Gelöste Aufgaben/FEAB - Versionsgeschichte

Mechaniker am 9. März 2021 um 11:16 Uhr

2021-03-09T11:16:40Z

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	Statt zwei Freiheitsgraden wie in [[Gelöste_Aufgaben/FEAA\|FEAA]] haben wir jetzt - bei einem Kontinuum - unendlich viele.		Statt zwei Freiheitsgraden wie in [[Gelöste_Aufgaben/FEAA\|FEAA]] haben wir jetzt - bei einem Kontinuum - unendlich viele.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|198x198px\|Lageplan]]		[[Datei:FEAB-01.png\|left\|mini\|198x198px\|Lageplan]]
	Gesucht ist die Näherungslösung für die Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen. Wir verwenden polynomialen Ansatzfunktionen über die Gesamtlänge - also eine Mischung aus [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finiten-Elemente-Methode]] und dem [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente\|Rayleigh-Ritz-Verfahren]].		Gesucht ist die Näherungslösung für die Auslenkung der Stab-Querschnitte mit dem Prinzip der Virtuellen Verrückungen. Wir verwenden polynomialen Ansatzfunktionen über die Gesamtlänge - also eine Mischung aus [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Finite Elemente Methode\|Finiten-Elemente-Methode]] und dem [[Randwertprobleme/Methoden zur Lösung von Randwertproblemen/Im Vergleich: das Verfahren von Ritz und die Methode der Finite Elemente\|Rayleigh-Ritz-Verfahren]].
	</onlyinclude>		</onlyinclude>

Mechaniker am 24. Februar 2021 um 07:26 Uhr

2021-02-24T07:26:21Z

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	Für Maxima brauchen wir einige Deklarationen.		Für Maxima brauchen wir einige Deklarationen.

	Der maximale Exponent des Ansatz-Polynoms ist drei - dann fällt die Näherungslösung mit der analytischen Lösung zusammen.		Der maximale Exponent des Ansatz-Polynoms ist drei - dann nämlich fällt die Näherungslösung mit der analytischen Lösung zusammen.

	Hier wählen wir		Hier wählen wir

	::<math>I=2</math> (im ~~Maximaskipt~~ ''I=3'')		::<math>I=2</math> (im Maxima-Skipt ''I=3'')
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 14:38 Uhr

2021-02-23T14:38:56Z

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	gegen die exakte Lösung auf:[[Datei:FEAB-Ergebnisplot.png\|mini\|Verschiebung der Stab-Querschnitte.]]		gegen die exakte Lösung auf:[[Datei:FEAB-Ergebnisplot.png\|mini\|Verschiebung der Stab-Querschnitte.]]

			{{Template:MyTip\|title=Spannungen im Stab\|text=Tragen Sie auch die Spannungen im Stab über die Stablänge an! Berechnen Sie die Spannungen auf Basis der Dehnung
			::<math>\displaystyle \varepsilon = \frac{du}{dx}.</math>}}






	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker: /* Lösung mit Maxima */

2021-02-23T14:36:58Z

Lösung mit Maxima

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 14:36 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->Für die Formfunktionen wählen wir		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Formfuctions
			\|text=
			Für die Formfunktionen wählen wir

	<math>\displaystyle u(x) = \sum_{i=1}^{I} U_i\cdot \left(\frac{x}{\ell}\right)^i</math>> ,		:: <math>\displaystyle u(x) = \sum_{i=1}^{I} U_i\cdot \left(\frac{x}{\ell}\right)^i</math>> ,

	also für I=2		also für I=2

	<math>\displaystyle u(x) = U_1 \frac{x}{l} + U_2 \left(\frac{x}{l}\right)^2</math>		:: <math>\displaystyle u(x) = U_1 \frac{x}{l} + U_2 \left(\frac{x}{l}\right)^2</math>

	und entsprechend		und entsprechend

	<math>\displaystyle \delta u(x) = \delta U_1 \frac{x}{l} + \delta U_2 \left(\frac{x}{l}\right)^2</math> .~~{{MyCodeBlock\|title=Formfuctions~~		:: <math>\displaystyle \delta u(x) = \delta U_1 \frac{x}{l} + \delta U_2 \left(\frac{x}{l}\right)^2</math> .
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1		/* coordinates and their variations */
			Q : makelist( U[i],i,1,I);
			δQ : makelist(δU[i],i,1,I);

