Gelöste Aufgaben/Buck - Versionsgeschichte

Mechaniker am 23. November 2025 um 13:12 Uhr

2025-11-23T13:12:24Z

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	für Anwendungen in Finite-Elemente-Methoden unterschieldliche Wege.		für Anwendungen in Finite-Elemente-Methoden unterschieldliche Wege.
	<onlyinclude>		<onlyinclude>
	[[Datei:Buck-01.png\|100px\|left\|mini\|~~Caption~~]]		[[Datei:Buck-01.png\|100px\|left\|mini\|Erster Eulerscher Knickfall.]]
	Gesucht sind die Ansätze für die Berechnung der kritischen Drucklast, ausgehend von		Gesucht sind die Ansätze für die Berechnung der kritischen Drucklast, ausgehend von
	* dem Kräfte-Gleichgewicht am ausgelenkten Stab und		* dem Kräfte-Gleichgewicht am ausgelenkten Stab und

Mechaniker am 23. November 2025 um 13:11 Uhr

2025-11-23T13:11:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2025, 13:11 Uhr
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	* dem Kräfte-Gleichgewicht am ausgelenkten Stab und		* dem Kräfte-Gleichgewicht am ausgelenkten Stab und
	* dem Prinzip der virtuellen Verrückungen mit großen Dehnungen.		* dem Prinzip der virtuellen Verrückungen mit großen Dehnungen.
			</onlyinclude>
	Das sehen wir uns für den ersten Eulerschen Knickfall genauer an und vergleichen die Ergebnisse. Der homogene Stab mit dem Elastizitätsmodul <math>E</math>		Das sehen wir uns für den ersten Eulerschen Knickfall genauer an und vergleichen die Ergebnisse. Der homogene Stab mit dem Elastizitätsmodul <math>E</math>
	hat die Länge <math>\ell</math>, einen Kreisquerschnitt mit der Querschnittsfläche		hat die Länge <math>\ell</math>, einen Kreisquerschnitt mit der Querschnittsfläche
	<math>A</math> und dem Flächenmoment zweiten Grades <math>I</math>.		<math>A</math> und dem Flächenmoment zweiten Grades <math>I</math>.
	Ziel ist es, die Vorgehensweisen beider Ansätze im Vergleich darzustellen. Der Fokus liegt dabei auf der Anwendung für Finite-Elemente-Methoden - also dem Prinzip der virtuellen Verrückungen mit großen Dehnungen.		Ziel ist es, die Vorgehensweisen beider Ansätze im Vergleich darzustellen. Der Fokus liegt dabei auf der Anwendung für Finite-Elemente-Methoden - also dem Prinzip der virtuellen Verrückungen mit großen Dehnungen.
	~~</onlyinclude>~~

	== Ansatz mit dem Kräftegleichgewicht am ausgelenkten System ==		== Ansatz mit dem Kräftegleichgewicht am ausgelenkten System ==

Mechaniker am 20. November 2025 um 16:37 Uhr

2025-11-20T16:37:02Z

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	* dem Kräfte-Gleichgewicht am ausgelenkten Stab und		* dem Kräfte-Gleichgewicht am ausgelenkten Stab und
	* dem Prinzip der virtuellen Verrückungen mit großen Dehnungen.		* dem Prinzip der virtuellen Verrückungen mit großen Dehnungen.
	Das sehen wir uns für den ersten Eulerschen Knickfall genauer an und vergleichen die Ergebnisse. Der homogene Stab ~~mit~~ mit dem Elastizitätsmodul <math>E</math>		Das sehen wir uns für den ersten Eulerschen Knickfall genauer an und vergleichen die Ergebnisse. Der homogene Stab mit dem Elastizitätsmodul <math>E</math>
	hat die Länge <math>\ell</math>, einen Kreisquerschnitt mit der Querschnittsfläche		hat die Länge <math>\ell</math>, einen Kreisquerschnitt mit der Querschnittsfläche
	<math>A</math> und dem Flächenmoment zweiten Grades <math>I</math>.		<math>A</math> und dem Flächenmoment zweiten Grades <math>I</math>.
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	+ \frac{d}{dx}\;w \; \left(-N\;\cos(\varphi) + Q\;\sin(\varphi)\right) = 0		+ \frac{d}{dx}\;w \; \left(-N\;\cos(\varphi) + Q\;\sin(\varphi)\right) = 0
	\end{array}		\end{array}
	</math>		</math>.

