Gelöste Aufgaben/DGEC - Versionsgeschichte

Mechaniker am 29. März 2021 um 06:27 Uhr

2021-03-29T06:27:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2021, 06:27 Uhr
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	Wie sich die Balkenmodell von Euler-Bernoulli und Timoshenko in Ihrem Modellverhalten unterscheiden, untersuchen wir hier.		Wie sich die Balkenmodell von Euler-Bernoulli und Timoshenko in Ihrem Modellverhalten unterscheiden, untersuchen wir hier.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:DGEC-01.png\|mini\|~~144x144px~~\|Lageplan\|alternativtext=\|links]]		[[Datei:DGEC-01.png\|mini\|200x200px\|Lageplan\|alternativtext=\|links]]
	Ein Balken ''AB'' (Länge ''ℓ'', Rechteck-Querschnitt ''h*b'', Elastizitäts-Module ''E'') ist in ''A'' fest eingespannt und in ''B'' durch eine Parallelführung gelagert.		Ein Balken ''AB'' (Länge ''ℓ'', Rechteck-Querschnitt ''h*b'', Elastizitäts-Module ''E'') ist in ''A'' fest eingespannt und in ''B'' durch eine Parallelführung gelagert.

Mechaniker am 9. März 2021 um 11:15 Uhr

2021-03-09T11:15:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. März 2021, 11:15 Uhr
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	Wie sich die Balkenmodell von Euler-Bernoulli und Timoshenko in Ihrem Modellverhalten unterscheiden, untersuchen wir hier.		Wie sich die Balkenmodell von Euler-Bernoulli und Timoshenko in Ihrem Modellverhalten unterscheiden, untersuchen wir hier.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:DGEC-01.png\|mini\|144x144px\|Lageplan]]		[[Datei:DGEC-01.png\|mini\|144x144px\|Lageplan\|alternativtext=\|links]]
	Ein Balken ''AB'' (Länge ''ℓ'', Rechteck-Querschnitt ''h*b'', Elastizitäts-Module ''E'') ist in ''A'' fest eingespannt und in ''B'' durch eine Parallelführung gelagert.		Ein Balken ''AB'' (Länge ''ℓ'', Rechteck-Querschnitt ''h*b'', Elastizitäts-Module ''E'') ist in ''A'' fest eingespannt und in ''B'' durch eine Parallelführung gelagert.

Mechaniker: /* Aufgabenstellung */

2021-02-23T13:43:59Z

Aufgabenstellung

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 13:43 Uhr
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	Wie sich die Balkenmodell von Euler-Bernoulli und Timoshenko in Ihrem Modellverhalten unterscheiden, untersuchen wir hier.		Wie sich die Balkenmodell von Euler-Bernoulli und Timoshenko in Ihrem Modellverhalten unterscheiden, untersuchen wir hier.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:DGEC-01.png~~\|ohne~~\|mini\|144x144px\|Lageplan]]		[[Datei:DGEC-01.png\|mini\|144x144px\|Lageplan]]
	Ein Balken ''AB'' (Länge ''ℓ'', Rechteck-Querschnitt ''h*b'', Elastizitäts-Module ''E'') ist in ''A'' fest eingespannt und in ''B'' durch eine Parallelführung gelagert.		Ein Balken ''AB'' (Länge ''ℓ'', Rechteck-Querschnitt ''h*b'', Elastizitäts-Module ''E'') ist in ''A'' fest eingespannt und in ''B'' durch eine Parallelführung gelagert.

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 12:27 Uhr

2021-02-23T12:27:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 12:27 Uhr
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			[[Category:Gelöste_Aufgaben]]
	[[Category:Randwertproblem]]		[[Category:Randwertproblem]]
	[[Category:Timoshenko-Balken]]		[[Category:Timoshenko-Balken]]

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 12:17 Uhr

2021-02-23T12:17:19Z

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	{{MyCodeBlock\|title=Trial-Functions		{{MyCodeBlock\|title=Trial-Functions
	\|text=		\|text=
	Wir wählen als [[Sources/Lexikon/Trial-Functions]] für die Auslenkung ''w'' und die Verdrehung ''ϕ'' des Timoshenko-Balkens:		Wir wählen als [[Sources/Lexikon/Trial-Function\|Trial-Functions]] für die Auslenkung ''w'' und die Verdrehung ''ϕ'' des Timoshenko-Balkens:

	::<math>\begin{array}{ll}w(x) &= W \cdot (3\,\xi^2-2\,\xi^3),\\ \phi(x) &= \Phi\cdot 4\,\xi\,(1-\xi) \end{array}</math> .		::<math>\begin{array}{ll}w(x) &= W \cdot (3\,\xi^2-2\,\xi^3),\\ \phi(x) &= \Phi\cdot 4\,\xi\,(1-\xi) \end{array}</math> .