			/* trial functions */
			Phi : [(x/l)^1,(x/l)^2,(x/l)^3];

			/* Ansatz */
			u : sum( Q[i]*Phi[i],i,1,I);
			δu : sum(δQ[i]*Phi[i],i,1,I);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->Die Gleichgewichtsbedingung		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions
			\|text=
			Die Gleichgewichtsbedingung

	<math>\begin{array}{ll}\delta W &= \delta W^a - \delta \Pi\\ &\stackrel{!}{=}0\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{ll}\delta W &= \delta W^a - \delta \Pi\\ &\stackrel{!}{=}0\end{array}</math>

	liefert		liefert

	<math>\displaystyle \delta W = \frac{\delta U_{2} A g \ell \rho}{3}+\frac{\delta U_{1} A g \ell \rho}{2} - \frac{4{{U}_{2}}\,{{\mathit{{\delta}U}}_{2}}AE}{3\ell}-\frac{{{U}_{1}}\,{{\mathit{{\delta}U}}_{2}}AE}{\ell}-\frac{{{\mathit{{\delta}U}}_{1}}\,{{U}_{2}}AE}{\ell}-\frac{{{U}_{1}}\,{{\mathit{{\delta}U}}_{1}}A E}{\ell}</math>.~~{{MyCodeBlock\|title=Equilibrium Conditions~~		::<math>\displaystyle \delta W = \frac{\delta U_{2} A g \ell \rho}{3}+\frac{\delta U_{1} A g \ell \rho}{2} - \frac{4{{U}_{2}}\,{{\mathit{{\delta}U}}_{2}}AE}{3\ell}-\frac{{{U}_{1}}\,{{\mathit{{\delta}U}}_{2}}AE}{\ell}-\frac{{{\mathit{{\delta}U}}_{1}}\,{{U}_{2}}AE}{\ell}-\frac{{{U}_{1}}\,{{\mathit{{\delta}U}}_{1}}A E}{\ell}</math>.
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	~~1+1~~		/* Equilibrium */
			δΠ : EAintegrate(diff(u,x)*diff(δu,x),x,0,l);
			δA : integrate(rhogA*δu, x,0,l);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->Die ~~Glechgewichtsbedingungen~~ folgen daraus zu		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Solving
			\|text=
			Die Gleichgewichtsbedingungen folgen daraus zu

	<math>\begin{array}{l}\displaystyle-\frac{A g \ell\rho}{2}+\frac{{{U}_{2}}AE}{\ell}+\frac{{{U}_{1}} A E}{\ell}=0, \\ \displaystyle -\frac{A g \ell \rho}{3}+\frac{4{{U}_{2}}AE}{3l}+\frac{{{U}_{1}}AE}{\ell}=0\end{array}</math>		::<math>\begin{array}{l}\displaystyle-\frac{A g \ell\rho}{2}+\frac{{{U}_{2}}AE}{\ell}+\frac{{{U}_{1}} A E}{\ell}=0, \\ \displaystyle -\frac{A g \ell \rho}{3}+\frac{4{{U}_{2}}AE}{3l}+\frac{{{U}_{1}}AE}{\ell}=0\end{array}</math>

	und somit		und somit

	<math>\displaystyle {{U}_{1}}=\frac{g\,{{\ell}^{2}}\rho}{E},\;\;\;{{U}_{2}}=-\frac{g\,{{\ell}^{2}}\rho}{2E}</math>~~{{MyCodeBlock\|title=Solving~~		::<math>\displaystyle {{U}_{1}}=\frac{g\,{{\ell}^{2}}\rho}{E},\;\;\;{{U}_{2}}=-\frac{g\,{{\ell}^{2}}\rho}{2E}</math>
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1		eom : makelist(-coeff(expand(δA-δΠ),c)=0,c,δQ);
			sol: solve(eom, Q)[1];
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
			\|text=
	Und wir tragen die Ergebnisse auf für die numerische Näherungslösung		Und wir tragen die Ergebnisse auf für die numerische Näherungslösung