	Mit etwas Übersicht können wir die drei Gleichungen stark vereinfachen, wenn wir die dritte Gleichung nach <math>x</math> ableiten und die ersten beiden Gleichungen nutzen, um Terme zu eliminieren:		Mit etwas Übersicht können wir die drei Gleichungen stark vereinfachen, wenn wir die dritte Gleichung nach <math>x</math> ableiten und die ersten beiden Gleichungen nutzen, um Terme zu eliminieren:
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	</math>		</math>

	wobei <math>j:=\sqrt{-1}</math>. Die Lösung der Differentialbeziehung ist demnach mit <math>\kappa := \kappa_3</math>		wobei <math>j:=\sqrt{-1}</math>. Die Lösung der Differentialbeziehung ist demnach mit <math>\kappa := \kappa_3 = j\; \kappa_4</math>

	::<math>		::<math>
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	</math>		</math>

	also in Matrixschreibweise		also in Matrixschreibweise mit <math>\kappa^2=-\frac{\displaystyle P}{\displaystyle EI}</math>

	::<math>		::<math>
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	0\\		0\\
	\end{array}\right)		\end{array}\right)
	</math>		</math>.

	Dieses homogene Gleichungssystem hat nichttriviale - von Null verschiedene - Lösungen, wenn		Dieses homogene Gleichungssystem hat nichttriviale - von Null verschiedene - Lösungen, wenn
Zeile 225:		Zeile 225:
	\right)		\right)
	\end{array}		\end{array}
	</math>		</math>.

	Uns interessiert hier nur der ebene Spannungszustand in der <math>x-z</math>-Ebene, bei dem außerdem noch		Uns interessiert hier nur der ebene Spannungszustand in der <math>x-z</math>-Ebene, bei dem außerdem noch
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	-(\sin(\varphi)\;\varphi'\;(z+w))+u\;\cos(\varphi)\;\varphi'+u'\;\sin(\varphi)-\sin(\varphi)+w'\;\cos(\varphi)		-(\sin(\varphi)\;\varphi'\;(z+w))+u\;\cos(\varphi)\;\varphi'+u'\;\sin(\varphi)-\sin(\varphi)+w'\;\cos(\varphi)
	\end{array}\right)		\end{array}\right)
	</math>		</math>.

	Die Spannungen <math>\underline{\sigma}</math> kommen dann - mit der Annahme <math>\sigma_{zz}=0</math>, dem Elastizitätsmodul <math>E</math> und dem Schubmodul <math>G</math> - aus		Die Spannungen <math>\underline{\sigma}</math> kommen dann - mit der Annahme <math>\sigma_{zz}=0</math>, dem Elastizitätsmodul <math>E</math> und dem Schubmodul <math>G</math> - aus
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	</math>		</math>

	Für <math>\delta \Pi_e</math> im Element benötigen wir noch - wie [[Sources/Lexikon/Virtuelle_Verrückung\|im Lexikon-Eintrag "virtuelle Verrückung"]] ~~beschreiben~~ - die virtuelle Dehnung <math>\delta\underline{\epsilon} </math>. Daraus folgt die virtuelle Formänderungsarbeit zu		Für <math>\delta \Pi_e</math> im Element benötigen wir noch - wie [[Sources/Lexikon/Virtuelle_Verrückung\|im Lexikon-Eintrag "virtuelle Verrückung"]] beschrieben - die virtuelle Dehnung <math>\delta\underline{\epsilon} </math>. Daraus folgt die virtuelle Formänderungsarbeit zu

	::<math>\delta\Pi = \int_V (G\;\delta \varphi\;\cos( \varphi)\;\sin( \varphi)\;\varphi'^2\;z^2)/4-E\;\delta \varphi\;\cos( \varphi)\;\sin( \varphi)\;\varphi'^2\;z^2+(G\;\delta \varphi'\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'\;z^2)/4+E\;\delta \varphi'\;\cos( \varphi)^2\;\varphi'\;z^2+(G\;u\;\delta \varphi\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'^2\;z)/4-E\;u\;\delta \varphi\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'^2\;z + \ldots \text{ viele weitere Terme } \;dV		::<math>\delta\Pi = \int_V (G\;\delta \varphi\;\cos( \varphi)\;\sin( \varphi)\;\varphi'^2\;z^2)/4-E\;\delta \varphi\;\cos( \varphi)\;\sin( \varphi)\;\varphi'^2\;z^2+(G\;\delta \varphi'\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'\;z^2)/4+E\;\delta \varphi'\;\cos( \varphi)^2\;\varphi'\;z^2+(G\;u\;\delta \varphi\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'^2\;z)/4-E\;u\;\delta \varphi\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'^2\;z + \ldots \text{ viele weitere Terme } \;dV
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	::<math>\cos(\varphi) = 1</math> und <math>\sin(\varphi) = \varphi</math>.		::<math>\cos(\varphi) = 1</math> und <math>\sin(\varphi) = \varphi</math>.

