2} \stackrel{!}{=} 0</math>.

			die Gleichung

			::<math>\displaystyle \frac{3g\,m}{2}-\frac{k}{2}\cdot {{w}_{2}}=0</math>.

			mit der Lösung

			::<math>\displaystyle {{w}_{2}}=\frac{3g\,m}{k}</math>

			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			/* choose approximation */
			approx: [w[1] = w[2]/2];

			PMPE: subst(approx, PMPE);

			/* pick individual equations */
			equ : diff(subst(PMPE, -U),w[2])=0;

			/* -> here we employ the shortcut via "solve" */
			sol: solve(equ,w[2])[1];
			</syntaxhighlight>
			}}


			<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Post-Procesing
			\|text=
			[[Datei:FEAC-plot.png\|mini\|Potentielle Energie - hier als Funktion von ''w<sub>1</sub>''.]]
			Das dimensionslose-gemachte Potential ''U'' ist hier über ''w<sub>2</sub>'' aufgetragen: man erkennt das Minimum des Potentials bei der berechneten Lösung.
			\|code=
			<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
			/* plot results */
			pltfct : expand(subst([w[2] = mg/kW[2]],
			subst(approx,subst(parts, subst(PMPE,U/(m^2*g^2/k))))));
			plot2d(pltfct,
			[W[2],3-10,3+10],
			[legend, "potential energy"],
			[xlabel, "w[2]/(mg/k) →"], [ylabel, "U →"]);
			</syntaxhighlight>
			}}


			'''Links'''
			*...

			'''Literature'''
			*...

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