	<math>\displaystyle u(x) = \frac{g \rho \ell^2}{E} \cdot \frac{x}{\ell} - \frac{g \rho \ell^{2}}{2E} \cdot \left(\frac{x}{\ell}\right)^2</math>		::<math>\displaystyle u(x) = \frac{g \rho \ell^2}{E} \cdot \frac{x}{\ell} - \frac{g \rho \ell^{2}}{2E} \cdot \left(\frac{x}{\ell}\right)^2</math>

	gegen die exakte Lösung auf:[[Datei:FEAB-Ergebnisplot.png\|mini\|Verschiebung der Stab-Querschnitte.]]~~{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing~~		gegen die exakte Lösung auf:[[Datei:FEAB-Ergebnisplot.png\|mini\|Verschiebung der Stab-Querschnitte.]]
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	1+1		/* plot results*/

			toPlot: append([xi*(1-xi/2)],
			[ expand(subst(xil,x,subst(sol,sum(Q[i]Phi[i],i,1,I)/(rhogl^2/E))))],
			makelist( subst(xil,x,subst(sol, Q[i]Phi[i] /(rhogl^2/E))), i,1,I));

			plot2d(toPlot, [xi,0,1], [xlabel, "xi→"], [ylabel, "u/((gl^2rho)/E)→"],
			[legend, "exact", "approximated", "first order", "second order", "third order"],
			[title, sconcat("I = ",I)]);
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 14:32 Uhr

2021-02-23T14:32:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 14:32 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Header		{{MyCodeBlock\|title=Header
	\|text=~~Text~~		\|text=In den Lageplan haben wir bereits den funktionalen Fireheitsgrad ''u(x)'' eingetragen, der Stab ist am oberen Ende befestigt und wird am unteren Ende mit der Zugkraft ''F'' belastet.
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	~~1+1~~		/*******************************************************/
			/* MAXIMA script */
			/* version: wxMaxima 16.04.2 */
			/* author: Andreas Baumgart */
			/* last updated: 2017-10-10 */
			/* ref: FENV step 4 im Prozess: Ganzfeldansätze */
			/* description: mit dem PvV werden die Bewegungsgl. */
			/* für einen Stab unter Gewichtskraft erstellt*/
			/*******************************************************/
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

	<!-------------------------------------------------------------------------------->Für Maxima brauchen wir einige Deklarationen.		<!-------------------------------------------------------------------------------->{{MyCodeBlock\|title=Declarations
			\|text=
			Für Maxima brauchen wir einige Deklarationen.

	Der maximale Exponent des Ansatz-Polynoms ist drei - dann fällt die Näherungslösung mit der analytischen Lösung zusammen.		Der maximale Exponent des Ansatz-Polynoms ist drei - dann fällt die Näherungslösung mit der analytischen Lösung zusammen.
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	Hier wählen wir		Hier wählen wir

	<math>I=2</math>~~{{MyCodeBlock\|title=Declarations~~		::<math>I=2</math> (im Maximaskipt ''I=3'')
	~~\|text~~=~~Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
	~~1+1~~
			/*******************************************************/
			/* declare variational variables - see 6.3 Identifiers */
			declare("δW", alphabetic);
			declare("δA", alphabetic);
			declare("δΠ", alphabetic);
			declare("δQ", alphabetic);
			declare("δu", alphabetic);
			/*******************************************************/
			/* parameter */
			I : 3; /* max: 3*/
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>
	}}		}}

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 14:28 Uhr

2021-02-23T14:28:31Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+[[Category:Randwertproblem]]
-[[Datei:FEAB-Ergebnisplot.png|mini|Verschiebung der Stab-Querschnitte.]]
+[[Category:Gelöste Aufgaben]]
-[[Datei:FEAB-01.png|mini|175x175px|Lageplan]]
+<!-------------------------------------------------------------------------------->Für Maxima brauchen wir einige Deklarationen.

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 13:51 Uhr

2021-02-23T13:51:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 13:51 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	a		a
			[[Datei:FEAB-Ergebnisplot.png\|mini\|Verschiebung der Stab-Querschnitte.]]


			[[Datei:FEAB-01.png\|mini\|175x175px\|Lageplan]]

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2021-02-16T12:18:39Z

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