	Dann vernachlässign wir alle Summenden, in denen mehr als zwei ~~funktionalen~~ Freiheitsgrade auftrauchen, also z.B. Terme mit <math>w\;\varphi^2\;u'</math>. Dann bleibt		Dann vernachlässign wir alle Summenden, in denen mehr als zwei funktionale Freiheitsgrade auftrauchen, also z.B. Terme mit <math>w\;\varphi^2\;u'</math>. Dann bleibt

	::<math>\delta\Pi_e = \int_{\ell_e}\;E\;I\;\delta \varphi'\;\varphi'+(A\;G\;u(x)\;\delta w'\;\varphi')/4-A\;E\;w(x)\;\delta u'\;\varphi'+(A\;G\;\delta u(x)\;w'\;\varphi')/4-A\;E\;\delta w(x)\;u'\;\varphi'-(A\;G\;\delta u(x)\;\varphi\;\varphi')/4-(A\;G\;u(x)\;\delta \varphi\;\varphi')/4+(A\;G\;u(x)\;w'\;\delta \varphi')/4-A\;E\;w(x)\;u'\;\delta \varphi'-(A\;G\;u(x)\;\varphi\;\delta \varphi')/4+(A\;G\;w'\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;u'\;\delta w')/4-A\;E\;\varphi\;u'\;\delta w'-(A\;G\;\varphi\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;w'\;\delta u')/4-A\;E\;\varphi\;w'\;\delta u'+A\;E\;u'\;\delta u'-(A\;G\;\varphi^2\;\delta u')/4+(A\;G\;\delta \varphi\;u'\;w')/4-A\;E\;\delta \varphi\;u'\;w'-(A\;G\;\delta \varphi\;w')/4-(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi\;u')/2+(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi)/4 \; dV</math>		::<math>\delta\Pi_e = \int_{\ell_e}\;E\;I\;\delta \varphi'\;\varphi'+(A\;G\;u(x)\;\delta w'\;\varphi')/4-A\;E\;w(x)\;\delta u'\;\varphi'+(A\;G\;\delta u(x)\;w'\;\varphi')/4-A\;E\;\delta w(x)\;u'\;\varphi'-(A\;G\;\delta u(x)\;\varphi\;\varphi')/4-(A\;G\;u(x)\;\delta \varphi\;\varphi')/4+(A\;G\;u(x)\;w'\;\delta \varphi')/4-A\;E\;w(x)\;u'\;\delta \varphi'-(A\;G\;u(x)\;\varphi\;\delta \varphi')/4+(A\;G\;w'\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;u'\;\delta w')/4-A\;E\;\varphi\;u'\;\delta w'-(A\;G\;\varphi\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;w'\;\delta u')/4-A\;E\;\varphi\;w'\;\delta u'+A\;E\;u'\;\delta u'-(A\;G\;\varphi^2\;\delta u')/4+(A\;G\;\delta \varphi\;u'\;w')/4-A\;E\;\delta \varphi\;u'\;w'-(A\;G\;\delta \varphi\;w')/4-(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi\;u')/2+(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi)/4 \; dV</math>
Zeile 362:		Zeile 362:
	</math>		</math>

	Das geschieht analog für <math>\delta u(x), \delta w(x)</math> in <math>\delta \Pi_e</math>. Dann führen wir die Integration über die Stablänge in <math>x = \xi\; \ell_e</math>aus.		Das geschieht analog für <math>\delta u(x), \delta w(x)</math> in <math>\delta \Pi_e</math>. Dann führen wir die Integration über die Stablänge in <math>x = \xi\; \ell_e</math> aus.