Mechaniker: /* Lösung mit Maxima */

2021-02-23T12:16:08Z

Lösung mit Maxima

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	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
	{{MyCodeBlock\|title=Header		{{MyCodeBlock\|title=Header
	\|text=Wir suchen Näherungslösungen für die Verschiebung des Punktes ''B'' mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen auf Basis der Bewegungsgleichungen aus DGEB. Dazu setzen wir einmal die Verschiebung und Verdrehung der Querschnitte jeweils nach dem Modell des		\|text=Wir suchen Näherungslösungen für die Verschiebung des Punktes ''B'' mit dem [[Werkzeuge/Gleichgewichtsbedingungen/Arbeitsprinzipe der Analytischen Mechanik/Prinzip der virtuellen Verrückungen\|Prinzip der virtuellen Verrückungen]] auf Basis der Bewegungsgleichungen aus [[Gelöste_Aufgaben/DGEB\|DGEB]]. Dazu setzen wir einmal die Verschiebung und Verdrehung der Querschnitte jeweils nach dem Modell des

	*Timoshenko-Balkens und		*Timoshenko-Balkens und
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	{{MyCodeBlock\|title=Trial-Functions		{{MyCodeBlock\|title=Trial-Functions
	\|text=		\|text=
	Wir wählen als Trial-Functions für die Auslenkung ''w'' und die Verdrehung ''ϕ'' des Timoshenko-Balkens:		Wir wählen als [[Sources/Lexikon/Trial-Functions]] für die Auslenkung ''w'' und die Verdrehung ''ϕ'' des Timoshenko-Balkens:

	::<math>\begin{array}{ll}w(x) &= W \cdot (3\,\xi^2-2\,\xi^3),\\ \phi(x) &= \Phi\cdot 4\,\xi\,(1-\xi) \end{array}</math> .		::<math>\begin{array}{ll}w(x) &= W \cdot (3\,\xi^2-2\,\xi^3),\\ \phi(x) &= \Phi\cdot 4\,\xi\,(1-\xi) \end{array}</math> .
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	::<math>\begin{array}{ll}\delta W &= \delta W^a - \delta \Pi\\&\stackrel{!}{=}0\end{array}</math>.		::<math>\begin{array}{ll}\delta W &= \delta W^a - \delta \Pi\\&\stackrel{!}{=}0\end{array}</math>.

	Aus DGEB wissen wir für die Virtuelle Formänderungsenergie		Aus DGEB wissen wir für die [[Sources/Lexikon/Virtuelle Formänderungsenergie\|Virtuelle Formänderungsenergie]]
	<table>		<table>
	<tr><th>... für den Timoshenko-Balken</th><th>... für den Euler-Bernoulli-Balken</th></tr>		<tr><th>... für den Timoshenko-Balken</th><th>... für den Euler-Bernoulli-Balken</th></tr>

Mechaniker: /* Lösung mit Maxima */

2021-02-23T12:12:24Z

Lösung mit Maxima

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 12:12 Uhr
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	==Lösung mit Maxima==		==Lösung mit Maxima==
	~~Lorem Ipsum ....~~

	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 12:10 Uhr

2021-02-23T12:10:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2021, 12:10 Uhr
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	Aus DGEB wissen wir für die Virtuelle Formänderungsenergie		Aus DGEB wissen wir für die Virtuelle Formänderungsenergie
	~~{\| class="wikitable"~~		<table>
	!... für den Timoshenko-Balken		<tr><th>... für den Timoshenko-Balken</th><th>... für den Euler-Bernoulli-Balken</th></tr>
	!... für den Euler-Bernoulli-Balken
	\|-		<tr><td><math>\begin{array}{lcl} \delta\Pi = &\displaystyle \int_0^\ell& \displaystyle \frac{1}{4} G\,A\,(w'-\phi)\cdot (\delta w'-\delta \phi) \\&+ &E\,I\,\phi'\,\delta \phi' \; dx \end{array}</math></td><td><math>\displaystyle \delta\Pi = \int_0^\ell EI\,w''\,\delta w'' \; dx</math></td></tr>
	\|<math>\begin{array}{lcl} \delta\Pi = &\displaystyle \int_0^\ell& \displaystyle \frac{1}{4} G\,A\,(w'-\phi)\cdot (\delta w'-\delta \phi) \\&+ &E\,I\,\phi'\,\delta \phi' \; dx \end{array}</math>
	\|<math>\displaystyle \delta\Pi = \int_0^\ell EI\,w''\,\delta w'' \; dx</math>		</table>
	\|}
	Und die virtuelle Arbeit der äußeren Kraft ''F'' ist		Und die virtuelle Arbeit der äußeren Kraft ''F'' ist

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	*''W'' für den Euler-Bernoulli-Balken.		*''W'' für den Euler-Bernoulli-Balken.