	Wir berücksichtigen als äußere, eingeprägte Lasten im Element eine konstante Streckenlast <math>q_0</math> senkrecht zur Stab-Längsachse.		Wir berücksichtigen als äußere, eingeprägte Lasten im Element eine konstante Streckenlast <math>q_0</math> senkrecht zur Stab-Längsachse.
Zeile 447:		Zeile 447:

	Um den Knickfall zu bestimmen, "wackeln" wir an dieser statischen Lösung mit		Um den Knickfall zu bestimmen, "wackeln" wir an dieser statischen Lösung mit
	<math>P = P + \Delta P</math> und suchen nach Lösungen		<math>P \rightarrow P + \Delta P</math> und suchen nach Lösungen
	::<math>		::<math>
	\begin{array}{ccc}		\begin{array}{ccc}
Zeile 465:		Zeile 465:
	\cdot \Delta \underline{Q} = \underline{f}^*(\Delta\underline{P})</math>		\cdot \Delta \underline{Q} = \underline{f}^*(\Delta\underline{P})</math>

	~~Dies~~ führt - wegen <math>\underline{f}(\underline{Q}^*) = \underline{0}</math> - auf das lineare Gleichungssystem		Das führt - wegen <math>\underline{f}(\underline{Q}^*) = \underline{0}</math> - auf das lineare Gleichungssystem

	::<math>		::<math>
Zeile 494:		Zeile 494:
	::<math>P_{krit.}=\frac{12.9 E I}{\ell_e^2}, P_{FEM}=\frac{\displaystyle 9.9 E I}{\ell_e^2}</math>		::<math>P_{krit.}=\frac{12.9 E I}{\ell_e^2}, P_{FEM}=\frac{\displaystyle 9.9 E I}{\ell_e^2}</math>

	Das FE-Modell ~~liefert~~ also eine deutlich geringere kritische Knicklast, als die analytische Lösung. Ob dies beim Einsatz von mehr Finiten Elementen für eine Untersuchung besser wird, kann in Modellen mit mehr Finiten Elemente untersucht werden.		Das FE-Modell zeigt also eine deutlich geringere kritische Knicklast an, als die analytische Lösung. Ob dies beim Einsatz von mehr Finiten Elementen für eine Untersuchung besser wird, kann in Modellen mit mehr Finiten Elemente untersucht werden.

	Durch den Einsatz des Prinzips der virtuellen Verrückungen haben wir ein numerisches Näherungsverfahren, mit dem wir praktisch beliebig komplizierte Systeme untersuchen können. Aufwändig ist dabei jeweils die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems		Durch den Einsatz des Prinzips der virtuellen Verrückungen haben wir ein numerisches Näherungsverfahren, mit dem wir praktisch beliebig komplizierte Systeme untersuchen können. Aufwändig ist dabei jeweils die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

Mechaniker am 20. November 2025 um 07:02 Uhr

2025-11-20T07:02:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. November 2025, 07:02 Uhr
Zeile 254:		Zeile 254:
	::<math>\underline{\sigma} =		::<math>\underline{\sigma} =
	\left(\begin{array}{ccc}		\left(\begin{array}{ccc}
	E&0&0\\0&0&0\\0&0&G		E&0&0\\0&0&0\\0&0&2G
	\end{array}\right)		\end{array}\right)
	\cdot		\cdot

Mechaniker am 20. November 2025 um 06:42 Uhr

2025-11-20T06:42:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. November 2025, 06:42 Uhr
Zeile 350:		Zeile 350:
	::<math>\varphi(x) = w'(x)</math> sowie <math>\delta \varphi(x) = \delta w'(x)</math>		::<math>\varphi(x) = w'(x)</math> sowie <math>\delta \varphi(x) = \delta w'(x)</math>

	und setzen nun unsere aus der Methode der FEM [[Randwertprobleme/Methoden_zur_Lösung_von_Randwertproblemen/Finite_Elemente_Methode#Ansatzfunktionen\|bekannten Ansatzfunktionen]]		und setzen nun unsere aus der Methode der FEM [[Randwertprobleme/Methoden_zur_Lösung_von_Randwertproblemen/Finite_Elemente_Methode#Ansatzfunktionen\|bekannten Ansatzfunktionen]] ein:
	::<math>		::<math>
	\begin{array}{lll}		\begin{array}{lll}

Mechaniker am 20. November 2025 um 06:41 Uhr

2025-11-20T06:41:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. November 2025, 06:41 Uhr
Zeile 318:		Zeile 318:
	{{MyCodeBlock\|title= Virtuelle Arbeiten am Stabelement		{{MyCodeBlock\|title= Virtuelle Arbeiten am Stabelement
	\|text=		\|text=
	Wie üblich bei der Methode der Finiten Elemente setzen wir die Arbeitsanteile additiv aus den Element-Arbeiten zusammen, also auch für die virtuelle ~~FOrmänderungsarbeit~~		Wie üblich bei der Methode der Finiten Elemente setzen wir die Arbeitsanteile additiv aus den Element-Arbeiten zusammen, also auch für die virtuelle Formänderungsarbeit

	::<math>		::<math>
Zeile 344:		Zeile 344:
	Dann vernachlässign wir alle Summenden, in denen mehr als zwei funktionalen Freiheitsgrade auftrauchen, also z.B. Terme mit <math>w\;\varphi^2\;u'</math>. Dann bleibt		Dann vernachlässign wir alle Summenden, in denen mehr als zwei funktionalen Freiheitsgrade auftrauchen, also z.B. Terme mit <math>w\;\varphi^2\;u'</math>. Dann bleibt

	::<math>\delta\Pi_e = E\;I\;\delta \varphi'\;\varphi'+(A\;G\;u(x)\;\delta w'\;\varphi')/4-A\;E\;w(x)\;\delta u'\;\varphi'+(A\;G\;\delta u(x)\;w'\;\varphi')/4-A\;E\;\delta w(x)\;u'\;\varphi'-(A\;G\;\delta u(x)\;\varphi\;\varphi')/4-(A\;G\;u(x)\;\delta \varphi\;\varphi')/4+(A\;G\;u(x)\;w'\;\delta \varphi')/4-A\;E\;w(x)\;u'\;\delta \varphi'-(A\;G\;u(x)\;\varphi\;\delta \varphi')/4+(A\;G\;w'\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;u'\;\delta w')/4-A\;E\;\varphi\;u'\;\delta w'-(A\;G\;\varphi\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;w'\;\delta u')/4-A\;E\;\varphi\;w'\;\delta u'+A\;E\;u'\;\delta u'-(A\;G\;\varphi^2\;\delta u')/4+(A\;G\;\delta \varphi\;u'\;w')/4-A\;E\;\delta \varphi\;u'\;w'-(A\;G\;\delta \varphi\;w')/4-(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi\;u')/2+(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi)/4</math>		::<math>\delta\Pi_e = \int_{\ell_e}\;E\;I\;\delta \varphi'\;\varphi'+(A\;G\;u(x)\;\delta w'\;\varphi')/4-A\;E\;w(x)\;\delta u'\;\varphi'+(A\;G\;\delta u(x)\;w'\;\varphi')/4-A\;E\;\delta w(x)\;u'\;\varphi'-(A\;G\;\delta u(x)\;\varphi\;\varphi')/4-(A\;G\;u(x)\;\delta \varphi\;\varphi')/4+(A\;G\;u(x)\;w'\;\delta \varphi')/4-A\;E\;w(x)\;u'\;\delta \varphi'-(A\;G\;u(x)\;\varphi\;\delta \varphi')/4+(A\;G\;w'\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;u'\;\delta w')/4-A\;E\;\varphi\;u'\;\delta w'-(A\;G\;\varphi\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;w'\;\delta u')/4-A\;E\;\varphi\;w'\;\delta u'+A\;E\;u'\;\delta u'-(A\;G\;\varphi^2\;\delta u')/4+(A\;G\;\delta \varphi\;u'\;w')/4-A\;E\;\delta \varphi\;u'\;w'-(A\;G\;\delta \varphi\;w')/4-(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi\;u')/2+(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi)/4 \; dV</math>

	- ein Ausdruck mit nur noch 23 Summenden. Hier wählen wir noch die Euler-Bernoulli-Hypothese		- ein Ausdruck mit nur noch 23 Summenden. Hier wählen wir noch die Euler-Bernoulli-Hypothese

Mechaniker am 19. November 2025 um 20:04 Uhr

2025-11-19T20:04:16Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 19. November 2025 um 15:29 Uhr

2025-11-19T15:29:32Z

Änderungen zeigen

Mechaniker am 19. November 2025 um 13:45 Uhr

2025-11-19T13:45:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. November 2025, 13:45 Uhr
Zeile 247:		Zeile 247:
	</math>		</math>