	<table>		<table cellpadding="10px">
	<tr><th>Timoshenko</th><th>Euler-Bernoulli</th></tr>		<tr><th>Timoshenko</th><th>Euler-Bernoulli</th></tr>
	<tr><td><math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{3 \, G A}{10 \, \ell} \cdot W-\frac{G A}{5} \cdot \Phi &=F,\\		<tr><td><math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{3 \, G A}{10 \, \ell} \cdot W-\frac{G A}{5} \cdot \Phi &=F,\\
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	</td><td><math>\displaystyle \frac{12 \, E I}{{{\ell}^{3}}}\, W=F</math></td></tr>		</td><td><math>\displaystyle \frac{12 \, E I}{{{\ell}^{3}}}\, W=F</math></td></tr>

	<tr><~~tdcolspan~~="2">mit der Lösung></td></tr>		<tr><td colspan="2">mit der Lösung></td></tr>

	<tr><td><math>\displaystyle W=\frac{G A\, {{\ell}^{3}}+40 \,E I\,\ell}{12\,E I\,G A}\,F,\;\;\Phi =\frac{{{\ell}^{2}}}{8\,E I}\,F</math></td><td><math>\displaystyle W=\frac{{{\ell}^{3}}}{12\,E I}\,F</math></td></tr>		<tr><td><math>\displaystyle W=\frac{G A\, {{\ell}^{3}}+40 \,E I\,\ell}{12\,E I\,G A}\,F,\;\;\Phi =\frac{{{\ell}^{2}}}{8\,E I}\,F</math></td><td><math>\displaystyle W=\frac{{{\ell}^{3}}}{12\,E I}\,F</math></td></tr>

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 12:08 Uhr

2021-02-23T12:08:15Z

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	*''W'' für den Euler-Bernoulli-Balken.		*''W'' für den Euler-Bernoulli-Balken.

	~~{\| class="wikitable"~~		<table>
	!Timoshenko		<tr><th>Timoshenko</th><th>Euler-Bernoulli</th></tr>
	!Euler-Bernoulli		<tr><td><math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{3 \, G A}{10 \, \ell} \cdot W-\frac{G A}{5} \cdot \Phi &=F,\\
	\|-
	\|<math>\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{3 \, G A}{10 \, \ell} \cdot W-\frac{G A}{5} \cdot \Phi &=F,\\
	\displaystyle \left(\frac{2\, G A\, \ell}{15}+\frac{16\, E I}{3 \ell}\right) \cdot \Phi -\frac{G A}{5}\cdot W&=0		\displaystyle \left(\frac{2\, G A\, \ell}{15}+\frac{16\, E I}{3 \ell}\right) \cdot \Phi -\frac{G A}{5}\cdot W&=0
	\end{array}</math>		\end{array}</math>
	\|<math>\displaystyle \frac{12 \, E I}{{{\ell}^{3}}}\, W=F</math>		</td><td><math>\displaystyle \frac{12 \, E I}{{{\ell}^{3}}}\, W=F</math></td></tr>
	\|-
	~~\| colspan~~="2" \|mit der Lösung		<tr><tdcolspan="2">mit der Lösung></td></tr>
	\|-
	~~\| colspan="1" \|~~<math>\displaystyle W=\frac{G A\, {{\ell}^{3}}+40 \,E I\,\ell}{12\,E I\,G A}\,F,\;\;\Phi =\frac{{{\ell}^{2}}}{8\,E I}\,F</math>		<tr><td><math>\displaystyle W=\frac{G A\, {{\ell}^{3}}+40 \,E I\,\ell}{12\,E I\,G A}\,F,\;\;\Phi =\frac{{{\ell}^{2}}}{8\,E I}\,F</math></td><td><math>\displaystyle W=\frac{{{\ell}^{3}}}{12\,E I}\,F</math></td></tr>
	~~\| colspan="1" \|~~<math>\displaystyle W=\frac{{{\ell}^{3}}}{12\,E I}\,F</math>
	\|}		</table>
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>
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	}}		}}
	<!-------------------------------------------------------------------------------->		<!-------------------------------------------------------------------------------->
			{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing
			\|text=
	Einsetzen der Parameter liefert die Verschiebung des Punkte		Einsetzen der Parameter liefert die Verschiebung des Punkte

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	Wir sehen: für schlanke Balken bis α<0.2 können wir getrost mit der Euler-Bernoulli-Hypothese arbeiten - für "stäbigere" Balken brauchen wir mindestens das Timoshenko-Modell.		Wir sehen: für schlanke Balken bis α<0.2 können wir getrost mit der Euler-Bernoulli-Hypothese arbeiten - für "stäbigere" Balken brauchen wir mindestens das Timoshenko-Modell.
	[[Datei:DGEC-Ergebnis.png\|mini\|Vergleich von Timoshenko und Euler-Bernoulli-Modell.]]		[[Datei:DGEC-Ergebnis.png\|mini\|Vergleich von Timoshenko und Euler-Bernoulli-Modell.]]
	~~{{MyCodeBlock\|title=Post-Processing~~
	~~\|text=Text~~
	\|code=		\|code=
	<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>		<syntaxhighlight lang="lisp" line start=1>

Mechaniker am 23. Februar 2021 um 12:04 Uhr

2021-02-23T12:04:25Z

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