	Für <math>\delta \Pi_e</math> in Element benötigen wir noch - wie [[Sources/Lexikon/Virtuelle_Verrückung\|im Eintrag "virtuelle Verrückung"]] beschreiben - die virtuelle Dehnung <math>\delta\underline{\epsilon} </math>. Daraus folgt - nach Integration über die Querschnittsfläche - die virtuelle Formänderungsarbeit		Für <math>\delta \Pi_e</math> in Element benötigen wir noch - wie [[Sources/Lexikon/Virtuelle_Verrückung\|im Lexikon-Eintrag "virtuelle Verrückung"]] beschreiben - die virtuelle Dehnung <math>\delta\underline{\epsilon} </math>. Daraus folgt - nach Integration über die Querschnittsfläche - die virtuelle Formänderungsarbeit zu

			::<math>\delta\Pi = (G\;\delta \varphi\;\cos( \varphi)\;\sin( \varphi)\;\varphi'^2\;z^2)/4-E\;\delta \varphi\;\cos( \varphi)\;\sin( \varphi)\;\varphi'^2\;z^2+(G\;\delta \varphi'\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'\;z^2)/4+E\;\delta \varphi'\;\cos( \varphi)^2\;\varphi'\;z^2+(G\;u\;\delta \varphi\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'^2\;z)/4-E\;u\;\delta \varphi\;\sin( \varphi)^2\;\varphi'^2\;z + \ldots
			</math>

			in der insgesamt 121 Summanden stehen. Die Integration über die Querschnittsfläche liefert hier

			::<math>\delta\Pi_e = \int_{\ell_e}\;\left(
			\underbrace{\int_A \left( \ldots \right)\cdot 1 \; dA}_{\displaystyle = (\ldots)\; A}
			+ \underbrace{\int_A \left( \ldots \right)\cdot z \; dA}_{\displaystyle = 0}
			+ \underbrace{\int_A \left( \ldots \right)\cdot z^2 \; dA}_{\displaystyle = (\ldots)\; I}
			\right) \; dx
			</math>

			Die Komplexität dieses Ausdrucks ist erhelblich und eine genauere Untersuchung der einzelnen Terme nicht zielführend. Wir suchen nach zweckmäßigen Vereinfachungen und setzen zunächst

			::<math>\cos(\varphi) = 1</math> und <math>\sin(\varphi) = \varphi</math>.

			Dann vernachlässign wir alle Summenden, in denen mehr als zwei funktionalen Freiheitsgrade auftrauchen, also z.B. Terme mit <math>w\;\varphi^2\;u'</math>. Dann bleibt

			::<math>\delta\Pi_e = E\;I\;\delta \varphi'\;\varphi'+(A\;G\;u(x)\;\delta w'\;\varphi')/4-A\;E\;w(x)\;\delta u'\;\varphi'+(A\;G\;\delta u(x)\;w'\;\varphi')/4-A\;E\;\delta w(x)\;u'\;\varphi'-(A\;G\;\delta u(x)\;\varphi\;\varphi')/4-(A\;G\;u(x)\;\delta \varphi\;\varphi')/4+(A\;G\;u(x)\;w'\;\delta \varphi')/4-A\;E\;w(x)\;u'\;\delta \varphi'-(A\;G\;u(x)\;\varphi\;\delta \varphi')/4+(A\;G\;w'\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;u'\;\delta w')/4-A\;E\;\varphi\;u'\;\delta w'-(A\;G\;\varphi\;\delta w')/4+(A\;G\;\varphi\;w'\;\delta u')/4-A\;E\;\varphi\;w'\;\delta u'+A\;E\;u'\;\delta u'-(A\;G\;\varphi^2\;\delta u')/4+(A\;G\;\delta \varphi\;u'\;w')/4-A\;E\;\delta \varphi\;u'\;w'-(A\;G\;\delta \varphi\;w')/4-(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi\;u')/2+(A\;G\;\delta \varphi\;\varphi)/4</math>

			- ein Ausdruck mit nur noch 23 Summenden. Hier wählen wir noch die Euler-Bernoulli-Hypothese

			::<math>\varphi(x) = w'(x)</math> und <math>\delta \varphi(x) = \delta w'(x)</math>

			und setzen nun unsere [[Randwertprobleme/Methoden_zur_Lösung_von_Randwertproblemen/Finite_Elemente_Methode#Ansatzfunktionen\|bekannten Ansatzfunktionen]]
			::<math>
			\begin{array}{lll}
			u(x) &=& U_{e-1}\cdot(1-\xi) +
			U_{ e }\cdot(\xi)\\
			w(x) &=& W_{e-1}\cdot\left(2 \xi^3-3 \xi^2+1\right) +
			\Phi_{e-1}\cdot\left(\xi^3-2 \xi^2+\xi\right) \ell_e +
			W_{ e }\cdot\left(3 \xi^2-2 \xi^3\right) +
			\Phi_{ e }\cdot\left(\xi^3-\xi^2\right)\ell_e
			\end{array}
			</math>

			und analog für <math>\delta u(x), \delta w(x)</math> in <math>\delta \Pi_e</math> ein und führen die Integration über <math>x = \xi\; \ell_e</math>aus.
			Für eine konstante seitliche Streckenlast auf den Stab nehmen wir die Ergebnisse aus
			[[Sources/Anleitungen/FEM-Formulierung_für_den_Euler-Bernoulli-Balken#Maxima-Code_für_die_Berechnung_der_"Rechten-Seite"\|den Faltungsintegralen]] für kubische Formfunktionen

			::<math>\delta W_e^a = q_0\;\ell_e\;\left(
			+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \delta W_{e-1}
			-\frac{\displaystyle \ell_e}{\displaystyle 12} \delta \Phi_{e-1}
			+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \delta W_e
			+\frac{\displaystyle \ell_e}{\displaystyle 12} \delta \Phi_e\right)
			</math>

			hinzu, so dass wir diese virtuelle Arbeit je Element finden:

			::<math>\delta\Pi_e =
			\left(\delta U_{e-1},\delta U_{e}, \delta W_{e-1}, \delta \Phi_{e-1},\delta W_{e},\delta \Phi_{e}\right)\cdot
			\left(\begin{array}{c}
			-\left( \frac{A E {W_e} {{\Phi }_e}}{{\ell_e}}\right) +\frac{A E {U_e}}{{\ell_e}}+\frac{A E {W_{e-1}} {{\Phi }_{e-1}}}{{\ell_e}}-\frac{A E {U_{e-1}}}{{\ell_e}}\\
			\frac{A E {W_e} {{\Phi }_e}}{{\ell_e}}-\frac{A E {U_e}}{{\ell_e}}-\frac{A E {W_{e-1}} {{\Phi }_{e-1}}}{{\ell_e}}+\frac{A E {U_{e-1}}}{{\ell_e}}\\
			\frac{{q_0} {\ell_e}}{2}-\frac{A E {{\Phi }_{e-1}} {U_e}}{{\ell_e}}+\frac{A E {U_{e-1}} {{\Phi }_{e-1}}}{{\ell_e}}-\frac{6 E I {{\Phi }_e}}{{{\ell}_{e}^{2}}}-\frac{6 E I {{\Phi }_{e-1}}}{{{\ell}_{e}^{2}}}+\frac{12 E I {W_e}}{{{\ell}_{e}^{3}}}-\frac{12 E I {W_{e-1}}}{{{\ell}_{e}^{3}}}\\
			\frac{{q_0} {{\ell}_{e}^{2}}}{12}-\frac{2 E I {{\Phi }_e}}{{\ell_e}}-\frac{A E {W_{e-1}} {U_e}}{{\ell_e}}-\frac{4 E I {{\Phi }_{e-1}}}{{\ell_e}}+\frac{A E {U_{e-1}} {W_{e-1}}}{{\ell_e}}+\frac{6 E I {W_e}}{{{\ell}_{e}^{2}}}-\frac{6 E I {W_{e-1}}}{{{\ell}_{e}^{2}}}\\
			\frac{{q_0} {\ell_e}}{2}+\frac{A E {U_e} {{\Phi }_e}}{{\ell_e}}-\frac{A E {U_{e-1}} {{\Phi }_e}}{{\ell_e}}+\frac{6 E I {{\Phi }_e}}{{{\ell}_{e}^{2}}}+\frac{6 E I {{\Phi }_{e-1}}}{{{\ell}_{e}^{2}}}-\frac{12 E I {W_e}}{{{\ell}_{e}^{3}}}+\frac{12 E I {W_{e-1}}}{{{\ell}_{e}^{3}}}\\
			-\left( \frac{{q_0} {{\ell}_{e}^{2}}}{12}\right) -\frac{4 E I {{\Phi }_e}}{{\ell_e}}+\frac{A E {U_e} {W_e}}{{\ell_e}}-\frac{A E {U_{e-1}} {W_e}}{{\ell_e}}-\frac{2 E I {{\Phi }_{e-1}}}{{\ell_e}}+\frac{6 E I {W_e}}{{{\ell}_{e}^{2}}}-\frac{6 E I {W_{e-1}}}{{{\ell}_{e}^{2}}}
			\end{array}\right)
			</math>

			Für den Eulerschen Knickfall #1 wählen wir nun ein einziges Element, also <math>e=1</math> und damit <math>\delta W = \delta W_e</math> mit den Randbedingungen

			::<math>U_e = 0, W_e = 0 \text{ und } \Phi_e=0</math>.

			Und wir bringen noch eine vertiakle Drucklast <math>P</math> auf den Stab mit
			<math>\delta W^a = P \; \delta U_e-1</math> auf.
			Das resultierende Gleichungssystem in
			<math>\underline{Q} = \left(U_{e-1},W_{e-1},\Phi_{e-1}\right)</math>
			::<math>\underline{f}(\underline{Q}) = \underline{0}</math>

			ist nichtlinear. Wir lösen es - nach weiteren Vereinfachungen - für die verbleibenden Koordinaten zu

			::<math>
			\begin{array}{ccc}
			{U_{e-1}}&=&\frac{\displaystyle P {\ell_e}}{\displaystyle A E}\\
			{W_{e-1}}&=&-\left( \frac{\displaystyle q_0 P\, {{\ell}_{e}^{6}}+18 {q_0} E I\, {{\ell}_{e}^{4}}}{\displaystyle 12 {{P}^{2}} {{\ell}_{e}^{4}}-144 E I P\, {{\ell}_{e}^{2}}-144 {{E}^{2}} {{I}^{2}}}\right)\\
			{{\Phi }_{e-1}}&=&-\left( \frac{\displaystyle q_0 P\, {{\ell}_{e}^{5}}-4 {q_0} E I\, {{\ell}_{e}^{3}}}{\displaystyle 2 {{P}^{2}} {{\ell}_{e}^{4}}-24 E I P\, {{\ell}_{e}^{2}}-24 {{E}^{2}} {{I}^{2}}}\right)
			\end{array}
			</math>.

			Um den Knickfall zu bestimmen, wackeln wir an dieser statischen Lösung mit

			::<math>
			\begin{array}{ccc}
			U_{e-1} &=&U_{e-1}+\Delta U_{e-1}\\
			W_{e-1} &=&W_{e-1}+\Delta W_{e-1}\\
			\Phi_{e-1}&=&\Phi_{e-1}+\Delta \Phi_{e-1}
			\end{array}
			</math>

			und schauen nach der Lösung für

			::<math>\underline{f}(\underline{Q}+\Delta \underline{Q}) = \underline{0}</math>

			und approximieren dies für kleine <math>\Delta \underline{Q}</math> zu

			::<math>\underline{f}(\underline{Q})+\frac{\displaystyle \partial\underline{f}}{\displaystyle \partial \Delta \underline{Q}} \cdot \Delta \underline{Q} = \underline{0}</math>

			Dies führt - wegen <math>\underline{f}(\underline{Q}) = \underline{0}</math> - auf das lineare Gleichungssystem

			::<math>
			</math>



			::<math></math>
			::<math></math>
			::<math></math>


	~~::<math>\delta\Pi = </math>~~

Mechaniker am 19. November 2025 um 11:59 Uhr

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	</math>		</math>

	Für <math>\delta \Pi_e</math> in Element benötigen wir noch		Für <math>\delta \Pi_e</math> in Element benötigen wir noch - wie [[Sources/Lexikon/Virtuelle_Verrückung\|im Eintrag "virtuelle Verrückung"]] beschreiben - die virtuelle Dehnung <math>\delta\underline{\epsilon} </math>. Daraus folgt - nach Integration über die Querschnittsfläche - die virtuelle Formänderungsarbeit

	::<math>\delta\underline{\epsilon} </math>

	~~aus der Regel für~~ die ~~Variation der Koordianten. Wir erhalten für~~ die virtuelle Formänderungsarbeit

	~~::<math>\delta\Pi =~~


	~~</math>~~




			::<math>\delta\Pi = </math>